अग्निवीर आर्मी CEE — अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion)

अवधारणा

अनुपात (Ratio) दो समान इकाइयों की तुलना का तरीका है। जब तुम कहते हो "कक्षा में लड़के और लड़कियों का अनुपात 3:2 है," तो इसका मतलब है — हर 3 लड़कों पर 2 लड़कियाँ। यहाँ इकाई एक ही है (छात्र), इसलिए अनुपात निकाल सकते हो।

अनुपात की परिभाषा: यदि दो राशियाँ a और b हों, तो उनका अनुपात $a:b = \frac{a}{b}$ होता है। यहाँ a को पूर्वपद (antecedent) और b को उत्तरपद (consequent) कहते हैं।

समानुपात (Proportion): जब दो अनुपात बराबर हों, तो उन्हें समानुपात कहते हैं। $a:b = c:d \implies a:b::c:d$

यहाँ a और d को अंत्यपद (extremes) तथा b और c को मध्यपद (means) कहते हैं।

सोने की दुकान वाला उदाहरण: मान लो एक दुकानदार कहता है "10 ग्राम सोने की कीमत ₹60,000 है।" तुम पूछते हो "25 ग्राम कितने का?" — यही प्रत्यक्ष समानुपात है। जितना अधिक सोना, उतनी अधिक कीमत। पर यदि "10 मज़दूर 6 दिन में काम पूरा करते हैं, तो 15 मज़दूर कितने दिन में करेंगे?" — यहाँ मज़दूर बढ़ने पर दिन घटेंगे — यही व्युत्क्रम समानुपात है।

Agniveer Army CEE में यह topic क्यों महत्वपूर्ण है: पिछले वर्षों के प्रश्न-पत्रों में आयु-अनुपात, चेन-रेशियो, और basic proportion के प्रश्न नियमित रूप से आते हैं। इस topic से 2-3 प्रश्न लगभग हर बार आते हैं और ये सबसे जल्दी हल होने वाले प्रश्नों में से हैं — बशर्ते method सही हो।

गहन विश्लेषण

मूल गुणधर्म और सूत्र

गुणनखंड का नियम (Cross-multiplication): $a:b = c:d \implies ad = bc$

यह सबसे बुनियादी नियम है। PYQ 6a3bce1c63b1e13d9d69db37 इसी पर आधारित है।

अनुपात का सरलीकरण: $a:b$ को HCF से भाग दो।

• $36:48 = 3:4$ (HCF = 12 से भाग)

अनुपात में k का उपयोग: जब $a:b = 5:2$ दिया हो, तो मान लो $a = 5k$ और $b = 2k$। यह trick हर age-problem में काम आती है।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समानुपात

प्रत्यक्ष समानुपात (Direct Proportion): $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$

जब एक राशि बढ़ती है तो दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़ती है।

उदाहरण: 5 पेन की कीमत ₹30 है। 8 पेन की कीमत? $\frac{5}{30} = \frac{8}{x} \implies x = \frac{8 \times 30}{5} = ₹48$

व्युत्क्रम समानुपात (Inverse Proportion): $a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$

जब एक राशि बढ़ती है तो दूसरी घटती है।

उदाहरण: 4 पाइप 12 घंटे में टंकी भरते हैं। 6 पाइप कितने घंटे में? $4 \times 12 = 6 \times x \implies x = 8 \text{ घंटे}$

चेन रेशियो (Compound Ratio / A:B:C)

यह सबसे ज़्यादा गड़बड़ाने वाला हिस्सा है। Agniveer CEE में A:B:C type के प्रश्न आते हैं।

विधि: दो अलग-अलग अनुपातों को जोड़ने के लिए B की value को common (बराबर) करो।

उदाहरण (PYQ 6a3bcfcc63b1e13d9d69dc02 पर आधारित):

• $A:B = 11:7$ और $B:C = 4:19$
• B की values हैं 7 और 4 — इनका LCM = 28
• $A:B = 11:7 = 44:28$ (दोनों को 4 से गुणा)
• $B:C = 4:19 = 28:133$ (दोनों को 7 से गुणा)
• अब B बराबर है (28=28), इसलिए: $A:B:C = 44:28:133$

a:c shortcut (PYQ 6a3bcfda63b1e13d9d69dc0e): $\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$

यह fraction multiplication है — B को बीच में काट दो। $\frac{a}{c} = \frac{7}{9} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{9}$

आयु-अनुपात प्रश्न (Age Ratio Problems)

Agniveer CEE में यह सबसे frequent application है।

Template:

1. अनुपात को $k$ से multiply करो: $A = 5k$, $B = 2k$
2. दी गई actual value से $k$ निकालो
3. बाकी का मान निकालो

उदाहरण (PYQ 6a3bce2563b1e13d9d69db43):

• $A:B = 5:2$, $B = 18$
• $2k = 18 \implies k = 9$
• $A = 5k = 5 \times 9 = 45$

Componendo-Dividendo (उन्नत — कभी-कभी आता है)

यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ हो, तो: $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$

यह तब उपयोगी है जब equation में $(a+b)$ और $(a-b)$ दोनों दिए हों। Agniveer level पर यह कम आता है, पर यदि आए तो ऊपर का formula सीधे लगाओ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-कक्ष में प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न किस type का है?

• सिर्फ़ एक अनुपात दिया + एक value दी → k-method लगाओ (15 seconds)
• दो अनुपात दिए और तीसरा निकालना है → a:c shortcut (fraction cancel) आज़माओ
• तीन quantities में combined ratio चाहिए → LCM method

Step 2 — क्या B को cancel कर सकते हो?

• हाँ → $\frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$ से सीधे answer
• नहीं → LCM निकालो

Step 3 — प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम?

• "अधिक → अधिक" type → direct proportion, cross-multiply
• "अधिक → कम" type → inverse proportion, same-side multiply

सामान्य नियम: options में integer values दिखें तो k की value integer होगी — यदि fraction आ रहा हो तो calculation में गलती है, वापस जाओ।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह basic proportion equation है जहाँ cross-multiplication से unknown निकालते हैं। Agniveer CEE में इस type का प्रश्न सबसे सरल माना जाता है — इसे 20 seconds में हल करना चाहिए।

समाधान का रास्ता: $\frac{x}\{7\} = \frac\{56\}\{40\}$ — cross multiply करो: $x = \frac{7 \times 56}\{40\} = \frac\{392\}\{40\} = 9.8$। ध्यान दो कि $\frac\{56\}\{40\}$ को simplify करने पर $\frac\{7\}\{5\} = 1.4$ मिलता है, फिर $7 \times 1.4 = 9.8$ — यह faster है।

क्यों यह प्रश्न: आयु-अनुपात प्रश्नों का classic template — एक की age दी, दूसरे की निकालो। k-method का perfect application।

समाधान का रास्ता: $A:B = 5:2$, $B = 18$। k-method: $2k = 18 \implies k = 9$। इसलिए $A = 5k = 45$। यहाँ calculation में 10 seconds से ज़्यादा नहीं लगने चाहिए।

क्यों यह प्रश्न: यह पिछले प्रश्न का simpler version है — ratio 1:3 है जो mentally calculate हो जाता है। पर यह confirm करता है कि k-method हर case में काम करती है।

समाधान का रास्ता: $A:B = 1:3$, $B = 15$। $3k = 15 \implies k = 5$। $A = 1k = 5$ वर्ष। वैकल्पिक: $A = \frac\{1\}\{3\} \times 15 = 5$ — दोनों same हैं, पर k-method में confuse होने की संभावना कम है।

क्यों यह प्रश्न: यह chain ratio का प्रश्न है जहाँ B को common करना होता है। यह 2023 का प्रश्न है और Agniveer CEE के लिए medium-difficulty माना जाता है।

समाधान का रास्ता: $A:B = 11:7$ और $B:C = 4:19$। B की values 7 और 4 हैं — LCM = 28। $A:B = 11:7 = 44:28$ (×4 से गुणा), $B:C = 4:19 = 28:133$ (×7 से गुणा)। अब $B = 28$ दोनों में — इसलिए $A:B:C = 44:28:133$। इस पूरे calculation में 45-50 seconds लगने चाहिए।

क्यों यह प्रश्न: यह a:c shortcut का direct test है। यदि तुम fraction-cancel method जानते हो तो यह 15 seconds में हल होता है, वरना LCM method में 40 seconds लगते हैं।

समाधान का रास्ता: $\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac\{7\}\{9\} \times \frac\{5\}\{7\}$। ऊपर और नीचे दोनों में 7 है — cancel करो। $= \frac\{5\}\{9\}$। इसलिए $a:c = 5:9$। A:B:C बनाने की ज़रूरत नहीं थी।

आम गलतियाँ

• अनुपात की इकाई मिला देना: $3 \text{ km} : 500 \text{ m}$ को $3:500$ लिख देते हैं। पहले same unit में convert करो — $3000\text{m} : 500\text{m} = 6:1$।

• Chain ratio में LCM भूल जाना: $A:B = 3:5$ और $B:C = 5:7$ में B पहले से common है, इसलिए सीधे $A:B:C = 3:5:7$ लिख सकते हो। पर $A:B = 3:5$ और $B:C = 2:7$ में B अलग-अलग है — यहाँ LCM ज़रूरी है। इसे skip करने पर गलत answer आता है।

• k-method में k की value गलत निकालना: $A:B = 5:2$ और $A = 30$ दिया हो तो $5k = 30 \implies k = 6$ — पर कुछ students $2k = 30$ कर देते हैं क्योंकि B की value याद रहती है। जो value दी है उसी के coefficient से $k$ निकालो।

• a:c में B cancel न करना और पूरा A:B:C बनाना: जब सिर्फ़ $a:c$ पूछा हो तो पूरा chain ratio बनाना समय की बर्बादी है। $\frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$ में सीधे B cancel करो।

• Proportion में extremes-means rule उल्टा लगाना: $a:b::c:d$ में $ad = bc$ है — $a \times d$ और $b \times c$ cross-position में गुणा होते हैं। $a \times b = c \times d$ नहीं होता।

• प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम में confusion: "अधिक workers → कम time" सुनकर भी कुछ students direct proportion formula लगा देते हैं। हमेशा पूछो — "एक राशि बढ़ने पर दूसरी बढ़ेगी या घटेगी?" — उत्तर के आधार पर method चुनो।

संबंधित विषय

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