Learn / CDS / maths / algebra

CDS गणित: लघुगणक — गुण, शॉर्टकट और हल किए गए PYQs

intermediate 18 min read

अवधारणा

लघुगणक मूल रूप से यह पूछता है: "किसी संख्या को किसी आधार की कितनी घात पर उठाने से हमें वांछित मान मिलता है?"

सरल भाषा में: $\log_b(x) = n$ का अर्थ है $b^n = x$ ।

उदाहरण के लिए, $\log_\{10\}(1000) = 3$ क्योंकि $10^3 = 1000$ । यहाँ 10 "आधार" (base) है, 1000 "प्रतिलघुगणक" (antilog) है, और 3 लघुगणक का मान है।

एक ठोस सादृश्य: मान लो तुम्हारे पास एक ज़मीन का नक्शा है जहाँ पर्वतों की ऊँचाई किलोमीटर में है — 8.848 km, 8.611 km, 8.167 km। ये संख्याएँ बहुत पास-पास दिखती हैं। लेकिन अगर तुम उन्हें logarithmic scale पर दिखाओ तो छोटे-छोटे अंतर भी स्पष्ट हो जाते हैं। यही लघुगणक का मूल उद्देश्य है — बड़ी-बड़ी संख्याओं को संभालने योग्य बनाना।

दो प्रकार के लघुगणक परीक्षा में आते हैं:

सामान्य लघुगणक (Common Logarithm): आधार 10 — $\log_\{10\}$ या बस $\log$ लिखा जाता है। CDS में यही प्रमुख है।
प्राकृतिक लघुगणक (Natural Logarithm): आधार $e \approx 2.718$ — $\ln$ लिखा जाता है। CDS में यह दुर्लभ है।

सीमाएँ जो हमेशा याद रखो:

$\log$ केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित है: $x > 0$
आधार धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं: $b > 0, b \neq 1$
$\log_b(1) = 0$ हमेशा, क्योंकि $b^0 = 1$
$\log_b(b) = 1$ हमेशा, क्योंकि $b^1 = b$

CDS के प्रश्नों में लघुगणक हमेशा "algebraic manipulation" के रूप में आता है — numerical computation नहीं। इसलिए गुण (properties) ही असली हथियार हैं।

गहन विश्लेषण

मूलभूत गुण — ये पाँच ही काफ़ी हैं

गुण 1: गुणन का नियम $\log_b(mn) = \log_b(m) + \log_b(n)$

उदाहरण: $\log(2000) = \log(2 \times 10^3) = \log 2 + 3\log 10 = \log 2 + 3$

गुण 2: भाग का नियम $\log_b\left(\frac{m}{n}\right) = \log_b(m) - \log_b(n)$

उदाहरण: $\log\left(\frac\{45\}\{9\}\right) = \log 45 - \log 9 = \log 5$

गुण 3: घात का नियम $\log_b(m^n) = n \cdot \log_b(m)$

उदाहरण: $4\log_\{10\}(25) = \log_\{10\}(25^4) = \log_\{10\}(5^8)$

गुण 4: आधार परिवर्तन (Change of Base) $\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$

CDS में यह तब काम आता है जब दो अलग-अलग आधारों वाले log एक ही equation में हों।

गुण 5: प्रतिलोम गुण $b^{\log_b(x)} = x \quad \text{और} \quad \log_b(b^x) = x$

CDS-विशेष तकनीक: Prime Factorization + Log Properties

CDS के लगभग सभी log प्रश्न एक ही pattern पर चलते हैं:

दिए गए log मानों को prime factors में तोड़ो
गुण 1, 2, 3 लगाओ
दिए गए चरों (variables) में व्यक्त करो

यह technique step-by-step देखो:

मान लो $\log 2 = a$ और $\log 3 = b$ दिया है, $\log 72$ निकालो।

$72 = 2^3 \times 3^2$ $\log 72 = \log(2^3 \times 3^2) = 3\log 2 + 2\log 3 = 3a + 2b$

बस। 3 steps में काम खत्म।

Equation में Log हो तो

जब $\log_\{10\}(f(x)) = k$ हो, तो दोनों तरफ antilog लो: $f(x) = 10^k$

यह transformation ही PYQ ID 6a206843ccfcbabc57a3aae2 जैसे प्रश्नों की कुंजी है।

Characteristic और Mantissa (केवल परिचय के लिए)

$\log_\{10\}$ के मान में:

Characteristic = पूर्णांक भाग (integer part) — बताता है कि संख्या में कितने अंक हैं
Mantissa = दशमलव भाग (decimal part) — हमेशा 0 और 1 के बीच

उदाहरण: $\log_\{10\}(384) \approx 2.584$ → Characteristic = 2 (यानी 384 में 3 अंक हैं), Mantissa = 0.584

CDS में यह सीधे नहीं पूछा जाता, लेकिन "कितने अंक हैं" वाले प्रश्नों में काम आता है।

महत्वपूर्ण मान जो कंठस्थ करो

| संख्या | $\log_\{10\}$ मान (सन्निकट) | |--------|--------------------------| | 2 | 0.301 | | 3 | 0.477 | | 5 | 0.699 | | 7 | 0.845 | | 10 | 1 |

ध्यान दो: $\log 5 = \log\frac\{10\}\{2\} = 1 - \log 2 \approx 0.699$ — यह खुद निकाल सकते हो।

Log Equations में Substitution

कभी-कभी CDS equation इस रूप में आती है: $\log_{10}(f(x)) = g(x)$

यहाँ substitution सबसे तेज़ तरीका है — options में से एक-एक value रखो और देखो कौन satisfy करती है।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternPrime Factorization Bridge

जब भी log के प्रश्न में दो-तीन log values दी हों और एक नई संख्या का log पूछा जाए — सीधे prime factorization करो।

कब उपयोग करें: $\log p$ , $\log q$ , $\log r$ दिए हों और $\log N$ पूछा हो।

Micro-example: $\log(80) = p$ , $\log(45) = q$ दिया हो, $\log(16)$ निकालो।

$80 = 2^4 \times 5$ , $45 = 3^2 \times 5$
$p - q = \log 80 - \log 45 = \log\frac\{80\}\{45\} = \log\frac\{16\}\{9\}$
$p - q = \log 16 - \log 9$ → $\log 16 = p - q + \log 9$

यह approach: standard method: 90 seconds vs shortcut: 25 seconds — क्योंकि तुम पहले ही जानते हो किस direction में जाना है।

patternProduct Collapse: बड़े Expressions एक Product में बदलो

जब $\log A + \log B + n\log C$ जैसा expression हो, तुरंत एक product में बदलो: $\log(A \times B \times C^n)$ ।

कब उपयोग करें: Addition/subtraction वाले multi-term log expressions में।

Micro-example: $\log 2000 + \log 400 + 4\log 25 + 5\log 20$

$= \log(2000 \times 400 \times 25^4 \times 20^5)$
अब prime factorization: $2^\{13\} \times 5^\{13\} \times 10^5 = 10^\{13\} \times 10^5 = 10^\{18\}$
उत्तर: 18

Standard method (हर term अलग simplify करना): 8-10 steps। यह shortcut: 4-5 steps। Time saving: करीब 60 seconds।

substitutionAntilog Substitution: Equation में x निकालो

जब $\log_\{10\}(\text{expression}) = \text{linear expression in } x$ हो और options दिए हों — antilog लेने से पहले options substitute करो।

कब उपयोग करें: Log equation हो जो directly simplify न हो, लेकिन options हों।

Micro-example: $\log_\{10\}(100001 - 4^x) = 5 - x$

$x = 0$ रखो: LHS = $\log(100000) = 5$ , RHS = $5 - 0 = 5$ ✓
Verified in 10 seconds — standard algebraic manipulation में 2-3 minutes लगते।

यह substitution तब और शक्तिशाली है जब equation में $4^x$ , $10^x$ जैसे exponential terms हों।

patternLog 5 को हमेशा (1 - log 2) में बदलो

$\log_\{10\} 5 = \log_\{10\}\frac\{10\}\{2\} = 1 - \log_\{10\} 2$

कब उपयोग करें: जब $\log 5$ , $\log 25$ , $\log 125$ आए और $\log 2$ दिया हो (या vice versa)।

Micro-example: $\log 25 = 2\log 5 = 2(1 - \log 2) = 2 - 2\log 2$

अगर $\log 2 = 0.301$ दिया हो: $\log 25 = 2 - 0.602 = 1.398$ — calculator के बिना, 5 seconds में।

Standard method (table देखना): 15-20 seconds और table availability पर निर्भर।

patternCharacteristic से अंकों की संख्या

किसी धनात्मक संख्या $N$ में अंकों की संख्या = $\lfloor \log_\{10\} N \rfloor + 1$

Micro-example: $2^\{10\} = 1024$ में कितने अंक? $10 \times \log 2 = 10 \times 0.301 = 3.01$ → $\lfloor 3.01 \rfloor + 1 = 4$ अंक। सही है।

Standard counting method: $2^\{10\}$ का मान याद करना पड़े — यह हमेशा संभव नहीं। यह shortcut: $\log 2$ का मान पता हो तो 10 seconds में उत्तर।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में log का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

क्या log values दी हैं और नई value पूछी है? → Prime Factorization Bridge लगाओ
क्या बड़ा expression simplify करना है? → Product Collapse करो, फिर prime factorize करो
क्या equation solve करनी है? → Options हों तो Antilog Substitution पहले आज़माओ

Step 2 — Prime Factorize करो: हर number को $2^a \times 3^b \times 5^c \times 7^d \times \ldots$ में तोड़ो।

Step 3 — Log Properties लगाओ: गुण 1 (गुणन), गुण 2 (भाग), गुण 3 (घात) — इन तीन से 90% प्रश्न हल होते हैं।

Step 4 — Check करो: क्या उत्तर दिए गए options में से किसी एक के बराबर है? CDS MCQ है — गणितीय रूप से valid option ही सही है।

सबसे बड़ी गलती: Log equation देखते ही complex algebra शुरू करना। पहले options में से $x = 0, 1, -1$ substitute करो — 40% cases में उत्तर तुरंत मिल जाता है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न Prime Factorization Bridge technique का सबसे शुद्ध उदाहरण है। तीन log values दी हैं और एक नई संख्या का log पूछा है — CDS का classic pattern।

समाधान का रास्ता: पहले 384 का prime factorization करो। फिर $p - q + r$ को expand करो और देखो कि $\log(80) - \log(45) + \log(216) = \log\left(\frac{80 \times 216}\{45\}\right)$ है। अब $\frac{80 \times 216}\{45\} = \frac\{17280\}\{45\} = 384$ verify करो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

If log₁₀(80) = p, log₁₀(45) = q and log₁₀(216) = r, then what is log₁₀(384) equal to?

p + q + r
p - q + r
p - q - r
p + q - r

Solutionसमाधान

80 = 2⁴·5, 45 = 3²·5, 216 = 2³·3³, 384 = 2⁷·3. Compute p - q + r = log(80) - log(45) + log(216) = log(80·216/45). Now 80·216/45 = 17280/45 = 384. So log₁₀(384) = p - q + r.

क्यों यह प्रश्न: यह Product Collapse technique का परफेक्ट उदाहरण है। चार log terms को एक product में बदलना, फिर prime factorization से simplify करना — यही CDS 2025 में पूछा गया।

समाधान का रास्ता: सबसे पहले $4\log_\{10\}(25) = \log_\{10\}(25^4) = \log_\{10\}(5^8)$ और $5\log_\{10\}(20) = \log_\{10\}(20^5) = \log_\{10\}(2^\{10\} \times 5^5)$ बनाओ। फिर सब मिलाकर एक product बनाओ: $\log_\{10\}(2000 \times 400 \times 5^8 \times 2^\{10\} \times 5^5)$ । Prime factorize करने पर $10^\{18\}$ मिलता है, उत्तर 18।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

What is log₁₀ 2000 + log₁₀ 400 + 4 log₁₀ 25 + 5 log₁₀ 20 equal to?

Solutionसमाधान

= log(2000) + log(400) + log(25⁴) + log(20⁵) = log(2000 × 400 × 25⁴ × 20⁵). Compute: 2000 = 2·10³, 400 = 4·10² = 2²·10², 25⁴ = (5²)⁴ = 5⁸, 20⁵ = (4·5)⁵ = 2¹⁰·5⁵. Product = 2·10³ × 2²·10² × 5⁸ × 2¹⁰·5⁵ = 2¹³ × 10⁵ × 5¹³ = (2·5)¹³ × 10⁵ = 10¹³ × 10⁵ = 10¹⁸. So log₁₀(10¹⁸) = 18.

क्यों यह प्रश्न: Equation form का log प्रश्न — यहाँ algebraic complexity ज़्यादा दिखती है लेकिन Antilog Substitution technique से 10 seconds में हल होता है। CDS 2025 में यही पूछा गया।

समाधान का रास्ता: $\log_\{10\}\left(\frac{100001 - 4^x}{5 - x}\right) = 1$ दिया है। इसका अर्थ है $\frac{100001 - 4^x}{5 - x} = 10^1 = 10$ । लेकिन options में $x = 0$ सबसे पहले try करो: $\log_\{10\}(100001 - 1) = \log_\{10\}(100000) = 5$ और $5 - 0 = 5$ — दोनों बराबर, equation satisfy होती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

If log₁₀(100001 − 4^x)/(5 − x) = 1, then what is x equal to?

Solutionसमाधान

Given log₁₀(100001 − 4^x)/(5 − x) = 1, so log₁₀(100001 − 4^x) = 5 − x. Thus 100001 − 4^x = 10^(5−x) = 100000/10^x. For x = 0: 100001 − 1 = 100000 ✓ and 10^(5−0) = 100000 ✓. So x = 0.

आम गलतियाँ

$\log(a + b) = \log a + \log b$ मानना — यह पूरी तरह गलत है। $\log(a + b)$ को simplify नहीं किया जा सकता। सिर्फ $\log(a \times b) = \log a + \log b$ सही है। CDS में यह trap हर साल आता है।
$\log(a \times b) = \log a \times \log b$ मानना — यह भी गलत है। गुणन के बाद log addition होती है, multiplication नहीं।
आधार भूल जाना — जब बिना आधार के $\log$ लिखा हो, उसे हमेशा $\log_\{10\}$ समझो। $\ln$ का अर्थ $\log_e$ है। दोनों को mix मत करो।
Negative संख्या का log निकालने की कोशिश — $\log(-5)$ परिभाषित नहीं है। अगर equation में $\log(5 - x)$ हो तो $5 - x > 0$ यानी $x < 5$ की शर्त automatically आती है — इसे ignore करने पर गलत option चुनोगे।
Prime Factorization में $10 = 2 \times 5$ भूलना — $\log_\{10\}$ के प्रश्नों में $10 = 2 \times 5$ की identity सबसे ज़्यादा काम आती है। $2000 = 2 \times 10^3$ , $400 = 4 \times 10^2$ — इस breakdown से $\log 10 = 1$ का इस्तेमाल सीधे होता है।
बड़े Product को calculate करने की कोशिश — $80 \times 216$ को directly multiply मत करो। पहले prime factorize करो: $2^4 \times 5 \times 2^3 \times 3^3 = 2^7 \times 3^3 \times 5$ । Numbers छोटे रहते हैं, गलती की गुंजाइश कम।

CDS गणित: लघुगणक — गुण, शॉर्टकट और हल किए गए PYQs

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूलभूत गुण — ये पाँच ही काफ़ी हैं

CDS-विशेष तकनीक: Prime Factorization + Log Properties

Equation में Log हो तो

Characteristic और Mantissa (केवल परिचय के लिए)

महत्वपूर्ण मान जो कंठस्थ करो

Log Equations में Substitution

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

संबंधित विषय

SarkariRise पर अभ्यास