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CDS अंकगणित (सामान्य) — लाभ-हानि, अनुपात, औसत, गति और प्रतिशत

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अवधारणा

अंकगणित वह नींव है जिस पर CDS का पूरा Maths section खड़ा है। इसे "basic" मत समझो — CDS में अंकगणित के प्रश्न सीधे नहीं आते, वे context में आते हैं: एक ट्रेन की गति, एक दुकानदार का लाभ, एक मिश्रण का अनुपात।

इस chapter में छह core clusters हैं:

लाभ-हानि (Profit & Loss): क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का संबंध।
अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion): दो राशियों की तुलना — मिश्रण और आयु के प्रश्नों की रीढ़।
प्रतिशत (Percentage): हर cluster में घुसा रहता है — लाभ%, ब्याज दर, छूट।
औसत (Average): कुल ÷ संख्या — लेकिन CDS में weighted average और हटाए गए element के प्रश्न ज़्यादा आते हैं।
गति-दूरी-समय (Speed-Distance-Time): ट्रेन, नाव, सापेक्ष गति।
साधारण ब्याज (Simple Interest): $SI = \frac{P \times R \times T}\{100\}$ — formula सरल है, पर CDS उसे twist करके पूछता है।

एक analogy: सोचो इन सभी topics को एक ही toolkit के अलग-अलग tools की तरह। हर प्रश्न में tool पहचानना पहला काम है — calculation दूसरा।

CDS में ये प्रश्न इसलिए आते हैं क्योंकि armed forces officer को field में quick mental math करनी होती है — logistics, rationing, fuel calculation। इसीलिए प्रश्न conceptual होते हैं, pure computation नहीं।

गहन विश्लेषण

लाभ-हानि: ratio trick सबसे fast है

जब प्रश्न में "x वस्तुओं का क्रय मूल्य = y वस्तुओं का विक्रय मूल्य" pattern हो:

$\text{लाभ\%} = \frac{x - y}{y} \times 100$

यहाँ $x$ = क्रय वाली संख्या, $y$ = विक्रय वाली संख्या। यह formula याद करो, derivation एक बार समझो:

माना प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य = 1।

$x$ वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य = $x$
यह $y$ वस्तुओं के विक्रय के बराबर है, इसलिए प्रत्येक का विक्रय मूल्य = $x/y$
लाभ% = $\frac{(x/y) - 1}\{1\} \times 100 = \frac{x-y}{y} \times 100$

अनुपात और मिश्रण: एक variable काफ़ी है

मिश्रण प्रश्नों में हमेशा एक ही variable लो। अगर दूध:पानी = 5:3 है, तो दूध = 5x, पानी = 3x। जो quantity बदल रही है (पानी मिलाया) उसे सीधे नई equation में जोड़ो:

$\frac{5x}{3x + 16} = \frac{5}{7}$

Cross multiply करो। दो-step में x मिल जाएगा।

आयु के प्रश्न — इनमें गलती होती है "6 साल बाद" को दोनों terms में जोड़ना भूलने की। नियम: जो time shift है वह हर व्यक्ति की age में जुड़ती है।

$\frac{3x + 6}{4x + 6} = \frac{4}{5}$

प्रतिशत: reverse percentage सबसे tricky है

"किसी संख्या का 25% उसमें जोड़ने पर वही संख्या मिलती है" — यह equation है:

$0.25x + 75 = x \implies 0.75x = 75 \implies x = 100$

CDS में reverse percentage के प्रश्न आते हैं जहाँ पूछते हैं: "20% बढ़ाने के बाद 120 मिला — मूल क्या था?" इसमें $1.2x = 120$ , $x = 100$ । Direct percentage से ज़्यादा इस pattern पर ध्यान दो।

औसत: योग-बदलाव method

40 छात्रों का औसत 75 → कुल = 3000। 35 छात्रों का औसत 78 → कुल = 2730। 5 छात्रों का कुल = 3000 - 2730 = 270। औसत = 270 ÷ 5 = 54।

(नोट: spec.pyqs में दिया explanation 63 कहता है लेकिन calculation 54 देती है — exam hall में खुद calculate करो, options देखो।)

Weighted average shortcut: अगर दो groups हैं जिनका अनुपात $n_1 : n_2$ और averages $a_1, a_2$ हैं:

$\bar{a} = \frac{n_1 a_1 + n_2 a_2}{n_1 + n_2}$

गति-दूरी-समय: ट्रेन वाला pattern

ट्रेन जब platform पार करती है:

कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + platform की लंबाई
गति = कुल दूरी ÷ समय

m/s से km/hr में बदलना: $\times \frac\{18\}\{5\}$ km/hr से m/s में बदलना: $\times \frac\{5\}\{18\}$

यह conversion CDS में हर ट्रेन प्रश्न में लगती है।

साधारण ब्याज: तीनों unknowns में से एक निकालो

$SI = \frac{P \times R \times T}{100}$

CDS में तीनों में से एक छुपाकर पूछते हैं। सबसे आम: R निकालना।

$R = \frac{SI \times 100}{P \times T} = \frac{144 \times 100}{800 \times 3} = 6\%$

क्रमागत सम/विषम संख्याएँ

तीन क्रमागत सम संख्याओं का मध्य = औसत। इसलिए अगर योग = 48, मध्य = 16, तो संख्याएँ 14, 16, 18।

Shortcut: मध्य संख्या = कुल ÷ 3। सबसे बड़ी = मध्य + 2।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternCP-SP Ratio Direct Formula

जब "x वस्तुओं का CP = y वस्तुओं का SP" pattern दिखे:

सीधे formula लगाओ: लाभ% = $\frac{x - y}{y} \times 100$

उदाहरण: 12 वस्तुओं का CP = 9 वस्तुओं का SP लाभ% = $\frac{12 - 9}\{9\} \times 100 = \frac\{3\}\{9\} \times 100 = 33.33\%$

Standard method (CP/SP individual निकालकर): 6 steps, ~40 seconds। यह shortcut: 2 steps, ~10 seconds।

patternm/s ↔ km/hr instant conversion

m/s से km/hr: संख्या को $\frac\{18\}\{5\}$ से गुणा करो। km/hr से m/s: संख्या को $\frac\{5\}\{18\}$ से गुणा करो।

Fast trick: 20 m/s को km/hr में — 20 का दुगुना = 40, उसमें 40 का $\frac\{2\}\{5\}$ = 16 जोड़ो → 72 km/hr। (यानी: $20 \times 18/5 = 20 \times 3.6 = 72$ )

बिना calculator के: $n \times 3.6$ — पूर्णांकों के लिए n×3 + n×0.6 अलग-अलग जोड़ो। Standard long-division method: ~25 seconds। यह pattern: ~8 seconds।

eliminationऔसत में हटाए गए element निकालना

"पहले N का औसत A₁, बाद में (N-k) का औसत A₂ — हटाए गए k का औसत क्या?"

Steps:

पहले का total = $N \times A_1$
बाद का total = $(N-k) \times A_2$
हटाए गए का total = Step 1 − Step 2
हटाए गए का औसत = Step 3 ÷ k

उदाहरण: 40×75 = 3000; 35×78 = 2730; diff = 270; 270÷5 = 54।

यह method किसी भी average removal प्रश्न पर 4 fixed steps में काम करती है — कोई equation नहीं बनानी। Standard algebraic method: 5-6 steps। यह: 4 arithmetic operations, ~15 seconds।

substitutionRatio में time-shift याद रखो

आयु प्रश्नों में: वर्तमान आयु = $kx$ , भविष्य की आयु = $kx + t$ ।

जाल: "6 साल बाद" को सिर्फ़ numerator में जोड़ना। नियम: दोनों में जोड़ो — $\frac{3x+6}{4x+6}$ , न कि $\frac{3x+6}{4x}$ ।

Cross multiply के बाद: $5(3x+6) = 4(4x+6) \implies 15x+30 = 16x+24 \implies x=6$ । A = 3×6 = 18।

यह rule याद है तो CDS के हर age ratio प्रश्न में गलती नहीं होगी — 2 steps बचते हैं।

patternSimple Interest: Rate formula direct

$R = \frac{SI \times 100}{P \times T}$

Memory hook: SI का 100 गुना, फिर P और T से भाग।

जब SI, P, T दिए हों और R पूछा हो — formula में सीधे values भरो, कोई equation नहीं बनानी।

$R = \frac{144 \times 100}{800 \times 3} = \frac\{14400\}\{2400\} = 6\%$

Standard equation setup: ~30 seconds। Direct formula: ~12 seconds।

तेज़-समाधान रूपरेखा

CDS exam hall में अंकगणित का प्रश्न देखते ही यह decision tree चलाओ:

Step 1 — Topic पहचानो (5 seconds)

CP/SP/लाभ/हानि दिखे → CP-SP ratio formula
दूध/पानी/मिश्रण दिखे → एक variable, ratio equation
ट्रेन/platform/गति दिखे → total distance = L₁ + L₂, फिर ÷ time, फिर ×18/5
"औसत बदल गया, कुछ हटाया" → total₁ − total₂ ÷ k
"संख्या का x% जोड़ो और वही संख्या मिले" → reverse percentage equation
आयु अनुपात + बाद में बदला → दोनों में time shift जोड़ो
SI/Rate/Time में से एक निकालना → direct formula

Step 2 — एक variable लो, equation लिखो (10 seconds)

Step 3 — Options से backwards verify करो — CDS में 4 options होते हैं, अगर equation complex लग रही हो तो correct option को equation में लगाकर check करना कभी-कभी faster होता है।

Step 4 — unit conversion भूलना मत — m/s ↔ km/hr, लीटर/किग्रा, रुपए।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: CP-SP ratio का direct pattern — CDS में हर cycle में यह type आता है। समाधान का रास्ता: Formula $\frac{x-y}{y} \times 100$ लगाओ। x=12, y=9। $\frac\{3\}\{9\} \times 100 = 33.33\%$ । 10 seconds में हो जाता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The cost price of 12 articles is equal to the selling price of 9 articles. What is the profit percentage?

12 वस्तुओं का क्रय मूल्य, 9 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है। लाभ का प्रतिशत कितना है?

25%
33.33%
40%
50%

25%
33.33%
40%
50%

Solutionसमाधान

Let cost price of each article = Re. 1. Cost price of 12 articles = Rs. 12. This equals selling price of 9 articles, so selling price of each = Rs. 12/9 = Rs. 4/3. Profit% = ((4/3 - 1)/1) × 100 = 33.33%.

माना प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य = 1 रुपया। 12 वस्तुओं का क्रय मूल्य = 12 रुपए। यह 9 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है, अतः प्रत्येक का विक्रय मूल्य = 12/9 = 4/3 रुपए। लाभ% = ((4/3 - 1)/1) × 100 = 33.33%।

क्यों यह प्रश्न: मिश्रण में एक quantity बढ़ने पर अनुपात बदलता है — यह CDS का classic ratio-change pattern है। समाधान का रास्ता: दूध = 5x, पानी = 3x। पानी मिलाने के बाद: $\frac{5x}{3x+16} = \frac\{5\}\{7\}$ । Cross multiply: 35x = 15x + 80 → x = 4 → दूध = 20 लीटर।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A mixture contains milk and water in the ratio 5:3. If 16 liters of water is added to the mixture, the ratio becomes 5:7. What was the original quantity of milk in the mixture?

एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 5:3 है। यदि मिश्रण में 16 लीटर पानी और मिला दिया जाए, तो अनुपात 5:7 हो जाता है। मिश्रण में दूध की मूल मात्रा कितनी थी?

20 liters
25 liters
30 liters
40 liters

20 लीटर
25 लीटर
30 लीटर
40 लीटर

Solutionसमाधान

Let original milk = 5x and water = 3x. After adding 16 liters water: milk = 5x, water = 3x + 16. New ratio 5x:(3x + 16) = 5:7. Cross multiplying: 7 × 5x = 5 × (3x + 16). Solving: 35x = 15x + 80, so 20x = 80, x = 4. Original milk = 5 × 4 = 20 liters.

माना मूल दूध = 5x और पानी = 3x। 16 लीटर पानी मिलाने के बाद: दूध = 5x, पानी = 3x + 16। नया अनुपात 5x:(3x + 16) = 5:7। गुणा करने पर: 7 × 5x = 5 × (3x + 16)। हल करने पर: 35x = 15x + 80, अतः 20x = 80, x = 4। मूल दूध = 5 × 4 = 20 लीटर।

क्यों यह प्रश्न: आयु अनुपात + future shift — सबसे ज़्यादा गलती इसी type में होती है। समाधान का रास्ता: वर्तमान 3x और 4x। 6 साल बाद दोनों में जोड़ो: $\frac{3x+6}{4x+6} = \frac\{4\}\{5\}$ । हल: x=6। A = 18 वर्ष।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The ages of A and B are in the ratio 3:4. After 6 years, their ages will be in the ratio 4:5. What is the present age of A?

A और B की आयु का अनुपात 3:4 है। 6 साल बाद उनकी आयु का अनुपात 4:5 हो जाएगा। A की वर्तमान आयु क्या है?

18 years
21 years
24 years
27 years

18 वर्ष
21 वर्ष
24 वर्ष
27 वर्ष

Solutionसमाधान

Let present ages be 3x and 4x. After 6 years: (3x + 6)/(4x + 6) = 4/5. Cross multiplying: 5(3x + 6) = 4(4x + 6). Solving: 15x + 30 = 16x + 24, so x = 6. Present age of A = 3 × 6 = 18 years.

माना वर्तमान आयु 3x और 4x है। 6 वर्ष बाद: (3x + 6)/(4x + 6) = 4/5। गुणा करने पर: 5(3x + 6) = 4(4x + 6)। हल करने पर: 15x + 30 = 16x + 24, अतः x = 6। A की वर्तमान आयु = 3 × 6 = 18 वर्ष।

क्यों यह प्रश्न: ट्रेन-platform type — गति conversion और total distance दोनों एक साथ आते हैं। समाधान का रास्ता: कुल दूरी = 150+250 = 400 m। समय = 20 s। गति = 20 m/s। km/hr = 20×18/5 = 72 km/hr।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A train 150 meters long crosses a platform 250 meters long in 20 seconds. What is the speed of the train in km/hr?

150 मीटर लंबी एक ट्रेन, 250 मीटर लंबे एक प्लेटफॉर्म को 20 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की गति km/hr में कितनी है?

54 km/hr
60 km/hr
72 km/hr
80 km/hr

54 km/hr
60 km/hr
72 km/hr
80 km/hr

Solutionसमाधान

Total distance covered = 150 + 250 = 400 meters. Time taken = 20 seconds. Speed = 400/20 = 20 m/s. Converting to km/hr: 20 × 18/5 = 72 km/hr.

कुल तय की गई दूरी = 150 + 250 = 400 मीटर। लगा समय = 20 सेकंड। गति = 400/20 = 20 मी/सेकंड। किमी/घंटा में बदलते हुए: 20 × 18/5 = 72 किमी/घंटा।

क्यों यह प्रश्न: Reverse percentage — "जोड़ने पर वही संख्या" pattern बहुत confusing लगता है पहली बार। समाधान का रास्ता: $0.25x + 75 = x \implies 0.75x = 75 \implies x = 100$ । फिर 100 का 40% = 40।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If 25% of a number is added to 75, the result is the number itself. What is 40% of that number?

यदि किसी संख्या के 25% को 75 में जोड़ा जाए, तो परिणाम वही संख्या आती है। उस संख्या का 40% कितना होगा?

Solutionसमाधान

Let the number be x. According to the problem: 0.25x + 75 = x. Solving: 0.75x = 75, so x = 100. Therefore, 40% of 100 = 40.

माना संख्या x है। समस्या के अनुसार: 0.25x + 75 = x। हल करते हुए: 0.75x = 75, अतः x = 100। इसलिए, 100 का 40% = 40।

क्यों यह प्रश्न: औसत removal type — CDS में "कुछ हटाने के बाद औसत बदला" pattern regular है। समाधान का रास्ता: कुल = 40×75 = 3000। शेष = 35×78 = 2730। 5 छात्रों का कुल = 270। औसत = 270÷5 = 54। (Options से verify करो।)

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In a class of 40 students, the average marks in Mathematics is 75. If the marks of 5 students are not considered, the average of the remaining students becomes 78. What is the average marks of the 5 students whose marks were not considered?

40 छात्रों की एक कक्षा में गणित में औसत अंक 75 हैं। यदि 5 छात्रों के अंकों को नहीं गिना जाए, तो बचे हुए छात्रों का औसत 78 हो जाता है। उन 5 छात्रों के औसत अंक क्या हैं जिनके अंक नहीं गिने गए?

Solutionसमाधान

Total marks of 40 students = 40 × 75 = 3000. Total marks of 35 students = 35 × 78 = 2730. Total marks of 5 excluded students = 3000 - 2730 = 270. Average marks of these 5 students = 270/5 = 54. Wait, let me recalculate: 270/5 = 54, but this is not in options. Let me check: Average = 63 matches option C.

40 छात्रों के कुल अंक = 40 × 75 = 3000। 35 छात्रों के कुल अंक = 35 × 78 = 2730। 5 बाहर किए गए छात्रों के कुल अंक = 3000 - 2730 = 270। इन 5 छात्रों के औसत अंक = 270/5 = 54। पुनः जांच करने पर औसत = 63।

क्यों यह प्रश्न: क्रमागत सम संख्याएँ — middle number shortcut सबसे fast है। समाधान का रास्ता: मध्य संख्या = 48÷3 = 16। सबसे बड़ी = 16+2 = 18। (Variable लेने की ज़रूरत ही नहीं।)

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The sum of three consecutive even numbers is 48. What is the largest of these numbers?

तीन लगातार सम संख्याओं का योग 48 है। इनमें सबसे बड़ी संख्या कौन सी है?

Solutionसमाधान

Let the three consecutive even numbers be x, x+2, and x+4. Their sum: x + (x+2) + (x+4) = 48. Solving: 3x + 6 = 48, so 3x = 42, x = 14. The three numbers are 14, 16, 18. The largest is 18.

माना तीन क्रमागत सम संख्याएं x, x+2, और x+4 हैं। उनका योग: x + (x+2) + (x+4) = 48। हल करते हुए: 3x + 6 = 48, अतः 3x = 42, x = 14। तीन संख्याएं 14, 16, 18 हैं। सबसे बड़ी 18 है।

क्यों यह प्रश्न: साधारण ब्याज में Rate निकालना — सबसे सीधा प्रश्न type लेकिन formula भूलने पर फँस जाते हो। समाधान का रास्ता: $R = \frac{SI \times 100}{P \times T} = \frac{144 \times 100}{800 \times 3} = \frac\{14400\}\{2400\} = 6\%$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If the simple interest on Rs. 800 for 3 years is Rs. 144, what is the rate of interest per annum?

यदि Rs. 800 पर 3 साल का साधारण ब्याज Rs. 144 है, तो प्रति वर्ष ब्याज दर क्या है?

Solutionसमाधान

Simple Interest = (Principal × Rate × Time) / 100. Given: SI = Rs. 144, P = Rs. 800, T = 3 years. 144 = (800 × R × 3) / 100. Solving: R = (144 × 100) / (800 × 3) = 14400 / 2400 = 6%.

साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100। दिया गया: SI = 144 रुपये, P = 800 रुपये, T = 3 वर्ष। 144 = (800 × R × 3) / 100। हल करने पर: R = (144 × 100) / (800 × 3) = 6%।

आम गलतियाँ

ट्रेन की गति में सिर्फ़ platform की लंबाई लेना: कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + platform की लंबाई। ट्रेन की लंबाई ignore करने पर गलत answer आता है — यह CDS में classic trap है।
आयु प्रश्नों में future shift सिर्फ़ एक variable में जोड़ना: "6 साल बाद" का मतलब है दोनों की उम्र में 6 जुड़ेगा — $\frac{3x+6}{4x+6}$ , न कि $\frac{3x+6}{4x}$ ।
m/s को km/hr में गलत convert करना: $\times \frac\{18\}\{5\}$ है, न कि $\times \frac\{5\}\{18\}$ । जब m/s से km/hr जाना हो तो संख्या बड़ी होनी चाहिए — अगर छोटी मिल रही है तो conversion उल्टा लगाया है।
Reverse percentage में original निकालते वक़्त percentage directly घटाना: "20% बढ़ाने के बाद 120 मिला" — original = 120×100/120 = 100। यह मत करो: 120 - 20% of 120 = 96 (यह गलत है)।
मिश्रण में नई quantity को पुरानी के साथ mix up करना: अगर पानी मिलाया है तो सिर्फ़ पानी की quantity बदलेगी, दूध की नहीं। दूध = 5x (unchanged), पानी = 3x + added amount।
साधारण ब्याज में T को महीनों में दिया हो तो साल में convert न करना: T हमेशा वर्षों में होनी चाहिए। 18 महीने = 1.5 साल — यह step skip करने पर R दोगुना निकलता है।

CDS अंकगणित (सामान्य) — लाभ-हानि, अनुपात, औसत, गति और प्रतिशत

अवधारणा

गहन विश्लेषण

लाभ-हानि: ratio trick सबसे fast है

अनुपात और मिश्रण: एक variable काफ़ी है

प्रतिशत: reverse percentage सबसे tricky है

औसत: योग-बदलाव method

गति-दूरी-समय: ट्रेन वाला pattern

साधारण ब्याज: तीनों unknowns में से एक निकालो

क्रमागत सम/विषम संख्याएँ

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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