CTET Paper I गणित: भिन्न और दशमलव — अवधारणा, शॉर्टकट और हल किए गए PYQs

अवधारणा

भिन्न (fraction) और दशमलव (decimal) — ये दोनों उसी बात को कहते हैं जो पूर्ण संख्या नहीं कह सकती। जब एक पूरी चीज़ के टुकड़े होते हैं, तब हमें भिन्न की ज़रूरत पड़ती है।

सोचो इस तरह: एक पिज़्ज़ा को 8 बराबर टुकड़ों में काटा। तुमने 3 टुकड़े खाए — तो तुमने पिज़्ज़ा का $\frac\{3\}\{8\}$ भाग खाया। यहाँ 3 अंश (numerator) है — जितना लिया। 8 हर (denominator) है — कुल कितने हिस्से थे।

भिन्न के प्रकार जो CTET में सीधे काम आते हैं:

• उचित भिन्न (Proper Fraction): अंश < हर। जैसे $\frac\{3\}\{8\}$, $\frac\{5\}\{12\}$। मान हमेशा 1 से कम।
• अनुचित भिन्न (Improper Fraction): अंश ≥ हर। जैसे $\frac\{14\}\{5\}$, $\frac\{7\}\{3\}$। मान 1 से अधिक या बराबर।
• मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction): जैसे $2\frac\{4\}\{5\}$। इसका अर्थ है $2 + \frac\{4\}\{5\} = \frac\{14\}\{5\}$।
• समतुल्य भिन्न (Equivalent Fractions): $\frac\{1\}\{2\} = \frac\{2\}\{4\} = \frac\{4\}\{8\}$। अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर समतुल्य भिन्न मिलती है।

दशमलव और भिन्न का संबंध: दशमलव असल में वह भिन्न है जिसका हर 10, 100, 1000... होता है।

$0.365 = \frac{365}{1000} = \frac{73}{200}$

CTET में यह topic क्यों महत्वपूर्ण है: Class 1-5 के गणित curriculum में भिन्न एक केंद्रीय अवधारणा है। CTET इसे दो स्तरों पर पूछता है — शुद्ध गणना (calculation) और शिक्षण-विधि (pedagogy) दोनों।

गहन विश्लेषण

भिन्नों पर मूल संक्रियाएँ

जोड़ और घटाव — LCM की ज़रूरत:

जब हर (denominator) समान हो: सीधे अंश जोड़ो या घटाओ। $\frac{3}{7} + \frac{5}{7} = \frac{8}{7}$

जब हर अलग-अलग हों: पहले LCM निकालो, फिर equivalent fractions बनाओ। $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

गुणा — सीधा, कोई LCM नहीं: $\frac{5}{9} \times \frac{10}{27} = \frac{50}{243}$

पहले cross-cancellation करो: अंश और हर में जो common factor दिखे, काटो।

भाग — उलटा करके गुणा (Invert and Multiply): $\frac{5}{9} \div \frac{10}{27} = \frac{5}{9} \times \frac{27}{10} = \frac{5 \times 27}{9 \times 10} = \frac{135}{90} = \frac{3}{2}$

यह rule याद रखो: "भाग देना = उल्टा करके गुणा करना।"

मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना

$a\frac{b}{c} = \frac{(a \times c) + b}{c}$

उदाहरण: $2\frac\{4\}\{5\} = \frac{(2 \times 5) + 4}\{5\} = \frac\{14\}\{5\}$

परीक्षा में मिश्रित भिन्न दिखते ही तुरंत अनुचित भिन्न में बदलो — calculation आसान हो जाती है।

दशमलव संक्रियाएँ

गुणा: दशमलव बिंदु को अनदेखा करके गुणा करो, फिर दोनों संख्याओं के कुल दशमलव स्थान गिनकर परिणाम में लगाओ।

$4.05 \times 1.5: \quad 405 \times 15 = 6075 \quad \Rightarrow \quad \text{3 decimal places} \Rightarrow 6.075$

भाग: हर (divisor) को पूर्ण संख्या बनाओ। दोनों में 10/100/1000 से गुणा करो।

$2.025 \div 0.75 = \frac{2025}{750} = \frac{2.7}{1} = 2.7$

भिन्न वाले word problems की संरचना

CTET में तीन प्रकार के word problems बार-बार आते हैं:

प्रकार 1 — क्रमिक बिक्री/उपयोग: "पहले इतना बेचा, फिर बचे हुए का इतना बेचा।"

• सूत्र: $\text\{बचा हुआ\} = \text\{पहले का बचा\} \times (1 - \text\{दूसरी बार का अनुपात\})$

प्रकार 2 — अज्ञात संख्या का भिन्न: "$\frac\{2\}\{3\}$ भाग उसके $\frac\{1\}\{4\}$ भाग से 55 अधिक है।"

• सूत्र बनाओ: $\frac{2x}\{3\} - \frac{x}\{4\} = 55$, LCM से हल करो।

प्रकार 3 — टंकी/क्षमता: "टंकी $\frac\{3\}\{5\}$ भरी है, 18 लीटर डालने से $\frac\{9\}\{10\}$ भर जाती है।"

• अंतर = $\frac\{9\}\{10\} - \frac\{3\}\{5\} = \frac\{3\}\{10\}$ जो 18 लीटर के बराबर है।

दो भिन्नों के बीच भिन्न निकालना

दो भिन्नों $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ के बीच ठीक बीच की भिन्न = $\frac{a+c}{b+d}$ (Mediant property)।

लेकिन सावधानी: यह तरीका केवल तब सटीक "बीच की भिन्न" देता है जब दोनों का हर समान हो। जब हर अलग हो, तो औसत विधि अधिक reliable है: $\text{बीच की भिन्न} = \frac{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}{2}$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में भिन्न/दशमलव का प्रश्न देखते ही यह decision tree चलाओ:

चरण 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

• मिश्रित भिन्न दिखे → तुरंत अनुचित भिन्न में बदलो।
• "बेचा/खाया/उपयोग किया" शब्द हों → क्रमिक गुणा pattern लगाओ।
• "कितना बचा" हो → $1 -$ बेचा निकालो।

चरण 2 — संक्रिया तय करो:

• जोड़/घटाव → LCM निकालो। गुणा/भाग → cross-cancellation पहले।
• दशमलव भाग → divisor को पूर्णांक बनाओ।

चरण 3 — answer verify करो:

• 4 options दिए हों और 3 गलत लगें → elimination तेज़ है।
• भिन्न का मान rough estimate करो (जैसे $\frac\{35\}\{96\} \approx 0.36$) और options से match करो।
• LCM-based equations में: answer को वापस equation में रखकर 5 सेकंड में जाँचो।

Word problems में units ज़रूर लिखो — "लीटर" या "हिस्सा" — ताकि गलती न हो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: क्रमिक भिन्न बिक्री CTET में सबसे अधिक बार आने वाला pattern है। यह परखता है कि तुम "बेचा" और "बचे का बेचा" में अंतर समझते हो।

समाधान का रास्ता: सीधे shortcut: बचा = $\frac\{5\}\{8\} \times \frac\{7\}\{12\} = \frac\{35\}\{96\}$। $(1 - \frac\{5\}\{12\}) = \frac\{7\}\{12\}$ है। Option C सही।

क्यों यह प्रश्न: दशमलव गुणा और भाग एक साथ BODMAS के साथ — यह combination गलतियाँ करवाता है। operation order गलत करने पर गलत उत्तर आता है।

समाधान का रास्ता: पहले $4.05 \times 1.5 = 6.075$, फिर $2.025 \div 0.75 = 2.7$। अंत में $6.075 - 2.7 = 3.375$। Option B सही।

क्यों यह प्रश्न: "भाग = उल्टा करके गुणा" को directly test करता है। Option C ($\frac\{50\}\{243\}$) एक common trap है — लोग भाग की जगह गुणा कर देते हैं।

समाधान का रास्ता: $\frac\{5\}\{9\} \div \frac\{10\}\{27\} = \frac\{5\}\{9\} \times \frac\{27\}\{10\}$। Cross-cancel: $\frac{5 \times 27}{9 \times 10} = \frac{5 \times 3}{1 \times 10} = \frac\{15\}\{10\} = \frac\{3\}\{2\}$। Option B सही।

क्यों यह प्रश्न: "भिन्न का अंतर = दी गई संख्या" type — LCM से equation solve करने की speed परखता है।

समाधान का रास्ता: Equation: $\frac{2x}\{3\} - \frac{x}\{4\} = 55$। LCM 12 से गुणा: $8x - 3x = 660$। $x = 132$। Option A सही।

क्यों यह प्रश्न: टंकी वाला classic problem — "अंतर" approach से 2 steps में हल होता है, "total" approach से 4 steps। CTET में ऐसे प्रश्न 30 सेकंड में हल होने चाहिए।

समाधान का रास्ता: $\frac\{9\}\{10\} - \frac\{3\}\{5\} = \frac\{9\}\{10\} - \frac\{6\}\{10\} = \frac\{3\}\{10\}$ capacity = 18 लीटर। Total = $18 \times \frac\{10\}\{3\} = 60$ लीटर। Option D सही।

क्यों यह प्रश्न: मिश्रित भिन्न के तीनों operations एक साथ — cross-cancellation नहीं करने पर बड़ी संख्याएँ बन जाती हैं और गलती की संभावना बढ़ जाती है।

समाधान का रास्ता: $2\frac\{4\}\{5\} = \frac\{14\}\{5\}$, $1\frac\{2\}\{3\} = \frac\{5\}\{3\}$, $2\frac\{1\}\{3\} = \frac\{7\}\{3\}$। $\frac\{14\}\{5\} \times \frac\{5\}\{3\} = \frac\{14\}\{3\}$ (5 cancel)। $\frac\{14\}\{3\} \div \frac\{7\}\{3\} = \frac\{14\}\{3\} \times \frac\{3\}\{7\} = 2$ (3 और 7 दोनों cancel)। Option B सही।

आम गलतियाँ

• "बचे का" वाला trap: "पहले $\frac\{3\}\{8\}$ बेचा, फिर बचे का $\frac\{5\}\{12\}$ बेचा" — बहुत से परीक्षार्थी $\frac\{3\}\{8\} + \frac\{5\}\{12\}$ जोड़ देते हैं। याद रखो: दूसरी बार original का नहीं, बचे हुए का $\frac\{5\}\{12\}$ बेचा। इसलिए $\frac\{5\}\{8\} \times \frac\{5\}\{12\}$ करना है।

• मिश्रित भिन्न को गुणा में सीधे लेना: $2\frac\{4\}\{5\} \times 1\frac\{2\}\{3\}$ को $(2 \times 1) + (\frac\{4\}\{5\} \times \frac\{2\}\{3\})$ की तरह हल करना — यह पूरी तरह गलत है। हमेशा पहले अनुचित भिन्न में बदलो।

• दशमलव भाग में decimal places गिनना भूलना: $4.05 \times 1.5$ में 405 × 15 = 6075 तो सही निकाला, पर 3 decimal places लगाना भूल गए और 607.5 लिखा। हमेशा गुणा से पहले कुल decimal places count करो।

• भाग को उल्टा करने में भ्रम: $\frac\{5\}\{9\} \div \frac\{10\}\{27\}$ में $\frac\{10\}\{27\}$ का उल्टा $\frac\{27\}\{10\}$ है — कुछ लोग $\frac\{9\}\{5\}$ (पहली भिन्न का उल्टा) करते हैं। सिर्फ divisor (जिससे भाग दे रहे हो) का उल्टा होता है।

• LCM लिए बिना भिन्न जोड़ना: $\frac\{3\}\{8\} + \frac\{5\}\{12\} = \frac\{8\}\{20\}$ — ऐसा गलत shortcut। हर अलग होने पर LCM ज़रूरी है। $\frac\{3\}\{8\} + \frac\{5\}\{12\} = \frac\{9\}\{24\} + \frac\{10\}\{24\} = \frac\{19\}\{24\}$।

• "बीच की भिन्न" में Mediant का गलत उपयोग: $\frac\{3\}\{7\}$ और $\frac\{5\}\{7\}$ के बीच: Mediant $= \frac{3+5}{7+7} = \frac\{8\}\{14\} = \frac\{4\}\{7\}$ है, जो सही है क्योंकि हर समान है। पर $\frac\{1\}\{3\}$ और $\frac\{1\}\{2\}$ के बीच Mediant $= \frac\{2\}\{5\}$ — यह ज़रूरी नहीं कि "ठीक बीच" हो। Average method: $\frac{\frac\{1\}\{3\}+\frac\{1\}\{2\}}\{2\} = \frac\{5\}\{12\}$ अधिक सटीक है।

संबंधित विषय

• lcm and hcf
• ratio and proportion
• percentage
• simplification
• number system basics
• word problems

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