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CDS गणित: प्रतिशत और लाभ-हानि — सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए PYQs

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अवधारणा

प्रतिशत और लाभ-हानि — यह topic CDS में सबसे ज़्यादा directly पूछा जाने वाला arithmetic chapter है। देखो, यह पूरा chapter एक ही idea पर खड़ा है: क्रय मूल्य (Cost Price) और विक्रय मूल्य (Selling Price) के बीच का अंतर।

असल ज़िंदगी में सोचो — तुम एक दुकानदार हो। तुमने कोई चीज़ ₹100 में खरीदी (यही CP है)। अब तुम उसे ₹120 में बेचते हो (यही SP है)। तुम्हें ₹20 का फ़ायदा हुआ — यह लाभ है। अगर ₹80 में बेचते, तो ₹20 की हानि होती।

प्रतिशत सिर्फ़ यह बताता है कि यह लाभ या हानि, CP के कितने हिस्से के बराबर है।

मूल परिभाषाएँ:

क्रय मूल्य (CP): वह मूल्य जिस पर वस्तु खरीदी गई।
विक्रय मूल्य (SP): वह मूल्य जिस पर वस्तु बेची गई।
अंकित मूल्य (Marked Price / MP): दुकान पर जो price-tag लगी हो।
छूट (Discount): MP पर जो कमी दी जाती है।

ध्यान रखो: लाभ% और हानि% हमेशा CP पर निकाली जाती है, MP पर नहीं। यह गलती हर mock में दिखती है।

CDS के प्रश्नों में आमतौर पर तीन layer होती हैं — पहले CP निकालो, फिर SP, फिर लाभ/हानि% निकालो। या उल्टे क्रम में। जो candidate इस flow को automatically follow करता है, वह 30-40 सेकंड में answer करता है।

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र — इन्हें हाथ के पीछे की तरह याद रखो

$\text{लाभ\%} = \frac{SP - CP}{CP} \times 100$

$\text{हानि\%} = \frac{CP - SP}{CP} \times 100$

$SP = CP \times \left(1 + \frac{\text{लाभ\%}}{100}\right) \quad \text{(लाभ की स्थिति में)}$

$SP = CP \times \left(1 - \frac{\text{हानि\%}}{100}\right) \quad \text{(हानि की स्थिति में)}$

$CP = \frac{SP}{1 + \frac{\text{लाभ\%}}{100}} \quad \text{या} \quad CP = \frac{SP}{\text{multiplier}}$

Multiplier तकनीक — यही असली हथियार है

CDS में fractional calculation से बचने का सबसे अच्छा तरीका है multiplier।

| स्थिति | Multiplier | |---|---| | 15% लाभ | 1.15 | | 20% हानि | 0.80 | | 25% लाभ | 1.25 | | 10% हानि | 0.90 |

उदाहरण: SP = ₹34,500 और लाभ 15% है। $CP = \frac{34500}{1.15} = \frac{34500 \times 100}{115} = \frac{3450000}{115} = 30000$

Discount और Marked Price

$SP = MP \times \left(1 - \frac{\text{छूट\%}}{100}\right)$

$\text{वास्तविक लाभ\%} = \frac{SP - CP}{CP} \times 100$

जब दुकानदार MP पर X% छूट देता है लेकिन CP पर Y% लाभ कमाता है:

$SP = MP \times \left(1 - \frac{X}{100}\right) = CP \times \left(1 + \frac{Y}{100}\right)$

इसलिए: $\frac{MP}{CP} = \frac{1 + Y/100}{1 - X/100}$

y:z ratio वाले प्रश्न — CDS का पसंदीदा type

"y वस्तुओं का CP = z वस्तुओं का SP" — इस pattern को तुरंत पहचानो।

मान लो प्रति वस्तु CP = 1।

तो: $y \times 1 = z \times SP_{\text{per unit}}$

$\Rightarrow SP_{\text{per unit}} = \frac{y}{z}$

$\text\{लाभ\%} = \frac{y/z - 1}\{1\} \times 100 = \frac{y - z}{z} \times 100$

अगर y:z = 5:4, तो लाभ% = $\frac{5-4}\{4\} \times 100 = 25\%$

नियम: $\text\{लाभ\%} = \frac{y - z}{z} \times 100$ (जब y > z, लाभ; जब y < z, हानि)

दो transactions का combined result

जब एक व्यक्ति दो अलग-अलग लेनदेन करता है और overall कोई लाभ/हानि नहीं होती:

$\text{लाभ (Transaction 1)} = \text{हानि (Transaction 2)}$

यह directly amounts में बराबरी है, percentages में नहीं। पहले पहले transaction से actual रुपये में लाभ/हानि निकालो, फिर दूसरे transaction में वह apply करो।

Listed Price वाले प्रश्न — एक और CDS pattern

"Listed price के 3/4 पर खरीदा, listed price के 150% पर बेचा।"

यहाँ listed price को base (100) मानो, CP और SP दोनों उसी के संदर्भ में निकालो, फिर लाभ% CP पर निकालो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternMultiplier से CP निकालो — भिन्न से बचो

जब SP और लाभ/हानि% दोनों दिए हों तो सीधे भिन्न बनाने के बजाय multiplier use करो।

उदाहरण: SP = ₹34,500, लाभ = 15% Standard तरीका: CP = 34500 × 100/115 → 3 steps, 45 सेकंड। Shortcut: 34500 ÷ 1.15 → 34500 × 20/23 → 1500 × 20 = 30000 → 12 सेकंड।

Multiplier list याद रखो: 10%→1.1, 15%→1.15, 20%→1.2, 25%→1.25, 33.33%→4/3। इन्हें fraction में convert करके divide करो — calculation तेज़ होगी।

patterny:z Ratio का Direct Formula

"y वस्तुओं का CP = z वस्तुओं का SP" type के प्रश्नों में variables assign करने की ज़रूरत नहीं।

सीधे formula: $\text\{लाभ\%} = \frac{y - z}{z} \times 100$

उदाहरण: y:z = 5:4 → लाभ% = (5−4)/4 × 100 = 25% → 8 सेकंड। Standard method (variables assign करके): 35-40 सेकंड।

अगर z > y हो तो हानि% = (z−y)/z × 100।

substitutionListed/Marked Price को 100 मान लो

जब question में "listed price के fraction पर खरीदा" और "listed price के x% ज़्यादा पर बेचा" — यह pattern दिखे, तो LP = 100 assume करो।

उदाहरण: LP के 3/4 पर खरीदा, LP से 50% ज़्यादा पर बेचा। LP = 100 → CP = 75, SP = 150 → लाभ = 75 → लाभ% = 75/75 × 100 = 100%। पूरा calculation 15 सेकंड। Variables के साथ: 45+ सेकंड।

eliminationOverall No Gain-No Loss: Amount बराबर करो

जब दो transactions में overall कोई लाभ/हानि नहीं — तो पहले transaction का actual लाभ (₹ में) निकालो। वही दूसरे transaction की actual हानि (₹ में) होगी।

Example: X पर 15% लाभ = ₹4500 → Y की हानि = ₹4500। Y पर 10% हानि → CP of Y = 4500/0.10 = ₹45,000 → SP of Y = 45000 − 4500 = ₹40,500। यह approach percentages को mix करने की गलती से बचाती है। Standard method में 60s, यह approach 20s।

vedicनिखिलम् से Fast Multiplication — Round Numbers के लिए

सूत्र: निखिलम् नवतश्चरमम् दशतः (Nikhilam)

जब CP को multiplier से गुणा करना हो और number 1000 के करीब हो: उदाहरण: 45000 × 0.90 → 45000 − 4500 = 40500 → 5 सेकंड। या: 30000 × 1.15 → 30000 + 4500 = 34500 → 5 सेकंड।

जब भी multiplier 0.9, 1.1, 0.8, 1.2 जैसा साफ़ हो और CP round number हो — यह sutra सीधे apply होता है। Standard long multiplication: 20s+।

तेज़-समाधान रूपरेखा

CDS exam hall में यह decision tree follow करो:

Step 1 — क्या दिया है?

CP दिया है → सीधे SP निकालो (multiplier लगाओ)
SP दिया है → CP निकालो (SP ÷ multiplier)
दोनों दिए हैं → सीधे लाभ/हानि% निकालो

Step 2 — Question type पहचानो:

y:z ratio → Formula: (y−z)/z × 100 — सीधे apply करो
Listed/Marked price → LP = 100 assume करो
Two transactions, no overall gain/loss → पहले ₹ में लाभ/हानि निकालो, फिर दूसरे transaction में apply करो
Discount + Profit → SP = MP(1−d%) = CP(1+p%) — दोनों को बराबर करो

Step 3 — Calculation:

Round numbers दिखें → Vedic multiplication (निखिलम्)
Fraction multiplier दिखे → पहले simplify करो (1.15 = 23/20)
Variables avoid करो, सीधे numbers से काम करो

Step 4 — Check करो: क्या लाभ% CP पर निकाली? क्या discount MP से घटाया?

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह CDS 2025 का प्रश्न दो transactions के combined result का classic pattern है। परीक्षा में यह type बार-बार आता है और ज़्यादातर candidates percentages को directly जोड़ने की गलती करते हैं।

समाधान का रास्ता: पहले X का CP निकालो (multiplier से), फिर X पर actual रुपये में लाभ निकालो। चूँकि overall कोई लाभ/हानि नहीं, Y पर हानि = X पर लाभ (रुपये में)। फिर Y का CP और SP निकालो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

A person sells article X for ₹34,500 and makes a profit of 15%. He sells article Y at a loss of 10%. He neither loses nor gains on the whole because of these two transactions. What is the selling price of article Y?

₹40,000
₹40,500
₹41,000
₹51,500

Solutionसमाधान

Cost price of X = 34500/1.15 = ₹30,000, so profit on X = ₹4500. For no overall gain/loss, loss on Y must equal ₹4500. Loss of 10% means CP of Y × 0.10 = 4500, so CP of Y = ₹45,000. Selling price of Y = 45000 − 4500 = ₹40,500.

क्यों यह प्रश्न: CDS 2024 का यह प्रश्न "listed price के fraction पर खरीदना और listed price से ज़्यादा पर बेचना" — इस pattern को test करता है। यहाँ trap यह है कि candidates लाभ% गलती से listed price पर निकाल देते हैं, CP पर नहीं।

समाधान का रास्ता: Listed price = 100 assume करो। CP = 75, SP = 150। लाभ = 75। लाभ% = (75/75) × 100 = 100%। यहाँ substitution method सबसे तेज़ है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

A person bought a book at 3/4th of its listed price and sold it at 50% more than its listed price. What is the percentage of gain in the transaction ?

20%
40%
75%
100%

Solutionसमाधान

Let listed price = 100. Cost price = 3/4 × 100 = 75. Selling price = 100 + 50 = 150. Gain = 150 − 75 = 75. Gain% = (75/75) × 100 = 100%.

क्यों यह प्रश्न: CDS 2024 का यह प्रश्न y:z ratio का textbook example है। यह pattern तीन-चार साल में एक बार ज़रूर आता है और जिसे direct formula पता है, वह 10 सेकंड में solve कर देता है।

समाधान का रास्ता: y:z = 5:4। Formula: लाभ% = (y−z)/z × 100 = (5−4)/4 × 100 = 25%। Alternatively, CP per article = 1, SP per article = y/z = 5/4, लाभ = 1/4, लाभ% = 25%।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

The cost price of y articles is equal to selling price of z articles. If y : z = 5 : 4, what is the profit percentage?

Solutionसमाधान

Let CP per article = 1. CP of y articles = y = SP of z articles, so SP per article = y/z = 5/4. Profit per article = 5/4 - 1 = 1/4. Profit% = (1/4)/1 × 100 = 25%.

आम गलतियाँ

लाभ% को CP की जगह SP पर निकालना: "₹120 में बेचा, ₹20 लाभ हुआ तो लाभ% = 20/120 × 100 = 16.67%" — यह गलत है। लाभ% हमेशा CP पर: 20/100 × 100 = 20%।
Discount को CP से घटाना: Discount हमेशा MP (Marked Price) पर होती है, CP पर नहीं। SP = MP − Discount, CP से directly कोई संबंध नहीं।
दो transactions में percentages को directly जोड़ना: "15% लाभ और 10% हानि, तो net = 5% लाभ" — यह पूरी तरह गलत है। पहले actual रुपये में लाभ/हानि निकालो, फिर compare करो।
y:z ratio में numerator और denominator उलटना: "y articles का CP = z articles का SP" में अगर y > z है तो लाभ होगा। अगर तुमने उलट दिया तो answer हानि में आ जाएगा। Formula: लाभ% = (y−z)/z × 100 — denominator z है, y नहीं।
Listed Price को Cost Price समझ लेना: जब question में "listed price" या "marked price" आए, वह CP नहीं है। CP अलग से दिया जाएगा या fraction में।
Multiplier को 100 से भाग देना भूल जाना: CP निकालते समय कुछ candidates SP को 1.15 से गुणा कर देते हैं, भाग नहीं करते। याद रखो: CP = SP ÷ multiplier, SP = CP × multiplier।

CDS गणित: प्रतिशत और लाभ-हानि — सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए PYQs

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र — इन्हें हाथ के पीछे की तरह याद रखो

Multiplier तकनीक — यही असली हथियार है

Discount और Marked Price

y:z ratio वाले प्रश्न — CDS का पसंदीदा type

दो transactions का combined result

Listed Price वाले प्रश्न — एक और CDS pattern

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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