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CTET Paper II बीजगणित: रैखिक समीकरण और बहुपद — कक्षा 6-8 शिक्षक पात्रता

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अवधारणा

बीजगणित को समझने का सबसे सीधा तरीका यह है — जब हम किसी अज्ञात संख्या को एक नाम देते हैं (जैसे xx या yy), और फिर उसके साथ जोड़-घटाव-गुणा-भाग करते हैं, तो वह बीजगणित बन जाता है।

एक सरल सादृश्य लो: मान लो तुम्हारे पास एक बंद डिब्बा है जिसमें कुछ संख्या में सेब हैं। तुम्हें नहीं पता कितने — पर तुम जानते हो कि अगर उसमें 3 और डाल दो तो कुल 10 हो जाएंगे। यह बंद डिब्बा ही xx है, और x+3=10x + 3 = 10 तुम्हारा रैखिक समीकरण है।

बीजगणितीय व्यंजक (Algebraic Expression): चर राशियों और स्थिरांकों का जोड़-घटाव-गुणा से बना रूप। जैसे 5y−13x−8a5y - 13x - 8a एक व्यंजक है — इसमें तीन पद हैं, हर पद में एक चर और एक coefficient है।

रैखिक समीकरण (Linear Equation): जब चर की घात 1 हो। जैसे 2x+3y=122x + 3y = 12। इसका graph एक सीधी रेखा है — इसीलिए "रैखिक"।

बहुपद (Polynomial): जब एक ही चर की अलग-अलग घातें हों। जैसे 3x3+8x2+2x−43x^3 + 8x^2 + 2x - 4 एक घात-3 का बहुपद है।

CTET Paper II में बीजगणित के प्रश्न तीन श्रेणियों में आते हैं:

इन तीनों में सबसे ज़्यादा गलतियाँ चिह्न (positive/negative) में होती हैं — और यही परीक्षा में trap भी है।

गहन विश्लेषण

बीजगणितीय व्यंजकों का जोड़-घटाव

नियम सरल है: केवल सजातीय पद (like terms) — यानी एक ही चर की एक ही घात वाले पद — आपस में जोड़े या घटाए जा सकते हैं।

5y−13x−8a5y - 13x - 8a में तीनों पद असजातीय हैं। इन्हें आपस में नहीं मिलाया जा सकता।

घटाव में सबसे बड़ा trap: जब "घटाओ" का प्रश्न आए, तो जो घटाना है उसके हर पद का चिह्न पलट दो, फिर जोड़ो।

A−B=A+(−B)A - B = A + (-B)

PYQ pattern: "A में से क्या घटाएं कि B मिले?" — इसका मतलब है A−?=BA - ? = B, तो ?=A−B? = A - B।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

दो समीकरण, दो अज्ञात — हल के दो मुख्य तरीके:

1. विलोपन विधि (Elimination Method): 2x+3y=122x + 3y = 12 और 3x−2y=53x - 2y = 5

पहले को 2 से गुणा करो: 4x+6y=244x + 6y = 24 दूसरे को 3 से गुणा करो: 9x−6y=159x - 6y = 15

जोड़ो: 13x=39⇒x=313x = 39 \Rightarrow x = 3

yy के लिए पहले में रखो: 2(3)+3y=12⇒y=22(3) + 3y = 12 \Rightarrow y = 2

2. प्रतिस्थापन विधि (Substitution): एक समीकरण से एक चर का मान निकालो, दूसरे में रखो। यह तब जल्दी काम करता है जब एक समीकरण में coefficient 1 हो।

CTET-specific pattern: अक्सर x+yx + y या x−yx - y का मान पूछा जाता है — पूरा xx और yy नहीं। ऐसे में दोनों समीकरणों को सीधे जोड़ो या घटाओ — यह ज़्यादा तेज़ होता है।

बहुपदों का गुणनखंड — Factor Theorem

Factor Theorem: अगर p(a)=0p(a) = 0 हो, तो (x−a)(x - a), बहुपद p(x)p(x) का एक गुणनखंड है।

उदाहरण: अगर (x+2)(x + 2) गुणनखंड है, तो p(−2)=0p(-2) = 0 होगा।

p(x)=3x3+8x2+kx−4p(x) = 3x^3 + 8x^2 + kx - 4 में x=−2x = -2 रखो: 3(−8)+8(4)+k(−2)−4=03(-8) + 8(4) + k(-2) - 4 = 0 −24+32−2k−4=0-24 + 32 - 2k - 4 = 0 4−2k=0⇒k=24 - 2k = 0 \Rightarrow k = 2

अब 3x3+8x2+2x−43x^3 + 8x^2 + 2x - 4 को (x+2)(x + 2) से लंबा भाग (long division) करो — भागफल 3x2+2x−23x^2 + 2x - 2 मिलेगा।

बहुपद के मूल और विएटा के सूत्र

p(x)=x3−px2+qx−6p(x) = x^3 - px^2 + qx - 6 के मूल α,β,γ\alpha, \beta, \gamma हों, तो: α+β+γ=p(coefficient of x2 का ऋण)\alpha + \beta + \gamma = p \quad \text{(coefficient of } x^2 \text{ का ऋण)} αβ+βγ+γα=q(coefficient of x)\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q \quad \text{(coefficient of } x \text{)} αβγ=6(स्वतंत्र पद का ऋण, यहाँ −(−6)=6)\alpha\beta\gamma = 6 \quad \text{(स्वतंत्र पद का ऋण, यहाँ } -(-6) = 6\text{)}

मूल 1,2,31, 2, 3 हों तो:

बहुपदों का भाग — Speed/Distance प्रकार

जब दूरी = बहुपद और समय = द्विपद हो, तो गति = गुणनखंड।

{गति}=2x2+7x+6x+2\text\{गति\} = \frac{2x^2 + 7x + 6}{x + 2}

2x2+7x+62x^2 + 7x + 6 का गुणनखंड करो: जोड़ 7, गुणा 12 — दो संख्याएं 3 और 4: 2x2+4x+3x+6=2x(x+2)+3(x+2)=(2x+3)(x+2)2x^2 + 4x + 3x + 6 = 2x(x + 2) + 3(x + 2) = (2x + 3)(x + 2)

अतः (2x+3)(x+2)(x+2)=(2x+3)\frac{(2x+3)(x+2)}{(x+2)} = (2x + 3) किमी/घंटा।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternघटाव में 'चिह्न-पलट-फिर-जोड़' नियम

जब भी "A में से B घटाओ" या "A में से क्या घटाएं कि C मिले" जैसा प्रश्न आए — B के हर पद का चिह्न पलटो और A में जोड़ दो। कागज़ पर A−BA - B लिखो, फिर B के हर term का sign flip करो।

उदाहरण: (5y−13x−8a)−(11x−16y+7a)(5y - 13x - 8a) - (11x - 16y + 7a) =5y−13x−8a−11x+16y−7a= 5y - 13x - 8a - 11x + 16y - 7a =21y−24x−15a= 21y - 24x - 15a

सामान्य विधि में गलती की संभावना 60% (sign error), यह विधि: step-count 3 vs 5, और sign error लगभग शून्य।

elimination$x+y$ direct — पूरा हल मत करो

जब दो समीकरण दिए हों और x+yx + y (या x−yx - y) पूछा जाए — सीधे दोनों समीकरणों को जोड़ो या घटाओ।

2x+3y=122x + 3y = 12 और 3x−2y=53x - 2y = 5: पहले को 2 से, दूसरे को 3 से गुणा करने की ज़रूरत नहीं। पहले xx और yy अलग-अलग निकालो (13x = 39, x = 3; y = 2), तो x+y=5x + y = 5।

पर अगर coefficients ऐसे हों कि सीधे जोड़ने से x+yx + y निकले — वह 10 सेकंड में होगा। सामान्य विधि: 90 सेकंड। हमेशा पहले check करो कि direct जोड़-घटाव से answer निकलता है क्या।

substitutionFactor Theorem — प्रतिस्थापन से तुरंत $k$ निकालो

(x+a)(x + a) गुणनखंड है तो x=−ax = -a रखो — बस इतना याद रखो। लंबा भाग बाद में करो, पहले kk निकालो।

p(−2)=0p(-2) = 0: 3(−2)3+8(−2)2+k(−2)−4=03(-2)^3 + 8(-2)^2 + k(-2) - 4 = 0 → −24+32−2k−4=0-24 + 32 - 2k - 4 = 0 → k=2k = 2।

सामान्य तरीका (undetermined coefficients): 8 steps। Factor theorem substitution: 3 steps। जब CTET में 4 options दिए हों — options में kk का मान देखो, सबसे पहले p(−2)p(-2) compute करो।

patternद्विघात बहुपद का गुणनखंड — जोड़-गुणा विधि

ax2+bx+cax^2 + bx + c के लिए: दो संख्याएं ढूंढो जिनका जोड़ bb हो और गुणा a×ca \times c हो।

2x2+7x+62x^2 + 7x + 6: a×c=12a \times c = 12, b=7b = 7। जोड़ 7 और गुणा 12 — संख्याएं 3 और 4। =2x2+4x+3x+6=(2x+3)(x+2)= 2x^2 + 4x + 3x + 6 = (2x + 3)(x + 2)

Quadratic formula: 45 सेकंड। यह विधि: 15 सेकंड। जब coefficients पूर्णांक हों — quadratic formula को हाथ भी मत लगाओ।

patternबहुपद मूल — विएटा के सूत्र से सीधा उत्तर

x3−px2+qx−rx^3 - px^2 + qx - r के मूल α,β,γ\alpha, \beta, \gamma हों तो: योग =p= p, युग्म-गुणनफल-योग =q= q, तीनों गुणनफल =r= r।

मूल 1, 2, 3 दिए हों तो: p=6p = 6, q=2+6+3=11q = 2+6+3 = 11, r=6r = 6। CTET के options में यही pattern आता है।

प्रत्येक मूल को p(x)p(x) में रख कर verify करने की विधि: 3 × 20 = 60 सेकंड। विएटा: 10 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा कक्ष में बीजगणित का प्रश्न देखते ही यह निर्णय वृक्ष अपनाओ:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

Step 2 — Options देखो: CTET में 4 options हमेशा होते हैं। अगर computation लंबी लग रही हो — options में eliminate करो। घटाव के प्रश्नों में अक्सर एक option का coefficient sign गलत होता है — वह trap है।

Step 3 — चिह्न की double-check: हर answer में एक बार sign verify करो — यही सबसे common गलती है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: व्यंजकों के घटाव में चिह्न-error का सबसे classic CTET trap।

समाधान का रास्ता: ?=(5y−13x−8a)−(11x−16y+7a)? = (5y - 13x - 8a) - (11x - 16y + 7a)। B के हर term का sign पलटो: 5y−13x−8a−11x+16y−7a5y - 13x - 8a - 11x + 16y - 7a। Like terms जोड़ो: y:5+16=21y: 5+16=21, x:−13−11=−24x: -13-11=-24, a:−8−7=−15a: -8-7=-15।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019
What should be subtracted from 5y – 13x – 8a to obtain 11x – 16y + 7a?
  1. 6x + 21y + 15a
  2. 21y – 5x – a
  3. 21y – 24x – 15a
  4. 24x – 21y + a
Solutionसमाधान
To find what to subtract: (5y - 13x - 8a) - (?) = (11x - 16y + 7a). So ? = (5y - 13x - 8a) - (11x - 16y + 7a) = 5y - 13x - 8a - 11x + 16y - 7a = 21y - 24x - 15a.

क्यों यह प्रश्न: तीन-पदीय बड़े व्यंजक में मान रखना — BODMAS और चिह्न दोनों की परीक्षा।

समाधान का रास्ता: पहले b2=9b^2 = 9, a2=1a^2 = 1, c2=4c^2 = 4 compute करो। फिर तीनों पद अलग-अलग निकालो: 8+126−(−20)=1548 + 126 - (-20) = 154। ध्यान दो: तीसरे पद में −c×(...)-c \times (...) है, c=−2c = -2 है, तो −(−2)(10)=+20-(-2)(10) = +20।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019
What is the value of a(a + b² + c) + b²(a² + b² + c²) – c(a + b²), when a = 1, b = –3 and c = –2?
  1. 138
  2. 154
  3. 162
  4. 176
Solutionसमाधान
With a=1, b=-3, c=-2: b²=9, a²=1, c²=4. First term: a(a + b² + c) = 1(1 + 9 - 2) = 1(8) = 8. Second term: b²(a² + b² + c²) = 9(1 + 9 + 4) = 9(14) = 126. Third term: c(a + b²) = -2(1 + 9) = -2(10) = -20. Total: 8 + 126 - (-20) = 8 + 126 + 20 = 154.

क्यों यह प्रश्न: तीन व्यंजकों का (P+Q)−R(P+Q)-R — एक साथ जोड़-घटाव और like terms।

समाधान का रास्ता: पहले P+QP+Q करो — xyxy पद: 12+9=2112+9=21, y2y^2 पद: −10+12=2-10+12=2, x2x^2 पद: −18+14=−4-18+14=-4। फिर RR घटाओ: 21xy−xy=20xy21xy-xy=20xy, 2y2−5y2=−3y22y^2-5y^2=-3y^2, −4x2+x2=−3x2-4x^2+x^2=-3x^2। अंतिम उत्तर 20xy−3x2−3y220xy - 3x^2 - 3y^2।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2021
Let P = 12xy − 10y² − 18x², Q = 14x² + 12y² + 9xy, and R = 5y² − x² + xy then (P + Q) − R =
  1. 22xy − 3x² + 3y²
  2. 22xy + 3x² − 3y²
  3. 20xy − 7x² − 3y²
  4. 20xy − 3x² − 3y²
Solutionसमाधान
P + Q = (12xy + 9xy) + (−10y² + 12y²) + (−18x² + 14x²) = 21xy + 2y² − 4x². Then (P + Q) − R = 21xy + 2y² − 4x² − (5y² − x² + xy) = 21xy − xy + 2y² − 5y² − 4x² + x² = 20xy − 3y² − 3x². Hmm, this gives 20xy − 3x² − 3y², matching option (4). Let me recheck: 21xy − xy = 20xy; 2y² − 5y² = −3y²; −4x² + x² = −3x². So result is 20xy − 3x² − 3y², which is option (4).

क्यों यह प्रश्न: गति = दूरी/समय को बहुपद के गुणनखंड से जोड़ना — CTET का favorite applied algebra question।

समाधान का रास्ता: 2x2+7x+62x^2 + 7x + 6 का गुणनखंड करो। गुणा =12= 12, जोड़ =7= 7 → संख्याएं 3 और 4। (2x+3)(x+2)(2x+3)(x+2)। (x+2)(x+2) cancel होगा → गति =(2x+3)= (2x+3) किमी/घंटा।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A train covers a distance of (2x² + 7x + 6) km in (x + 2) hours. What is the speed of the train in terms of x?
एक ट्रेन (2x² + 7x + 6) किमी की दूरी (x + 2) घंटे में तय करती है। x के पदों में ट्रेन की गति क्या है?
  1. (2x + 3) km/hr
  2. (x + 3) km/hr
  3. (2x + 6) km/hr
  4. (2x – 3) km/hr
  1. (2x + 3) किमी/घंटा
  2. (x + 3) किमी/घंटा
  3. (2x + 6) किमी/घंटा
  4. (2x – 3) किमी/घंटा
Solutionसमाधान
Speed = Distance ÷ Time = (2x² + 7x + 6) ÷ (x + 2). Factorising the numerator: 2x² + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2). So speed = (2x + 3)(x + 2) ÷ (x + 2) = (2x + 3) km/hr.
गति = दूरी ÷ समय = (2x² + 7x + 6) ÷ (x + 2). अंश का गुणनखंड: 2x² + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2). अतः गति = (2x + 3) किमी/घंटा।

क्यों यह प्रश्न: दो रैखिक समीकरणों का उभयनिष्ठ हल और pp का मान — substitution का direct application।

समाधान का रास्ता: y=2y = 2 को 2x+3y=62x + 3y = 6 में रखो: 2x+6=6⇒x=02x + 6 = 6 \Rightarrow x = 0। अब (0,2)(0, 2) को 4x+py=84x + py = 8 में रखो: 0+2p=8⇒p=40 + 2p = 8 \Rightarrow p = 4।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
For what value of p will the linear equation 4x + py = 8 have the same solution as 2x + 3y = 6 at the point where y = 2?
p के किस मान के लिए रैखिक समीकरण 4x + py = 8 का हल, 2x + 3y = 6 के उस हल के समान होगा जहाँ y = 2 है?
  1. p = 0
  2. p = 4
  3. p = –4
  4. p = 2
  1. p = 0
  2. p = 4
  3. p = –4
  4. p = 2
Solutionसमाधान
From 2x + 3(2) = 6: 2x + 6 = 6 → x = 0. The common solution is (0, 2). Substituting into 4x + py = 8: 4(0) + p(2) = 8 → 2p = 8 → p = 4.
2x + 3(2) = 6 से: 2x = 0, अतः x = 0. उभयनिष्ठ हल (0, 2) है। 4x + py = 8 में रखने पर: 4(0) + p(2) = 8 → p = 4.

क्यों यह प्रश्न: Factor theorem से kk निकालना और फिर long division — दो-step बहुपद प्रश्न।

समाधान का रास्ता: x=−2x = -2 रखो: −24+32−2k−4=0⇒k=2-24 + 32 - 2k - 4 = 0 \Rightarrow k = 2। फिर 3x3+8x2+2x−43x^3 + 8x^2 + 2x - 4 को (x+2)(x+2) से भाग दो → भागफल 3x2+2x−23x^2 + 2x - 2।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
If (x + 2) is a factor of 3x³ + 8x² + kx – 4, what is the value of k, and what is the other factor of the form (ax² + bx + c)?
यदि (x + 2), 3x³ + 8x² + kx – 4 का एक गुणनखंड है, तो k का मान क्या है और (ax² + bx + c) रूप का अन्य गुणनखंड क्या है?
  1. k = 4; other factor is (3x² – 2x + 2)
  2. k = 1; other factor is (3x² + 2x – 2)
  3. k = 2; other factor is (3x² + 2x – 2)
  4. k = 2; other factor is (3x² – 2x – 2)
  1. k = 4; अन्य गुणनखंड (3x² – 2x + 2) है
  2. k = 1; अन्य गुणनखंड (3x² + 2x – 2) है
  3. k = 2; अन्य गुणनखंड (3x² + 2x – 2) है
  4. k = 2; अन्य गुणनखंड (3x² – 2x – 2) है
Solutionसमाधान
p(–2) = 0: 3(–8) + 8(4) + k(–2) – 4 = –24 + 32 – 2k – 4 = 4 – 2k = 0 → k = 2. Dividing 3x³ + 8x² + 2x – 4 by (x + 2): the quotient is 3x² + 2x – 2.
p(–2) = 0: 3(–8) + 8(4) + k(–2) – 4 = 4 – 2k = 0 → k = 2. 3x³ + 8x² + 2x – 4 को (x + 2) से भाग देने पर भागफल 3x² + 2x – 2 है।

क्यों यह प्रश्न: विलोपन विधि — CTET में बार-बार आने वाला युगल समीकरण प्रश्न।

समाधान का रास्ता: yy को eliminate करो — पहले को ×2\times 2: 4x+6y=244x+6y=24, दूसरे को ×3\times 3: 9x−6y=159x-6y=15। जोड़ो: 13x=39⇒x=313x=39 \Rightarrow x=3। y=2y=2। x+y=5x+y=5।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
If 2x + 3y = 12 and 3x – 2y = 5, what is the value of x + y?
यदि 2x + 3y = 12 और 3x – 2y = 5 है, तो x + y का मान क्या है?
  1. 4
  2. 3
  3. 5
  4. 6
  1. 4
  2. 3
  3. 5
  4. 6
Solutionसमाधान
Multiplying first equation by 2 and second by 3: 4x + 6y = 24 and 9x – 6y = 15. Adding: 13x = 39 → x = 3. Substituting in first: 6 + 3y = 12 → y = 2. Therefore x + y = 3 + 2 = 5.
पहले समीकरण को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करने पर: 4x + 6y = 24 और 9x – 6y = 15. जोड़ने पर: 13x = 39 → x = 3. पहले समीकरण में रखने पर: y = 2. अतः x + y = 5.

क्यों यह प्रश्न: विएटा के सूत्र — मूल दिए हों, coefficients निकालो।

समाधान का रास्ता: मूल 1, 2, 3। p=1+2+3=6p = 1+2+3 = 6। q=(1×2)+(2×3)+(1×3)=2+6+3=11q = (1 \times 2)+(2 \times 3)+(1 \times 3) = 2+6+3 = 11। गुणनफल =1×2×3=6= 1 \times 2 \times 3 = 6 ✓।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
The polynomial p(x) = x³ – px² + qx – 6 has roots 1, 2, and 3. What are the values of p and q?
बहुपद p(x) = x³ – px² + qx – 6 के मूल 1, 2 और 3 हैं। p और q के मान क्या हैं?
  1. p = 6, q = 6
  2. p = 11, q = 6
  3. p = 6, q = 11
  4. p = 5, q = 11
  1. p = 6, q = 6
  2. p = 11, q = 6
  3. p = 6, q = 11
  4. p = 5, q = 11
Solutionसमाधान
By Vieta's formulas for x³ – px² + qx – 6: sum of roots = p → 1+2+3 = 6, so p = 6. Sum of products of pairs = q → (1×2)+(2×3)+(1×3) = 2+6+3 = 11, so q = 11. Product of roots = 6 → 1×2×3 = 6 ✓.
विएटा के सूत्रों से: मूलों का योग = p → 1+2+3 = 6, अतः p = 6. मूलों के युग्म गुणनफल का योग = q → (1×2)+(2×3)+(1×3) = 11, अतः q = 11. मूलों का गुणनफल = 6 → 1×2×3 = 6 ✓।

आम गलतियाँ

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