Learn / NDA / mathematics / algebra

NDA गणित: द्विपद प्रमेय — सामान्य पद, पास्कल त्रिभुज और परीक्षा-स्तर के प्रश्न

intermediate 22 min read

अवधारणा

द्विपद प्रमेय एक शक्तिशाली algebraic tool है जो किसी भी $(a + b)^n$ के विस्तार को एक सुव्यवस्थित formula में बदल देता है — बिना बार-बार गुणा किए।

सोचो: $(a + b)^{10}$ को manually expand करने में कितना समय लगेगा? शायद 10-15 मिनट। द्विपद प्रमेय यही काम 30 सेकंड में करता है।

मूल सूत्र:

(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r

यहाँ $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ को द्विपद गुणांक कहते हैं।

सामान्य पद (General Term):

T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r

यह सूत्र NDA में सबसे ज़्यादा use होता है। किसी भी पद को directly निकालने के लिए $r$ की value set करो।

एक सरल सादृश्य: मान लो तुम $n$ बार एक fork में आओ — हर बार बाईं ( $a$ ) या दाईं ( $b$ ) तरफ जा सकते हो। $\binom{n}{r}$ उन तरीकों की संख्या है जिनसे तुम ठीक $r$ बार दाईं तरफ जाते हो। यही द्विपद गुणांक का combinatorial अर्थ है।

NDA में क्यों आता है यह topic: NDA 2026 में पूरा एक question set $(√2+1)^{10}$ और $(√2-1)^{10}$ पर था — 4 अलग-अलग प्रश्न। यह topic सीधे 4+ marks दे सकता है अगर तुम irrational numbers की घात का pattern समझ लो।

गहन विश्लेषण

द्विपद विस्तार की संरचना

$(a + b)^n$ में कुल $(n+1)$ पद होते हैं।

पहला पद: $T_1 = \binom{n}{0} a^n = a^n$

आखिरी पद: $T_{n+1} = \binom{n}{n} b^n = b^n$

मध्य पद:

यदि $n$ सम है: $T_{\frac{n}{2}+1}$ — यह एकल मध्य पद है
यदि $n$ विषम है: $T_{\frac{n+1}{2}}$ और $T_{\frac{n+3}{2}}$ — दो मध्य पद होते हैं

Irrational Powers का Critical Pattern — NDA का असली Topic

यह NDA 2026 में पूरे question set का आधार था। ध्यान से समझो।

मान लो $(a + b)^n + (a - b)^n$ calculate करना है जहाँ $b$ irrational है।

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{3}a^{n-3}b^3 + \ldots$

$(a-b)^n = \binom{n}{0}a^n - \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 - \binom{n}{3}a^{n-3}b^3 + \ldots$

जब दोनों जोड़ते हैं:

(a+b)^n + (a-b)^n = 2\left[\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{4}a^{n-4}b^4 + \ldots\right]

Odd powers of $b$ cancel हो जाती हैं।

अब $(√2 + 1)^{10} + (√2 - 1)^{10}$ के लिए:

$a = √2$ , $b = 1$ , $n = 10$
$b^2 = 1$ , $b^4 = 1$ — सब rational
$(√2)^{2k} = 2^k$ — rational
Result: एक pure integer

(√2+1)^{10} + (√2-1)^{10} = 2\left[\binom{10}{0}\cdot 2^5 + \binom{10}{2}\cdot 2^4 + \binom{10}{4}\cdot 2^3 + \binom{10}{6}\cdot 2^2 + \binom{10}{8}\cdot 2 + \binom{10}{10}\right]

= 2[1\cdot 32 + 45\cdot 16 + 210\cdot 8 + 210\cdot 4 + 45\cdot 2 + 1\cdot 1]

= 2[32 + 720 + 1680 + 840 + 90 + 1] = 2 \times 3363 = 6726

Conjugate का गुण

$(√2+1)(√2-1) = 2 - 1 = 1$ — यह conjugate pair है।

इसलिए: $(√2-1) = \dfrac{1}{√2+1}$

और: $(√2-1)^{10} = \dfrac{1}{(√2+1)^{10}}$

चूँकि $√2 - 1 \approx 0.414$ , इसलिए $0 < (√2-1)^{10} < 1$ — यानी $v$ fractional है।

f + v = 1 का Logic

यह NDA में सबसे tricky भाग है:

$u + f = (√2+1)^{10}$ जहाँ $u$ integer, $0 < f < 1$
$v = (√2-1)^{10}$ जहाँ $0 < v < 1$
$u + f + v = 6726$ (integer)
$u$ integer है, तो $f + v$ भी integer होना चाहिए
$0 < f < 1$ और $0 < v < 1$ , इसलिए $0 < f + v < 2$
Range $(0, 2)$ में एकमात्र integer है 1
अतः $f + v = 1$ और $u = 6725$

पास्कल त्रिभुज

\begin{array}{c} n=0: \quad 1 \\ n=1: \quad 1 \quad 1 \\ n=2: \quad 1 \quad 2 \quad 1 \\ n=3: \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ n=4: \quad 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ n=5: \quad 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ \end{array}

हर संख्या उसके ऊपर की दो संख्याओं का योग है। NDA में $n \leq 5$ के लिए इसे याद रखो — $\binom{n}{r}$ निकालने में time बचता है।

गुणांकों के महत्वपूर्ण सम्बन्ध

$(1+x)^n$ में $x=1$ रखने पर: $\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} = 2^n$

$(1+x)^n$ में $x=-1$ रखने पर: $\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \ldots = 0$

इससे: Even-indexed गुणांकों का योग = Odd-indexed गुणांकों का योग = $2^{n-1}$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternIrrational Conjugate Sum — Integer Test

जब भी $(√k + 1)^n + (√k - 1)^n$ दिखे — बिना calculation किए कह दो यह integer है।

Pattern: Odd powers of $√k$ दोनों terms में cancel होती हैं। Even powers rational रहती हैं।

Micro-example: $(√3+1)^6 + (√3-1)^6$ — सीधे integer।

Standard method: पूरा expand करो = 6-7 steps, 3-4 मिनट। Shortcut: Pattern पहचानो + "odd powers cancel" = 5 सेकंड में निर्णय।

patternConjugate Inverse Property

यदि $ab = 1$ (conjugate pair), तो $b^n = \dfrac{1}{a^n}$ ।

$(√2+1)(√2-1) = 1$ → $(√2-1)^{20} = \dfrac{1}{(√2+1)^{20}}$

Micro-example: $(√2+1)^{20}$ का multiplicative inverse = $(√2-1)^{20} = v^2$

Standard method: $1/(√2+1)^{20}$ को rationalize करो = 4 steps। Shortcut: Conjugate product = 1 → directly $v^2$ = 1 step, 8 सेकंड।

eliminationf + v = 1 का Direct Argument

जब $0 < f < 1$ और $0 < v < 1$ और $(f + v)$ integer हो, तो $f + v = 1$ — बिना किसी calculation के।

क्यों: $f + v \in (0, 2)$ में एकमात्र integer 1 है।

Micro-example: ऊपर के problem में $u = (total\ integer) - 1 = 6726 - 1 = 6725$ ।

Standard method: $f$ और $v$ separately calculate करो = 5+ steps। Shortcut: Range argument = 1 step, 10 सेकंड।

substitutionसामान्य पद में r की value

किसी specific term या constant term निकालना हो तो $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ में exponent को शून्य करो।

Micro-example: $(x + \frac{1}{x})^6$ में constant term: $T_{r+1} = \binom{6}{r} x^{6-r} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} x^{6-2r}$ । Constant के लिए $6-2r=0$ , $r=3$ । Answer: $\binom{6}{3} = 20$ ।

Standard method: सभी 7 terms expand करो = 3-4 मिनट। Shortcut: Exponent = 0 equation → $r=3$ → 1 step, 20 सेकंड।

patternBinomial Coefficients Sum — Power of 2

$(1+1)^n = 2^n$ → सभी coefficients का योग।

Micro-example: $\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\ldots+\binom{10}{10} = 2^{10} = 1024$ ।

यदि question पूछे "even-indexed coefficients का योग", answer है $2^{n-1} = 512$ ।

Standard method: सारे $\binom{10}{r}$ निकालकर जोड़ो = 10 additions। Shortcut: $2^n$ या $2^{n-1}$ = instantaneous।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में यह decision tree follow करो:

Step 1 — Question type पहचानो:

$(a+b)^n + (a-b)^n$ दिखे → Irrational pattern: odd powers cancel → integer result
Multiplicative inverse पूछा → Conjugate pair check: product = 1?
"f का fractional part" या "f + v" पूछा → Range argument: $0 < f+v < 2$ → $f+v = 1$
Specific term / constant term / coefficient → $T_{r+1}$ formula, exponent = 0

Step 2 — Calculation strategy:

$\binom{n}{r}$ निकालना हो: $n \leq 5$ → पास्कल त्रिभुज से memory में; $n > 5$ → formula
Sum calculate करनी हो: पहले multiply करो, फिर add — intermediate errors कम होती हैं

Step 3 — Sanity check (10 सेकंड):

Integer result आया? Irrational terms cancel हुईं?
$f + v$ का answer 1 है? Range check करो।
$u$ निकाला? $(total\ integer) - 1$ = सही?

एक question set में 4 sub-questions हों तो पहले सबसे simple पड़ो (multiplicative inverse, f+v = 1) — ये 2 questions 30-40 सेकंड में होते हैं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: NDA 2026 में यह pair-test question था — दोनों statements की validity एक ही core concept से निकलती है। अगर binomial expansion में odd-power cancellation नहीं समझा तो दोनों marks जाते हैं।

समाधान का रास्ता: $(√2+1)^{10}$ और $(√2-1)^{10}$ को जोड़ो → odd powers of $√2$ cancel → integer $N$ मिलता है → $u + f + v = N$ → $u$ integer है → $f + v$ integer है → Statement II सत्य → Statement I: $u + v + f = N$ भी integer → दोनों सत्य।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

Consider the following statements: I. (u + v + f) is an integer. II. (f + v) is an integer. [Given: u is a positive integer, 0 < f < 1 is a real number, (√2 + 1)¹⁰ = u + f and (√2 - 1)¹⁰ = v]. Which of the above statements is/are correct?

I only
II only
Both I and II
Neither I nor II

Solutionसमाधान

(√2+1)¹⁰ + (√2-1)¹⁰ is an integer (since odd powers of √2 cancel out). So u + f + v = integer, meaning f + v is also an integer (since u is integer). Both statements I and II are correct.

क्यों यह प्रश्न: यह NDA 2026 का direct application था — conjugate pair property को जानते हो तो 15 सेकंड का question है, नहीं जानते तो "inverse" का मतलब ढूँढते रहोगे।

समाधान का रास्ता: $(√2+1)(√2-1) = 1$ → $(√2-1) = (√2+1)^{-1}$ → $(√2-1)^{20} = (√2+1)^{-20}$ → $v = (√2-1)^{10}$ → $(√2-1)^{20} = v^2$ → Answer: $v^2$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

What is the multiplicative inverse of (√2 + 1)^20?

v
v² − 1
v²
v² + 1

Solutionसमाधान

Since (√2 + 1)(√2 − 1) = 2 − 1 = 1, we have (√2 − 1) = 1/(√2 + 1). Therefore (√2 − 1)^20 = 1/(√2 + 1)^20, which is the multiplicative inverse of (√2 + 1)^20. Given v = (√2 − 1)^10, so (√2 − 1)^20 = v². Hence the multiplicative inverse is v².

क्यों यह प्रश्न: $f + v = 1$ का proof NDA में repeatedly आता है। Range argument को एक बार internalize करो — यह हर ऐसे conjugate problem में काम करता है।

समाधान का रास्ता: $0 < f < 1$ , $0 < v = (√2-1)^{10} < 1$ (क्योंकि $√2-1 \approx 0.414 < 1$ ) → $0 < f+v < 2$ → $f+v$ integer है (proven earlier) → Range $(0,2)$ में एकमात्र integer = 1 → $v + f = 1$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

What is the value of (v + f)? [Given: u is positive integer, 0 < f < 1, (√2+1)¹⁰ = u + f, (√2-1)¹⁰ = v]

2
1
0.5
0.25

Solutionसमाधान

Since (√2+1)¹⁰ + (√2-1)¹⁰ is an integer (call it N), we have u + f + v = N. Since 0 < f < 1 and 0 < v = (√2-1)¹⁰ < 1, we have 0 < f + v < 2. For u + (f+v) to be integer with u integer, f + v must be integer, hence f + v = 1.

क्यों यह प्रश्न: $u = 6725$ — यह pure calculation question है। जो छात्र formula सही apply करते हैं वे 3-4 मिनट में निकालते हैं; जो shortcut जानते हैं ( $u = N - 1 = 6726 - 1$ ) वे 30 सेकंड में।

समाधान का रास्ता: $(√2+1)^{10} + (√2-1)^{10} = 2[\binom{10}{0}\cdot 2^5 + \binom{10}{2}\cdot 2^4 + \binom{10}{4}\cdot 2^3 + \binom{10}{6}\cdot 2^2 + \binom{10}{8}\cdot 2 + \binom{10}{10}]$

$= 2[32 + 45\times16 + 210\times8 + 210\times4 + 45\times2 + 1]$

$= 2[32 + 720 + 1680 + 840 + 90 + 1] = 2\times3363 = 6726$

फिर: $f + v = 1$ → $u = 6726 - 1 = \mathbf{6725}$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

What is the value of u? [Given: u is positive integer, 0 < f < 1, (√2+1)¹⁰ = u + f]

9725
6971
6726
6725

Solutionसमाधान

(√2+1)¹⁰ + (√2-1)¹⁰ = 2[C(10,0)·2⁵ + C(10,2)·2⁴ + C(10,4)·2³ + C(10,6)·2² + C(10,8)·2 + C(10,10)] = 2[32 + 45·16 + 210·8 + 210·4 + 45·2 + 1] = 2[32 + 720 + 1680 + 840 + 90 + 1] = 2[3363] = 6726. Since u + f + v = 6726 and f + v = 1, u = 6725.

आम गलतियाँ

$T_r$ और $T_{r+1}$ में confusion: सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ है, $T_r$ नहीं। जब "5वाँ पद" पूछें तो $r = 4$ रखो, $r = 5$ नहीं।
$(a-b)^n$ में sign भूलना: $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} (-b)^r$ — यानी $r$ विषम होने पर negative sign। Constant term निकालते समय यह अक्सर miss होता है।
Irrational sum को integer मानने में hesitation: $(√2+1)^{10} + (√2-1)^{10}$ देखकर घबराना नहीं — odd powers cancel, result integer है। यह fact directly use करो।
$v < 1$ को prove करना भूलना: $f+v = 1$ का argument तभी valid है जब तुम establish करो कि $0 < v < 1$ । यह establish करने का तरीका: $√2-1 \approx 0.414$ , इसलिए $(√2-1)^{10}$ बहुत छोटा positive number है, $< 1$ ।
$u = N$ मान लेना: कई students $u + f + v = 6726$ देखकर $u = 6726$ लिख देते हैं। $f$ और $v$ दोनों fractional हैं और उनका योग 1 है, इसलिए $u = 6725$ ।
Conjugate pair में product check न करना: $(√3+√2)(√3-√2) = 1$ नहीं होता — यह $3-2=1$ है, ठीक है। लेकिन $(√5+√3)(√5-√3) = 2 \neq 1$ । Inverse बनाने से पहले product = 1 verify करो।

NDA गणित: द्विपद प्रमेय — सामान्य पद, पास्कल त्रिभुज और परीक्षा-स्तर के प्रश्न

अवधारणा

गहन विश्लेषण

द्विपद विस्तार की संरचना

Irrational Powers का Critical Pattern — NDA का असली Topic

Conjugate का गुण

f + v = 1 का Logic

पास्कल त्रिभुज

गुणांकों के महत्वपूर्ण सम्बन्ध

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

संबंधित विषय

SarkariRise पर अभ्यास