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CDS गणित: साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

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अवधारणा

ब्याज की अवधारणा इतनी सरल है कि उसे एक वाक्य में कहा जा सकता है: पैसा उधार देने की कीमत। जब तुम किसी को पैसा देते हो और बदले में अतिरिक्त राशि माँगते हो — वह ब्याज है।

मूलधन (Principal — P): वह आरंभिक राशि जो उधार दी या ली गई।

दर (Rate — R): प्रति वर्ष कितने प्रतिशत ब्याज।

समय (Time — T): कितने वर्षों के लिए।

मिश्रधन (Amount — A): मूलधन + ब्याज।

साधारण ब्याज (SI) में हर बार मूलधन पर ही ब्याज लगता है। मान लो तुमने ₹1000 दिए — हर साल ₹100 ब्याज मिलेगा (10% पर)। दूसरे साल भी ₹100, तीसरे साल भी ₹100। ब्याज कभी बढ़ता नहीं।

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) में ब्याज खुद भी ब्याज कमाता है। पहले साल के ₹100 ब्याज को दूसरे साल के मूलधन में जोड़ दो — अब ₹1100 पर ब्याज लगेगा। यही "चक्र" है — हर period के अंत में ब्याज मूलधन में मिल जाता है।

सहज सादृश्य: SI एक सीधी सड़क है — हर किलोमीटर बराबर। CI एक घुमावदार चढ़ाई है — हर कदम के साथ ऊँचाई तेज़ी से बढ़ती है।

CDS में यह topic इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यहाँ तिमाही/अर्धवार्षिक compounding, न्यूनतम वर्ष वाले प्रश्न, और दो loans वाले combined SI प्रश्न बार-बार आते हैं।

गहन विश्लेषण

साधारण ब्याज के सूत्र

$SI = \frac{P \times R \times T}{100}$

$A = P + SI = P\left(1 + \frac{RT}{100}\right)$

एक ज़रूरी pattern: अगर राशि $n$ गुनी हो जाती है $T$ वर्षों में, तो:

$SI = (n-1)P \quad \Rightarrow \quad \frac{P \times R \times T}{100} = (n-1)P$

$RT = 100(n-1)$

इसलिए: अगर 8 वर्षों में 3 गुनी होती है → $R \times 8 = 200$ → $R = 25\%$ ।

20 वर्षों में: $SI = P \times 25\% \times 20 = 5P$ → Amount $= 6P$ → $n = 6$ ।

यह pattern याद रखो — CDS में सीधे इसी पर प्रश्न आते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र

वार्षिक compounding:

$A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^T$

तिमाही (quarterly) compounding:

$A = P\left(1 + \frac{R}{400}\right)^{4T}$

अर्धवार्षिक (half-yearly) compounding:

$A = P\left(1 + \frac{R}{200}\right)^{2T}$

सामान्य नियम: जब compounding period बदले, rate और time दोनों scale होते हैं।

तिमाही → Rate ÷ 4, Time × 4
अर्धवार्षिक → Rate ÷ 2, Time × 2

SI और CI का अंतर — 2 वर्षों के लिए shortcut

2 वर्षों के लिए:

$CI - SI = P \times \left(\frac{R}{100}\right)^2$

यह सूत्र बहुत काम का है। अगर पूछा जाए कि 2 साल में CI और SI का अंतर क्या है — सीधे यह लगाओ।

3 वर्षों के लिए:

$CI - SI = P\left(\frac{R}{100}\right)^2 \left(3 + \frac{R}{100}\right)$

न्यूनतम वर्ष वाले प्रश्न (Doubling / n-times)

जब पूछा जाए "कितने साल में राशि 2 गुनी/100 गुनी होगी" — logarithm लगाना पड़ता है।

$(1+r)^n > k$ को हल करने के लिए:

$n > \frac{\log k}{\log(1+r)}$

उदाहरण: 20% CI पर 2 गुनी कब?

$(1.2)^n > 2$

$n > \frac{\log 2}{\log 1.2} = \frac{0.301}{0.079} \approx 3.8$

न्यूनतम पूर्णांक = 4

100 गुनी वाले प्रश्न के लिए:

$\log(1.2) = \log(12) - 1 = \log(4 \times 3) - 1 = 2\log 2 + \log 3 - 1$ $= 2(0.301) + 0.477 - 1 = 0.079$

$n > \frac\{2\}{0.079} \approx 25.3$ → न्यूनतम $n = 26$

CDS परीक्षा में $\log 2$ और $\log 3$ के मान दिए जाते हैं — इन्हें तुरंत पहचानो।

दो अलग-अलग loans वाले प्रश्न

CDS 2026 में यह pattern आया: एक loan पर एक दर, दूसरे पर दूसरी दर, अलग समयावधि।

तरीका:

हर loan का SI अलग-अलग निकालो।
दोनों को जोड़ो और दी गई total के बराबर रखो।
अज्ञात rate के लिए हल करो।

मान लो पहली दर $R\%$ है, दूसरी $2R\%$ :

पहला loan (₹16,000) 12 महीनों के लिए: $SI_1 = \frac{16000 \times R \times 1}\{100\} = 160R$
दूसरा loan (₹24,000) 8 महीनों के लिए: $SI_2 = \frac{24000 \times 2R \times \frac\{8\}\{12\}}\{100\} = 320R$
कुल: $480R = 4800 \Rightarrow R = 10\%$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternतिमाही compounding — Rate और Period का instant रूपांतरण

जब भी quarterly compounding दिखे, एक काम तुरंत करो: Rate को 4 से भाग दो और months को 3 से भाग दो (quarters निकालो)।

उदाहरण: 12% वार्षिक, 9 महीने, quarterly:

Quarterly rate = 12/4 = 3%
n (quarters) = 9/3 = 3

Amount = $10000 \times (1.03)^3$

$(1.03)^3 = 1.03 \times 1.03 \times 1.03 = 1.0609 \times 1.03 = 1.092727$

ब्याज = ₹927.27

Standard method (पूरा formula याद करना + गलत n लगाना): 90 seconds। यह pattern: 30 seconds।

estimationDoubling time — 72 का नियम (Rule of 72)

जब पूछा जाए "कितने साल में राशि 2 गुनी होगी" और options पास-पास हों — 72 को rate से भाग दो।

Doubling time ≈ $\frac\{72\}\{R\%\}$

20% पर: $72/20 = 3.6$ → लगभग 4 साल (exact: 3.8 → ceiling = 4)।

यह logarithm बिना 5 seconds में answer देता है। Exact calculation: 40-50 seconds।

ध्यान: यह estimation है — जब options 3, 4, 5 हों तो काम करता है। जब options 25, 26 हों, वहाँ exact log calculation करो।

patternn-गुना SI प्रश्न — RT = 100(n-1) pattern

"राशि T वर्षों में n गुनी हो जाती है" — यह देखते ही सीधे लिखो:

$R \times T = 100(n-1)$

3 गुनी, 8 साल → $R \times 8 = 200$ → $R = 25\%$

फिर नए T के लिए: Amount = $P\left(1 + \frac{25 \times 20}\{100\}\right) = 6P$

Quadratic या lengthy calculation की ज़रूरत नहीं। 4 steps बनाम 2 steps।

pattern2-वर्षीय CI−SI अंतर — सीधा सूत्र

जब 2 साल के SI और CI का अंतर पूछा जाए:

$CI - SI = P \times \left(\frac{R}\{100\}\right)^2$

P = ₹10,000, R = 10%: अंतर = $10000 \times 0.01 = ₹100$

Longhand (दोनों अलग निकालकर घटाना): 6 steps। यह shortcut: 1 step।

substitutionएक quarter की growth — सीधे 1+r/4 से गुणा

जब सिर्फ एक तिमाही की बात हो (जैसे 3 months, quarterly compounding):

$A = P \times \left(1 + \frac{R}\{400\}\right)$

₹3300, 12% quarterly, 3 months: $A = 3300 \times 1.03 = ₹3399$

यह 1 गुणा है — 3 seconds। पूरा formula लिखने की ज़रूरत नहीं।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में यह decision tree अपनाओ:

Step 1 — SI है या CI?

"साधारण ब्याज" / "simple interest" → SI formula
"चक्रवृद्धि" / "compound" → CI formula

Step 2 — CI है तो compounding period क्या है?

वार्षिक → Rate और Time as-is
तिमाही → Rate ÷ 4, Time (months ÷ 3 = quarters)
अर्धवार्षिक → Rate ÷ 2, Time × 2

Step 3 — प्रश्न का type क्या है?

n-गुना / doubling → $RT = 100(n-1)$ (SI) या logarithm (CI)
अंतर पूछा है → $CI - SI = P(R/100)^2$ (2 साल के लिए)
दो loans → हर SI अलग निकालो, जोड़ो, बराबर करो
Amount पूछा → formula में सीधे plug in

Step 4 — Calculation:

$(1.03)^3$ , $(1.01)^4$ जैसे आसान powers हाथ से निकालो
$\log$ वाले प्रश्नों में दिए गए values तुरंत use करो

गलत option को eliminate करो: CI हमेशा SI से बड़ा होता है (same P, R, T के लिए)। अगर option में CI < SI दिख रहा है — वह गलत है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह quarterly compounding का सबसे direct प्रश्न है — CDS में बार-बार इसी pattern पर प्रश्न आते हैं। Rate और Time का सही रूपांतरण जानना ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: 12% वार्षिक → quarterly rate = 3%। 9 महीने → 3 quarters। $(1.03)^3 = 1.092727$ → ब्याज = ₹927.27।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2023

A person borrowed ₹10,000 at 12% rate of interest per annum compounded quarterly for a period of 9 months. What is the interest paid by him to settle his account after 9 months?

एक व्यक्ति ने ₹10,000 की राशि 12% वार्षिक ब्याज दर पर तिमाही चक्रवृद्धि के आधार पर 9 महीनों के लिए उधार ली। 9 महीने बाद अपना हिसाब चुकाने के लिए उसने कितना ब्याज चुकाया?

₹947.47
₹987.87
₹927.27
₹967.67

₹947.47
₹987.87
₹927.27
₹967.67

Solutionसमाधान

Quarterly rate = 3%, n = 3. Amount = 10000(1.03)³ = 10000 × 1.092727 = 10927.27. Interest = ₹927.27.

क्यों यह प्रश्न: 100 गुना होने वाले प्रश्न में logarithm की exact calculation दिखती है — CDS 2023 में यही आया। Log के मान दिए जाते हैं, उन्हें सही जगह लगाना है।

समाधान का रास्ता: $\log(1.2) = 2(0.301) + 0.477 - 1 = 0.079$ । $n > 2/0.079 = 25.3$ → न्यूनतम $n = 26$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2023

A sum of money at 20% rate of compound interest per annum becomes more than 100 times in n years. What is the least value of n? (Use log₁₀2 = 0.301, log₁₀3 = 0.477)

20% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर पर कोई राशि n वर्षों में 100 गुने से अधिक हो जाती है। n का न्यूनतम मान क्या होगा? (log₁₀2 = 0.301, log₁₀3 = 0.477 लें)

Solutionसमाधान

(1.2)^n > 100. n·log(1.2) > 2. log(1.2) = log(12)−1 = log4+log3−1 = 2·0.301+0.477−1 = 0.602+0.477−1 = 0.079. n > 2/0.079 ≈ 25.3. Least integer = 26.

क्यों यह प्रश्न: एक quarter का compounding — सबसे छोटा और सबसे fast हल। यह पहचानना है कि सिर्फ एक period है।

समाधान का रास्ता: 3 months = 1 quarter। Quarterly rate = 3%। $3300 \times 1.03 = 3399$ । एक गुणा, बस।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

In what duration of time will ₹3300 become ₹3399 at 12% per annum interest compounded quarterly?

3 months
6 months
9 months
1 year

Solutionसमाधान

Quarterly rate = 12%/4 = 3% per quarter. After 1 quarter (3 months): 3300 × 1.03 = 3399. So the duration is 3 months.

क्यों यह प्रश्न: दो loans वाला combined SI प्रश्न — rate अज्ञात, time अलग-अलग। CDS 2026 में यही pattern था।

समाधान का रास्ता: पहले rate $R$ के लिए equation बनाओ: $160R + 320R = 4800$ → $R = 10\%$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

A person borrows a sum of ₹16,000 on simple interest at the beginning of a year. After 4 months, ₹24,000 more is borrowed at a rate of interest double the previous one. At the end of the year, the total interest on both the loans is ₹4800. What is the initial rate of interest per annum?

Solutionसमाधान

Let the initial rate be R% per annum. Interest on first loan for 12 months = 16000 × R × 1/100 = 160R. Interest on second loan (₹24,000) at rate 2R% for 8 months = 24000 × 2R × 8/(100 × 12) = 320R. Total interest = 160R + 320R = 480R. Given 480R = 4800, so R = 10%. Hence the initial rate of interest is 10% per annum.

क्यों यह प्रश्न: उसी प्रश्न का दूसरा भाग — ratio निकालना। Rate मिल जाए तो ratio automatic आता है।

समाधान का रास्ता: $SI_1 = 160 \times 10 = 1600$ , $SI_2 = 320 \times 10 = 3200$ । Ratio = 1:2।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

For the next two (02) items that follow: At the beginning of a year a person borrows an amount of Rs. 16,000 at simple interest. After 4 months, a further amount of Rs. 24,000 is borrowed at twice the rate of interest of the first. At the end of the year, the total interest on both the loans is Rs. 4,800. What is the ratio of interests on the first and second loans?

1 : 2
2 : 3
3 : 4
4 : 5

Solutionसमाधान

With r = 10%, interest on first loan = 160r = 1600. Interest on second loan = 320r = 3200. Ratio = 1600 : 3200 = 1 : 2.

क्यों यह प्रश्न: "कम से कम कितने साल में 2 गुनी" — 72 का नियम estimate देता है, फिर verification करते हैं।

समाधान का रास्ता: $(1.2)^4 = 2.0736 > 2$ , $(1.2)^3 = 1.728 < 2$ । Answer = 4 साल।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

What is the least number of complete years in which a sum of money put out at 20% compound interest (compounded annually) will be more than doubled?

Solutionसमाधान

We need (1.2)^n > 2. (1.2)² = 1.44, (1.2)³ = 1.728, (1.2)⁴ = 2.0736 > 2. So n = 4 years.

क्यों यह प्रश्न: 4% quarterly, 1 साल — $(1.01)^4$ को approximate करना है। "Approximate value" वाले प्रश्न CDS में आते हैं।

समाधान का रास्ता: $(1.01)^4 \approx 1.04060$ → Amount $\approx ₹10,406$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

How much will ₹10,000 amount to in one year's time at 4% rate of interest per annum if the interest is compounded once in every three months? (take approximate value)

₹10,406
₹10,416
₹10,426
₹10,436

Solutionसमाधान

Compounded quarterly, rate per quarter = 1%, periods = 4. Amount = 10000 × (1.01)⁴ = 10000 × 1.04060401 ≈ ₹10,406.

क्यों यह प्रश्न: SI में n-गुना pattern — 8 साल में 3 गुनी से rate निकालो, फिर 20 साल में n निकालो।

समाधान का रास्ता: $R \times 8 = 200$ → $R = 25\%$ । 20 साल में $SI = 5P$ → Amount $= 6P$ → $n = 6$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

A sum of money invested at simple interest triples itself in 8 years and becomes n times in 20 years. What is the value of n?

5
6
7·5
9

Solutionसमाधान

Triples in 8 years means SI in 8 years = 2P (since amount = 3P = P + SI). So rate × 8 = 200%, rate = 25% per year. In 20 years, SI = P × 25% × 20 = 5P. Amount = P + 5P = 6P. So n = 6.

आम गलतियाँ

Quarterly compounding में time गलत लगाना: 9 महीने को $T = 9$ मत लिखो। Quarters = 9/3 = 3। यह सबसे common error है — rate सही करते हो लेकिन $n$ भूल जाते हो।
n-गुना प्रश्न में SI को Amount समझना: "राशि 3 गुनी हो गई" का अर्थ Amount = 3P है, SI = 2P है। $SI = 3P$ मत लिखो — यह एक rank की गलती है।
दो loans वाले प्रश्न में time महीनों में भूल जाना: दूसरा loan "4 महीने बाद" लिया, साल के अंत तक = 8 महीने। महीनों को 12 से भाग दो: $T = 8/12$ । पूरे एक साल मत लगाओ।
CI और SI का अंतर: गलत formula लगाना: $CI - SI = P(R/100)^2$ सिर्फ 2 साल के लिए है। 3 साल के लिए अलग formula है। प्रश्न ध्यान से पढ़ो।
20% पर doubling: n = 3 लिखना: $(1.2)^3 = 1.728$ , जो 2 से कम है। $n = 4$ ही सही है। "कम से कम" का मतलब ceiling value है — floor नहीं।
Log calculation में $\log(1.2)$ गलत निकालना: $\log(1.2) = \log(12) - \log(10) = \log(4 \times 3) - 1 = 2\log 2 + \log 3 - 1$ । सीधे $\log 1.2 = 0.2 \times \log 10$ मत लिखो — यह गलत है।

CDS गणित: साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

अवधारणा

गहन विश्लेषण

साधारण ब्याज के सूत्र

चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र

SI और CI का अंतर — 2 वर्षों के लिए shortcut

न्यूनतम वर्ष वाले प्रश्न (Doubling / n-times)

दो अलग-अलग loans वाले प्रश्न

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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