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CTET Paper II — अनुपात, समानुपात और प्रतिशत | कक्षा 6-8 गणित

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अवधारणा

अनुपात, समानुपात और प्रतिशत — ये तीनों एक ही परिवार के सदस्य हैं। इन्हें अलग-अलग topic मानकर पढ़ना सबसे बड़ी गलती है।

अनुपात (Ratio) दो राशियों की तुलना है — वह भी उसी इकाई में। जब तुम कहते हो कि एक कक्षा में लड़के और लड़कियाँ 3:53:5 के अनुपात में हैं, तो इसका मतलब है — हर 8 बच्चों में 3 लड़के और 5 लड़कियाँ। अनुपात हमेशा relative होता है, absolute नहीं।

समानुपात (Proportion) वह स्थिति है जब दो अनुपात बराबर हों। a:b=c:da:b = c:d — इसे ऐसे पढ़ो: "aa का bb से वही संबंध है जो cc का dd से है।" इसका algebraic रूप है ad=bcad = bc (cross-product rule)। रसोई की एक सरल उपमा लो — अगर 2 किलो आटे में 400 मिली पानी लगता है, तो 5 किलो में 1000 मिली लगेगा। यह proportion ही है।

प्रतिशत (Percentage) असल में एक विशेष अनुपात है — जहाँ दूसरा पद हमेशा 100 होता है। 25%25\% का मतलब है {25}{100}\frac\{25\}\{100\}। जब तुम percent को fraction में बदलते हो और fraction को percent में, तो तुम बस denominator बदल रहे होते हो।

CTET Paper II में इस topic से जो प्रश्न आते हैं, वे दो स्तर पर होते हैं:

  1. गणित प्रश्न: सीधे अनुपात-समानुपात-प्रतिशत calculate करो।
  2. शैक्षणिक प्रश्न (Pedagogical): कक्षा 6-8 के बच्चे इस अवधारणा में कहाँ उलझते हैं, उन्हें कैसे पढ़ाओ।

दोनों की तैयारी साथ-साथ होनी चाहिए।

गहन विश्लेषण

अनुपात के मूल नियम

अनुपात a:ba:b को हमेशा सरलतम रूप में लिखो। अगर a=12,b=18a = 12, b = 18, तो 12:18=2:312:18 = 2:3 (HCF = 6 से भाग देकर)।

k-गुणन का नियम: अगर दो संख्याएँ m:nm:n के अनुपात में हैं, तो उन्हें mkmk और nknk लिखो। यह CTET के अनुपात वाले हर प्रश्न की नींव है।

यदि A:B=3:5, तो A=3k,B=5k\text{यदि } A:B = 3:5, \text{ तो } A = 3k, B = 5k

जोड़-घटाव का नियम (Componendo-Dividendo): ab=cd  ⟹  a+ba−b=c+dc−d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}

यह नियम तब काम आता है जब प्रश्न में "जोड़ने पर" या "घटाने पर" condition दी हो।

समानुपात के प्रकार

प्रत्यक्ष समानुपात (Direct Proportion): जब एक राशि बढ़ती है तो दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़ती है। x1y1=x2y2\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}

उदाहरण: अगर 5 मजदूर 10 दिन में काम करते हैं, तो 10 मजदूर 5 दिन में। — रुको, यह प्रत्यक्ष नहीं, व्युत्क्रम है।

व्युत्क्रम समानुपात (Inverse Proportion): जब एक बढ़ती है तो दूसरी उसी अनुपात में घटती है। x1×y1=x2×y2x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2

CTET में एक जाल है — प्रश्न पढ़कर पहले decide करो कि proportion कौन सा है। मजदूर-दिन, गति-समय = व्युत्क्रम। मात्रा-मूल्य, दूरी-किराया = प्रत्यक्ष।

चार संख्याओं का समानुपात — परीक्षा का सबसे महत्वपूर्ण pattern

अगर a,b,c,da, b, c, d समानुपात में हों, तो a:b::c:da:b::c:d, अर्थात् ad=bcad = bc।

कोई संख्या जोड़ने/घटाने वाले प्रश्न:

माना हर संख्या में xx जोड़ा जाए ताकि वे proportion में आएँ: (a+x)(d+x)=(b+x)(c+x)(a+x)(d+x) = (b+x)(c+x)

expand करने पर x2x^2 cancel हो जाता है — यही shortcut है। बिना quadratic formula के linear equation मिलती है।

प्रतिशत की तीन मूल computations

1. किसी संख्या का प्रतिशत निकालना: P% of N=P×N100P\% \text{ of } N = \frac{P \times N}{100}

2. प्रतिशत परिवर्तन (Percentage Change): % परिवर्तन=परिवर्तनमूल मान×100\% \text{ परिवर्तन} = \frac{\text{परिवर्तन}}{\text{मूल मान}} \times 100

3. क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन (Successive Change): कुल परिवर्तन=(a+b+ab100)%\text{कुल परिवर्तन} = \left(a + b + \frac{ab}{100}\right)\%

जहाँ aa और bb दो क्रमिक percentage changes हैं। घटाव के लिए bb ऋणात्मक लो।

उदाहरण: 40% वृद्धि फिर 10% घटाव, फिर 15% घटाव।

यह बिल्कुल वही है जो specimen PYQ 6a2c1dbe8019520d6645db9a में है।

जनसंख्या/मूल्य में क्रमिक परिवर्तन

जब PP पर पहले r1%r_1\% वृद्धि फिर r2%r_2\% घटाव हो: अंतिम मान=P×(100+r1)100×(100−r2)100\text{अंतिम मान} = P \times \frac{(100 + r_1)}{100} \times \frac{(100 - r_2)}{100}

अगर अंतिम मान दिया हो और PP निकालना हो, तो उल्टा divide करो।

अनुपात में धन का विभाजन

A:B:C=p:q:rA:B:C = p:q:r में कुल धन SS हो, तो: A=pp+q+r×S,B=qp+q+r×S,C=rp+q+r×SA = \frac{p}{p+q+r} \times S, \quad B = \frac{q}{p+q+r} \times S, \quad C = \frac{r}{p+q+r} \times S

जब condition ऐसी हो "nA=mB=kCnA = mB = kC", तो ratio निकालने का तरीका: A:B:C=1n:1m:1kA:B:C = \frac{1}{n} : \frac{1}{m} : \frac{1}{k}

LCM लेकर simplify करो। यह PYQ 6a2156e4bc1b7c44790744cf का core step है।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternx² cancel trick — जोड़/घटाव proportion प्रश्न

जब कोई संख्या xx जोड़ने/घटाने पर चार संख्याएँ proportion में आएँ, तो cross-multiply करने के बाद x2x^2 दोनों तरफ cancel होता है। सीधे linear equation solve करो।

उदाहरण: 14+x,12+x,34+x,30+x14+x, 12+x, 34+x, 30+x proportion में हैं। (14+x)(30+x)=(12+x)(34+x)(14+x)(30+x) = (12+x)(34+x) 420+44x+x2=408+46x+x2420 + 44x + x^2 = 408 + 46x + x^2 x2x^2 cancel → 420+44x=408+46x420 + 44x = 408 + 46x → x=6x = 6

मानक तरीका: quadratic expand, simplify — 60 सेकंड। यह pattern: x2x^2 देखते ही cancel — 20 सेकंड।

patternnA=mB=kC से ratio — reciprocal trick

जब 4A=6B=9C4A = 6B = 9C जैसी condition हो, तो A:B:C={1}{4}:{1}{6}:{1}{9}A:B:C = \frac\{1\}\{4\}:\frac\{1\}\{6\}:\frac\{1\}\{9\}। LCM(4,6,9) = 36 से गुणा करो: A:B:C=9:6:4A:B:C = 9:6:4।

मानक तरीका: kk रखकर A=k/4A = k/4 आदि निकालना — 3 steps। Reciprocal trick: 1 step mental calculation — 5 सेकंड बनाम 30 सेकंड।

patternक्रमिक प्रतिशत — एकल formula

दो क्रमिक percentage changes a%a\% और b%b\% का net effect: Net=a+b+ab100\text{Net} = a + b + \frac{ab}{100} घटाव के लिए bb को ऋणात्मक लो।

उदाहरण: 40% वृद्धि, फिर 10% घटाव, फिर 15% घटाव। Step 1: 40+(−10)+40×(−10){100}=26%40 + (-10) + \frac{40 \times (-10)}\{100\} = 26\% Step 2: 26+(−15)+26×(−15){100}=7.1%26 + (-15) + \frac{26 \times (-15)}\{100\} = 7.1\%

मानक तरीका: 100→140→126→107.1100 \to 140 \to 126 \to 107.1 — multiplication chain, गलती की संभावना ज़्यादा। Formula: 2 additions — 15 सेकंड बनाम 40 सेकंड।

substitutionRatio transfer प्रश्न — k-method पहले

जब ratio दिया हो और कुछ transfer/add/remove हो, तो तुरंत A=pk,B=qkA = pk, B = qk रखो। फिर condition से linear equation बनाओ।

उदाहरण: A:B=7:9A:B = 7:9, A से 6 निकालकर B में डालने पर 1:31:3। A=7k,B=9kA = 7k, B = 9k → 7k−69k+6={1}{3}\frac{7k-6}{9k+6} = \frac\{1\}\{3\} → 21k−18=9k+621k - 18 = 9k + 6 → k=2k = 2।

बिना kk के guess-and-check: options try करना पड़ता — 4 attempts × 20 सेकंड = 80 सेकंड। k-method: 25 सेकंड।

estimationजनसंख्या वापस निकालना — direct division

जब successive change के बाद final value दी हो और original निकालना हो: P=Final(1±r1/100)(1±r2/100)P = \frac{\text{Final}}{(1 \pm r_1/100)(1 \pm r_2/100)}

उदाहरण: 10% वृद्धि, 10% घटाव के बाद 29700। P={29700}1.1×0.9={29700}0.99=30000P = \frac\{29700\}{1.1 \times 0.9} = \frac\{29700\}{0.99} = 30000

ध्यान दो: 1.1×0.9=0.991.1 \times 0.9 = 0.99, न कि 1.00 — यही trap है। Options में 29700 भी होता है जो गलत है। Direct division: 10 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में अनुपात-समानुपात-प्रतिशत का कोई प्रश्न आए, तो यह क्रम follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो (5 सेकंड):

Step 2 — variable रखो (5 सेकंड): हमेशा smallest variable — kk या xx — एक ही रखो।

Step 3 — equation बनाओ, x2x^2 देखते ही cancel करो (15 सेकंड): Quadratic formula की ज़रूरत कभी नहीं पड़ेगी इस chapter में।

Step 4 — answer verify करो (10 सेकंड): निकाला गया value वापस condition में डालो। CTET में distractors deliberately "लगभग सही" होते हैं।

लाल झंडा: अगर equation में x2x^2 बच रहा है और cancel नहीं हुआ, तो cross-multiplication दोबारा check करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह CTET 2019 का प्रश्न है जो x² cancel pattern को सीधे test करता है। इसमें \sqrt{} का extra step जोड़कर complexity बढ़ाई गई है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019
If x is added to each of 14, 12, 34 and 30, the numbers so obtained, in this order, are in proportion. What is the value of √(12x + 9)?
  1. 8
  2. 9
  3. 11
  4. 13
Solutionसमाधान
If numbers are in proportion: (14+x)/(12+x) = (34+x)/(30+x). Cross multiplying: (14+x)(30+x) = (12+x)(34+x) → 420 + 14x + 30x + x² = 408 + 12x + 34x + x² → 420 + 44x = 408 + 46x → 12 = 2x → x = 6. So √(12×6+9) = √81 = 9.

समाधान का रास्ता: (14+x)(30+x)=(12+x)(34+x)(14+x)(30+x) = (12+x)(34+x) → expand करो → x2x^2 cancel → 420+44x=408+46x420 + 44x = 408 + 46x → x=6x = 6 → 12×6+9={81}=9\sqrt{12 \times 6 + 9} = \sqrt\{81\} = 9। Final step भूलना मत — प्रश्न xx नहीं, 12x+9\sqrt{12x+9} पूछता है।

क्यों यह प्रश्न: घटाव वाला proportion प्रश्न — वही x² cancel trick, लेकिन signs बदल जाती हैं। यहाँ careful expansion ज़रूरी है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019
What number should be subtracted from each of 50, 61, 92, 117 so that the numbers, so obtained in this order, are in proportion?
  1. 14
  2. 17
  3. 19
  4. 23
Solutionसमाधान
Let the number subtracted be x. For proportion: (50-x)/(61-x) = (92-x)/(117-x). Cross-multiplying: (50-x)(117-x) = (61-x)(92-x). Expanding: 5850 - 50x - 117x + x² = 5612 - 61x - 92x + x². Simplifying: 5850 - 167x = 5612 - 153x. So 5850 - 5612 = 167x - 153x, giving 238 = 14x, hence x = 17. The correct answer is 17.

समाधान का रास्ता: (50−x)(117−x)=(61−x)(92−x)(50-x)(117-x) = (61-x)(92-x) → expand → x2x^2 cancel → 5850−167x=5612−153x5850 - 167x = 5612 - 153x → 238=14x238 = 14x → x=17x = 17। Note: spec की explanation में x=17x = 17 निकलता है, answer key 17 है।

क्यों यह प्रश्न: "nA = mB = kC" pattern — CTET में यह combination हर साल आता है। Reciprocal trick के बिना यह प्रश्न 90 सेकंड लेगा।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019
A sum of ₹1,710 is divided in A, B and C such that 4 times of A, 6 times of B and 9 times of C are equal. What is the difference between A and C?
  1. ₹360
  2. ₹450
  3. ₹480
  4. ₹540
Solutionसमाधान
Given 4A = 6B = 9C = k. Then A = k/4, B = k/6, C = k/9. LCM of 4, 6, 9 is 36. So A:B:C = 9:6:4. Sum of ratios = 9+6+4 = 19. A = (9/19)×1710 = 810, B = (6/19)×1710 = 540, C = (4/19)×1710 = 360. Difference A - C = 810 - 360 = ₹450.

समाधान का रास्ता: 4A=6B=9C4A = 6B = 9C → A:B:C={1}{4}:{1}{6}:{1}{9}A:B:C = \frac\{1\}\{4\}:\frac\{1\}\{6\}:\frac\{1\}\{9\} → LCM = 36 → A:B:C=9:6:4A:B:C = 9:6:4 → कुल 19 parts → A={9}{19}×1710=810A = \frac\{9\}\{19\} \times 1710 = 810, C={4}{19}×1710=360C = \frac\{4\}\{19\} \times 1710 = 360 → अंतर = 450।

क्यों यह प्रश्न: Transfer problem जहाँ total बदलता नहीं — classic k-method। Answer verify करना यहाँ critical है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019
The number of fruits in baskets A and B are in the ratio 7 : 9. If six fruits are taken out from A and put in B, then this ratio becomes 1 : 3. The total number of fruits in A and B is
  1. 28
  2. 32
  3. 36
  4. 40
Solutionसमाधान
Let A have 7k fruits and B have 9k fruits. After transfer: A has (7k-6), B has (9k+6). Given (7k-6)/(9k+6) = 1/3. Cross-multiplying: 3(7k-6) = 9k+6, so 21k - 18 = 9k + 6, giving 12k = 24, k = 2. Total = 7(2) + 9(2) = 14 + 18 = 32. However, the answer key indicates 36. Rechecking: if k=2, A=14, B=18, total=32. After transfer A=8, B=24, ratio=8:24=1:3 ✓. So total is 32, option (2). The correct answer is 32.

समाधान का रास्ता: A=7k,B=9kA = 7k, B = 9k → transfer के बाद 7k−69k+6={1}{3}\frac{7k-6}{9k+6} = \frac\{1\}\{3\} → 21k−18=9k+621k - 18 = 9k + 6 → k=2k = 2 → total =7(2)+9(2)=32= 7(2) + 9(2) = 32। Verify: A=14−6=8A = 14-6 = 8, B=18+6=24B = 18+6 = 24, ratio =8:24=1:3= 8:24 = 1:3 ✓।

क्यों यह प्रश्न: दूध-पानी mixture — CTET और SSC दोनों में बार-बार आने वाला pattern। Milk constant रहता है, इसी से equation बनती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A mixture contains milk and water in the ratio 7:3. If 10 litres of water is added, the ratio becomes 7:5. What was the original quantity of milk in the mixture?
एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7:3 है। 10 लीटर पानी मिलाने पर अनुपात 7:5 हो जाता है। मिश्रण में दूध की मूल मात्रा क्या थी?
  1. 28 litres
  2. 35 litres
  3. 42 litres
  4. 49 litres
  1. 28 लीटर
  2. 35 लीटर
  3. 42 लीटर
  4. 49 लीटर
Solutionसमाधान
Let original milk = 7x, water = 3x. After adding 10 litres water: 7x/(3x+10) = 7/5 → 35x = 21x + 70 → 14x = 70 → x = 5. Milk = 7×5 = 35 litres.
माना मूल दूध = 7x, पानी = 3x। 10 लीटर पानी मिलाने पर: 7x/(3x+10) = 7/5 → 35x = 21x+70 → 14x = 70 → x = 5। दूध = 7×5 = 35 लीटर।

समाधान का रास्ता: दूध = 7x7x, पानी = 3x3x। पानी मिलाने पर दूध नहीं बदला: 7x3x+10={7}{5}\frac{7x}{3x+10} = \frac\{7\}\{5\} → 35x=21x+7035x = 21x + 70 → x=5x = 5 → दूध =35= 35 लीटर। Trap: ratio के दोनों parts की जाँच करो — 35:25=7:535:25 = 7:5 ✓।

क्यों यह प्रश्न: Successive percentage changes — 3 operations। Formula-based approach बिना calculation error के 15 सेकंड में solve करता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A shopkeeper marks his goods 40% above cost price and gives two successive discounts of 10% and 15%. What is his net profit or loss percentage?
एक दुकानदार अपनी वस्तुओं को लागत मूल्य से 40% अधिक पर अंकित करता है और क्रमशः 10% और 15% की दो छूट देता है। उसका शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत क्या है?
  1. 6.7% profit
  2. 7.1% loss
  3. 7.1% profit
  4. 3.3% profit
  1. 6.7% लाभ
  2. 7.1% हानि
  3. 7.1% लाभ
  4. 3.3% लाभ
Solutionसमाधान
Let CP = 100. MP = 140. After 10% discount: 140 × 0.9 = 126. After 15% discount: 126 × 0.85 = 107.1. Net profit = 7.1%. Let me recompute: 140 × 0.9 × 0.85 = 140 × 0.765 = 107.1. Profit% = 7.1%.
माना CP = 100। MP = 140। 10% छूट के बाद: 140 × 0.9 = 126। 15% छूट के बाद: 126 × 0.85 = 107.1। शुद्ध लाभ = 7.1%।

समाधान का रास्ता: CP = 100, MP = 140। Net effect = 40+(−10)+40×(−10){100}=26%40 + (-10) + \frac{40 \times (-10)}\{100\} = 26\%। फिर 26+(−15)+26×(−15){100}=26−15−3.9=7.1%26 + (-15) + \frac{26 \times (-15)}\{100\} = 26 - 15 - 3.9 = 7.1\% लाभ। या सीधे: 140×0.9×0.85=107.1140 \times 0.9 \times 0.85 = 107.1 → 7.1% लाभ।

क्यों यह प्रश्न: Successive change के बाद original निकालना — यहाँ students अक्सर 29700 ही answer मान लेते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
The population of a town increases by 10% in the first year and decreases by 10% in the second year. If the population at the end of the second year is 29700, what was the original population?
एक शहर की जनसंख्या पहले वर्ष 10% बढ़ती है और दूसरे वर्ष 10% घटती है। यदि दूसरे वर्ष के अंत में जनसंख्या 29700 है, तो मूल जनसंख्या क्या थी?
  1. 30000
  2. 27000
  3. 29700
  4. 33000
  1. 30000
  2. 27000
  3. 29700
  4. 33000
Solutionसमाधान
Let original population = P. After first year: P × 1.10. After second year: P × 1.10 × 0.90 = P × 0.99 = 29700. So P = 29700/0.99 = 30000.
माना मूल जनसंख्या = P। पहले वर्ष बाद: P × 1.10। दूसरे वर्ष बाद: P × 1.10 × 0.90 = P × 0.99 = 29700। अतः P = 29700/0.99 = 30000।

समाधान का रास्ता: P×1.10×0.90=29700P \times 1.10 \times 0.90 = 29700 → P×0.99=29700P \times 0.99 = 29700 → P=30000P = 30000। Key insight: 10%10\% वृद्धि और 10%10\% घटाव net में 1%1\% घटाव होता है (0.99 factor), शून्य परिवर्तन नहीं।

आम गलतियाँ

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