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CDS गणित: समय, चाल और दूरी — रेलगाड़ी, सापेक्ष चाल और नाव-धारा

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अवधारणा

समय, चाल और दूरी — यह तीनों एक ही सिक्के के तीन पहलू हैं। मूल सूत्र इतना सरल है कि ज़्यादातर छात्र इसे बिना सोचे लिख देते हैं:

$\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$

लेकिन CDS में यह सूत्र कभी सीधे नहीं पूछा जाता। परीक्षक इसे इस तरह तोड़-मरोड़ कर पेश करता है कि तुम्हें पहले situation की "असली" दूरी, "असली" चाल, और "असली" समय पहचाननी पड़े।

एक analogy समझो: कल्पना करो कि तुम एक रेलवे प्लेटफॉर्म पर खड़े हो। एक ट्रेन पास से गुज़रती है। ट्रेन के engine से लेकर आख़िरी डिब्बे तक का गुज़रना — यही वह "दूरी" है जो ट्रेन को तय करनी है (उसकी अपनी लंबाई)। लेकिन जब ट्रेन एक लंबे platform को पार करती है, तो उसे अपनी लंबाई के साथ-साथ platform की लंबाई भी "तय" करनी पड़ती है।

यही सोच समझ में आ जाए, तो रेलगाड़ी के 80% प्रश्न अपने-आप हल हो जाते हैं।

तीन मुख्य परिस्थितियाँ जो CDS में बार-बार आती हैं:

रेलगाड़ी के प्रश्न — ट्रेन की लंबाई, platform पार करना, दो ट्रेनों का मिलना।
सापेक्ष चाल (Relative Speed) — एक ही दिशा में या आमने-सामने।
चाल में बदलाव — usual speed का भिन्न हिस्सा दिया हो और देरी/जल्दी पूछी जाए।

इन तीनों को अलग-अलग तरीके से सोचना पड़ता है। इस chapter में हम इन्हें systematically तोड़ेंगे।

गहन विश्लेषण

इकाइयों का रूपांतरण — पहले यह ठीक करो

CDS के प्रश्नों में km/hr और m/s का मिश्रण होता है। यह गलती से एक पूरा प्रश्न बर्बाद कर सकती है।

$1 \text{ km/hr} = \frac{5}{18} \text{ m/s}$ $1 \text{ m/s} = \frac{18}{5} \text{ km/hr} = 3.6 \text{ km/hr}$

नियम: जब ट्रेन की लंबाई मीटर में हो और समय सेकंड में — तो चाल m/s में रखो। जब सब कुछ km और घंटों में हो — km/hr में रखो। दोनों को मिलाना मत।

रेलगाड़ी के प्रश्न — दूरी की सही पहचान

यह table याद कर लो:

| क्या पार कर रहा है? | क्या पार किया जा रहा है? | कुल दूरी | |---|---|---| | ट्रेन | खंभा / व्यक्ति | ट्रेन की लंबाई | | ट्रेन | Platform / Bridge | ट्रेन की लंबाई + Platform की लंबाई | | दो ट्रेनें (विपरीत दिशा) | एक-दूसरे को | दोनों की लंबाइयों का योग | | दो ट्रेनें (एक दिशा) | एक-दूसरे को | दोनों की लंबाइयों का योग |

एक दिशा बनाम विपरीत दिशा में चाल:

विपरीत दिशा: सापेक्ष चाल = $v_1 + v_2$
एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = $|v_1 - v_2|$

चाल बदलने पर समय — सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला प्रकार

जब किसी की usual speed $v$ हो और वह $\frac{m}{n}$ गुना चाल से चले, तो समय $\frac{n}{m}$ गुना हो जाता है।

Extra समय या बचा हुआ समय निकालने का formula:

$\Delta T = T_{usual} \times \left(\frac{n}{m} - 1\right) = T_{usual} \times \frac{n - m}{m}$

जहाँ $T_{usual}$ = सामान्य समय।

उदाहरण: अगर चाल $\frac\{3\}\{5\}$ हो जाए तो $m = 3$ , $n = 5$ । $\Delta T = T_{usual} \times \frac{5-3}{3} = \frac{2}{3} T_{usual}$ अगर यह $\Delta T = 20$ मिनट हो, तो $T_{usual} = 30$ मिनट।

दो वाहन मिलने का समय — Head Start वाले प्रश्न

जब एक वाहन पहले निकले और दूसरा बाद में:

पहले वाहन ने head start में कितनी दूरी तय की — वह निकालो।
दूसरे वाहन की सापेक्ष चाल = $v_2 - v_1$ (एक दिशा में, $v_2 > v_1$ )
Catch-up time = $\frac{\text{head start distance}}{\text\{सापेक्ष चाल\}}$
मिलने की जगह = दूसरे वाहन की चाल $\times$ catch-up time

Stoppage (रुकावट) वाले प्रश्न

अगर बिना रुके चाल $S_1$ हो और रुकते हुए औसत चाल $S_2$ हो ( $S_2 < S_1$ ), तो प्रति घंटे कितने मिनट ट्रेन रुकती है:

$\text{रुकने का समय} = \frac{S_1 - S_2}{S_1} \times 60 \text{ मिनट प्रति घंटा}$

यह formula सीधे याद रखो — CDS में यह एक-step में answer आ जाता है।

विपरीत दिशाओं से आने वाली दो ट्रेनें

जब दो ट्रेनें P और Q से एक-दूसरे की तरफ चलती हों और एक पहले निकले:

पहले वाली ट्रेन ने head start में कितनी दूरी तय की — निकालो।
शेष दूरी = कुल दूरी − head start दूरी।
अब दोनों आमने-सामने हैं: closing speed = $v_1 + v_2$ ।
मिलने का समय = $\frac{\text\{शेष दूरी\}}{v_1 + v_2}$ ।
Q से दूरी = दूसरी ट्रेन की चाल $\times$ मिलने का समय।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternStoppage Formula — एक सेकंड में उत्तर

जब भी "बिना रुके चाल A, रुकते हुए चाल B, प्रति घंटे कितने मिनट रुकती है" पूछा जाए — सीधे लगाओ:

$\text{रुकने के मिनट} = \frac{A - B}{A} \times 60$

उदाहरण (PYQ): A = 60, B = 48। $= \frac{60 - 48}{60} \times 60 = \frac{12}{60} \times 60 = 12 \text{ मिनट}$

Standard method (अनुपात से दूरी निकाल कर): 4-5 steps, लगभग 60 सेकंड। यह shortcut: 1 step, 8 सेकंड।

patternचाल-भिन्न से सामान्य समय

जब चाल $\frac{m}{n}$ हो और देरी/जल्दी $\Delta T$ दी हो:

$T_{usual} = \Delta T \times \frac{m}{n - m}$

यदि चाल $\frac\{3\}\{5\}$ हो और देरी 20 मिनट: $T_{usual} = 20 \times \frac{3}{5 - 3} = 20 \times \frac{3}{2} = 30 \text{ मिनट}$

Standard method: पहले usual time T मान कर equation बनाना, फिर हल — 4 steps। यह formula: 1 step, 10 सेकंड।

eliminationरेलगाड़ी की लंबाई — दो व्यक्तियों को पार करना

जब ट्रेन दो अलग-अलग चाल वाले व्यक्तियों को $t_1$ और $t_2$ सेकंड में पार करे:

$L = \frac{(v_2 - v_1) \times t_1 \times t_2}{t_2 - t_1} \times \frac{1}{3.6}$

लेकिन CDS में दो equations बना कर $v$ निकालना ज़्यादा reliable है। दोनों expressions for L बराबर रखो — यह 3 steps में $v$ दे देता है।

बजाय long substitution के: $L = (v - v_1) \times t_1 / 3.6$ और $L = (v - v_2) \times t_2 / 3.6$ — equate करो।

Standard substitution method: 6 steps। Equation-equating: 3 steps, लगभग 45 सेकंड।

patternHead Start — Catch-Up Distance

एक ही दिशा में चलने वाले दो वाहन, पहला $t$ घंटे पहले निकले:

$\text{मिलने की जगह (Start से)} = v_2 \times \frac{v_1 \cdot t}{v_2 - v_1}$

सीधे $v_2 \times \text{catch-up time}$ — platform पर खड़े होकर भी यही calculate होता है।

दिल्ली-हैदराबाद वाले प्रश्न में: $= 100 \times \frac{80 \times (5/6)}{100 - 80} = 100 \times \frac{200/3}\{20\} = 100 \times \frac\{10\}\{3\} = \frac\{1000\}\{3\}$ km।

यह एक-pass calculation है — answer सीधे।

estimationइकाई रूपांतरण — 18/5 का mental trick

m/s को km/hr में बदलना: संख्या को 3.6 से गुणा करो। km/hr को m/s में बदलना: संख्या को 3.6 से भाग दो।

Mental shortcut: 3.6 = 18/5। तो 20 m/s = 20 × 18/5 = 4 × 18 = 72 km/hr। और 72 km/hr = 72/3.6 = 20 m/s।

यह भिन्न-विधि (18/5) decimal से ज़्यादा fast है जब संख्या 5 की multiple हो। Standard calculator: 2 decimal operations। Mental 18/5: 1 multiplication, 5 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में जब Time-Speed-Distance का प्रश्न आए, यह sequence follow करो:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो (5 सेकंड):

"पार करना / cross करना" → रेलगाड़ी प्रश्न
"देर से / जल्दी पहुँचा" → चाल-बदलाव प्रश्न
"कहाँ मिलेंगे / कब मिलेंगे" → मिलना प्रश्न
"कितने मिनट रुकती है" → Stoppage formula

Step 2 — इकाइयाँ align करो (5 सेकंड): सेकंड और मीटर एक साथ, या घंटे और km एक साथ।

Step 3 — सही formula लगाओ:

Stoppage → $\frac{S_1 - S_2}{S_1} \times 60$
चाल-भिन्न → $T = \Delta T \times \frac{m}{n-m}$
Head start → catch-up time = head start distance ÷ relative speed

Step 4 — Options देखो: अगर options में fractional values हैं (जैसे 1000/3), तो exact calculation करो — approximation नहीं चलेगी।

Step 5 — Sanity check: क्या answer का unit सही है? क्या चाल positive है?

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह CDS का classic platform/pole प्रश्न है — इकाई रूपांतरण और दूरी की सही पहचान दोनों एक साथ परखता है।

समाधान का रास्ता: ट्रेन की चाल = 300/15 = 20 m/s। Platform पार करने के लिए कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + platform की लंबाई = 300 + 200 = 500 m। समय = 500 ÷ 20 = 25 सेकंड।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A train 300 m long passes a pole in 15 seconds. How long will it take to pass a platform 200 m long?

300 m लंबी एक ट्रेन किसी खंभे को 15 सेकंड में पार करती है। वह 200 m लंबे एक प्लेटफॉर्म को पार करने में कितना समय लेगी?

35 seconds
25 seconds
30 seconds
20 seconds

35 सेकंड
25 सेकंड
30 सेकंड
20 सेकंड

Solutionसमाधान

Speed of train = 300/15 = 20 m/s. To pass a 200 m platform, total distance = 300 + 200 = 500 m. Time = 500/20 = 25 seconds.

ट्रेन की गति = 300/15 = 20 मी/से। 200 मी प्लेटफॉर्म पार करने के लिए कुल दूरी = 300 + 200 = 500 मी। समय = 500/20 = 25 सेकंड।

क्यों यह प्रश्न: दो व्यक्तियों को पार करने वाला प्रश्न — यहाँ सापेक्ष चाल और इकाई रूपांतरण दोनों एक साथ आते हैं। CDS 2023 में यह real challenge था।

समाधान का रास्ता: ट्रेन की चाल $v$ km/hr मानो। पहले व्यक्ति के लिए: $L = (v-3) \times 9 \div 3.6 = 2.5(v-3)$ । दूसरे के लिए: $L = (v-4) \times \frac\{75\}\{8\} \div 3.6$ । दोनों बराबर रखो — $72(v-3) = 75(v-4)$ → $v = 28$ । अब $L = 2.5 \times 25 = 62.5$ m।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2023

A train completely overtakes two persons, walking in the same direction with speeds 3 km/hr and 4 km/hr in 9 seconds and 75/8 seconds respectively. What is the length of the train?

एक ट्रेन उसी दिशा में चल रहे दो व्यक्तियों को, जिनकी चाल क्रमशः 3 km/hr और 4 km/hr है, पूरी तरह से क्रमशः 9 सेकंड और 75/8 सेकंड में पार कर लेती है। ट्रेन की लंबाई कितनी है?

62.5 m
60 m
67.5 m
55 m

62.5 m
60 m
67.5 m
55 m

Solutionसमाधान

Let speed of train = v km/hr, length = L m. L = (v−3)·9·(1000/3600) = (v−3)·9/3.6 = 2.5(v−3). Also L = (v−4)·(75/8)/3.6. Equate: 2.5(v−3) = (75/8)(v−4)/3.6 = 75(v−4)/(8·3.6) = 75(v−4)/28.8. 2.5·28.8(v−3) = 75(v−4) ⟹ 72(v−3) = 75(v−4) ⟹ 72v−216 = 75v−300 ⟹ 3v = 84 ⟹ v = 28. L = 2.5·25 = 62.5 m.

क्यों यह प्रश्न: Stoppage formula का direct application — अगर formula याद है तो 8 सेकंड में हल।

समाधान का रास्ता: $\frac{60 - 48}\{60\} \times 60 = 12$ मिनट। बस इतना।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

Without stoppages, a train travels at an average speed of 60 km/h and with stoppages it covers the same distance at an average speed of 48 km/h. How many minutes per hour does the train stop?

10 minutes
12 minutes
15 minutes
20 minutes

Solutionसमाधान

In one hour without stoppages, the train covers 60 km. With stoppages, it covers only 48 km in one hour. So the train loses 12 km worth of running time per hour due to stoppages. At the actual running speed of 60 km/h, time taken to cover 12 km = (12/60)×60 = 12 minutes. Therefore, the train stops for 12 minutes per hour.

क्यों यह प्रश्न: चाल-भिन्न प्रश्न — CDS 2025 में आया, formula याद हो तो trivial।

समाधान का रास्ता: चाल $\frac\{3\}\{5\}$ हो गई, $m=3$ , $n=5$ । $T_{usual} = 20 \times \frac\{3\}{5-3} = 20 \times \frac\{3\}\{2\} = 30$ मिनट।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

Travelling at 3/5th of his usual speed, a man is late by 20 minutes. What is the usual time if he travels with his usual speed?

25 minutes
30 minutes
32 minutes
35 minutes

Solutionसमाधान

If speed is 3/5 of usual, time becomes 5/3 of usual. Extra time = 5/3 T - T = 2/3 T = 20 minutes. So T = 30 minutes.

क्यों यह प्रश्न: Head start + catch-up — CDS 2024 में यह sequence of questions आई जो meeting point और meeting time दोनों पूछती है।

समाधान का रास्ता: A ने 50 मिनट = 5/6 घंटे में $80 \times \frac\{5\}\{6\} = \frac\{200\}\{3\}$ km तय किए। सापेक्ष चाल = $100 - 80 = 20$ km/hr। Catch-up time = $\frac{200/3}\{20\} = \frac\{10\}\{3\}$ घंटे। दिल्ली से दूरी = $100 \times \frac\{10\}\{3\} = \frac\{1000\}\{3\}$ km।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

Two trains A and B leave Delhi for Hyderabad on the same day at 7:00 a.m. and 7:50 a.m. respectively and travel at 80 kmph and 100 kmph respectively. After how many kilometres from Delhi will both these trains be together?

200/3 km
100 km
400/3 km
1000/3 km

Solutionसमाधान

Train A has a 50-minute = 5/6 hour head start, covering 80 × 5/6 = 200/3 km. Then B chases at relative speed 100 - 80 = 20 kmph. Time to catch up = (200/3)/20 = 10/3 hours. Distance from Delhi where they meet = 100 × 10/3 = 1000/3 km.

क्यों यह प्रश्न: विपरीत दिशाओं से चलने वाली ट्रेनें और एक का head start — यह थोड़ा complex है क्योंकि head start के बाद closing speed लगती है।

समाधान का रास्ता: रात 7 बजे से सुबह 4 बजे = 9 घंटे। A ने $60 \times 9 = 540$ km तय किए। शेष दूरी = $800 - 540 = 260$ km। Closing speed = $60 + 90 = 150$ km/hr। समय = $\frac\{260\}\{150\} = \frac\{26\}\{15\}$ घंटे। B ने तय की दूरी = $90 \times \frac\{26\}\{15\} = 156$ km। Q से दूरी = 156 km।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

Two trains A and B started from stations P and Q respectively towards each other. Train A started at 7 p.m. at a speed of 60 km/hr and train B started at 4 a.m. (next day) at a speed of 90 km/hr. The distance between the two stations P and Q is 800 km. How far from station Q will the two trains meet?

104 km
144 km
156 km
504 km

Solutionसमाधान

From 7 p.m. to 4 a.m. is 9 hours; train A covers 60 × 9 = 540 km before train B starts. Remaining distance = 800 - 540 = 260 km. Closing speed = 60 + 90 = 150 km/hr. Time to meet after B starts = 260/150 = 26/15 hours. Distance covered by B = 90 × 26/15 = 156 km. Distance from Q where they meet = 156 km. Wait — but option (c) is 156 km. Distance from Q = 156. Re-check: option (d) is 504. Distance from P = 800 - 156 = 644, neither. Distance B travelled from Q = 156 km, so answer is (c) 156 km.

क्यों यह प्रश्न: ऊपर की ही situation में meeting time — $\frac\{26\}\{15\}$ घंटे को मिनटों में बदलना ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: $\frac\{26\}\{15\}$ घंटे = $\frac\{26\}\{15\} \times 60 = 104$ मिनट = 1 घंटा 44 मिनट। B सुबह 4:00 बजे चली, तो meeting time = 4:00 + 1:44 = 5:44 a.m.।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

5:28 a.m.
5:44 a.m.
4:56 a.m.
6:24 a.m.

Solutionसमाधान

Train B starts at 4:00 a.m. and travels for 26/15 hours = 1 hour 44 minutes (since 26/15 × 60 = 104 minutes = 1 hr 44 min) before meeting train A. So they meet at 4:00 + 1:44 = 5:44 a.m.

आम गलतियाँ

इकाई मिलाना: ट्रेन की लंबाई मीटर में है, समय सेकंड में है, लेकिन चाल km/hr में रख दी। यह सबसे घातक गलती है — हर बार इकाई align करने के बाद ही आगे बढ़ो।
Platform पार करने में केवल platform की लंबाई लेना: कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + platform की लंबाई। ट्रेन की लंबाई जोड़ना भूलने पर answer ग़लत आता है।
एक दिशा में सापेक्ष चाल का गलत अनुमान: एक दिशा में $v_1 + v_2$ नहीं, बल्कि $|v_1 - v_2|$ होती है। विपरीत दिशा में $v_1 + v_2$ होती है। इसे उलटाना मत।
Head start distance को "meeting point" मान लेना: Head start distance तो बस वह है जो पहला वाहन शुरुआत में तय करता है। Meeting point = दूसरे वाहन की चाल × catch-up time। इन दोनों को confuse मत करो।
Stoppage formula में $S_2$ की जगह $S_1$ रखना: Formula में हर में $S_1$ (बिना ruke वाली चाल) आती है, $S_2$ नहीं। $\frac{S_1 - S_2}{S_1}$ — यह याद रखो।
$\frac\{26\}\{15\}$ घंटे को मिनट में बदलने में गलती: $\frac\{26\}\{15\} \times 60 = \frac{26 \times 4}\{1\} = 104$ मिनट। अगर तुमने 1.73 घंटे कहकर approximate किया, तो time-related प्रश्न में wrong answer आएगा।

CDS गणित: समय, चाल और दूरी — रेलगाड़ी, सापेक्ष चाल और नाव-धारा

अवधारणा

गहन विश्लेषण

इकाइयों का रूपांतरण — पहले यह ठीक करो

रेलगाड़ी के प्रश्न — दूरी की सही पहचान

चाल बदलने पर समय — सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला प्रकार

दो वाहन मिलने का समय — Head Start वाले प्रश्न

Stoppage (रुकावट) वाले प्रश्न

विपरीत दिशाओं से आने वाली दो ट्रेनें

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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