CDS गणित: अनुपात, समानुपात और विचरण — पूर्ण अध्ययन सामग्री

अवधारणा

अनुपात दो राशियों की तुलना है — यह बताता है कि एक राशि दूसरी से कितने गुना बड़ी या छोटी है। $a : b$ का अर्थ है $\frac{a}{b}$, और यह केवल तब अर्थपूर्ण है जब दोनों राशियाँ एक ही इकाई में हों।

समानुपात चार राशियों का एक संबंध है — $a : b :: c : d$ का अर्थ है $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$। इसे ऐसे समझो: अगर एक दुकानदार 3 kg चावल में ₹120 लगाता है, तो 5 kg में कितना लगेगा? यह समानुपात है।

विचरण इससे एक कदम आगे है। यह दो चरों (variables) के बीच के नियमित संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त करता है:

• सीधा विचरण (Direct Variation): $x \propto y$ अर्थात $x = ky$ — जैसे-जैसे $y$ बढ़े, $x$ भी उसी अनुपात में बढ़े। उदाहरण: पेट्रोल की कीमत और तय दूरी।
• व्युत्क्रम विचरण (Inverse Variation): $x \propto \frac\{1\}{y}$ अर्थात $xy = k$ — जैसे-जैसे $y$ बढ़े, $x$ घटे। उदाहरण: काम करने वाले मजदूरों की संख्या और काम पूरा होने का समय।
• संयुक्त विचरण (Joint Variation): $x \propto yz$ — $x$ एक साथ दो चरों पर निर्भर करता है।

CDS में विचरण के प्रश्न अक्सर इस रूप में आते हैं: "यदि $x$ सीधे $y$ के अनुपात में बदलता है, तो $x^2 + y^2$ किसके अनुपात में बदलेगा?" — यहाँ algebraic manipulation ही असली skill है।

एक ज़रूरी बात: CDS के अनुपात-समानुपात के प्रश्नों में Componendo-Dividendo और पार-गुणन (cross-multiplication) सबसे ज़्यादा काम आते हैं। इन्हें हाथ में रखो।

गहन विश्लेषण

अनुपात के मूल नियम

अनुपात $a : b$ में:

• $a$ को पूर्वपद (antecedent) और $b$ को उत्तरपद (consequent) कहते हैं।
• अनुपात में दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है: $a : b = ka : kb$।
• Invertendo: $a : b = c : d \Rightarrow b : a = d : c$
• Alternendo: $a : b = c : d \Rightarrow a : c = b : d$
• Componendo: $a : b = c : d \Rightarrow (a+b) : b = (c+d) : d$
• Dividendo: $a : b = c : d \Rightarrow (a-b) : b = (c-d) : d$
• Componendo-Dividendo (सबसे महत्वपूर्ण): $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$

यह आखिरी नियम CDS में बार-बार काम आता है। जब भी प्रश्न में $(a+b):(a-b)$ का अनुपात पूछा जाए और $a:b$ दिया हो — सीधे Componendo-Dividendo लगाओ।

समानुपात के प्रकार

तृतीय समानुपात (Third Proportional): $a, b, x$ में $\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$, तो $x = \frac{b^2}{a}$।

मध्यानुपाती (Mean Proportional): $a, x, b$ में $x^2 = ab$, तो $x = \sqrt{ab}$।

चतुर्थ समानुपाती (Fourth Proportional): $a : b = c : x$, तो $x = \frac{bc}{a}$।

विचरण का algebraic तरीका

CDS में विचरण के प्रश्नों का एकमात्र तरीका है — constant $k$ मान लो और substitute करो।

सीधा विचरण: $x \propto y \Rightarrow x = ky$

अब अगर पूछा जाए कि $x^3/y^4$ किसके proportional है: $\frac{x^3}{y^4} = \frac{(ky)^3}{y^4} = \frac{k^3 y^3}{y^4} = \frac{k^3}{y}$ चूँकि $k^3$ constant है, $\frac{x^3}{y^4} \propto \frac\{1\}{y}$ — यह $y$ के व्युत्क्रम में विचरण करता है, $y$ के सीधे नहीं।

व्युत्क्रम विचरण: $x \propto \frac\{1\}{y} \Rightarrow x = \frac{k}{y} \Rightarrow xy = k$

संयुक्त विचरण: $z \propto x^m y^n \Rightarrow z = k x^m y^n$

तीन चरों वाले अनुपात प्रश्न

CDS में एक खास pattern है: $(x+y) : (y+z) : (z+x) = a : b : c$ दिया होता है और $x+y+z$ की कुल value भी दी होती है। तरीका:

मान लो $(x+y) = ak$, $(y+z) = bk$, $(z+x) = ck$। तब $2(x+y+z) = (a+b+c)k$, जिससे $k$ निकलता है। फिर: $z = (x+y+z) - (x+y)$, $x = (x+y+z) - (y+z)$, $y = (x+y+z) - (z+x)$।

यह substitution approach CDS के 2024-2025 के कई प्रश्नों में direct काम आई है।

ratio को algebra से जोड़ना

जब दो अनुपात दिए हों और numbers निकालने हों — जैसे "P+1 का Q+1 से अनुपात 7:10 है और P+3 का Q+3 से अनुपात 3:4 है" — तो:

1. Cross-multiply करके दो linear equations बनाओ।
2. Elimination method से P और Q निकालो।
3. फिर जो भी पूछा हो, उससे calculate करो।

इस chapter में linear equations की समझ ज़रूरी है। अगर वो कमज़ोर है, तो पहले उसे ठीक करो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में यह decision tree follow करो:

प्रश्न किस प्रकार का है?

1. "$x \propto y$ दिया है, $f(x,y)$ किसके proportional है?" → तुरंत $x = ky$ लिखो और substitute करो। $k$ हटाओ, $y$ की power देखो।

2. "$(a+b):(b+c):(c+a)$ ratio दिया है, $a, b, c$ निकालो।" → तीन-चर k-method: $\text{sum} = 2S$, $k$ निकालो, फिर subtraction से values।

3. "एक ratio बदल जाने पर दूसरा ratio पूछा है।" → $a = mt$, $b = nt$ मानो → conditions से $t$ → answer।

4. "Ratio of sums/differences of numbers पूछा है।" → Componendo-Dividendo सीधे apply करो। Algebra मत करो।

5. "Real-world variation प्रश्न — engine, speed, wagons।" → $\text{quantity} = \text{base} \pm k \cdot f(\text{variable})$ का formula बनाओ → given condition से $k$ निकालो → required condition apply करो।

समय-सीमा: प्रत्येक ratio-proportion प्रश्न 90 seconds में हल होना चाहिए। अगर 2 minutes से ज़्यादा लग रहे हैं, तो approach गलत है — back करो और k-method आज़माओ।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न विचरण की algebraic समझ को सीधे test करता है — क्या तुम $x = ky$ लिखकर mechanical substitution कर सकते हो? CDS में इस pattern के 2-3 प्रश्न हर साल आते हैं।

समाधान का रास्ता: $x = ky$ लिखो → Statement I: $x^2 + y^2 = k^2y^2 + y^2 = (k^2+1)y^2$, जो $y^2$ के सीधे proportional है ✓। Statement II: $x^3/y^4 = k^3y^3/y^4 = k^3/y$, यह $y$ के व्युत्क्रम में है, सीधे नहीं ✗। केवल I सही।

क्यों यह प्रश्न: Real-world application of variation — speed का formula $40 - k\sqrt{n}$ बनाना और फिर "unable to move" condition ($\text{speed} \leq 0$) पर inequality solve करना।

समाधान का रास्ता: Speed $= 40 - k\sqrt{n}$। $n=36$ पर speed $= 16$: $16 = 40 - 6k \Rightarrow k = 4$। Speed $\leq 0$ के लिए: $40 - 4\sqrt{n} \leq 0 \Rightarrow \sqrt{n} \geq 10 \Rightarrow n \geq 100$। न्यूनतम $n = 100$।

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न दो conditions से linear equations बनाकर P और Q निकालने का है, फिर $(x+y):(x-y)$ compute करना है। यहाँ $P:Q = x:y$ का अर्थ $x$ और $y$ lowest form के coefficients हैं।

समाधान का रास्ता: Cross-multiply करके दो equations: $10P - 7Q = -3$ और $4P - 3Q = -3$। Elimination: पहली को 3 से और दूसरी को 7 से गुणा करो → $2P = 12 \Rightarrow P = 6$, $Q = 9$। $P:Q = 6:9 = 2:3$, तो $x=2, y=3$। $(x+y):(x-y) = 5:(-1) = -5$।

क्यों यह प्रश्न: तीन-चर ratio का classic CDS pattern — $(x+y):(y+z):(z+x)$ ratio और $x+y+z$ की value दोनों दिए हैं। k-method का perfect उदाहरण।

समाधान का रास्ता: $x+y = 3k$, $y+z = 5k$, $z+x = 6k$। $2(x+y+z) = 14k \Rightarrow x+y+z = 7k = 14 \Rightarrow k=2$। $z = 14-6 = 8$, $x = 14-10 = 4$, $y = 14-12 = 2$। $x^2+y^2+z^2 = 16+4+64 = 84$।

क्यों यह प्रश्न: $(a+b):(a-b) = 5:1$ दिया है — Componendo-Dividendo का textbook application। यहाँ $a/b$ का ratio तुरंत मिलता है।

समाधान का रास्ता: $\frac{a+b}{a-b} = \frac\{5\}\{1\}$। Componendo-Dividendo से: $\frac{a}{b} = \frac{5+1}{5-1} = \frac\{6\}\{4\} = \frac\{3\}\{2\}$। $a=3, b=2$ लो। $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{9+4}{9-4} = \frac\{13\}\{5\}$।

क्यों यह प्रश्न: Multiple ratios को combine करके एक expression evaluate करना। Unit method यहाँ सबसे fast है।

समाधान का रास्ता: $m=1, n=2, p=3, q=4$ directly लो (ratio values)। $2m+4p = 2+12 = 14$। $n+3q = 2+12 = 14$। Ratio $= 1:1$।

क्यों यह प्रश्न: $(a+b):(b+c):(c+a)$ ratio से individual values निकालकर एक complex expression evaluate करना। k-method का direct test।

समाधान का रास्ता: $a+b=5k$, $b+c=7k$, $c+a=6k$। $2(a+b+c)=18k \Rightarrow a+b+c=9k$। $c=4k$, $a=2k$, $b=3k$। $a-b+c = 2k-3k+4k = 3k$। $a+b-c = 2k+3k-4k = k$। Ratio $= 3:1$।

क्यों यह प्रश्न: $P^2 \propto R$ और $Q^2 \propto R$ दिए हैं — तीनों combinations ($P^2+Q^2$, $PQ$, $P^2-Q^2$) की proportionality जाँचनी है। यह 2024 का trick question है।

समाधान का रास्ता: $P^2 = aR$, $Q^2 = bR$। $P^2+Q^2 = (a+b)R \propto R$ ✓। $P^2-Q^2 = (a-b)R \propto R$ ✓। $PQ = \sqrt{abR^2} = R\sqrt{ab} \propto R$ ✓। तीनों सही।

आम गलतियाँ

• $x \propto y$ को $x = y$ समझना। $x \propto y$ का अर्थ $x = ky$ है, जहाँ $k$ कोई भी non-zero constant हो सकता है। $k=1$ मानना गलत है और गलत answer देगा। हर बार $k$ लिखो।

• Componendo-Dividendo उलटा लगाना। $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$ तब मिलता है जब $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$। इसे $\frac{a}{b}$ से $\frac{a+b}{a-b}$ में convert करने के लिए: numerator और denominator में $b$ मिलाओ-घटाओ, $b$ divide करो — लेकिन शॉर्टकट यह है: $\frac{a+b}{a-b} = \frac{(a/b)+1}{(a/b)-1}$। ratio $m:n$ दिया हो तो answer सीधे $\frac{m+n}{m-n}$ है।

• तीन-चर ratio में $k$ भूल जाना। $(x+y):(y+z):(z+x) = 3:5:6$ देखकर directly $x+y = 3$, $y+z = 5$ मत मानो। हमेशा $x+y = 3k$, $y+z = 5k$, $z+x = 6k$ लिखो और दी गई sum से $k$ निकालो।

• $P:Q = x:y$ को $P = x$ और $Q = y$ मानना। $P:Q = 2:3$ का अर्थ $P = 2t$ और $Q = 3t$ है किसी $t$ के लिए। जब तक कोई और condition न हो, $P$ का exact value नहीं पता। बिना $t$ के P और Q की value assign करोगे तो proportionality निकल जाएगी, पर absolute values गलत होंगी।

• PQ की proportionality में square root भूलना। $P^2 \propto R$ और $Q^2 \propto R$ से $PQ$ निकालने में $PQ = \sqrt{P^2 \cdot Q^2} = \sqrt{abR^2} = R\sqrt{ab}$ लिखना ज़रूरी है। सीधे $PQ = \sqrt{ab}R$ लिखोगे तो सही है, पर बिना square root लिए $PQ = abR^2$ लिख देना एक common blunder है।

• "Unable to move" condition में strict inequality। जब speed $\leq 0$ होने पर engine रुकता है — $= 0$ पर भी रुकता है। इसलिए $40 - 4\sqrt{n} = 0 \Rightarrow n = 100$ — यही न्यूनतम value है। $n = 99$ पर engine अभी भी चल सकता है ($\sqrt\{99\} < 10$)। Off-by-one error बहुत common है।

संबंधित विषय

• percentage
• profit loss
• time work
• time speed distance
• mixture alligation
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