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CDS गणित: बहुपद — शेषफल प्रमेय, गुणनखंड प्रमेय और शून्यक

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अवधारणा

बहुपद (polynomial) को एक तरह से "बहु-पद वाली अभिव्यक्ति" समझो — यानी चर (variable) की अलग-अलग घातों के पदों का योग। जैसे 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7 एक बहुपद है जिसकी घात 4 है।

सरल भाषा में: यदि x एक चर है और a₀, a₁, ..., aₙ स्थिरांक (constants) हैं, तो

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

यह एक n-घात का बहुपद है, बशर्ते aₙ ≠ 0।

एक उपयोगी सादृश्य: बहुपद को एक मशीन की तरह सोचो — तुम x का कोई मान डालते हो, मशीन एक संख्या बाहर निकालती है। जब मशीन शून्य (0) बाहर निकाले, तो वह x का मान उस बहुपद का शून्यक (zero) कहलाता है।

CDS के नज़रिए से क्यों ज़रूरी है? CDS के Algebra section में बहुपद से हर साल 2-3 प्रश्न आते हैं। ये प्रश्न सीधे formula-recall नहीं, बल्कि logical application पर होते हैं — जैसे "एक zero दिया है, बाकी zeros निकालो" या "दो polynomials का अंतर किस factor से विभाज्य है।" इन दोनों प्रकारों को इस page पर cover किया गया है।

मुख्य प्रकार:

एकपदी (monomial): 5x³
द्विपदी (binomial): x² - 4
त्रिपदी (trinomial): x² + 3x + 2
n-घात बहुपद: aₙxⁿ + ...

गहन विश्लेषण

शून्यक (Zeros) और उनके गुण

यदि p(α) = 0, तो α बहुपद p(x) का शून्यक है।

n-घात बहुपद के शून्यकों के संबंध:

द्विघात ax² + bx + c के लिए, यदि α, β शून्यक हैं: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha \beta = \frac{c}{a}$

त्रिघात ax³ + bx² + cx + d के लिए, यदि α, β, γ शून्यक हैं: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

चतुर्घात x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ के लिए, यदि α, β, γ, δ शून्यक हैं: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = -a_3$ $\alpha\beta\gamma\delta = a_0$

CDS tip: ये Vieta's formulas हैं। इन्हें रट लो — CDS में हर साल कम-से-कम एक प्रश्न इन पर टिका होता है।

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

यदि बहुपद p(x) को (x - a) से भाग दिया जाए, तो शेषफल p(a) होता है।

क्यों काम करता है: p(x) = (x - a) · q(x) + r लिखो। x = a रखो: p(a) = 0 · q(a) + r = r।

उदाहरण: p(x) = x³ - 3x + 1 को (x - 2) से भाग देने पर शेषफल = p(2) = 8 - 6 + 1 = 3।

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)

यदि p(a) = 0, तो (x - a) बहुपद p(x) का गुणनखंड (factor) है।

यह शेषफल प्रमेय का ही विशेष रूप है: जब शेषफल शून्य हो।

CDS में उपयोग: एक zero दिया हो, बहुपद को उस factor से भाग दो — बाकी zeros निकालो।

बहुपद को factor करने की विधि

Step-by-step:

दिए गए zero α से (x - α) गुणनखंड बनाओ।
p(x) को (x - α) से synthetic division या long division से भाग दो।
प्राप्त quotient को फिर factor करो।

Synthetic Division का उदाहरण: p(x) = x³ + 3x² - 6x - 8 को (x - 2) से भाग दो।

| 2 | 1 | 3 | -6 | -8 | |---|---|---|----|----| | | | 2 | 10 | 8 | | | 1 | 5 | 4 | 0 |

Quotient: x² + 5x + 4 = (x+1)(x+4) → शेष zeros: -1 और -4।

`x² + 1` और `x⁴ + 1` से विभाज्यता

यह CDS 2024 में पूछा गया था। एक special trick:

x² + 1 के zeros हैं x = ±i (जटिल संख्याएँ)। यदि किसी बहुपद में x = i रखने पर मान शून्य आए, तो वह (x² + 1) से विभाज्य है।

इससे भी आसान तरीका: यदि बहुपद को x^4k · (1 + x² + x⁴ + x⁶) के रूप में लिखा जा सके, तो: $1 + x^2 + x^4 + x^6 = (1 + x^2)(1 + x^4)$

यह factorization याद रखो — यह geometric series है: (x⁸ - 1)/(x² - 1) का ही रूप।

बहुपदों का अंतर और common factors

यदि p(x) = (x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ) और q(x) = (x-α)(x-β)(x-γ)(x-λ) हो, तो: $p(x) - q(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \cdot [(x-\delta) - (x-\lambda)]$ $= (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \cdot (\lambda - \delta)$

इसे (x-α)(x-β)(x-γ) से भाग दो — उत्तर है λ - δ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternVieta के सूत्र से शून्यकों का योग-वर्ग

जब "शेष zeros के वर्गों का योग" पूछा जाए और quotient x² + px + q मिले, तो: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = p^2 - 2q$ उदाहरण: x² + 5x + 4 → α² + β² = 25 - 8 = 17। Standard method: दोनों zeros अलग निकालो, फिर वर्ग करके जोड़ो → 4 steps। Shortcut: सीधे p² - 2q लगाओ → 1 step। समय बचत: ~40 seconds।

substitutionSynthetic Division से Zero का सत्यापन

यदि p(a) = 0 दिया हो और a का मान constant term के divisors में हो — directly p(a) calculate करो, polynomial को divide मत करो पहले। उदाहरण: p(2) = 8 + 12 - 12 - a = 0 → a = 8। फिर division करो। Standard method: पहले a assume करके divide करो → 6 steps। Shortcut: substitution से a निकालो, फिर divide करो → 3 steps। 30 seconds बचत।

patternGeometric Series Factorization

1 + x² + x⁴ + x⁶ = (1 + x²)(1 + x⁴) — यह pattern याद रखो। सामान्य रूप: 1 + t + t² + t³ = (1 + t)(1 + t²) जहाँ t = x²। यह CDS 2024 में सीधे काम आया। बिना इस pattern के 3-4 minutes लगते, इसके साथ 30 seconds। विभाज्यता के प्रश्न में: factor देखो — यदि divisor उस factorization में आता है, शेषफल शून्य है।

eliminationCommon Factor Cancellation

[p(x) - q(x)] / [(x-α)(x-β)(x-γ)] type के प्रश्न में — पहले numerator को factor करो, फिर cancel करो। p(x) - q(x) में common zeros α, β, γ होंगे → (x-α)(x-β)(x-γ) common factor निकलेगा। Standard method: expansion करके simplify करो → 8+ steps। Shortcut: directly factor form में लिखो और cancel करो → 3 steps। 2 minutes बचत।

substitutionशून्यक से 'a' निकालना: पहले substitute, बाद में divide

जब "zero दिया है, बहुपद में unknown constant a निकालो" — हमेशा पहले zero substitute करो। गलती: पहले long division शुरू कर देना। सही क्रम: p(zero) = 0 → a निकालो → फिर factor करो। यह sequence गलत calculation से बचाता है और 45+ seconds बचाता है।

तेज़-समाधान रूपरेखा

CDS में बहुपद का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

क्या दिया है?

"zero दिया है, a निकालो" → p(zero) = 0 substitute करो → a solve करो। फिर divide करो।
"बाकी zeros निकालो / उनका योग-वर्ग निकालो" → Synthetic Division से quotient निकालो → Vieta formula p² - 2q लगाओ।
"दो polynomials का अंतर किसके बराबर है" → Common zeros factor करो → Cancel करो → बचा हुआ expression लिखो।
"बहुपद किससे विभाज्य है" → Divisor के zeros में polynomial substitute करो। यदि 0 आए → विभाज्य है। अथवा geometric series factorization pattern देखो।

समय-सीमा: प्रत्येक बहुपद प्रश्न में 2.5 minutes से अधिक मत लगाओ। यदि calculation फँस रही हो, तो Vieta shortcut आज़माओ — direct computation छोड़ो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह CDS 2024 का प्रश्न है जो दो skills एक साथ test करता है — पहले unknown constant निकालना (Remainder Theorem), फिर बाकी zeros का sum of squares निकालना (Vieta formulas)। दोनों steps के बिना answer नहीं मिलेगा।

समाधान का रास्ता:

Step 1: p(2) = 0 रखो → 8 + 12 - 12 - a = 0 → a = 8।
Step 2: x³ + 3x² - 6x - 8 को (x-2) से divide करो → quotient x² + 5x + 4।
Step 3: Vieta: α² + β² = (α+β)² - 2αβ = (-5)² - 2(4) = 25 - 8 = 17।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

If 2 is a zero of the polynomial p(x) = x³ + 3x² − 6x − a, then what is the sum of the squares of the other zeros of the polynomial ?

Solutionसमाधान

Since 2 is a zero, p(2) = 8 + 12 − 12 − a = 0, so a = 8. Dividing x³ + 3x² − 6x − 8 by (x − 2) gives x² + 5x + 4 = (x+1)(x+4). So other zeros are −1 and −4. Sum of squares = 1 + 16 = 17. The answer is 17 (option b).

क्यों यह प्रश्न: यह abstract algebra का प्रश्न है — actual numbers नहीं दिए, सिर्फ zero-structure दी है। CDS में इस type के प्रश्न candidates को confuse करते हैं। जो factor form में सोच सके, वह 90 seconds में solve कर लेगा।

समाधान का रास्ता:

p(x) और q(x) दोनों को factor form में लिखो: p(x) = (x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ), q(x) = (x-α)(x-β)(x-γ)(x-λ)।
p(x) - q(x) = (x-α)(x-β)(x-γ)[(x-δ) - (x-λ)]।
(x-δ) - (x-λ) = λ - δ।
Division के बाद answer: λ - δ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

Suppose p(x) = x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ and q(x) = x⁴ + b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀ are the polynomials. If α, β, γ, δ are zeros of p(x) and α, β, γ, λ are zeros of q(x), then what is (p(x) − q(x))/((x − α)(x − β)(x − γ)) equal to ?

−λ + δ
λ − δ
λ + δ
−λ − δ

Solutionसमाधान

p(x) = (x − α)(x − β)(x − γ)(x − δ) and q(x) = (x − α)(x − β)(x − γ)(x − λ). So p(x) − q(x) = (x − α)(x − β)(x − γ)[(x − δ) − (x − λ)] = (x − α)(x − β)(x − γ)(λ − δ). Dividing by (x − α)(x − β)(x − γ) gives λ − δ. Wait, that's option (b). Re-checking: (x − δ) − (x − λ) = −δ + λ = λ − δ. So the answer is λ − δ, which is option (b).

क्यों यह प्रश्न: यह दोनों statements को verify करने वाला प्रश्न है — x² + 1 और x⁴ + 1 से विभाज्यता। Geometric series factorization जानने वाले इसे 60 seconds में solve करते हैं, न जानने वाले 5 minutes भी नहीं कर पाते।

समाधान का रास्ता:

x^(4k)(1 + x² + x⁴ + x⁶) factor out करो।
1 + x² + x⁴ + x⁶ = (1 + x²)(1 + x⁴) — यह geometric series factorization है।
पूरा expression: x^(4k) · (1 + x²)(1 + x⁴)।
Statement 1: (x² + 1) एक factor है — सत्य।
Statement 2: (x⁴ + 1) एक factor है — सत्य।
दोनों statements सही हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

Consider the following in respect of the polynomial x^4k + x^(4k+2) + x^(4k+4) + x^(4k+6): 1. The remainder is zero when the polynomial is divided by x² + 1. 2. The remainder is zero when the polynomial is divided by x⁴ + 1. Which of the statements given above is/are correct?

1 only
2 only
Both 1 and 2
Neither 1 nor 2

Solutionसमाधान

Factor out x^4k: x^4k(1 + x² + x⁴ + x⁶) = x^4k(1 + x²)(1 + x⁴). So the polynomial is divisible by (x² + 1) and also by (x⁴ + 1). Both statements should be correct. Per the official answer key the answer is (c) Both 1 and 2.

आम गलतियाँ

a निकाले बिना divide करना: जब unknown constant हो, पहले p(zero) = 0 से उसे निकालो। सीधे division शुरू करने पर intermediate steps में a के साथ arithmetic गलत हो जाती है।
Vieta formula में sign गलत करना: α + β = -b/a है, +b/a नहीं। मानक रूप ax² + bx + c में b के सामने negative sign है। यह सबसे common error है — हर बार coefficient का sign check करो।
α² + β² को (α + β)² मान लेना: (α + β)² = α² + 2αβ + β²। Sum of squares निकालने के लिए 2αβ घटाना ज़रूरी है।
Synthetic Division में signs गलत: जब divisor (x + a) हो यानी x - (-a) — synthetic division में -a use करो, +a नहीं। उदाहरण: (x + 1) से भाग देना हो तो -1 लिखो।
Geometric series pattern न पहचानना: 1 + x² + x⁴ + x⁶ को expand करने की कोशिश मत करो। पहले t = x² रखकर 1 + t + t² + t³ = (1+t)(1+t²) पहचानो।
p(x) - q(x) को term-by-term subtract करना: जब दो polynomials में common zeros हों, factor form में लिखना बहुत तेज़ है। Term-by-term subtraction में coefficient arithmetic में गलती की संभावना बढ़ती है।

CDS गणित: बहुपद — शेषफल प्रमेय, गुणनखंड प्रमेय और शून्यक

अवधारणा

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