CDS गणित: समय और कार्य — दक्षता, नल-टंकी और श्रमिक समस्याएँ

अवधारणा

समय और कार्य की मूल अवधारणा बहुत सीधी है — किसी काम को पूरा करने में लगा समय और उस व्यक्ति की कार्य-क्षमता (efficiency) एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होते हैं।

देखो — अगर A किसी काम को 10 दिन में करता है, तो वह प्रतिदिन उस काम का $\frac\{1\}\{10\}$ भाग पूरा करता है। यही उसकी दैनिक दक्षता है। इस एक विचार को पकड़ लो, और 90% प्रश्न सीधे हल हो जाते हैं।

एक सरल सादृश्य: मान लो कुल काम = 1 बाल्टी पानी। अगर A प्रति घंटे $\frac\{1\}\{10\}$ बाल्टी भरता है और B प्रति घंटे $\frac\{1\}\{15\}$ बाल्टी भरता है, तो दोनों मिलकर प्रति घंटे $\frac\{1\}\{10\} + \frac\{1\}\{15\} = \frac{3+2}\{30\} = \frac\{5\}\{30\} = \frac\{1\}\{6\}$ बाल्टी भरते हैं — यानी 6 घंटे में काम पूरा।

तीन मूल सूत्र जो हमेशा काम आते हैं:

1. दक्षता सूत्र: यदि कोई काम $n$ दिनों में पूरा होता है, तो प्रतिदिन की दक्षता $= \frac\{1\}{n}$

2. आदमी-दिन सूत्र: $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$ (जब काम समान हो)

3. विस्तारित सूत्र: $\frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2}$ यहाँ M = आदमी, D = दिन, H = प्रतिदिन घंटे, W = काम की मात्रा

CDS में यह अध्याय इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रश्न सीधे सूत्र से नहीं, बल्कि दो-तीन condition मिलाकर पूछे जाते हैं — जैसे A+B, B+C, C+A की गति दी हो और अकेले या तीनों की गति पूछी जाए।

गहन विश्लेषण

LCM विधि — कार्य-दक्षता की असली ताक़त

Fraction से काम करने में गलती होती है। LCM विधि में हम कुल काम को एक सुविधाजनक संख्या मान लेते हैं।

उदाहरण: A काम को 12 दिन में, B उसी काम को 18 दिन में करता है। दोनों मिलकर कितने दिन में करेंगे?

• LCM(12, 18) = 36 → मान लो कुल काम = 36 इकाई
• A की दैनिक दक्षता = $\frac\{36\}\{12\} = 3$ इकाई/दिन
• B की दैनिक दक्षता = $\frac\{36\}\{18\} = 2$ इकाई/दिन
• दोनों की संयुक्त दक्षता = $3 + 2 = 5$ इकाई/दिन
• लगने वाला समय = $\frac\{36\}\{5\} = 7.2$ दिन

Fraction विधि में $\frac\{1\}\{12\} + \frac\{1\}\{18\} = \frac\{5\}\{36\}$, समय $= \frac\{36\}\{5\}$ — यही उत्तर, पर LCM विधि में भिन्न नहीं बनाना पड़ता।

A+B, B+C, C+A प्रकार के प्रश्न

यह CDS का प्रिय प्रश्न-प्रकार है। यहाँ तीन equations होती हैं:

$A+B = \frac{1}{p}, \quad B+C = \frac{1}{q}, \quad C+A = \frac{1}{r}$

दोनों तरफ जोड़ने पर: $2(A+B+C) = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}$

$A+B+C = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}\right)$

अकेले किसी की दक्षता निकालनी हो तो: $A = (A+B+C) - (B+C)$

आदमी-दिन (Man-Days) और बदलती श्रम-शक्ति

जब काम के दौरान आदमी आते-जाते हों:

नियम: हर phase में (आदमी × दिन) = उस phase में हुआ काम

उदाहरण: 50 आदमी 40 दिन में काम पूरा करते हैं। हर 10 दिन बाद 5 आदमी चले जाते हैं।

• कुल काम = $50 \times 40 = 2000$ man-days
• पहले 10 दिन: 50 आदमी → $50 \times 10 = 500$ units
• अगले 10 दिन: 45 आदमी → $45 \times 10 = 450$ units (कुल 950)
• अगले 10 दिन: 40 आदमी → $400$ (कुल 1350)
• अगले 10 दिन: 35 आदमी → $350$ (कुल 1700)
• अगले 10 दिन: 30 आदमी → $300$ (कुल 2000)

50% अधिक आदमी वाले प्रश्न में: अगर $p$ आदमी $q$ दिन में काम करें, तो $1.5p$ आदमी $\frac{q}{1.5} = \frac{2q}\{3\}$ दिन में करेंगे। दिया है $q - \frac{2q}\{3\} = 12$, इसलिए $\frac{q}\{3\} = 12$, यानी $q = 36$।

पुरुष और महिला — दो चर वाले प्रश्न

जब "8 पुरुष + 24 महिला = 1 दिन का काम" और "12 पुरुष + 18 महिला = 1 दिन का काम" जैसी conditions दी हों:

दोनों equations equal हैं, इसलिए: $8m + 24w = 12m + 18w$ $6w = 4m \Rightarrow m = 1.5w$

पहली equation में रखो: $8(1.5w) + 24w = 12w + 24w = 36w = 1$, इसलिए $w = \frac\{1\}\{36\}$।

अब 24 पुरुष + 72 महिला = $24(1.5w) + 72w = 36w + 72w = 108w = \frac\{108\}\{36\} = 3$ units/day। समय = $\frac\{1\}\{3\}$ दिन।

क्रमागत (Alternate) काम वाले प्रश्न

जब केवल एक व्यक्ति एक समय पर काम कर सके और कोई भी लगातार दो घंटे काम न करे — तब:

• सबसे तेज़ (A) और दूसरे सबसे तेज़ (B) को alternate करो
• हर 2-घंटे के cycle में काम = A की दक्षता + B की दक्षता

नल और टंकी (Pipes and Cisterns)

यह समय-कार्य का ही एक रूप है। अंतर केवल इतना है:

• भरने वाला नल → धनात्मक दक्षता
• खाली करने वाला नल → ऋणात्मक दक्षता

$\text{net rate} = \frac{1}{\text{filling time}} - \frac{1}{\text{emptying time}}$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-भवन में प्रश्न देखते ही यह decision tree चलाओ:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

• क्या A+B, B+C, C+A दिए हैं? → "दोहरी जोड़" shortcut सीधे लगाओ
• क्या पुरुष और महिला दोनों हैं? → घटाव से ratio निकालो, फिर substitute करो
• क्या आदमी बीच में छोड़ रहे हैं? → Man-days block method
• क्या 50%/100% अधिक लोग हैं? → $q = 3k$ या $q = 2k$ pattern

Step 2 — LCM लो: अगर plain संयुक्त-कार्य है, पहले काम किए LCM = total work मान लो। Fraction से काम मत करो।

Step 3 — दक्षता जोड़ो/घटाओ: नल खाली करे तो minus, भरे तो plus। बाकी सब same।

Step 4 — अंत में check करो: "आधा काम" पूछा है तो उत्तर को 2 से भाग दो — यह CDS में trap है।

अगर answer choices में से दो बहुत close हों, तो calculation double-check करो। CDS में numerical accuracy पर marks मिलते हैं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: A+B, B+C, C+A वाला classic structure — CDS में बार-बार आता है। "आधा काम" की condition एक extra trap है जो जल्दबाज़ी में छूट जाती है।

समाधान का रास्ता: तीनों pairs की दक्षताएँ जोड़ो, 2 से भाग दो → A+B+C की दक्षता मिलेगी → पूरे काम का समय → आधे काम का समय।

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न conditions को equations में बदलने की क्षमता जाँचता है। "A+B = 5C" जैसी verbal condition को algebraic रूप देना होगा — यह CDS का एक पसंदीदा तरीका है।

समाधान का रास्ता: A+B = 5C और A+B+C = 1/36 से C निकालो। फिर B+C = A से A निकालो। B = (A+B+C) − A − C। अंत में (A+C)/B = n।

क्यों यह प्रश्न: दो चर वाले प्रश्न (पुरुष + महिला) में simultaneous equations बनती हैं — लेकिन घटाव से सीधे ratio निकलती है, 6 steps की जगह 3 में।

समाधान का रास्ता: दोनों equations equal हैं (दोनों = 1)। घटाव से $m = 1.5w$ → एक equation में substitute → w निकालो → 24m + 72w को w में convert करो → time = 1/(total rate)।

क्यों यह प्रश्न: Alternate working constraint वाला प्रश्न — CDS 2024 में आया। यह उन लोगों को trap करता है जो सभी चारों को rotate करने की कोशिश करते हैं।

समाधान का रास्ता: केवल A और B को alternate करो (सबसे तेज़ दो)। A की दक्षता = 1/3, B की = 1/6। हर 2-hour cycle में $\frac\{1\}\{3\} + \frac\{1\}\{6\} = \frac\{1\}\{2\}$ काम होता है। 2 cycles (4 घंटे) में $2 \times \frac\{1\}\{2\} = 1$ → काम पूरा।

क्यों यह प्रश्न: बीच में आदमी जाने वाला प्रश्न — cumulative man-days tracking की परीक्षा। यह CDS में प्रतिवर्ष किसी न किसी रूप में आता है।

समाधान का रास्ता: कुल काम = 2000 man-days। हर 10-दिन के block में काम: 500, 450, 400, 350, 300 → cumulative: 500, 950, 1350, 1700, 2000। 5 blocks × 10 दिन = 50 दिन।

क्यों यह प्रश्न: "50% अधिक आदमी → कितने दिन पहले" — यह direct formula pattern है। $q/3 = 12$ से तुरंत $q = 36$।

समाधान का रास्ता: 1.5p आदमी → समय $= \frac{2q}\{3\}$। बचत $= q - \frac{2q}\{3\} = \frac{q}\{3\} = 12$ → $q = 36$।

आम गलतियाँ

• "आधा काम" trap: A+B+C की गति निकाल कर बहुत से छात्र पूरे काम का समय उत्तर दे देते हैं। प्रश्न "आधा काम" पूछता है — उत्तर को 2 से भाग देना अनिवार्य है।

• Alternate working में सभी को बराबर बाँटना: जब A, B, C, D को rotate करने का मन हो, रुको। अगर minimum time चाहिए तो केवल सबसे तेज़ दो को alternate करो। चारों को बराबर बाँटने से समय बढ़ता है, घटता नहीं।

• Man-days में घटती श्रम-शक्ति को भूलना: "हर 10 दिन बाद 5 आदमी जाते हैं" में छात्र पूरे 40 दिन तक 50 आदमी मान लेते हैं। Block-by-block tracking अनिवार्य है।

• दो चर में equations solve करने की जगह घटाव को ignore करना: $8m + 24w = 12m + 18w$ — दोनों equations equal हैं, इसलिए घटाव से $m = 1.5w$ सीधे निकलता है। Substitution method से solve करने में दोगुना समय।

• LCM की जगह Fraction से काम करना: $\frac\{1\}{p} + \frac\{1\}{q}$ जोड़ते समय calculation error बढ़ती है। LCM method में केवल integers जोड़ने पड़ते हैं — यह accuracy और speed दोनों के लिए बेहतर है।

• 50%/100% अधिक workers वाले pattern में formula न जानना: हर बार algebra से शुरू करने की ज़रूरत नहीं। $q/3 = k$ (50% के लिए) और $q/2 = k$ (100% के लिए) — ये patterns याद हों तो 1 step में उत्तर।

संबंधित विषय

• time speed distance
• ratio and proportion
• pipes and cisterns
• percentage
• unitary method
• linear equations

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