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AFCAT गणित: दशमलव और भिन्न — सरलीकरण, रूपांतरण और तुलना

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अवधारणा

दशमलव और भिन्न — ये दोनों एक ही बात को अलग-अलग तरीके से लिखने के तरीके हैं। जब तुम किसी पूर्ण संख्या का एक हिस्सा लिखना चाहते हो, तो दो विकल्प हैं: भिन्न (fraction) या दशमलव (decimal)।

एक सरल सादृश्य लो। मान लो तुम्हारे पास एक पूरी रोटी है। उसे 4 बराबर टुकड़ों में काटो और उसमें से 3 टुकड़े लो — यह है $\frac\{3\}\{4\}$ । अब इसे decimal में लिखो तो यही $0.75$ हो जाता है। संख्या वही है, बस लिखने का तरीका बदला।

भिन्न के प्रकार:

उचित भिन्न (Proper Fraction): जब अंश (numerator) हर (denominator) से छोटा हो। जैसे $\frac\{3\}\{5\}$ , $\frac\{7\}\{8\}$ । इनका मान हमेशा 1 से कम होता है।
अनुचित भिन्न (Improper Fraction): जब अंश हर से बड़ा या बराबर हो। जैसे $\frac\{7\}\{4\}$ , $\frac\{9\}\{3\}$ । इनका मान 1 से अधिक या बराबर होता है।
मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction): पूर्ण संख्या और उचित भिन्न का मेल। जैसे $3\frac\{1\}\{4\}$ यानी $\frac\{13\}\{4\}$ ।

दशमलव के स्थान-मान:

$0.375$ को समझो — दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवाँ (tenths), दूसरा सौवाँ (hundredths), तीसरा हज़ारवाँ (thousandths) स्थान पर होता है।

$0.375 = \frac{3}{10} + \frac{7}{100} + \frac{5}{1000} = \frac{375}{1000}$

AFCAT में इस topic से सीधे रूपांतरण, तुलना, और जोड़-घटाव के प्रश्न आते हैं। ये प्रश्न जल्दी हल होते हैं — बशर्ते कुछ key conversions याद हों।

गहन विश्लेषण

भिन्न को दशमलव में बदलना

विधि 1: सीधा भाग (Direct Division)

अंश को हर से भाग दो। जैसे $\frac\{3\}\{8\}$ :

$3 \div 8 = 0.375$

यह हमेशा काम करता है, लेकिन समय लगता है।

विधि 2: हर को 10 की घात बनाना (Power of 10 Method)

अगर हर में केवल 2 और 5 के गुणनखंड हों, तो इसे 10, 100, या 1000 में बदला जा सकता है। यह सबसे तेज़ तरीका है।

उदाहरण: $\frac\{7\}\{20\}$

$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 0.35$

उदाहरण: $\frac\{3\}\{8\}$

$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} = 0.375$

नियम: $\frac{p}{2^n}$ को $10^n$ में बदलो ( $5^n$ से गुणा करके)। $\frac{p}{5^n}$ को $10^n$ में बदलो ( $2^n$ से गुणा करके)।

दशमलव को भिन्न में बदलना

चरण 1: दशमलव को उतने शून्यों वाले हर के ऊपर लिखो जितने दशमलव के बाद अंक हों।

$0.125 = \frac{125}{1000}$

चरण 2: HCF से सरल करो।

$\frac{125}{1000} \xrightarrow{\div 125} \frac{1}{8}$

महत्वपूर्ण: सरलतम रूप (simplest form) तभी मिलेगा जब अंश और हर का HCF = 1 हो। AFCAT में "सरलतम रूप" पूछा जाता है — HCF निकालना भूलो मत।

आवश्यक रूपांतरण याद करो

AFCAT में ये directly पूछे जाते हैं। इन्हें रट लो:

| भिन्न | दशमलव | |-------|-------| | $\frac\{1\}\{2\}$ | $0.5$ | | $\frac\{1\}\{4\}$ | $0.25$ | | $\frac\{3\}\{4\}$ | $0.75$ | | $\frac\{1\}\{5\}$ | $0.2$ | | $\frac\{2\}\{5\}$ | $0.4$ | | $\frac\{3\}\{5\}$ | $0.6$ | | $\frac\{4\}\{5\}$ | $0.8$ | | $\frac\{1\}\{8\}$ | $0.125$ | | $\frac\{3\}\{8\}$ | $0.375$ | | $\frac\{5\}\{8\}$ | $0.625$ | | $\frac\{7\}\{8\}$ | $0.875$ | | $\frac\{1\}\{10\}$ | $0.1$ | | $\frac\{1\}\{20\}$ | $0.05$ | | $\frac\{7\}\{20\}$ | $0.35$ |

दशमलव और भिन्न का जोड़-घटाव

जब एक दशमलव और एक भिन्न को जोड़ना या घटाना हो, तो सबसे पहले दोनों को एक ही रूप में बदलो — या तो दोनों को दशमलव में, या दोनों को भिन्न में।

दशमलव में बदलना आमतौर पर तेज़ होता है:

$1.5 - \frac{3}{4} = 1.5 - 0.75 = 0.75$

$0.4 + \frac{1}{5} = 0.4 + 0.2 = 0.6$

भिन्नों की तुलना

विधि 1: दशमलव में बदलकर तुलना

$0.7$ और $\frac\{5\}\{8\}$ में से कौन बड़ा?

$\frac{5}{8} = 0.625$

$0.7 > 0.625 \Rightarrow 0.7 \text{ बड़ा है}$

विधि 2: Cross-multiplication

$\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ की तुलना: $a \times d$ और $b \times c$ की तुलना करो।

अगर $ad > bc$ , तो $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ ।

मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना

$3\frac{1}{4} = \frac{(3 \times 4) + 1}{4} = \frac{13}{4}$

सूत्र: $a\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c}$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternआठवाँ-परिवार (Eighths Family)

$\frac\{1\}\{8\}$ = 0.125 एक बार याद कर लो। फिर बाकी सब multiply:

$\frac\{2\}\{8\} = \frac\{1\}\{4\} = 0.250$
$\frac\{3\}\{8\} = 0.375$
$\frac\{5\}\{8\} = 0.625$
$\frac\{7\}\{8\} = 0.875$

Pattern देखो: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875 — सब 125 के multiples। अब $\frac\{3\}\{8\}$ पूछे तो सीधे $3 \times 0.125 = 0.375$ — calculation नहीं, सिर्फ़ recall।

Standard method (long division): 8 steps | Shortcut (pattern recall): 1 step।

patternपाँचवाँ-परिवार (Fifths Family)

$\frac\{1\}\{5\} = 0.2$ जानते हो। बाकी:

$\frac\{2\}\{5\} = 0.4$
$\frac\{3\}\{5\} = 0.6$
$\frac\{4\}\{5\} = 0.8$

नियम: $\frac{n}\{5\} = n \times 0.2$ । यानी अंश को 2 से गुणा करो और दशमलव लगाओ। $\frac\{7\}\{5\} = 7 \times 0.2 = 1.4$ ।

Standard method: 3-4 steps | Shortcut: मानसिक गणना 1 second।

patternहर को 100 बनाओ — दशमलव सीधे पढ़ो

जब भी हर 20, 25, 4, 5, 50 जैसा हो, उसे 100 में बदलो:

$\frac\{7\}\{20\} \xrightarrow{\times 5} \frac\{35\}\{100\} = 0.35$
$\frac\{3\}\{25\} \xrightarrow{\times 4} \frac\{12\}\{100\} = 0.12$
$\frac\{9\}\{50\} \xrightarrow{\times 2} \frac\{18\}\{100\} = 0.18$

हर को 100 बनाने के लिए जितने से गुणा करो, अंश में भी वही करो — फिर दशमलव बिंदु दो अंक बाईं तरफ।

Standard method (long division): 30-45 seconds | Shortcut: 5-8 seconds।

eliminationतुलना का Cross-multiplication शॉर्टकट

$\frac\{5\}\{8\}$ vs $0.7$ — सीधे 0.7 = $\frac\{7\}\{10\}$ लिखो, फिर cross-multiply:

$5 \times 10 = 50$ और $8 \times 7 = 56$ ।

चूँकि $50 < 56$ , इसलिए $\frac\{5\}\{8\} < \frac\{7\}\{10\}$ , यानी $0.7$ बड़ा है।

यह तरीका उन cases में उपयोगी है जहाँ दशमलव conversion याद न हो। Standard method: दशमलव convert करो → 2 steps। Cross-multiplication: 1 step, कोई conversion नहीं।

estimationदशमलव सरलतम रूप — शून्य गिनो, उतने से भाग दो

$0.6 = \frac\{6\}\{10\}$ । दशमलव के बाद 1 अंक → हर = $10^1 = 10$ ।

$0.125 = \frac\{125\}\{1000\}$ । दशमलव के बाद 3 अंक → हर = $10^3 = 1000$ ।

फिर HCF से घटाओ। $\frac\{125\}\{1000\}$ : HCF = 125, तो $\frac\{1\}\{8\}$ ।

HCF तुरंत निकालने का तरीका: अगर अंश और हर दोनों 5 से खत्म हों तो 5 से, दोनों सम हों तो 2 से भाग दो — जब तक न हो जाए सरलतम।

Standard method (Euclidean algorithm): 4-5 steps | इस pattern से: 2 steps।

तेज़-समाधान रूपरेखा

AFCAT के exam hall में दशमलव-भिन्न का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1: प्रश्न किस type का है?

भिन्न → दशमलव: क्या हर में सिर्फ़ 2 और 5 के factor हैं? हाँ → हर को 10 की घात बनाओ। नहीं → long division।
दशमलव → भिन्न: दशमलव के बाद अंक गिनो → उतने शून्य वाला हर लिखो → HCF से सरल करो।
जोड़-घटाव (mixed): दोनों को दशमलव में बदलो → फिर जोड़ो/घटाओ।
तुलना: दोनों को दशमलव में बदलो → compare करो।

Step 2: क्या यह conversion याद है? (ऊपर दी table से) — हाँ → सीधे लिखो, 5 seconds।

Step 3: Options eliminate करो — अगर answer 0.5 से ज़्यादा होना चाहिए तो विकल्प A ( $0.25$ ) और D ( $0.1$ ) तुरंत हटाओ।

Golden Rule: हमेशा दशमलव रूप में काम करो जब mixed expression (दशमलव + भिन्न) हो — भिन्न को दशमलव में बदलना आसान है, उल्टा नहीं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: दशमलव से भिन्न रूपांतरण और सरलतम रूप — AFCAT का सबसे बुनियादी प्रश्न-प्रकार।

समाधान का रास्ता: $0.6 = \frac\{6\}\{10\}$ । HCF(6,10) = 2, इसलिए $\frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac\{3\}\{5\}$ । Options में directly देखो — $\frac\{3\}\{5\}$ है, बाकी खारिज।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Which of the following fractions is equivalent to 0.6?

निम्नलिखित में से कौन सा भिन्न 0.6 के बराबर है?

Solutionसमाधान

0.6 = 6/10 = 3/5 after simplification by dividing both numerator and denominator by 2.

0.6 = 6/10 = 3/5 अंश और हर दोनों को 2 से भाग देकर सरलीकरण के बाद।

क्यों यह प्रश्न: तीन-अंकीय दशमलव का सरलतम रूप — यहाँ 1000 से शुरुआत करना ज़रूरी है, 10 या 100 नहीं।

समाधान का रास्ता: $0.125$ में दशमलव के बाद 3 अंक → हर $= 1000$ । $\frac\{125\}\{1000\}$ । HCF = 125। $\frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac\{1\}\{8\}$ । Options में $\frac\{1\}\{8\}$ है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Express 0.125 as a fraction in its simplest form.

0.125 को सरलतम रूप में भिन्न के रूप में लिखिए।

1/8
1/4
1/6
1/10

1/8
1/4
1/6
1/10

Solutionसमाधान

0.125 = 125/1000. Simplifying by dividing both by 125: 125/1000 = 1/8

0.125 = 125/1000। दोनों को 125 से भाग देकर सरलीकरण: 125/1000 = 1/8

क्यों यह प्रश्न: Mixed expression (दशमलव और भिन्न का घटाव) — रूपांतरण की दिशा का चुनाव ज़रूरी।

समाधान का रास्ता: $\frac\{3\}\{4\}$ को दशमलव में बदलो: $3 \times 0.25 = 0.75$ । फिर $1.5 - 0.75 = 0.75$ । यह याद-conversion है, कोई long division नहीं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is 1.5 - 3/4?

1.5 - 3/4 का मान क्या होगा?

0.75
0.5
1
0.25

0.75
0.5
1
0.25

Solutionसमाधान

Convert 3/4 to decimal: 3/4 = 0.75. Then subtract: 1.5 - 0.75 = 0.75

3/4 को दशमलव में बदलें: 3/4 = 0.75। फिर घटाएं: 1.5 - 0.75 = 0.75

क्यों यह प्रश्न: हर को 100 बनाने की विधि का सीधा परीक्षण।

समाधान का रास्ता: $\frac\{7\}\{20\}$ : हर 20 को 100 बनाने के लिए 5 से गुणा करो। $\frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac\{35\}\{100\} = 0.35$ । 5 seconds में हल।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Express 7/20 as a decimal.

7/20 को दशमलव (decimal) के रूप में लिखिए।

0.35
0.25
0.45
0.30

0.35
0.25
0.45
0.30

Solutionसमाधान

To convert 7/20 to decimal, divide 7 by 20: 7 ÷ 20 = 0.35

7/20 को दशमलव में बदलने के लिए 7 को 20 से भाग दें: 7 ÷ 20 = 0.35

क्यों यह प्रश्न: जोड़ वाला mixed expression — $\frac\{1\}\{5\}$ का conversion पूछता है।

समाधान का रास्ता: $\frac\{1\}\{5\} = 0.2$ (पाँचवाँ-परिवार trick)। $0.4 + 0.2 = 0.6$ । Options में $0.6$ है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is 0.4 + 1/5?

0.4 + 1/5 का मान क्या होगा?

Solutionसमाधान

Convert 1/5 to decimal: 1/5 = 0.2. Then add: 0.4 + 0.2 = 0.6

1/5 को दशमलव में बदलें: 1/5 = 0.2। फिर जोड़ें: 0.4 + 0.2 = 0.6

क्यों यह प्रश्न: $\frac\{1\}\{8\}$ family का सीधा application।

समाधान का रास्ता: $\frac\{1\}\{8\} = 0.125$ (आठवाँ-परिवार trick)। $0.75 + 0.125 = 0.875$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is 0.75 + 1/8?

0.75 + 1/8 कितना होगा?

0.875
0.825
0.775
0.925

0.875
0.825
0.775
0.925

Solutionसमाधान

Convert 1/8 to decimal: 1/8 = 0.125. Then add: 0.75 + 0.125 = 0.875

1/8 को दशमलव में बदलें: 1/8 = 0.125। फिर जोड़ें: 0.75 + 0.125 = 0.875

क्यों यह प्रश्न: तुलना वाला प्रश्न — सबसे common trap यह है कि $\frac\{5\}\{8\}$ बड़ा दिखता है क्योंकि 5 और 8 बड़े अंक हैं।

समाधान का रास्ता: $\frac\{5\}\{8\} = 5 \times 0.125 = 0.625$ । अब compare: $0.7 > 0.625$ । इसलिए $0.7$ बड़ा है। Trap: $\frac\{5\}\{8\}$ को $0.5$ नहीं समझना — यह 0.5 से बड़ा है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Which is greater: 0.7 or 5/8?

0.7 और 5/8 में से कौन बड़ा है?

0.7
5/8
Both are equal
Cannot be determined

0.7
5/8
दोनों बराबर हैं
निर्धारित नहीं किया जा सकता

Solutionसमाधान

Convert 5/8 to decimal: 5/8 = 0.625. Since 0.7 > 0.625, therefore 0.7 is greater.

5/8 को दशमलव में बदलें: 5/8 = 0.625। चूंकि 0.7 > 0.625, इसलिए 0.7 बड़ा है।

क्यों यह प्रश्न: $\frac\{3\}\{8\}$ का conversion — आठवाँ-परिवार का सबसे अधिक पूछा जाने वाला सदस्य।

समाधान का रास्ता: $\frac\{3\}\{8\} = 3 \times 0.125 = 0.375$ । Options में $0.375$ है। $0.325$ , $0.385$ , $0.350$ — ये सब close हैं, इसलिए exact recall ज़रूरी है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the decimal form of 3/8?

3/8 का दशमलव रूप क्या है?

0.375
0.325
0.385
0.350

0.375
0.325
0.385
0.350

Solutionसमाधान

To convert 3/8 to decimal, divide 3 by 8. 3 ÷ 8 = 0.375

3/8 को दशमलव में बदलने के लिए 3 को 8 से भाग दें। 3 ÷ 8 = 0.375

आम गलतियाँ

हर को 10 बनाम 100 बनाम 1000 में confusion: $0.6$ में एक दशमलव अंक है तो हर $10$ है, $0.06$ में दो हैं तो हर $100$ है। जल्दी में $0.125 = \frac\{125\}\{100\}$ लिख देना — यह ग़लत है, हर $1000$ होना चाहिए।
सरलतम रूप नहीं लेना: $\frac\{6\}\{10\}$ लिखकर छोड़ देना — AFCAT options में $\frac\{6\}\{10\}$ नहीं होगा, $\frac\{3\}\{5\}$ होगा। हमेशा HCF से सरल करो।
$\frac\{5\}\{8\}$ को $0.5$ से confuse करना: $\frac\{5\}\{8\}$ का मान $0.625$ है, $0.5$ नहीं। $0.5 = \frac\{1\}\{2\} = \frac\{4\}\{8\}$ है। यह comparison questions में सबसे बड़ा trap है।
Mixed expression में conversion direction: $1.5 - \frac\{3\}\{4\}$ में भिन्न को दशमलव में बदलो, दशमलव को भिन्न में नहीं। $1.5 = \frac\{3\}\{2\}$ बनाकर LCM निकालना ज़्यादा समय लेता है।
$\frac\{3\}\{8\}$ को $0.325$ या $0.350$ पढ़ना: Options में close values दिए जाते हैं। $0.375$ में 7 है — तीनों अंक याद रखो: 3-7-5, न कि 3-2-5 या 3-5-0।
अनुचित भिन्न को मिश्रित में बदले बिना compare करना: $\frac\{9\}\{8\}$ और $\frac\{7\}\{6\}$ की तुलना में cross-multiply: $9 \times 6 = 54$ और $8 \times 7 = 56$ । चूँकि $54 < 56$ , इसलिए $\frac\{9\}\{8\} < \frac\{7\}\{6\}$ । बिना conversion के भी comparison संभव है।

AFCAT गणित: दशमलव और भिन्न — सरलीकरण, रूपांतरण और तुलना

अवधारणा

गहन विश्लेषण

भिन्न को दशमलव में बदलना

दशमलव को भिन्न में बदलना

आवश्यक रूपांतरण याद करो

दशमलव और भिन्न का जोड़-घटाव

भिन्नों की तुलना

मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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