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CDS गणित: आयु सम्बन्धी प्रश्न — समीकरण विधि से त्वरित समाधान

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अवधारणा

आयु सम्बन्धी प्रश्न मूलतः रेखीय समीकरणों की प्रयोगात्मक परीक्षा हैं। इनमें दो या अधिक व्यक्तियों की आयु के बीच सम्बन्ध — वर्तमान में, कुछ वर्ष पहले, और कुछ वर्ष बाद — दिया जाता है। तुम्हें उन सम्बन्धों से समीकरण बनाकर अज्ञात आयु निकालनी होती है।

सोचो — यह किसी फ़ोटोग्राफ़ की तरह है। एक फ़ोटो अभी का है (वर्तमान आयु), एक पुराना है (x वर्ष पहले), एक भविष्य का कल्पित चित्र है (y वर्ष बाद)। तीनों फ़ोटो में हर व्यक्ति की आयु उतनी ही बदलती है जितना समय बीता है। यही सबसे ज़रूरी नियम है: जितने वर्ष बीतते हैं, हर व्यक्ति की आयु उतनी ही बढ़ती है।

CDS में यह topic इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रश्न सरल दिखते हैं पर गलत variable चुनने पर दो-तीन मिनट बर्बाद हो जाते हैं। सही framework से यही प्रश्न 45-60 सेकंड में हल होते हैं।

तीन मुख्य प्रकार:

प्रत्यक्ष सम्बन्ध — योग, अन्तर, गुणज दिया हो (जैसे "पिता पुत्र से तीन गुना बड़ा है")
अनुपात आधारित — वर्तमान या भूत/भविष्य का अनुपात दिया हो
समूह/औसत आधारित — कई व्यक्तियों की कुल या औसत आयु दी हो

गहन विश्लेषण

मूल सिद्धान्त: समय-परिवर्तन का नियम

मान लो किसी व्यक्ति की वर्तमान आयु $A$ वर्ष है।

$t$ वर्ष पहले उसकी आयु थी: $A - t$
$t$ वर्ष बाद उसकी आयु होगी: $A + t$

दो व्यक्तियों की आयु का अन्तर हमेशा स्थिर रहता है। यह सबसे बड़ा shortcut है — यदि अभी पिता बेटे से 30 वर्ष बड़ा है, तो 10 वर्ष पहले भी 30 वर्ष बड़ा था और 10 वर्ष बाद भी 30 वर्ष बड़ा रहेगा।

प्रकार 1: प्रत्यक्ष सम्बन्ध वाले प्रश्न

सूत्र-रेखा: एक variable लो, बाकी सब उसी से express करो।

उदाहरण: "पिता पुत्र से 3 गुना बड़ा। 12 वर्ष बाद पिता दोगुना होगा।"

माना पुत्र की आयु $= x$ , तो पिता की आयु $= 3x$

12 वर्ष बाद: $3x + 12 = 2(x + 12)$

$\Rightarrow 3x + 12 = 2x + 24 \Rightarrow x = 12$

नियम: जब "गुना" शब्द आए — छोटे को $x$ रखो, बड़े को $nx$ रखो।

प्रकार 2: अनुपात वाले प्रश्न

यहाँ सबसे ज़्यादा गलतियाँ होती हैं। देखो — जब वर्तमान अनुपात दिया हो, तो:

माना A और B की वर्तमान आयु $3x$ और $4x$ है (अनुपात $3:4$ )।

$t$ वर्ष पहले का अनुपात दिया हो तो: $\frac{3x - t}{4x - t} = \frac{p}{q}$

Cross-multiply करो और $x$ निकालो। फिर $3x$ या $4x$ से उत्तर।

ध्यान रखो: अनुपात में common factor $k$ या $x$ लेते हो — यह actual आयु नहीं है। वास्तविक आयु = coefficient × $x$ ।

प्रकार 3: औसत/कुल आयु वाले प्रश्न

यह सबसे तेज़ हल होता है।

$\text{कुल आयु} = \text{औसत} \times \text{व्यक्तियों की संख्या}$

जब एक नया व्यक्ति जुड़े और औसत बदले:

$\text{नए व्यक्ति की आयु} = \text{नई कुल आयु} - \text{पुरानी कुल आयु}$

या सीधे: नए व्यक्ति की आयु = नया औसत + (नया औसत − पुराना औसत) × पुरानी संख्या

उदाहरण: 30 छात्र, औसत 15 वर्ष। शिक्षक जुड़ने पर औसत 16 हो जाए।

शिक्षक की आयु $= 31 \times 16 - 30 \times 15 = 496 - 450 = 46$ वर्ष।

प्रकार 4: एकाधिक शर्तों वाले जटिल प्रश्न

जब दो से अधिक शर्तें हों (जैसे माता-पिता और बच्चों वाला प्रश्न), तो दो variable लो:

माता-पिता की कुल आयु $= P$
बच्चों की कुल आयु $= C$
बच्चों की संख्या $= n$

$t$ वर्ष बाद: माता-पिता की कुल आयु $= P + 2t$ , बच्चों की कुल आयु $= C + nt$

यही फ़र्क है — बच्चों की कुल आयु में $n$ गुना परिवर्तन होता है क्योंकि $n$ बच्चे हैं।

अनुपात की अटल सच्चाई

$\frac{A - t}{B - t} \neq \frac{A}{B} - \text{कुछ}$

अनुपात घटाने-जोड़ने से linear नहीं बदलता। इसीलिए cross-multiply करना अनिवार्य है।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternअन्तर-स्थिरता का नियम

जब दो व्यक्तियों की आयु का अन्तर पहले से ज्ञात हो — चाहे "x वर्ष पहले" या "y वर्ष बाद" की शर्त हो — उस अन्तर को सीधे equation में डाल दो।

उदाहरण: "पिता की आयु पुत्र से 30 वर्ष अधिक है" → यह हर समय सच है। यदि भविष्य में पिता पुत्र से दोगुना होगा: $x + 30 = 2x \Rightarrow x = 30$ । एक ही equation, एक ही variable।

सामान्य विधि में दो variables और दो equations लगते हैं (6 steps)। इस pattern से 2 steps में हल।

patternऔसत-shift trick

जब समूह में नया सदस्य जुड़े या निकले और औसत बदले:

नए सदस्य की आयु = नया औसत $\pm$ (औसत में परिवर्तन $\times$ पुरानी संख्या)

यदि औसत बढ़ा: नए सदस्य की आयु = नया औसत + (वृद्धि $\times$ पुरानी संख्या)

उदाहरण: 30 छात्र, औसत 15। शिक्षक जुड़ने पर औसत 16। शिक्षक की आयु $= 16 + (1 \times 30) = 46$

पुरानी विधि: $31 \times 16 - 30 \times 15 = 496 - 450 = 46$ (3 calculations)। नई विधि: $16 + 30 = 46$ (1 calculation)। समय बचत: लगभग 20 सेकंड।

substitutionअनुपात में k-substitution

जब वर्तमान अनुपात $m:n$ दिया हो — तुरंत आयु $mk$ और $nk$ मान लो।

अब जो भी दूसरी शर्त हो (भूत/भविष्य का अनुपात या योग), उसमें $k$ के लिए solve करो।

उदाहरण: A:B अभी = 3:4, पाँच वर्ष पहले = 5:7। $\frac{3k-5}{4k-5} = \frac{5}{7} \Rightarrow 21k - 35 = 20k - 25 \Rightarrow k = 10$ B की आयु $= 4 \times 10 = 40$ वर्ष।

यह एक variable में directly solve होता है — दो variables लेकर elimination करने की ज़रूरत नहीं। सामान्य विधि से 4 steps कम।

patternगुणनखंड से द्विघात हल

जब किसी प्रश्न में आयु का गुणनफल हो (जैसे "5 वर्ष पहले गुणनफल 124 था") — उसे $(m - a)(n - a) = P$ के रूप में लिखो।

$m + n$ ज्ञात हो तो: $(s/2)^2 - (d/2)^2 = P$ जहाँ $s$ = योग, $d$ = अन्तर।

या सीधे: $x(45 - x - 10) = 124$ यानी $x(35 - x) = 124 \Rightarrow x^2 - 35x + 124 = 0$ ।

Discriminant निकालने के बजाय पहले factor ढूँढो: $124 = 4 \times 31$ , योग $35 \neq 35$ । $124 = ...$ नहीं। तो $(x - 9)(x - 36) = 0$ ? जाँचो: $9 \times 36 = 324 \neq 124$ । सही factor: $m^2 - 45m + 324 = 0$ ; $(m-36)(m-9) = 0$ ।

Context से $m = 36$ (माँ छोटी नहीं हो सकती)। यह context-elimination बिना quadratic formula लगाए 10 सेकंड में देता है।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-कक्ष में यह decision tree follow करो:

Step 1: प्रश्न में कितने व्यक्ति हैं?

दो व्यक्ति → एक variable लो (छोटे को $x$ )
तीन या अधिक → अनुपात दिया है तो $k$ method, वरना दो variable

Step 2: किस प्रकार की शर्त है?

"गुना" शब्द → छोटा $= x$ , बड़ा $= nx$
अनुपात दिया → $mk$ और $nk$
औसत/कुल दिया → कुल = औसत × संख्या, फिर अन्तर निकालो

Step 3: समय की दिशा पहचानो।

"पहले" → $x - t$ और $y - t$
"बाद" → $x + t$ और $y + t$
ध्यान रखो: समूह में $n$ लोग हों तो $n \times t$ का परिवर्तन

Step 4: समीकरण बनाओ और solve करो। उत्तर को मूल शर्त में verify करो — 10 सेकंड लगते हैं पर गलती पकड़ लेता है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह CDS 2023 का प्रश्न है जो तीन शर्तों को एक साथ handle करने की क्षमता परखता है। यहाँ $n$ (बच्चों की संख्या) भी unknown है — यह प्रश्न को एक level ऊपर ले जाता है।

समाधान का रास्ता: माता-पिता की कुल आयु $P$ , बच्चों की कुल आयु $C$ , बच्चों की संख्या $n$ । तीन equations बनाओ: (i) $P = 6C$ , (ii) दो वर्ष पहले $P - 4 = 10(C - 2n)$ , (iii) छह वर्ष बाद $P + 12 = 3(C + 6n)$ । (i) को (ii) में: $6C - 4 = 10C - 20n \Rightarrow C = 5n - 1$ । (i) को (iii) में: $6C + 12 = 3C + 18n \Rightarrow C = 6n - 4$ । दोनों बराबर करो: $5n - 1 = 6n - 4 \Rightarrow n = 3$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2023

The combined age of a man and his wife is 6 times the combined age of their children. Two years ago their combined age was 10 times the combined age of their children. Six years later their combined age will be 3 times the combined age of their children. How many children do they have if each child is at least 2 years old?

एक आदमी और उसकी पत्नी की मिली-जुली उम्र उनके बच्चों की मिली-जुली उम्र की 6 गुना है। दो साल पहले उनकी मिली-जुली उम्र उनके बच्चों की मिली-जुली उम्र की 10 गुना थी। छह साल बाद उनकी मिली-जुली उम्र उनके बच्चों की मिली-जुली उम्र की 3 गुना होगी। उनके कितने बच्चे हैं यदि प्रत्येक बच्चे की उम्र कम से कम 2 साल है?

Solutionसमाधान

Let parents' total age now = P, children's total = C, with n children. P = 6C; P−4 = 10(C−2n); P+12 = 3(C+6n). From first two: 6C−4 = 10C−20n ⟹ 20n−4 = 4C ⟹ C = 5n−1. From first and third: 6C+12 = 3C+18n ⟹ 3C = 18n−12 ⟹ C = 6n−4. So 5n−1 = 6n−4, n = 3.

क्यों यह प्रश्न: यह सबसे classic pattern है — योग और भविष्य की गुना-शर्त। CDS में यह pattern बार-बार आता है। एक variable से direct solve होता है।

समाधान का रास्ता: पुत्र $= x$ , पिता $= 56 - x$ । 4 वर्ष बाद: $60 - x = 3(x + 4) \Rightarrow 60 - x = 3x + 12 \Rightarrow 48 = 4x \Rightarrow x = 12$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The sum of ages of a father and his son is 56 years. After 4 years, the father's age will be three times the son's age. What is the present age of the son?

एक पिता और उसके बेटे की उम्र का योग 56 साल है। 4 साल बाद, पिता की उम्र बेटे की उम्र से तीन गुना हो जाएगी। बेटे की वर्तमान उम्र क्या है?

11 years
12 years
10 years
14 years

11 साल
12 साल
10 साल
14 साल

Solutionसमाधान

Let son's present age = x, father's = 56−x. After 4 years: (60−x) = 3(x+4) → 60−x = 3x+12 → 48 = 4x → x = 12. Son's age = 12 years. Verification: father = 44; after 4 years, son = 16, father = 48 = 3×16.

माना पुत्र की आयु = x, पिता की = 56−x। 4 वर्ष बाद: (60−x) = 3(x+4) → 48 = 4x → x = 12। पुत्र की वर्तमान आयु = 12 वर्ष। सत्यापन: पिता = 44; 4 वर्ष बाद पुत्र = 16, पिता = 48 = 3×16।

क्यों यह प्रश्न: दो समय-बिन्दु (5 वर्ष पहले और 5 वर्ष बाद) — दोनों में गुणज की शर्त। यह दो equations देता है जिन्हें eliminate करना है।

समाधान का रास्ता: वर्तमान आयु: पिता $= P$ , बेटी $= D$ । पाँच वर्ष पहले: $P - 5 = 4(D - 5) \Rightarrow P = 4D - 15$ । पाँच वर्ष बाद: $P + 5 = 2(D + 5) \Rightarrow P = 2D + 5$ । बराबर: $4D - 15 = 2D + 5 \Rightarrow D = 10$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Five years ago, the age of a person was four times the age of his daughter. Five years hence, the person's age will be twice the daughter's age. What is the present age of the daughter?

पाँच साल पहले, एक व्यक्ति की उम्र उसकी बेटी की उम्र से चार गुना थी। पाँच साल बाद, व्यक्ति की उम्र बेटी की उम्र से दोगुनी हो जाएगी। बेटी की वर्तमान उम्र क्या है?

8 years
12 years
15 years
10 years

8 साल
12 साल
15 साल
10 साल

Solutionसमाधान

Let present ages be P and D. Five years ago: P−5 = 4(D−5) → P = 4D−15. Five years hence: P+5 = 2(D+5) → P = 2D+5. Equating: 4D−15 = 2D+5 → 2D = 20 → D = 10. Verification: P = 25; five years ago 20 = 4×5 ✓; five years hence 30 = 2×15 ✓.

माना वर्तमान आयु P और D है। पाँच वर्ष पहले: P−5 = 4(D−5) → P = 4D−15। पाँच वर्ष बाद: P+5 = 2(D+5) → P = 2D+5। समीकरण: 4D−15 = 2D+5 → D = 10। सत्यापन: P = 25; पाँच वर्ष बाद 30 = 2×15 ✓।

क्यों यह प्रश्न: औसत आधारित प्रश्न — यहाँ formula सीधा है लेकिन नई कुल संख्या (31) भूलना सबसे आम गलती है।

समाधान का रास्ता: औसत-shift trick: शिक्षक की आयु $= 16 + (1 \times 30) = 46$ वर्ष। या: $31 \times 16 - 30 \times 15 = 496 - 450 = 46$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The average age of 30 students in a class is 15 years. If the teacher's age is included, the average increases by 1 year. What is the age of the teacher?

एक कक्षा के 30 छात्रों की औसत उम्र 15 साल है। अगर शिक्षक की उम्र भी शामिल कर ली जाए, तो औसत 1 साल बढ़ जाता है। शिक्षक की उम्र क्या है?

46 years
44 years
48 years
45 years

46 साल
44 साल
48 साल
45 साल

Solutionसमाधान

Total age of 30 students = 30×15 = 450 years. New average with teacher = 16 years for 31 persons; total = 31×16 = 496. Teacher's age = 496−450 = 46 years.

30 छात्रों की कुल आयु = 30×15 = 450 वर्ष। शिक्षक सहित नया औसत = 16 वर्ष (31 व्यक्ति); कुल = 31×16 = 496। शिक्षक की आयु = 496−450 = 46 वर्ष।

क्यों यह प्रश्न: तीन व्यक्तियों का अनुपात और भूत-काल का योग — $k$ -method का आदर्श उदाहरण।

समाधान का रास्ता: आयु $4k, 7k, 9k$ । 8 वर्ष पहले: $(4k - 8) + (7k - 8) + (9k - 8) = 56 \Rightarrow 20k - 24 = 56 \Rightarrow k = 4$ । सबसे बड़े की आयु $= 9 \times 4 = 36$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The present ages of three persons A, B and C are in the ratio 4:7:9. Eight years ago, the sum of their ages was 56. What is the present age of the oldest person?

तीन व्यक्तियों A, B और C की वर्तमान उम्र 4:7:9 के अनुपात में है। आठ साल पहले, उनकी उम्र का योग 56 था। सबसे बड़े व्यक्ति की वर्तमान उम्र क्या है?

36 years
27 years
45 years
40 years

36 साल
27 साल
45 साल
40 साल

Solutionसमाधान

Let ages be 4k, 7k, 9k. Eight years ago sum = (4k−8)+(7k−8)+(9k−8) = 20k−24 = 56 → 20k = 80 → k = 4. Oldest (C) = 9×4 = 36 years.

माना आयु 4k, 7k, 9k है। 8 वर्ष पहले: (4k−8)+(7k−8)+(9k−8) = 20k−24 = 56 → 20k = 80 → k = 4। सबसे बड़े की आयु = 9×4 = 36 वर्ष।

क्यों यह प्रश्न: वर्तमान अनुपात + भूत-काल का अनुपात — $k$ -substitution का सीधा application।

समाधान का रास्ता: A $= 3k$ , B $= 4k$ । पाँच वर्ष पहले: $\frac{3k - 5}{4k - 5} = \frac\{5\}\{7\} \Rightarrow 21k - 35 = 20k - 25 \Rightarrow k = 10$ । B $= 40$ वर्ष।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The present ages of A and B are in the ratio 3:4. Five years ago, the ratio of their ages was 5:7. What is the present age of B?

A और B की वर्तमान उम्र 3:4 के अनुपात में है। पाँच साल पहले, उनकी उम्र का अनुपात 5:7 था। B की वर्तमान उम्र क्या है?

28 years
35 years
40 years
32 years

28 साल
35 साल
40 साल
32 साल

Solutionसमाधान

Let present ages be 3x and 4x. Five years ago: (3x−5)/(4x−5) = 5/7. Cross-multiplying: 7(3x−5) = 5(4x−5) → 21x−35 = 20x−25 → x = 10. Present age of B = 4×10 = 40 years.

माना A और B की वर्तमान आयु 3x और 4x है। पाँच वर्ष पहले: (3x−5)/(4x−5) = 5/7। क्रॉस गुणा करने पर: 21x−35 = 20x−25 → x = 10। B की वर्तमान आयु = 4×10 = 40 वर्ष।

क्यों यह प्रश्न: "गुना" शर्त वर्तमान में और "गुना" शर्त भविष्य में — दोनों एक variable $x$ से निकलते हैं।

समाधान का रास्ता: पुत्र $= x$ , पिता $= 3x$ । 12 वर्ष बाद: $3x + 12 = 2(x + 12) \Rightarrow x = 12$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A father is 3 times as old as his son. After 12 years, the father will be twice as old as his son. What is the present age of the son?

एक पिता अपने बेटे से 3 गुना बड़ा है। 12 साल बाद, पिता की उम्र बेटे की उम्र से दोगुनी हो जाएगी। बेटे की वर्तमान उम्र क्या है?

15 years
10 years
12 years
18 years

15 साल
10 साल
12 साल
18 साल

Solutionसमाधान

Let son's present age = x, father's = 3x. After 12 years: 3x+12 = 2(x+12) → 3x+12 = 2x+24 → x = 12. The son's present age is 12 years.

माना पुत्र की वर्तमान आयु = x, पिता की = 3x। 12 वर्ष बाद: 3x+12 = 2(x+12) → 3x+12 = 2x+24 → x = 12। पुत्र की वर्तमान आयु 12 वर्ष है।

क्यों यह प्रश्न: योग + गुणनफल — यह द्विघात की तरफ जाता है। गुणनखंड विधि सीखो, formula मत लगाओ।

समाधान का रास्ता: माँ $= m$ , बेटी $= 45 - m$ । 5 वर्ष पहले: $(m - 5)(45 - m - 5) = 124 \Rightarrow (m-5)(40-m) = 124 \Rightarrow m^2 - 45m + 324 = 0 \Rightarrow (m-36)(m-9) = 0$ । माँ बड़ी है, अतः $m = 36$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The sum of the ages of a mother and her daughter is 45 years. Five years ago, the product of their ages was 124. What is the present age of the mother?

एक माँ और उसकी बेटी की उम्र का योग 45 साल है। पाँच साल पहले, उनकी उम्र का गुणनफल 124 था। माँ की वर्तमान उम्र क्या है?

38 years
36 years
40 years
34 years

38 साल
36 साल
40 साल
34 साल

Solutionसमाधान

Let mother's age = m, daughter's = 45−m. Five years ago: (m−5)(40−m) = 124 → 40m−m²−200+5m = 124 → m²−45m+324 = 0 → (m−36)(m−9) = 0. Since the mother must be older, m = 36 years.

माना माँ की आयु = m, पुत्री की = 45−m। पाँच वर्ष पहले: (m−5)(40−m) = 124 → m²−45m+324 = 0 → (m−36)(m−9) = 0। माँ बड़ी होनी चाहिए, अतः m = 36 वर्ष।

आम गलतियाँ

"पहले" का अर्थ भूलना: "दो साल पहले" का मतलब है $x - 2$ । परन्तु यदि $n$ व्यक्ति हों और उनकी कुल आयु पर शर्त हो, तो कुल में $2n$ घटाना होगा, $2$ नहीं। CDS 2023 के माता-पिता-बच्चों वाले प्रश्न में यही trap था।
अनुपात में actual आयु $k$ से भ्रम: यदि आयु $3k:4k$ है और $k = 10$ निकले, तो A की आयु $3k = 30$ है, $k = 10$ नहीं। हर साल कम से कम दो-तीन छात्र $k$ को ही उत्तर मान लेते हैं।
औसत बदलने पर नई संख्या भूलना: 30 छात्रों में शिक्षक जुड़े तो नई संख्या 31 है, 30 नहीं। नई कुल = $31 \times$ नया औसत, $30 \times$ नया औसत नहीं।
आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती: द्विघात समीकरण में दो roots आएँ ( $m = 36$ या $m = 9$ ) — जाँचो कि context में कौन सा valid है। माँ की आयु 9 हो तो बेटी $45 - 9 = 36$ हो जाती है जो असंभव है। यह 5-second verification हमेशा करो।
"गुना" vs "साल अधिक" में अन्तर: "पिता पुत्र से 3 गुना बड़ा" → $P = 3S$ । "पिता पुत्र से 30 साल बड़ा" → $P = S + 30$ । दोनों को mix करना सबसे common conceptual error है।
भविष्य में अनुपात बनाते समय गलत sign: "5 वर्ष बाद" → $(x+5)$ । "5 वर्ष पहले" → $(x-5)$ । जल्दबाजी में sign उलट जाता है और पूरा equation गलत हो जाता है। प्रश्न में "पहले/बाद" शब्द पर underline करो।

CDS गणित: आयु सम्बन्धी प्रश्न — समीकरण विधि से त्वरित समाधान

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूल सिद्धान्त: समय-परिवर्तन का नियम

प्रकार 1: प्रत्यक्ष सम्बन्ध वाले प्रश्न

प्रकार 2: अनुपात वाले प्रश्न

प्रकार 3: औसत/कुल आयु वाले प्रश्न

प्रकार 4: एकाधिक शर्तों वाले जटिल प्रश्न

अनुपात की अटल सच्चाई

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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