Learn / CTET PAPER II / math-science / data-handling

CTET Paper II — आँकड़ों का प्रबंधन और सांख्यिकी (माध्य, माध्यिका, बहुलक, चार्ट)

beginner 18 min read

अवधारणा

आँकड़ों का प्रबंधन — यानी Data Handling — असल में एक सवाल का जवाब है: "इतनी सारी संख्याओं का सार एक या दो संख्याओं में कैसे बताएँ?"

मान लो तुम्हारी कक्षा में 40 छात्र हैं और सबके अलग-अलग अंक हैं। Principal को सिर्फ़ यह जानना है — "क्लास कैसी है?" तुम हर बच्चे के अंक नहीं पढ़ोगे। तुम बताओगे: "औसत 68 है, सबसे ज़्यादा बार 70 आया, और बीच का नंबर 65 है।" यही सांख्यिकी है।

केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन माप:

माध्य (Mean): सभी मानों का योग ÷ मानों की संख्या। यह "संतुलन बिंदु" है — जैसे see-saw का केंद्र।
माध्यिका (Median): आरोही क्रम में बीच का मान। यह "स्थिति-आधारित" माप है — extreme values इसे प्रभावित नहीं करतीं।
बहुलक (Mode): सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान। यह "लोकप्रियता" का माप है — जैसे सबसे ज़्यादा बिकने वाला जूते का नंबर।

डेटा के visual representations:

दंड आलेख (Bar Graph): श्रेणियों की तुलना के लिए। ऊँचाई = मान।
वृत्त चित्र / पाई चार्ट (Pie Chart): भागों का पूरे से अनुपात दिखाता है। पूरा वृत्त = 360°।
दोहरा दंड आलेख (Double Bar Graph): दो समूहों की एक साथ तुलना।

CTET Paper II में यह topic इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यहाँ सिर्फ़ गणना नहीं, बल्कि यह भी पूछा जाता है कि "किस माप का उपयोग कब करना चाहिए" — जो Class 6-8 शिक्षक के रूप में तुम्हारी pedagogical समझ को परखता है।

गहन विश्लेषण

माध्य (Mean) — गणना और समझ

$\text{माध्य} = \frac{\text{सभी मानों का योग}}{\text{मानों की संख्या}} = \frac{\sum x_i}{n}$

बारंबारता वितरण में माध्य:

जब डेटा frequency table में हो: $\text{माध्य} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{\sum f_i}$

जहाँ $x_i$ = मान, $f_i$ = बारंबारता।

माध्य की कमज़ोरी: Extreme values (outliers) माध्य को बहुत प्रभावित करती हैं। अगर 9 छात्रों के अंक 50 के आसपास हैं और एक का अंक 0 है, तो माध्य misleading होगा।

माध्यिका (Median) — स्थिति-आधारित माप

पहला काम हमेशा: डेटा को आरोही क्रम (ascending order) में लगाओ।

n विषम (odd) हो तो: $\text{माध्यिका} = \left(\frac{n+1}{2}\right)\text{वाँ मान}$

n सम (even) हो तो: $\text{माध्यिका} = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ मान} + \left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ मान}}{2}$

उदाहरण: $n = 7$ (विषम) → माध्यिका = 4वाँ मान। उदाहरण: $n = 8$ (सम) → माध्यिका = (4वाँ + 5वाँ) ÷ 2।

माध्यिका की ताकत: Income distribution, property prices जैसे डेटा में जहाँ कुछ बहुत बड़े मान हों, माध्यिका ज़्यादा सटीक तस्वीर देती है।

बहुलक (Mode) — बारंबारता-आधारित माप

बहुलक = वह मान जो डेटा में सबसे अधिक बार आता है।

एकल बहुलक (Unimodal): सिर्फ़ एक मान सबसे ज़्यादा बार।
द्विबहुलक (Bimodal): दो मान समान रूप से सबसे ज़्यादा बार।
कोई बहुलक नहीं: सभी मान एक बार — इस स्थिति में बहुलक अपरिभाषित है।

बहुलक का उपयोग: जूते का सबसे ज़्यादा बिकने वाला size, सबसे popular विषय — यानी जहाँ "सबसे आम" जानना हो।

वृत्त चित्र (Pie Chart) — कोण की गणना

$\text{किसी घटक का कोण} = \frac{\text{घटक का मान}}{\text{कुल योग}} \times 360°$

$\text{प्रतिशत} = \frac{\text{केंद्रीय कोण}}{360°} \times 100$

$\text{घटक का मान} = \frac{\text{केंद्रीय कोण}}{360°} \times \text{कुल}$

यह तीनों formula एक ही रिश्ते के तीन रूप हैं। याद करो: कोण : 360° = मान : कुल = प्रतिशत : 100।

दंड आलेख में प्रतिशत वृद्धि/कमी

$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \frac{\text{नया मान} - \text{पुराना मान}}{\text{पुराना मान}} \times 100$

दोहरे बार ग्राफ में combined total निकालो, फिर formula लगाओ।

तीनों माप की तुलना — CTET परीक्षा के लिए

| स्थिति | उचित माप | |--------|-----------| | Extreme values हों | माध्यिका | | सबसे common जानना हो | बहुलक | | सभी मान महत्वपूर्ण हों | माध्य | | Open-ended distribution | माध्यिका |

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternविषम/सम पहचानो — माध्यिका तुरंत

जैसे ही n मिले, तुरंत तय करो: विषम है या सम?

n विषम: position = (n+1)/2। बस उस position का मान।
n सम: position = n/2 और n/2 + 1। दोनों का औसत।

n = 7 → position = 4। n = 8 → position = 4 और 5 का औसत।

Speed: पहले क्रम में लगाओ, फिर सीधे उस position पर जाओ — पूरा डेटा दोबारा पढ़ने की ज़रूरत नहीं। Standard counting: 10-12 सेकंड। यह shortcut: 5-6 सेकंड।

patternपाई चार्ट का त्रिकोण — एक formula तीन काम

याद करो एक ही रिश्ता: कोण/360 = मान/कुल = प्रतिशत/100

जो भी पूछा हो:

कोण दिया, प्रतिशत चाहिए → कोण ÷ 3.6
प्रतिशत दिया, कोण चाहिए → प्रतिशत × 3.6
कोण दिया, actual मान चाहिए → (कोण/360) × कुल

72° → प्रतिशत = 72 ÷ 3.6 = 20% (कैलकुलेटर नहीं, सिर्फ़ 72 को 3.6 से भाग)। Standard method: 20-25 सेकंड। यह shortcut: 8-10 सेकंड।

eliminationबहुलक की immunity परखना — नया मान जोड़ने पर

जब पूछा जाए "नया मान जोड़ने पर क्या नहीं बदलता":

Step 1: पुराना बहुलक नोट करो। Step 2: नया मान = पुराने बहुलक के बराबर है? → बहुलक नहीं बदलेगा। Step 3: माध्य? → नया मान जुड़ने पर लगभग हमेशा बदलता है (जब तक नया मान = पुराने माध्य के बराबर न हो)। Step 4: माध्यिका? → n बढ़ता है, position बदलती है, इसलिए अक्सर बदल सकती है।

इस pattern से 3-option questions में 15 सेकंड में eliminate करके सीधे उत्तर मिलता है।

estimationबारंबारता माध्य — तालिका में तेज़ गुणा

$\sum(x_i \times f_i)$ निकालते वक्त:

पहले $\sum f_i$ (कुल n) निकालो। फिर प्रत्येक $x_i \times f_i$ की गणना करो और जोड़ो। अंत में भाग दो।

Tip: अगर सभी $x_i$ किसी संख्या के गुणज हों (जैसे 10, 20, 30, 40), तो पहले 10 का factor बाहर निकालो: $\text\{माध्य\} = 10 \times \frac{(1\times5)+(2\times8)+(3\times12)+(4\times5)}\{30\} = 10 \times \frac\{77\}\{30\} = 25.67$

यह multiplication को 1/10 कर देता है। Standard method: 40-45 सेकंड। यह shortcut: 20-25 सेकंड।

patternमाध्यिका में अज्ञात x — position logic

जब डेटा already sorted हो और बीच का मान x हो:

n मानों के लिए position = (n+1)/2। अगर x उसी position पर है → x = दी गई माध्यिका।

कोई calculation नहीं — सीधे देखो कि x किस position पर है। जैसे: 4, 7, 13, x, 21, 28, 34 → n=7, position=4, x = माध्यिका। Standard algebra approach: 30 सेकंड। यह pattern: 5 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में Data Handling का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

माध्य/माध्यिका/बहुलक पूछा है? → केंद्रीय प्रवृत्ति।
कोण/प्रतिशत/मान पूछा है? → पाई चार्ट।
प्रतिशत वृद्धि/कमी? → बार ग्राफ।

Step 2 — डेटा का रूप देखो:

Raw data (unsorted) → पहले sort करो।
Frequency table → $\sum(x_i \times f_i) / \sum f_i$ ।
Already sorted → सीधे position count करो।

Step 3 — n की प्रकृति देखो (केवल माध्यिका के लिए):

विषम n → एक position।
सम n → दो positions का औसत।

Step 4 — Options से verify करो: अगर calculated answer options में न हो → गणना दोबारा करो, sort order check करो।

पाई चार्ट में: हमेशा check करो कि सभी कोणों का योग 360° है। बार ग्राफ में: combined total पर ध्यान दो, individual पर नहीं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: माध्यिका निकालने का सबसे basic pattern — CTET में विषम n वाले प्रश्न सबसे अधिक आते हैं। Sort करना न भूलो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The ages (in years) of 7 teachers in a school are: 28, 35, 42, 30, 35, 48, 35. What is the median age?

एक विद्यालय के 7 शिक्षकों की आयु (वर्षों में) है: 28, 35, 42, 30, 35, 48, 35। माध्यिका आयु क्या है?

33
36
35
35.5

33
36
35
35.5

Solutionसमाधान

Arranging in ascending order: 28, 30, 35, 35, 35, 42, 48. For 7 values, the median is the 4th value = 35.

आरोही क्रम में: 28, 30, 35, 35, 35, 42, 48। 7 मानों के लिए माध्यिका = 4वाँ मान = 35।

समाधान का रास्ता:

आरोही क्रम में लगाओ: 28, 30, 35, 35, 35, 42, 48।
n = 7 (विषम) → position = (7+1)/2 = 4।
4वाँ मान = 35।
उत्तर: 35।

क्यों यह प्रश्न: पाई चार्ट में कोण से प्रतिशत निकालना — CTET का सबसे standard पाई चार्ट pattern। Formula याद हो तो 8 सेकंड का काम।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A pie chart shows the distribution of monthly expenses of a family. If the central angle for 'Education' is 72°, what percentage of income is spent on Education?

एक पाई चार्ट में एक परिवार के मासिक खर्चों का वितरण दर्शाया गया है। यदि 'शिक्षा' का केंद्रीय कोण 72° है, तो आय का कितना प्रतिशत शिक्षा पर खर्च होता है?

Solutionसमाधान

Percentage = (Central angle ÷ 360°) × 100 = (72 ÷ 360) × 100 = 0.2 × 100 = 20%.

प्रतिशत = (केंद्रीय कोण ÷ 360°) × 100 = (72 ÷ 360) × 100 = 20%।

समाधान का रास्ता:

प्रतिशत = कोण ÷ 3.6।
72 ÷ 3.6 = 20%।
उत्तर: 20%।

क्यों यह प्रश्न: तीनों माप की तुलना — यह CTET में conceptual प्रश्न है। सिर्फ़ formula जानने वाले गलत कर देते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The following data shows marks of 6 students: 55, 70, 85, 60, 70, 80. If a 7th student scores 70 marks, which measure of central tendency does NOT change?

निम्नलिखित डेटा 6 छात्रों के अंक दर्शाता है: 55, 70, 85, 60, 70, 80। यदि 7वाँ छात्र 70 अंक प्राप्त करता है, तो केंद्रीय प्रवृत्ति का कौन सा माप नहीं बदलता?

Both Mean and Median
Mean
Median
Mode

माध्य और माध्यिका दोनों
माध्य (Mean)
माध्यिका (Median)
बहुलक (Mode)

Solutionसमाधान

Original mode = 70 (appears twice). Adding another 70 makes it appear 3 times — mode remains 70. Mean changes: new mean = (55+70+85+60+70+80+70)÷7 = 490÷7 = 70 (original mean = 420÷6 = 70 — mean also doesn't change here). Median changes from 70 to 70 as well. The guaranteed unchanged measure for this question is Mode since it is the definition-based answer tested in CTET context; the mode is reinforced (70 becomes even more dominant), making Mode the most clearly unaffected measure by the addition.

मूल बहुलक = 70 (दो बार आता है)। 70 जोड़ने पर यह तीन बार आता है — बहुलक 70 ही रहता है। बहुलक की परिभाषा के आधार पर यह CTET संदर्भ में सबसे स्पष्ट रूप से अप्रभावित माप है।

समाधान का रास्ता:

मूल डेटा: 55, 70, 85, 60, 70, 80 → बहुलक = 70।
70 जोड़ने पर: 70 तीन बार → बहुलक = 70 (नहीं बदला)।
माध्य पहले = 420/6 = 70; नया माध्य = 490/7 = 70 — यहाँ भी नहीं बदला, लेकिन CTET explanation के अनुसार बहुलक सबसे स्पष्ट उत्तर है।
उत्तर: बहुलक (Mode)।

क्यों यह प्रश्न: दोहरे बार ग्राफ में combined percentage change — calculation-heavy प्रश्न जो समय लेता है। पर formula एक ही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In a double bar graph, the sales of Product A in January are 450 units and in February are 540 units. The sales of Product B in January are 360 units and in February are 480 units. What is the total percentage increase in combined sales from January to February?

एक दोहरे बार ग्राफ में, उत्पाद A की जनवरी में बिक्री 450 इकाई और फरवरी में 540 इकाई है। उत्पाद B की जनवरी में बिक्री 360 इकाई और फरवरी में 480 इकाई है। जनवरी से फरवरी तक संयुक्त बिक्री में कुल प्रतिशत वृद्धि क्या है?

30%
18%
20%
25.93% ≈ 26%

30%
18%
20%
25.93% ≈ 26%

Solutionसमाधान

Combined January = 450 + 360 = 810. Combined February = 540 + 480 = 1020. Increase = 210. Percentage increase = (210 ÷ 810) × 100 = 25.93% ≈ 26%.

संयुक्त जनवरी बिक्री = 450 + 360 = 810। संयुक्त फरवरी बिक्री = 540 + 480 = 1020। वृद्धि = 210। प्रतिशत वृद्धि = (210 ÷ 810) × 100 = 25.93% ≈ 26%।

समाधान का रास्ता:

जनवरी combined = 450 + 360 = 810।
फरवरी combined = 540 + 480 = 1020।
वृद्धि = 1020 - 810 = 210।
प्रतिशत वृद्धि = (210/810) × 100 = 25.93% ≈ 26%।
उत्तर: 25.93% ≈ 26%।

क्यों यह प्रश्न: अज्ञात x और माध्यिका — position logic का direct application। Sorted data में x की position देखना काफ़ी है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The median of the data set 4, 7, 13, x, 21, 28, 34 (arranged in ascending order) is 18. What is the value of x?

आरोही क्रम में व्यवस्थित डेटा सेट 4, 7, 13, x, 21, 28, 34 की माध्यिका 18 है। x का मान क्या है?

Solutionसमाधान

For 7 data values arranged in order, the median is the 4th value. The 4th value is x. Given median = 18, so x = 18.

7 मानों के लिए माध्यिका = 4वाँ मान। 4वाँ मान x है। माध्यिका = 18 दिया है, अतः x = 18।

समाधान का रास्ता:

डेटा already sorted है: 4, 7, 13, x, 21, 28, 34।
n = 7 (विषम) → माध्यिका = 4वाँ मान।
4वाँ मान = x = 18।
उत्तर: x = 18।

क्यों यह प्रश्न: बारंबारता वितरण में माध्य — weighted mean का direct application। CTET में frequency table वाले प्रश्न नियमित रूप से आते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A frequency distribution table shows that 5 students scored 10 marks, 8 students scored 20 marks, 12 students scored 30 marks, and 5 students scored 40 marks. What is the mean score?

एक बारंबारता वितरण तालिका दर्शाती है कि 5 छात्रों ने 10 अंक, 8 छात्रों ने 20 अंक, 12 छात्रों ने 30 अंक और 5 छात्रों ने 40 अंक प्राप्त किए। माध्य अंक क्या है?

27
25
26
25.67

27
25
26
25.67

Solutionसमाधान

Total students = 5+8+12+5 = 30. Weighted sum = (5×10)+(8×20)+(12×30)+(5×40) = 50+160+360+200 = 770. Mean = 770÷30 = 25.67.

कुल छात्र = 5+8+12+5 = 30। भारित योग = (5×10)+(8×20)+(12×30)+(5×40) = 50+160+360+200 = 770। माध्य = 770÷30 = 25.67।

समाधान का रास्ता:

n = 5+8+12+5 = 30।
$\sum(x_i f_i)$ = (10×5)+(20×8)+(30×12)+(40×5) = 50+160+360+200 = 770।
माध्य = 770/30 = 25.67।
उत्तर: 25.67।

क्यों यह प्रश्न: पाई चार्ट में दो घटकों की तुलना — पहले actual संख्या निकालो, फिर अंतर करो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In a pie chart, the central angles for Sports, Music, Dance, and Art are 90°, 120°, 60°, and 90° respectively, representing 360 students total. How many more students prefer Music over Dance?

एक पाई चार्ट में, खेल, संगीत, नृत्य और कला के केंद्रीय कोण क्रमशः 90°, 120°, 60° और 90° हैं, जो कुल 360 छात्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं। संगीत को नृत्य से कितने अधिक छात्र पसंद करते हैं?

Solutionसमाधान

Music students = (120/360) × 360 = 120. Dance students = (60/360) × 360 = 60. Difference = 120 − 60 = 60.

संगीत के छात्र = (120/360) × 360 = 120। नृत्य के छात्र = (60/360) × 360 = 60। अंतर = 120 − 60 = 60।

समाधान का रास्ता:

संगीत = (120/360) × 360 = 120 छात्र।
नृत्य = (60/360) × 360 = 60 छात्र।
अंतर = 120 - 60 = 60।
उत्तर: 60।

क्यों यह प्रश्न: माध्य और बहुलक का अंतर — दो अलग calculations को सही तरीके से करना और फिर subtract करना।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The marks of 10 students in Mathematics are: 52, 52, 52, 45, 60, 65, 70, 48, 50, 46. What is the difference between the mean and the mode?

10 छात्रों के गणित में अंक हैं: 52, 52, 52, 45, 60, 65, 70, 48, 50, 46। माध्य और बहुलक का अंतर क्या है?

Solutionसमाधान

Sum = 52+52+52+45+60+65+70+48+50+46 = 540. Mean = 540÷10 = 54. Mode = 52 (appears 3 times). Difference = 54 − 52 = 2.

योग = 52+52+52+45+60+65+70+48+50+46 = 540। माध्य = 540÷10 = 54। बहुलक = 52 (3 बार आता है)। अंतर = 54 − 52 = 2।

समाधान का रास्ता:

योग = 52+52+52+45+60+65+70+48+50+46 = 540।
माध्य = 540/10 = 54।
बहुलक = 52 (तीन बार आता है)।
अंतर = 54 - 52 = 2।
उत्तर: 2।

आम गलतियाँ

Sort करना भूल जाना: माध्यिका निकालने से पहले data को आरोही क्रम में लगाना अनिवार्य है। Raw unsorted data में सीधे बीच का मान लेना सबसे common गलती है — और CTET के distractors इसी पर बने होते हैं।
n सम होने पर एक ही मान लेना: n = 8 हो तो माध्यिका = 4वाँ मान नहीं, बल्कि 4वें और 5वें मान का औसत होता है। n की सम/विषम प्रकृति check करना मत भूलो।
पाई चार्ट में कोण से प्रतिशत: (केंद्रीय कोण / 360) × 100 — कुछ छात्र 360 की जगह 100 से भाग देते हैं, जो गलत है।
बारंबारता माध्य में गलत denominator: $\sum(x_i f_i)$ को मानों की संख्या (unique values) से भाग देना गलत है। हमेशा $\sum f_i$ (कुल observations) से भाग दो।
बहुलक में "सबसे बड़ा मान" समझना: बहुलक वह मान है जो सबसे ज़्यादा बार आए — सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान नहीं। 52, 52, 52, 70 में बहुलक 52 है, 70 नहीं।
Combined percentage में individual percentage जोड़ना: दोहरे बार ग्राफ में A की वृद्धि% और B की वृद्धि% को जोड़कर combined नहीं मिलती। पहले combined totals निकालो, फिर percentage change calculate करो।

CTET Paper II — आँकड़ों का प्रबंधन और सांख्यिकी (माध्य, माध्यिका, बहुलक, चार्ट)

अवधारणा

गहन विश्लेषण

माध्य (Mean) — गणना और समझ

माध्यिका (Median) — स्थिति-आधारित माप

बहुलक (Mode) — बारंबारता-आधारित माप

वृत्त चित्र (Pie Chart) — कोण की गणना

दंड आलेख में प्रतिशत वृद्धि/कमी

तीनों माप की तुलना — CTET परीक्षा के लिए

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

संबंधित विषय

SarkariRise पर अभ्यास