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CDS गणित: संख्या पद्धति — विभाज्यता, HCF, LCM और शेषफल

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अवधारणा

संख्या पद्धति वह आधार है जिस पर CDS का पूरा अंकगणित टिका हुआ है। अगर यह chapter कमज़ोर है, तो percentage, ratio, profit-loss — सब डगमगाते हैं।

सरल शब्दों में: संख्याओं के परिवार को समझना, उनके आपसी संबंध पहचानना, और यह जानना कि "कौन किसको काटता है" — यही इस chapter का सार है।

संख्याओं का परिवार:

प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers): 1, 2, 3, 4, ...
पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): 0, 1, 2, 3, ... (शून्य जुड़ गया)
पूर्णांक (Integers): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (ऋणात्मक भी)
परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers): जो p/q के रूप में लिखी जा सकें, जहाँ p, q पूर्णांक हों और q ≠ 0। जैसे 3/4, -7/2, 0.333...
अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers): जो p/q में न लिखी जा सकें — जैसे √2, π, √3

एक सीधी analogy: सोचो संख्याएँ एक सैन्य श्रेणी हैं। प्राकृत संख्याएँ सिपाही हैं, पूर्ण संख्याएँ उनमें एक "शून्य पद" जोड़ती हैं, पूर्णांक में दोनों दिशाओं के सैनिक हैं, परिमेय में भिन्न (fractions) भी शामिल हो जाते हैं — और अपरिमेय वे "बाहरी" हैं जो किसी नियमित ढाँचे में नहीं आते।

CDS में इस chapter से तीन मुख्य प्रकार के प्रश्न आते हैं:

विभाज्यता और शेषफल — aⁿ + bⁿ किससे विभाज्य है?
HCF और LCM — संबंध, गुण, और उनसे संख्याएँ निकालना
Unit conversion + संख्या properties — मिनट/घंटे जैसे सीधे प्रश्न

गहन विश्लेषण

विभाज्यता के महत्वपूर्ण नियम

ये नियम रटो मत — समझो। CDS में इन्हें सीधे apply करना पड़ता है।

| भाजक | नियम | |------|------| | 2 | अंतिम अंक सम (0,2,4,6,8) | | 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य हो | | 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों | | 5 | अंतिम अंक 0 या 5 | | 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों | | 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य हो | | 11 | (विषम स्थान के अंकों का योग) − (सम स्थान के अंकों का योग) = 0 या 11 का गुणज |

बीजीय विभाज्यता के सूत्र

यह CDS का सबसे प्रिय क्षेत्र है। दो सूत्र याद करो — बाकी सब इन्हीं से निकलता है:

सूत्र 1: aⁿ + bⁿ सदैव (a + b) से विभाज्य होता है — जब n विषम (odd) हो।

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)

यह n = 3 के लिए है, पर यह property हर odd n के लिए सत्य है।

सूत्र 2: aⁿ - bⁿ सदैव (a - b) से विभाज्य होता है — n = कोई भी धनात्मक पूर्णांक।

और aⁿ - bⁿ तब (a + b) से भी विभाज्य होता है — जब n सम (even) हो।

महत्वपूर्ण pattern: देखो — 41⁴³ + 43⁴³ में 43 odd है, तो (41 + 43) = 84 से विभाज्य। यही CDS का प्रश्न था।

HCF और LCM — असली संबंध

मूल सम्बन्ध: दो संख्याओं p और q के लिए: $\text{HCF}(p, q) \times \text{LCM}(p, q) = p \times q$

यह formula CDS में बार-बार आता है। इसे inverse direction में use करना सीखो: $q = \frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{p}$

HCF की एक कम-जानी property:

अगर HCF(p, q) = G, तो p = Ga और q = Gb जहाँ gcd(a, b) = 1।

इससे निकलता है:

HCF(p, p+q) = G — क्योंकि p+q = G(a+b) और gcd(a, a+b) = gcd(a, b) = 1
HCF(p, p-q) = G — क्योंकि p-q = G(a-b) और gcd(a, a-b) = gcd(a, b) = 1

यह property 2026 के CDS paper में directly पूछी गई।

"समान शेषफल" वाला HCF trick:

तीन संख्याओं में से एक N निकालना हो जो सबको divide करे और समान remainder दे, तो: $N = \text{HCF}(\text{अंतर}_1, \text{अंतर}_2, \text{अंतर}_3)$

जैसे: 600, 631, 724 के लिए अंतर हैं: 31, 93, 124 → HCF(31, 93, 124) = 31

दशमलव संख्याओं का LCM

यह section ज़्यादातर छात्र गलत करते हैं।

तरीका: सभी संख्याओं को एक ही denominator वाले fraction में बदलो।

जैसे: LCM(3.6, 0.009, 0.27):

तीनों को 1000 से गुणा करो: 3600, 9, 270
LCM(3600, 9, 270) निकालो
फिर 1000 से भाग दो

LCM(3600, 9, 270) = 10800 → 10800 ÷ 1000 = 10.8

घात वाले expressions को factor करना

4⁶¹ + 4⁶² + 4⁶³ + 4⁶⁴ — इसे directly calculate नहीं करते। Common factor निकालो:

$4^{61}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{61} \times 85 = 4^{61} \times 5 \times 17$

इसलिए 17 से विभाज्य। यही approach 27²⁷ - 9⁴⁰ - 3⁷⁹ में भी काम करती है — सबको एक ही base (यहाँ 3) में convert करो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternविषम घात + योग = (a+b) से विभाज्य

जब भी aⁿ + bⁿ दिखे और n odd हो — तुरंत (a+b) check करो।

उदाहरण: 41⁴³ + 43⁴³ → n=43 (odd) → 41+43 = 84 → answer.

Standard method: expand करके check करना — असंभव (200+ seconds)। यह pattern: 5 seconds। Step difference: ~40 steps vs 1 step।

patternCommon Factor निकालो — फिर देखो

aˢ + aˢ⁺¹ + aˢ⁺² + ... जैसे किसी भी expression में सबसे छोटी power का common factor निकालो, फिर bracket में जो बचे उसे factor करो।

उदाहरण: 4⁶¹ + 4⁶² + 4⁶³ + 4⁶⁴ = 4⁶¹(1 + 4 + 16 + 64) = 4⁶¹ × 85 = 4⁶¹ × 5 × 17

Bracket में 1+4+16+64 = 85 — यह calculation 8 seconds में होती है। बिना इस trick के: impossible।

patternसमान Remainder → HCF of Differences

जब प्रश्न कहे "N वह greatest number है जो a, b, c को divide करे और समान remainder दे":

Step 1: अंतर निकालो → b-a, c-b, c-a Step 2: इन तीनों का HCF निकालो → वही N है।

उदाहरण: 600, 631, 724 → अंतर: 31, 93, 124 → HCF = 31।

Standard method (trial): 60+ seconds। यह method: 15 seconds, 3 steps।

substitutionदशमलव LCM — denominator equalize करो

LCM(3.6, 0.009, 0.27) जैसे प्रश्न में: सबसे ज़्यादा decimal places देखो (यहाँ 3), सबको उतने decimal places बनाओ → 3.600, 0.009, 0.270 → numerators का LCM निकालो → वही denominator से divide करो।

LCM(3600, 9, 270) = 10800 → 10800/1000 = 10.8।

गलत approach (fraction convert किए बिना): 90 seconds + error। यह method: 20 seconds।

patternएक ही Base — घात वाले expressions

27²⁷ - 9⁴⁰ - 3⁷⁹ में सब 3 के गुणज हैं: 27 = 3³, 9 = 3²।

3⁸¹ - 3⁸⁰ - 3⁷⁹ = 3⁷⁹(3² - 3 - 1) = 3⁷⁹ × 5

अब divisors: 1, 3, 5, 9 — ये सब 10 से कम हैं → 4 divisors → "more than 3"।

Base unify किए बिना: इस expression को कभी solve नहीं कर सकते। यह trick mandatory है।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में जब संख्या पद्धति का प्रश्न सामने आए, यह decision tree follow करो:

प्रश्न किस type का है?

aⁿ ± bⁿ — विभाज्यता पूछी है?
- n odd + योग (+) → (a+b) से विभाज्य
- n कुछ भी + अंतर (-) → (a-b) से विभाज्य
- n even + अंतर (-) → (a+b) से भी विभाज्य
घात का sum — common factor निकालो, bracket में arithmetic करो।
HCF/LCM — क्या p × q = HCF × LCM formula लगेगा? अगर दो में से एक unknown है, तो हाँ।
"समान remainder" → अंतरों का HCF।
दशमलव LCM/HCF → denominator equalize → integer LCM/HCF → वापस scale करो।
Unit conversion (दिन/घंटे/मिनट) → धीरे-धीरे गुणा करो, जल्दबाज़ी में factor miss होती है।

हर प्रश्न में पहले 10 seconds यह तय करो कि कौन-सी category है — फिर method apply करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: aⁿ + bⁿ की विभाज्यता — CDS का सबसे repeatedly पूछा गया concept। अगर odd-power rule याद है, यह 5 seconds का प्रश्न है।

समाधान का रास्ता: 43 odd है → 41⁴³ + 43⁴³, (a+b) = (41+43) = 84 से विभाज्य। Options में सीधे 84 देखो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2022

41^43 + 43^43 is divisible by

41^43 + 43^43 किससे विभाज्य है?

Solutionसमाधान

Since 43 is odd, a^n + b^n is divisible by a+b. So 41^43 + 43^43 is divisible by 41+43 = 84.

क्यों यह प्रश्न: Consecutive powers का sum — common factor technique। यह घात-series का standard CDS template है।

समाधान का रास्ता: 4⁶¹ common factor निकालो → 4⁶¹(1+4+16+64) = 4⁶¹ × 85 = 4⁶¹ × 5 × 17 → 17 से विभाज्य।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2022

4^61 + 4^62 + 4^63 + 4^64 is divisible by

4^61 + 4^62 + 4^63 + 4^64 किससे विभाज्य है?

Solutionसमाधान

4^61(1+4+16+64) = 4^61 × 85 = 4^61 × 5 × 17. So divisible by 17.

क्यों यह प्रश्न: Unit conversion — "x weeks और x days" — एक ही variable दोनों में। गलती यहाँ 7x और x को अलग-अलग मानने में होती है।

समाधान का रास्ता: x weeks = 7x days। Total days = 7x + x = 8x। Total minutes = 8x × 24 × 60 = 11520x।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2022

How many minutes are there in x weeks and x days?

x सप्ताह और x दिनों में कुल कितने मिनट होते हैं?

480x
192x
5760x
11520x

480x
192x
5760x
11520x

Solutionसमाधान

x weeks = 7x days, total = 8x days = 8x·24·60 minutes = 11520x minutes.

क्यों यह प्रश्न: Mixed घात expressions को एक base में convert करना — 27, 9, 3 सब 3 के रूप में। फिर divisors गिनना।

समाधान का रास्ता: 3⁸¹ - 3⁸⁰ - 3⁷⁹ = 3⁷⁹(9-3-1) = 3⁷⁹ × 5। 10 से कम divisors: 1, 3, 5, 9 — चार divisors → "more than 3"।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

27²⁷ - 9⁴⁰ - 3⁷⁹ is divisible by how many natural numbers less than 10?

1
2
3
More than 3

Solutionसमाधान

27²⁷ - 9⁴⁰ - 3⁷⁹ = 3⁸¹ - 3⁸⁰ - 3⁷⁹ = 3⁷⁹(3² - 3 - 1) = 3⁷⁹ × 5. So the expression equals 3⁷⁹ × 5. Natural numbers less than 10 that divide this: 1, 3, 5, 9 (=3²), and 15 is >10 not relevant. The divisors less than 10 are 1, 3, 5, 9 — that's 4 values, which is more than 3.

क्यों यह प्रश्न: HCF की algebraic property — HCF(p,q) = G हो तो HCF(p, p±q) क्या होगा? 2026 में directly पूछा गया।

समाधान का रास्ता: p = Ga, q = Gb, gcd(a,b)=1। p+q = G(a+b) और gcd(a, a+b) = 1 → HCF(p, p+q) = G। इसी तरह p-q के लिए भी। दोनों statements सही।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

If the HCF of p and q (p > q) is G, then which of the following statements is/are correct? I. HCF of p and (p + q) is G. II. HCF of p, (p - q) is G.

I only
II only
Both I and II
Neither I nor II

Solutionसमाधान

If HCF(p, q) = G, then p = Ga and q = Gb where gcd(a, b) = 1. Then p + q = G(a + b) and p - q = G(a - b). Since gcd(a, b) = 1, we also have gcd(a, a+b) = gcd(a, b) = 1 and gcd(a, a-b) = gcd(a, b) = 1. So HCF(p, p+q) = G·gcd(a, a+b) = G and HCF(p, p-q) = G·gcd(a, a-b) = G. Both statements are correct.

क्यों यह प्रश्न: HCF × LCM = p × q formula का reverse application। CDS में "एक unknown number निकालो" के ज़्यादातर प्रश्न इसी से आते हैं।

समाधान का रास्ता: p = 55 × 4 = 220। q = (44 × 4620) / 220 = 203280 / 220 = 924।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

The HCF and LCM of two numbers p and q are 44 and 4620 respectively. When p is divided by 55, the quotient is 4 and remainder is 0. What is the value of q?

770
924
1155
2310

Solutionसमाधान

When p divided by 55 gives quotient 4 and remainder 0, p = 55 × 4 = 220. We know HCF × LCM = p × q, so 44 × 4620 = 220 × q. Thus q = (44 × 4620)/220 = 203280/220 = 924.

क्यों यह प्रश्न: "Greatest number, same remainder" — differences का HCF। यह template बार-बार आता है, थोड़ा disguised होकर।

समाधान का रास्ता: अंतर: 631-600=31, 724-631=93, 724-600=124। HCF(31, 93, 124) = 31 (क्योंकि 31 × 3 = 93, 31 × 4 = 124)।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

Let N be the greatest number that will divide 600, 631 and 724, leaving the same remainder. What is the value of N?

Solutionसमाधान

If N divides each of these leaving the same remainder, then N divides the differences. Differences: 631 - 600 = 31, 724 - 631 = 93, 724 - 600 = 124. HCF of 31, 93, 124: 31 divides 93 (31×3) and 124 (31×4). So HCF = 31. Therefore N = 31.

क्यों यह प्रश्न: दशमलव संख्याओं का LCM — अधिकांश छात्र यहाँ decimal point गलत जगह रख देते हैं।

समाधान का रास्ता: सबसे ज़्यादा decimal places = 3। सबको ×1000: 3600, 9, 270। LCM = 10800। 10800 ÷ 1000 = 10.8।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

What is the LCM of 3.6, 0.009, 0.27?

5.4
10.8
16.2
21.6

Solutionसमाधान

Convert to fractions with same number of decimal places: 3.6 = 3600/1000, 0.009 = 9/1000, 0.27 = 270/1000. LCM = LCM(3600, 9, 270)/1000. LCM(3600, 9) = 3600 (since 9 divides 3600). LCM(3600, 270): 3600 = 2⁴·3²·5², 270 = 2·3³·5; LCM = 2⁴·3³·5² = 16·27·25 = 10800. So LCM = 10800/1000 = 10.8.

आम गलतियाँ

aⁿ + bⁿ में n की parity ignore करना: a⁴⁰ + b⁴⁰ (even n) (a+b) से विभाज्य नहीं होता — केवल odd n के लिए rule apply होता है। यह सबसे महँगी गलती है।
Unit conversion में partial multiplication: x weeks + x days में 7x + x = 8x करना भूल जाना और सिर्फ 7x × 24 × 60 calculate करना — x days miss हो जाते हैं।
दशमलव LCM में denominator गलत लगाना: 3.6, 0.009, 0.27 में denominator 100 लगाना (0.009 के 3 decimal places को ignore करके)। हमेशा सबसे ज़्यादा decimal places देखो।
HCF × LCM = p × q — तीन numbers पर apply करना: यह formula केवल दो numbers के लिए है। तीन numbers a, b, c के लिए HCF × LCM ≠ a × b × c।
"समान remainder" प्रश्न में अंतर गलत लेना: सिर्फ consecutive अंतर (b-a, c-b) लेना और c-a छोड़ देना। तीनों अंतर लो, फिर HCF निकालो।
3⁷⁹ × 5 के divisors गिनते समय 15 को < 10 मानना: 15 > 10 है, इसलिए count नहीं होगा। Divisors: 1, 3, 5, 9 — बस चार।

CDS गणित: संख्या पद्धति — विभाज्यता, HCF, LCM और शेषफल

अवधारणा

गहन विश्लेषण

विभाज्यता के महत्वपूर्ण नियम

बीजीय विभाज्यता के सूत्र

HCF और LCM — असली संबंध

दशमलव संख्याओं का LCM

घात वाले expressions को factor करना

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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