Learn / AFCAT / military-aptitude / spatial-visual-reasoning

AFCAT घन और पासा — विपरीत फलक, रंगीन घन कटाई और प्रायिकता

intermediate 18 min read

अवधारणा

घन और पासा — यह टॉपिक AFCAT के Spatial Reasoning section में लगभग हर बार आता है। इसे दो अलग-अलग कोणों से समझना ज़रूरी है।

घन (Cube): छह समान वर्गाकार फलकों (faces) से बना एक त्रि-आयामी ठोस। इसमें 8 कोने (vertices), 12 किनारे (edges) और 6 फलक (faces) होते हैं। जब किसी बड़े घन को रंगकर छोटे घनों में काटा जाता है, तो यह प्रश्न पूछा जाता है — कितने छोटे घनों पर 0, 1, 2 या 3 फलक रंगे होंगे?

पासा (Dice): एक विशेष प्रकार का घन जिसके फलकों पर 1 से 6 तक संख्याएँ लिखी होती हैं। मानक पासे में एक नियम सदा लागू होता है: आमने-सामने के फलकों का योग = 7 — यानी जोड़े हैं (1,6), (2,5), (3,4)।

इसे समझने का सबसे अच्छा तरीका: सोचो कि तुम एक बड़ी बर्फ की सिल्ली को छोटे-छोटे टुकड़ों में काट रहे हो। जो टुकड़े बाहरी सतह पर थे, उन पर रंग आएगा। कोने पर वाले तीन तरफ से दिखते हैं, किनारे पर वाले दो तरफ से, बीच में वाले एक तरफ से, और सबसे अंदर वाले किसी भी तरफ से नहीं।

AFCAT में इस टॉपिक से दो प्रकार के प्रश्न आते हैं:

रंगीन घन कटाई — $n^3$ छोटे घनों में कटे बड़े घन से संबंधित गिनती
पासा विश्लेषण — विपरीत फलक पहचानना या पासा फेंकने की प्रायिकता

दोनों के लिए अलग-अलग framework है। इन्हें अलग रखो — exam में मिक्स करना सबसे बड़ी गलती है।

गहन विश्लेषण

भाग 1: रंगीन घन कटाई के सूत्र

मान लो एक बड़े घन का प्रत्येक किनारा $n$ भागों में काटा गया है। तब कुल छोटे घन = $n^3$ ।

चार प्रकार के छोटे घन होते हैं:

| स्थान | रंगे फलक | सूत्र | $n=4$ का उदाहरण | $n=5$ का उदाहरण | |-------|----------|-------|-----------------|-----------------| | कोने (Corners) | 3 | $8$ (हमेशा) | 8 | 8 | | किनारे (Edges) | 2 | $12 \times (n-2)$ | $12 \times 2 = 24$ | $12 \times 3 = 36$ | | फलक-केंद्र (Face Centers) | 1 | $6 \times (n-2)^2$ | $6 \times 4 = 24$ | $6 \times 9 = 54$ | | अंदरूनी (Interior) | 0 | $(n-2)^3$ | $2^3 = 8$ | $3^3 = 27$ |

सत्यापन: $8 + 24 + 24 + 8 = 64 = 4^3$ — जोड़ हमेशा $n^3$ होना चाहिए।

देखो — इन सूत्रों में सबसे ज़रूरी चीज़ है $(n-2)$ । यह इसलिए आता है क्योंकि किनारों के दोनों छोर वाले घन कोने में जाते हैं, इसलिए प्रत्येक किनारे के बीच में $(n-2)$ घन बचते हैं।

भाग 2: पासे के नियम

नियम 1 — मानक पासे का नियम: आमने-सामने के फलकों का योग = 7 $1+6=7, \quad 2+5=7, \quad 3+4=7$

नियम 2 — पासे को देखने पर: जब पासे को किसी कोने से देखते हो, तो तीन फलक दिखते हैं और तीन छिपे रहते हैं। दिखने वाले हर फलक का विपरीत फलक छिपा होता है।

नियम 3 — विस्तारित घन (Net) से विपरीत फलक पहचानना: जब घन को खोलकर flat किया जाए, तो एक-दूसरे के सामने वाले फलक पहचानने का तरीका: net में जो फलक एक-दूसरे से दो कदम दूर हों (बीच में एक फलक हो), वे विपरीत होते हैं।

भाग 3: पासा प्रायिकता

दो पासे फेंकने पर कुल outcomes = $6 \times 6 = 36$ ।

Conditional Probability का ट्रैप: जब "कम से कम एक पासे पर 6 आया" जैसी शर्त हो, तो sample space बदल जाता है। "कम से कम एक 6" वाले outcomes गिनो: $(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)$ = 11 outcomes — यह नया sample space है।

याद रखो: $(6,6)$ को दोनों तरफ से count मत करो — वह सिर्फ एक outcome है।

भाग 4: जादुई घन (Magic Cube)

कभी-कभी प्रश्न में विपरीत फलकों का योग 7 की बजाय कुछ और दिया जाता है (जैसे 21)। तब उसी दिए गए नियम का उपयोग करो — मानक नियम मत थोपो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternn-2 का जादू

जब भी रंगीन घन कटाई का प्रश्न आए, सबसे पहले $n$ निकालो (जहाँ $n^3$ = कुल छोटे घन), फिर सीधे सूत्र लगाओ।

उदाहरण: 64 छोटे घन → $n=4$ , दो फलक रंगे = $12 \times (4-2) = 24$

सामान्य तरीका: बड़ा घन visualize करो, किनारों पर count करो — लगभग 45 सेकंड। यह shortcut: $n$ निकालो → $12(n-2)$ लगाओ → 8 सेकंड। 5-6 गुना तेज़।

patternकोने हमेशा 8 होते हैं

चाहे घन $2^3$ में काटो, $10^3$ में काटो, या $100^3$ में — 3 फलक रंगे घन हमेशा 8 होते हैं। क्योंकि किसी भी घन में 8 कोने ही होते हैं।

जब भी "ठीक तीन फलक रंगे" पूछें — बिना सोचे 8 लिखो।

सामान्य तरीका: सूत्र याद करने की कोशिश — 15 सेकंड। यह shortcut: direct लिखो 8 — 2 सेकंड। कोई calculation नहीं।

patternविपरीत फलक = 7 का नियम

मानक पासे में: $1 \leftrightarrow 6$ , $2 \leftrightarrow 5$ , $3 \leftrightarrow 4$ ।

जो संख्या दिखे, $7$ में से घटाओ → विपरीत संख्या मिल जाएगी। दिखे 3 → $7-3=4$ → विपरीत पर 4।

सामान्य तरीका: net बनाकर visualize — 30 सेकंड। यह shortcut: सीधे $7-x$ — 3 सेकंड।

eliminationConditional Probability में नया sample space

"कम से कम एक पर X आया" वाले प्रश्नों में:

Step 1: "कम से कम एक पर X" वाले सभी outcomes list करो। Step 2: इनमें से favorable outcomes गिनो। Step 3: $P = \frac{\text{favorable}}{\text{total listed outcomes}}$

"कम से कम एक पर 6" → 11 outcomes (ऊपर देखो)। गलत तरीका: 36 को denominator रखना — यह सबसे common गलती है। इसे eliminate करो।

patternअंदरूनी घन = (n-2)³

अंदरूनी (0 फलक रंगे) घन निकालना सबसे आसान है।

बड़े घन से चारों तरफ एक-एक परत हटाओ → $(n-2)$ का घन बचता है।

125 छोटे घन → $n=5$ → $(5-2)^3 = 27$ अंदरूनी घन।

सामान्य तरीका: सब गिनकर घटाना — 40 सेकंड। यह shortcut: सीधे $(n-2)^3$ — 5 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

AFCAT exam hall में यह flow follow करो:

प्रश्न पढ़ो
    |
    ├── "छोटे घन" / "रंगे फलक" शब्द हैं?
    │       |
    │       ├── कुल घन दिया है? → n निकालो (cube root)
    │       ├── 0 फलक रंगे → (n-2)³
    │       ├── 1 फलक रंगे → 6×(n-2)²
    │       ├── 2 फलक रंगे → 12×(n-2)
    │       └── 3 फलक रंगे → 8 (हमेशा)
    │
    ├── "विपरीत फलक" / "आमने-सामने" शब्द हैं?
    │       |
    │       ├── मानक पासा है? → 7-x नियम लगाओ
    │       └── जादुई घन है? → दिया गया योग इस्तेमाल करो
    │
    └── "पासा फेंकना" / "प्रायिकता" शब्द हैं?
            |
            ├── साधारण → कुल 36 outcomes में से गिनो
            └── "कम से कम" / "दिया गया कि" → नया sample space बनाओ

सबसे पहले $n$ निकालो — बाकी सब उससे आता है। $n$ गलत हुआ तो पूरा प्रश्न गलत।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: रंगीन घन कटाई का सबसे basic प्रश्न — $12(n-2)$ सूत्र की सीधी परीक्षा।

समाधान का रास्ता: $64 = 4^3$ → $n=4$ → दो फलक रंगे = $12 \times (4-2) = 12 \times 2 = 24$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A cube is painted on all six faces and then cut into 64 smaller cubes of equal size. How many small cubes will have paint on exactly two faces?

एक घन (cube) के सभी छह फलकों पर रंग किया जाता है और फिर उसे 64 बराबर छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिन पर ठीक दो फलकों पर रंग होगा?

Solutionसमाधान

When a cube is cut into 64 smaller cubes, it means each edge is divided into 4 parts (4³ = 64). Cubes with paint on exactly two faces are located along the edges but not at corners. Each edge has 2 such cubes (4-2=2), and a cube has 12 edges, giving 12×2 = 24 cubes.

जब एक घन को 64 छोटे घनों में काटा जाता है, तो प्रत्येक किनारा 4 भागों में बांटा जाता है (4³ = 64)। बिल्कुल दो फलकों पर रंग वाले घन किनारों पर स्थित होते हैं लेकिन कोनों पर नहीं। प्रत्येक किनारे पर 2 ऐसे घन हैं (4-2=2), और एक घन में 12 किनारे हैं, इसलिए 12×2 = 24 घन मिलते हैं।

क्यों यह प्रश्न: 216 से $n=6$ निकालना और "तीन फलक रंगे = 8 हमेशा" नियम की परीक्षा।

समाधान का रास्ता: $216 = 6^3$ → $n=6$ → तीन फलक रंगे = 8 (हर घन के 8 कोने)। $n$ की कोई भूमिका नहीं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A large cube is made up of 216 unit cubes. If this large cube is painted blue on all external faces and then disassembled, how many unit cubes will have blue paint on exactly three faces?

एक बड़ा घन 216 unit cubes से मिलकर बना है। यदि इस बड़े घन के सभी बाहरी फलकों पर नीला रंग किया जाए और फिर उसे अलग-अलग किया जाए, तो ऐसे कितने unit cubes होंगे जिन पर ठीक तीन फलकों पर नीला रंग होगा?

Solutionसमाधान

A cube made of 216 unit cubes has dimensions 6×6×6 (6³ = 216). Unit cubes with paint on exactly three faces are located at the corners of the large cube. Since any cube has exactly 8 corners, there will be 8 unit cubes with paint on exactly three faces.

216 इकाई घनों से बना एक बड़ा घन 6×6×6 आयामों का होता है (6³ = 216)। बिल्कुल तीन फलकों पर रंग वाले इकाई घन बड़े घन के कोनों पर स्थित होते हैं। चूंकि किसी भी घन में बिल्कुल 8 कोने होते हैं, इसलिए बिल्कुल तीन फलकों पर रंग वाले 8 इकाई घन होंगे।

क्यों यह प्रश्न: Conditional probability — नया sample space बनाना। AFCAT में यह ट्रैप बार-बार आता है।

समाधान का रास्ता: पहला पासा सम (2,4,6) → 3 options। दूसरा पासा 4 से बड़ा (5,6) → 2 options। कुल restricted outcomes = $3 \times 2 = 6$ । योग 9 के लिए: $(4,5)$ ही काम करता है (बाकी check करो — $(2,7)$ असंभव, $(6,3)$ — लेकिन 3≤4 शर्त नहीं मिलती)। P = $\frac\{1\}\{6\}$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Two dice are thrown simultaneously. The first die shows an even number and the second die shows a number greater than 4. What is the probability that the sum of both dice is 9?

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पहले पासे पर एक सम संख्या आती है और दूसरे पासे पर 4 से बड़ी संख्या आती है। दोनों पासों का योग 9 होने की क्या प्रायिकता है?

1/6
1/4
1/3
1/12

1/6
1/4
1/3
1/12

Solutionसमाधान

First die shows even numbers (2,4,6) - 3 possibilities. Second die shows numbers >4 (5,6) - 2 possibilities. Total favorable outcomes for conditions = 3×2 = 6. For sum = 9: (2,7) impossible, (4,5) possible, (6,3) impossible since 3≤4. Only (4,5) works. Probability = 1/6.

पहला पासा सम संख्या (2,4,6) दिखाता है - 3 संभावनाएं। दूसरा पासा 4 से बड़ी संख्या (5,6) दिखाता है - 2 संभावनाएं। शर्तों के लिए कुल अनुकूल परिणाम = 3×2 = 6। योग = 9 के लिए: (2,7) असंभव, (4,5) संभव, (6,3) असंभव क्योंकि 3≤4। केवल (4,5) काम करता है। संभावना = 1/6।

क्यों यह प्रश्न: एक फलक रंगे घनों का सूत्र — $6(n-2)^2$ — और यह confirm करता है कि पहले $n$ निकालना कितना ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: 4 बराबर भागों में काटा → $n=4$ → एक फलक रंगे = $6 \times (4-2)^2 = 6 \times 4 = 24$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A cube is cut by three planes parallel to its faces, dividing each edge into 4 equal parts. The cube is then painted on all external surfaces. How many of the resulting small cubes will have paint on exactly one face?

एक घन को तीन तलों द्वारा काटा जाता है जो उसके फलकों के समानांतर हैं, और प्रत्येक किनारे को 4 बराबर भागों में बाँटते हैं। फिर घन की सभी बाहरी सतहों पर रंग किया जाता है। इस प्रकार बने छोटे घनों में से कितने घनों पर ठीक एक फलक पर रंग होगा?

Solutionसमाधान

When a cube is divided into 4³ = 64 smaller cubes, cubes with paint on exactly one face are located at the center of each external face (not on edges or corners). Each face of the original cube contributes (4-2)² = 4 such cubes. Since a cube has 6 faces, total = 6×4 = 24 cubes.

जब एक घन को 4³ = 64 छोटे घनों में बांटा जाता है, तो बिल्कुल एक फलक पर रंग वाले घन प्रत्येक बाहरी फलक के केंद्र में स्थित होते हैं (किनारों या कोनों पर नहीं)। मूल घन का प्रत्येक फलक (4-2)² = 4 ऐसे घन देता है। चूंकि एक घन में 6 फलक हैं, कुल = 6×4 = 24 घन।

क्यों यह प्रश्न: जादुई घन — दिए गए योग नियम से अदृश्य फलकों का योग निकालना।

समाधान का रास्ता: दिखने वाले फलक: 8, 7, 12। विपरीत फलक: $21-8=13$ , $21-7=14$ , $21-12=9$ । अदृश्य फलकों का योग = $13+14+9=36$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In a magic cube, the sum of numbers on opposite faces is always 21. If you can see three faces showing numbers 8, 7, and 12 from one corner, what is the sum of the numbers on the three faces you cannot see?

एक जादुई घन में आमने-सामने के फलकों पर संख्याओं का योग हमेशा 21 होता है। यदि एक कोने से आप तीन फलकों पर 8, 7 और 12 संख्याएँ देख सकते हैं, तो जो तीन फलक आप नहीं देख सकते उन पर लिखी संख्याओं का योग क्या होगा?

Solutionसमाधान

In this magic cube, opposite faces sum to 21. If visible faces show 8, 7, and 12, their opposite faces will show: 21-8=13, 21-7=14, and 21-12=9 respectively. The sum of the three invisible faces = 13+14+9 = 36.

इस जादुई घन में, विपरीत फलकों का योग 21 है। यदि दिखाई देने वाले फलकों पर 8, 7, और 12 हैं, तो उनके विपरीत फलकों पर क्रमशः: 21-8=13, 21-7=14, और 21-12=9 होगा। तीन अदृश्य फलकों का योग = 13+14+9 = 36।

क्यों यह प्रश्न: "कम से कम एक 6" — यहाँ sample space 36 नहीं, 11 है। यही ट्रैप है।

समाधान का रास्ता: कम से कम एक 6 → 11 outcomes। इनमें योग > 8: $(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,3),(6,4),(6,5)$ = 7 outcomes। P = $\frac\{7\}\{11\}$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Two standard dice are rolled together. Given that at least one die shows a 6, what is the probability that the sum is greater than 8?

दो सामान्य पासे एक साथ फेंके जाते हैं। यह दिया गया है कि कम से कम एक पासे पर 6 आया है। दोनों पासों का योग 8 से अधिक होने की क्या प्रायिकता है?

6/11
7/11
8/11
9/11

6/11
7/11
8/11
9/11

Solutionसमाधान

Total outcomes where at least one die shows 6: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) = 11 outcomes. Outcomes with sum > 8: (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,3), (6,4), (6,5) = 7 outcomes. Probability = 7/11.

कम से कम एक पासे पर 6 आने के कुल परिणाम: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) = 11 परिणाम। योग > 8 वाले परिणाम: (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,3), (6,4), (6,5) = 7 परिणाम। संभावना = 7/11।

क्यों यह प्रश्न: मानक पासे में विपरीत फलक पहचानना — $7-x$ नियम की सीधी परीक्षा।

समाधान का रास्ता: मानक पासे में विपरीत जोड़े: $(1,6),(2,5),(3,4)$ । 3 का विपरीत = $7-3=4$ । उत्तर 4।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A dice shows numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6 on its faces. If the sum of opposite faces is always 7, and you can see faces showing 2, 3, and 4 from a particular viewpoint, which number is on the face opposite to the face showing 3?

एक पासे के फलकों पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 संख्याएँ लिखी हैं। यदि आमने-सामने के फलकों का योग हमेशा 7 होता है, और एक विशेष दृष्टिकोण से आप 2, 3 और 4 वाले फलक देख सकते हैं, तो 3 वाले फलक के सामने वाले फलक पर कौन-सी संख्या है?

Solutionसमाधान

In a standard dice, opposite faces always sum to 7. Since we need the face opposite to 3, and 3 + 4 = 7, the opposite face to 3 shows 4. This is confirmed by the rule that opposite pairs are (1,6), (2,5), and (3,4).

मानक पासे में, विपरीत फलकों का योग हमेशा 7 होता है। चूंकि हमें 3 के विपरीत फलक चाहिए, और 3 + 4 = 7, इसलिए 3 के विपरीत फलक पर 4 होगा। यह इस नियम से पुष्ट होता है कि विपरीत जोड़े (1,6), (2,5), और (3,4) हैं।

क्यों यह प्रश्न: अंदरूनी (0 फलक रंगे) घन — $(n-2)^3$ सूत्र।

समाधान का रास्ता: $125=5^3$ → $n=5$ → अंदरूनी घन = $(5-2)^3=3^3=27$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A cube is painted red on all faces and then cut into 125 identical smaller cubes. How many of the smaller cubes will have no paint on any face?

एक घन (cube) की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा गया और फिर उसे 125 समान छोटे घनों में काटा गया। कितने छोटे घनों पर किसी भी सतह पर कोई रंग नहीं होगा?

Solutionसमाधान

When a cube is cut into 125 smaller cubes, each edge is divided into 5 parts (5³ = 125). The unpainted cubes form the inner core. These are arranged in a (5-2)³ = 3³ = 27 pattern, as we remove one layer from each side.

जब एक घन को 125 छोटे घनों में काटा जाता है, तो प्रत्येक किनारा 5 भागों में बांटा जाता है (5³ = 125)। बिना रंग वाले घन अंदरूनी भाग बनाते हैं। ये (5-2)³ = 3³ = 27 के पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं, क्योंकि हम प्रत्येक तरफ से एक परत हटाते हैं।

आम गलतियाँ

$n$ की बजाय $n^3$ से सूत्र लगाना: "64 घन दिए हैं" तो $n=64$ नहीं, $n=4$ है। पहले cube root लो। यह सबसे ज़्यादा होने वाली गलती है।
Conditional Probability में 36 को denominator रखना: "कम से कम एक पर X आया" का मतलब है sample space बदल गया। 36 नहीं, नया restricted sample space denominator होगा।
जादुई घन में 7 का नियम थोपना: जब प्रश्न में "विपरीत फलकों का योग 21 है" या कोई और संख्या दी हो, तो 7 का नियम बिल्कुल मत लगाओ। दिया गया नियम इस्तेमाल करो।
कोनों पर वाले घन किनारे में गिनना: दो फलक रंगे घन = $12(n-2)$ , यहाँ $(n-2)$ इसलिए है क्योंकि कोने के घन पहले से 3-फलक वाली category में जा चुके हैं। अगर तुमने $12n$ लिखा तो गलत।
Net से विपरीत फलक में cross-counting: घन के net में directly आमने-सामने दिखने वाले फलक विपरीत नहीं होते — वे आपस में attached हैं। दो-कदम दूर वाले विपरीत होते हैं।
$(6,6)$ को दो बार count करना: "कम से कम एक पर 6" वाले outcomes में $(6,6)$ सिर्फ एक outcome है, दो नहीं। कुल 11 outcomes में यह गलती की तो 12 हो जाएगा — गलत।

AFCAT घन और पासा — विपरीत फलक, रंगीन घन कटाई और प्रायिकता

अवधारणा

गहन विश्लेषण

भाग 1: रंगीन घन कटाई के सूत्र

भाग 2: पासे के नियम

भाग 3: पासा प्रायिकता

भाग 4: जादुई घन (Magic Cube)

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

संबंधित विषय

SarkariRise पर अभ्यास