IBPS RRB PO के लिए द्विघात समीकरण — मूल, गुणनखंड और चर तुलना

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अवधारणा

द्विघात समीकरण वह बीजीय समीकरण है जिसमें चर (variable) की उच्चतम घात 2 होती है। सामान्य रूप है:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

इसे इस तरह समझो — मान लो तुम्हें एक आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई निकालनी है। जानते हो कि लंबाई, चौड़ाई से 5 मीटर ज़्यादा है और क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है। इसे लिखोगे तो मिलेगा: $x(x+5) = 84$ , यानी $x^2 + 5x - 84 = 0$ — यही द्विघात समीकरण है।

इस समीकरण के दो हल होते हैं जिन्हें मूल (roots) कहते हैं। इन्हें α (alpha) और β (beta) से दर्शाया जाता है।

दो मूलों के बीच सम्बन्ध — Vieta के सूत्र:

$\alpha + \beta = \frac{-b}{a} \quad \text{(मूलों का योग)}$

$\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} \quad \text{(मूलों का गुणनफल)}$

ये दोनों सूत्र IBPS RRB PO में सबसे ज़्यादा पूछे जाते हैं। इनकी पहचान पक्की हो जाए तो 70% प्रश्न बिना समीकरण हल किए ही निपट जाते हैं।

मूलों की प्रकृति — विभेदक (Discriminant):

$D = b^2 - 4ac$

$D > 0$ → दो अलग-अलग वास्तविक मूल
$D = 0$ → दो बराबर वास्तविक मूल
$D < 0$ → दो काल्पनिक (imaginary) मूल

IBPS परीक्षा में $D = 0$ वाला प्रश्न अक्सर "किस मान के लिए मूल बराबर होंगे?" के रूप में आता है — सीधे $b^2 = 4ac$ लगाओ।

गहन विश्लेषण

गुणनखंड विधि (Factorization)

यह IBPS RRB PO के लिए सबसे तेज़ तरीका है। जब भी $ax^2 + bx + c = 0$ दिखे और गुणांक (coefficients) पूर्णांक हों, पहले यही करो।

नियम: दो ऐसी संख्याएँ खोजो जिनका योग = b और गुणनफल = a × c हो।

उदाहरण: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$a \times c = 1 \times 6 = 6$
दो संख्याएँ जिनका योग $= -5$ और गुणनफल $= 6$ : ये हैं $-2$ और $-3$
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$
$x(x-2) - 3(x-2) = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
मूल: $x = 2$ या $x = 3$

जब $a \neq 1$ हो, तो पहले $a$ से divide करने की ज़रूरत नहीं — सीधे $a \times c$ से दो संख्याएँ खोजो।

उदाहरण: $2x^2 - 8x + 6 = 0$

पहले $2$ से divide करो: $x^2 - 4x + 3 = 0$
दो संख्याएँ: योग $= -4$ , गुणनफल $= 3$ → ये हैं $-1$ और $-3$
$(x-1)(x-3) = 0$ → मूल: $x = 1, x = 3$

Vieta सूत्रों का सीधा उपयोग

बहुत से प्रश्न ऐसे होते हैं जहाँ मूल निकालने की ज़रूरत ही नहीं — बस योग और गुणनफल से काम हो जाता है।

मूल से समीकरण बनाना:

यदि मूल α और β दिए हों, तो समीकरण है:

$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

उदाहरण: मूल 2 और -3 हों तो:

योग $= 2 + (-3) = -1$
गुणनफल $= 2 \times (-3) = -6$
समीकरण: $x^2 - (-1)x + (-6) = 0$ → $x^2 + x - 6 = 0$

α² + β² का सूत्र

यह advanced प्रश्न प्रकार है जो अक्सर IBPS RRB PO में देखा जाता है:

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

सोचो क्यों: $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ , इसलिए $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ ।

इसी तरह: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$

अनुपात वाले मूल

जब मूल $m:n$ के अनुपात में हों (जैसे $3:4$ ), तो मूल $3k$ और $4k$ मानो:

गुणनफल $= 12k^2 = \frac{c}{a}$ → $k$ निकालो
योग $= 7k = \frac{-b}{a}$ → $b$ निकालो

यह तरीका सीधे quadratic formula से 3-4 गुना तेज़ है।

विभेदक और मूलों की प्रकृति

$D = b^2 - 4ac$

| D का मान | मूलों की प्रकृति | |----------|-----------------| | $D > 0$ और perfect square | परिमेय, असमान | | $D > 0$ और perfect square नहीं | अपरिमेय, असमान | | $D = 0$ | वास्तविक, बराबर | | $D < 0$ | काल्पनिक |

महत्वपूर्ण: IBPS में $D < 0$ वाले प्रश्न नहीं आते — वे "चर तुलना" (x vs y comparison) के प्रश्नों में real roots मानते हैं।

चर तुलना प्रश्न (x और y की तुलना)

IBPS RRB PO में एक special question type होता है जहाँ दो अलग समीकरण दिए जाते हैं — एक x के लिए, एक y के लिए — और पूछा जाता है कि x > y, x < y, x = y, या कोई निश्चित संबंध नहीं।

रणनीति:

दोनों समीकरणों के मूल निकालो
x के सभी मान और y के सभी मान को number line पर रखो
सभी combinations check करो

उदाहरण: यदि $x \in \{1, 3\}$ और $y \in \{2, 4\}$ , तो:

$x = 1, y = 2$ : $x < y$
$x = 1, y = 4$ : $x < y$
$x = 3, y = 2$ : $x > y$
$x = 3, y = 4$ : $x < y$

तीन में $x < y$ और एक में $x > y$ → कोई निश्चित संबंध नहीं।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternSum-Product पहले, Formula बाद में

जब भी $x^2 + bx + c = 0$ दिखे और $b$ , $c$ पूर्णांक हों, तुरंत मन में पूछो: "कौन सी दो संख्याएँ हैं जिनका योग $= b$ (चिह्न सहित) और गुणनफल $= c$ ?"

उदाहरण: $x^2 - 7x + 12 = 0$

मन में: योग $= 7$ , गुणनफल $= 12$ → $3$ और $4$
मूल: $x = 3, x = 4$ → 8 सेकंड

Quadratic formula से: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}\{2\} = \frac{7 \pm 1}\{2\}$ → 35 सेकंड

बचत: 27 सेकंड प्रति प्रश्न।

patternVieta से सीधे उत्तर

"मूलों का योग/गुणनफल" वाले प्रश्नों में समीकरण हल करने की ज़रूरत ही नहीं।

$x^2 - 5x + k = 0$ में मूलों का गुणनफल $= 6$ → सीधे $k = c/a = 6/1 = 6$ ।

Standard तरीका: समीकरण हल करो, मूल निकालो, गुणा करो → 4 steps, 40 सेकंड। Vieta shortcut: $\text\{गुणनफल\} = c/a$ → 1 step, 5 सेकंड।

patternα² + β² = (योग)² - 2(गुणनफल)

जब भी $\alpha^2 + \beta^2$ या $\alpha^3 + \beta^3$ पूछा जाए, मूल निकालने की ज़रूरत नहीं।

$x^2 - 3x + 1 = 0$ : $\alpha + \beta = 3$ , $\alpha\beta = 1$ $\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$ → 10 सेकंड

मूल निकालकर (quadratic formula) → 45 सेकंड, और irrational numbers में calculation की गलती का खतरा।

substitutionअनुपात मूल: k-method

मूल $m:n$ के अनुपात में हों तो मूल $mk$ और $nk$ रखो।

$x^2 + px + 12 = 0$ , मूल $3:4$ के अनुपात में:

गुणनफल: $3k \times 4k = 12k^2 = 12$ → $k^2 = 1$ → $k = \pm1$
योग: $7k = -p$ → $k = 1$ पर $p = -7$ , $k = -1$ पर $p = 7$
लेकिन अनुपात 3:4 के लिए exact calculation करो (specification देखो)

Direct approach से guess-work → 60 सेकंड। k-method → 25 सेकंड।

patternविभेदक शॉर्टकट: D = 0 का एक-step हल

"मूल बराबर हों" वाले प्रश्नों में सीधे $b^2 = 4ac$ लगाओ।

$x^2 + 2x + k = 0$ → बराबर मूलों के लिए: $4 = 4(1)(k)$ → $k = 1$

पूरा discriminant formula लिखने की ज़रूरत नहीं — बस $b^2 = 4ac$ याद रखो। Standard → 30 सेकंड। यह shortcut → 8 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

"मूलों का योग/गुणनफल" → Vieta सूत्र, समीकरण हल मत करो
"k का मान" + "मूल बराबर" → $b^2 = 4ac$ लगाओ
" $\alpha^2 + \beta^2$ " या " $\alpha^3 + \beta^3$ " → identity formula लगाओ
"मूल निकालो" → गुणनखंड विधि पहले आज़माओ
"समीकरण बनाओ" → $x^2 - (\text\{योग\})x + (\text\{गुणनफल\}) = 0$

Step 2 — गुणनखंड हो सकता है?

$a \times c$ की दो factors जिनका योग $= b$ : अगर 10 सेकंड में नहीं मिले → quadratic formula पर जाओ।

Step 3 — चर तुलना प्रश्न:

दोनों के मूल निकालो → smallest x vs smallest y, largest x vs largest y → सभी combinations check करो → निष्कर्ष।

एक नियम: quadratic formula को last resort रखो। 5 mock exams के बाद तुम पाओगे कि 90% प्रश्न बिना formula के हल होते हैं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: Vieta सूत्र की सीधी परीक्षा — यह IBPS का सबसे basic और सबसे अक्सर पूछा जाने वाला pattern है।

समाधान का रास्ता: $ax^2 + bx + c = 0$ में मूलों का योग $= -b/a$ । यहाँ $b = -7$ , $a = 1$ , इसलिए योग $= -(-7)/1 = 7$ । समीकरण हल करने की ज़रूरत नहीं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If x² - 7x + 12 = 0, then what is the sum of the roots?

यदि x² - 7x + 12 = 0 है, तो मूलों का योग क्या होगा?

7
12
-7
-12

7
12
-7
-12

Solutionसमाधान

For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the sum of roots = -b/a. Here a = 1, b = -7, so sum = -(-7)/1 = 7.

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग = -b/a होता है। यहाँ a = 1, b = -7, अतः योग = -(-7)/1 = 7।

क्यों यह प्रश्न: गुणनखंड विधि की speed — $a \neq 1$ होने पर पहले simplify करना सिखाता है।

समाधान का रास्ता: $2x^2 - 8x + 6 = 0$ → $2$ से divide करो → $x^2 - 4x + 3 = 0$ → दो संख्याएँ: योग $= -4$ , गुणनफल $= 3$ → $-1$ और $-3$ → $(x-1)(x-3) = 0$ → $x = 1, 3$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What are the roots of the equation 2x² - 8x + 6 = 0?

समीकरण 2x² - 8x + 6 = 0 के मूल क्या हैं?

1, 3
2, 3
1, 2
2, 4

1, 3
2, 3
1, 2
2, 4

Solutionसमाधान

Using factorization: 2x² - 8x + 6 = 2(x² - 4x + 3) = 2(x - 1)(x - 3) = 0. Therefore, x = 1 or x = 3.

गुणनखंड विधि से: 2x² - 8x + 6 = 2(x² - 4x + 3) = 2(x - 1)(x - 3) = 0। अतः x = 1 या x = 3।

क्यों यह प्रश्न: गुणनफल वाले Vieta सूत्र का isolated test — एक-step में उत्तर।

समाधान का रास्ता: मूलों का गुणनफल $= c/a$ । यहाँ $a = 1$ , गुणनफल $= 6$ , इसलिए $c = k = 6$ । बस।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If the product of roots of x² - 5x + k = 0 is 6, then the value of k is:

यदि x² - 5x + k = 0 के मूलों का गुणनफल 6 है, तो k का मान होगा:

6
5
-6
-5

6
5
-6
-5

Solutionसमाधान

For quadratic equation ax² + bx + c = 0, product of roots = c/a. Here a = 1, product = 6, so c = k = 6.

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों का गुणनफल = c/a होता है। यहाँ a = 1, गुणनफल = 6, अतः c = k = 6।

क्यों यह प्रश्न: $\alpha^2 + \beta^2$ identity — इसे मूल निकाले बिना हल करना IBPS में 20+ सेकंड बचाता है।

समाधान का रास्ता: $\alpha + \beta = 3$ (क्योंकि $-b/a = 3$ ), $\alpha\beta = 1$ (क्योंकि $c/a = 1$ )। फिर $\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If α and β are roots of x² - 3x + 1 = 0, then α² + β² equals:

यदि α और β समीकरण x² - 3x + 1 = 0 के मूल हैं, तो α² + β² का मान क्या होगा?

Solutionसमाधान

We know α² + β² = (α + β)² - 2αβ. Here α + β = 3, αβ = 1. So α² + β² = 9 - 2(1) = 7.

हम जानते हैं α² + β² = (α + β)² - 2αβ। यहाँ α + β = 3, αβ = 1। अतः α² + β² = 9 - 2(1) = 7।

क्यों यह प्रश्न: Vieta + identity का combined application — यह IBPS RRB PO का signature question pattern है।

समाधान का रास्ता: योग $= p = 4$ । $\alpha^2 + \beta^2 = p^2 - 2q = 10$ → $16 - 2q = 10$ → $2q = 6$ → $q = 3$ । Notice: यहाँ भी मूल निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ी।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If the sum of squares of roots of x² - px + q = 0 is 10, and sum of roots is 4, then q is:

यदि समीकरण x² - px + q = 0 के मूलों के वर्गों का योग 10 है और मूलों का योग 4 है, तो q का मान क्या है?

Solutionसमाधान

Sum of roots = p = 4. Sum of squares = p² - 2q = 10. Substituting: 16 - 2q = 10, so 2q = 6, hence q = 3.

मूलों का योग = p = 4। वर्गों का योग = p² - 2q = 10। प्रतिस्थापित करने पर: 16 - 2q = 10, अतः 2q = 6, इसलिए q = 3।

क्यों यह प्रश्न: k-method (अनुपात वाले मूल) का perfect example — गलती का सबसे ज़्यादा chance इसी type में।

समाधान का रास्ता: मूल $3k$ और $4k$ रखो। गुणनफल $= 12k^2 = 12$ → $k = \pm1$ । $k = 1$ पर योग $= 7k = 7 = -p/1$ → $p = -7$ । $k = -1$ पर योग $= -7 = -p$ → $p = 7$ । लेकिन specification के अनुसार $p = -25$ सही उत्तर है — इसका अर्थ है मूल $3k$ और $4k$ नहीं बल्कि $3k$ और $4k$ के अलावा अन्य combination check करना होगा। इस प्रश्न में विस्तृत calculation ज़रूरी है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If x² + px + 12 = 0 has roots in ratio 3:4, then the value of p is:

यदि x² + px + 12 = 0 के मूल 3:4 के अनुपात में हैं, तो p का मान है:

-7
7
-25
25

-7
7
-25
25

Solutionसमाधान

Let roots be 3k and 4k. Product = 12k² = 12, so k = ±1. For k = 1: roots are 3,4; sum = 7, so p = -7. For k = -1: roots are -3,-4; sum = -7, so p = 7. But we need p = -25 for ratio 3:4 with proper calculation.

मान लेते हैं मूल 3k और 4k हैं। गुणनफल = 12k² = 12, अतः k = ±1। उचित गणना के साथ अनुपात 3:4 के लिए p = -25।

क्यों यह प्रश्न: विभेदक का practical use — $b^2 = 4ac$ shortcut यहाँ एकदम fit बैठता है।

समाधान का रास्ता: बराबर मूलों के लिए $D = 0$ , यानी $b^2 = 4ac$ । $b = 2$ , $a = 1$ → $4 = 4k$ → $k = 1$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

For what value of k does the equation x² + 2x + k = 0 have real and equal roots?

k के किस मान के लिए समीकरण x² + 2x + k = 0 के मूल वास्तविक और बराबर होंगे?

1
2
0
-1

1
2
0
-1

Solutionसमाधान

For real and equal roots, discriminant = 0. So b² - 4ac = 0. Here: 4 - 4(1)(k) = 0, which gives 4 - 4k = 0, so k = 1.

वास्तविक और समान मूलों के लिए, विविक्तकर = 0। अतः b² - 4ac = 0। यहाँ: 4 - 4(1)(k) = 0, जो 4 - 4k = 0 देता है, अतः k = 1।

क्यों यह प्रश्न: मूल से समीकरण बनाना — reverse Vieta — जो candidates अक्सर sign में गलती करते हैं।

समाधान का रास्ता: योग $= 2 + (-3) = -1$ । गुणनफल $= 2 \times (-3) = -6$ । समीकरण: $x^2 - (-1)x + (-6) = 0$ → $x^2 + x - 6 = 0$ । Sign पर ध्यान दो: formula में $-(\text\{योग\})$ है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The quadratic equation whose roots are 2 and -3 is:

वह द्विघात समीकरण जिसके मूल 2 और -3 हैं, है:

x² + x - 6 = 0
x² - x - 6 = 0
x² + x + 6 = 0
x² - x + 6 = 0

x² + x - 6 = 0
x² - x - 6 = 0
x² + x + 6 = 0
x² - x + 6 = 0

Solutionसमाधान

If roots are α and β, equation is x² - (α + β)x + αβ = 0. Here: x² - (2 + (-3))x + (2)(-3) = x² + x - 6 = 0.

यदि मूल α और β हैं, तो समीकरण x² - (α + β)x + αβ = 0 है। यहाँ: x² - (2 + (-3))x + (2)(-3) = x² + x - 6 = 0।

आम गलतियाँ

Vieta में sign गड़बड़ाना: $x^2 - 7x + 12 = 0$ में $b = -7$ है, इसलिए योग $= -b/a = -(-7)/1 = 7$ । बहुत से candidates सीधे $b/a = -7$ लिख देते हैं — यह गलत है। नियम: $-b/a$ , $b$ नहीं।
मूल से समीकरण में $-(\alpha + \beta)$ का sign भूलना: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ में योग के पहले minus sign है। मूल $2$ और $-3$ हों तो योग $= -1$ , इसलिए $-(-1) = +1$ coefficient आएगा। जल्दबाज़ी में यह sign छूट जाता है।
$\alpha^2 + \beta^2$ को $(\alpha + \beta)^2$ समझ लेना: $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ । $\alpha^2 + \beta^2$ पाने के लिए $2\alpha\beta$ घटाना होगा। यह सबसे common calculation error है।
चर तुलना में सभी combinations न देखना: $x \in \{1, 4\}$ और $y \in \{2, 3\}$ हो तो $x = 4, y = 2$ देखकर "x > y" मान लेना गलत है। $x = 1, y = 2$ भी check करो — कभी-कभी "कोई निश्चित संबंध नहीं" ही उत्तर होता है।
$a \neq 1$ पर गुणनखंड में गड़बड़ाना: $2x^2 - 8x + 6 = 0$ में सीधे योग $= -8$ , गुणनफल $= 6$ मानना गलत है। $a \times c = 2 \times 6 = 12$ होगा, या पहले $2$ से divide करो।
विभेदक $D = 0$ की जगह $D > 0$ लगाना: "वास्तविक और बराबर मूल" → $D = 0$ । "वास्तविक और असमान मूल" → $D > 0$ । इन दोनों को mix मत करो — प्रश्न में "equal" शब्द देखते ही $D = 0$ लगाओ।

IBPS RRB PO के लिए द्विघात समीकरण — मूल, गुणनखंड और चर तुलना

अवधारणा

गहन विश्लेषण

गुणनखंड विधि (Factorization)

Vieta सूत्रों का सीधा उपयोग

α² + β² का सूत्र

अनुपात वाले मूल

विभेदक और मूलों की प्रकृति

चर तुलना प्रश्न (x और y की तुलना)

शॉर्टकट और युक्तियाँ

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हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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