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NDA गणित: सम्मिश्र संख्याएँ — मापांक, कोणांक, संयुग्मी और आर्गेंड तल

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अवधारणा

देखो — जब हम वर्गमूल निकालते हैं तो स्वाभाविक प्रश्न आता है: $\sqrt{-1}$ का क्या मतलब? वास्तविक संख्याओं की दुनिया में इसका कोई अस्तित्व नहीं। लेकिन गणितज्ञों ने कहा — ठीक है, इसे एक नई इकाई मान लो, और इसे $i$ (iota) नाम दो।

$i = \sqrt{-1}, \quad i^2 = -1$

इसी आधार पर सम्मिश्र संख्या बनती है:

$z = a + bi$

जहाँ $a$ वास्तविक भाग (Real Part) है और $b$ काल्पनिक भाग (Imaginary Part)। दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं।

सरल सादृश्य: सोचो तुम एक map पर हो। अक्षांश (latitude) और देशांतर (longitude) — दो अलग-अलग दिशाओं में स्थिति बताते हैं। उसी तरह, सम्मिश्र संख्या में वास्तविक भाग $x$ -अक्ष पर और काल्पनिक भाग $y$ -अक्ष पर एक बिंदु को दर्शाता है। इस 2D plane को आर्गेंड तल (Argand Plane) कहते हैं।

NDA में यह topic क्यों महत्वपूर्ण है?

NDA में सम्मिश्र संख्याओं से प्रतिवर्ष 2-4 प्रश्न आते हैं। इनमें से अधिकांश सीधे formula-based हैं — मापांक, कोणांक, संयुग्मी। एक खास प्रकार का प्रश्न जो बार-बार आता है: "क्या सम्मिश्र संख्याओं में असमानता (inequality) होती है?" — इसका उत्तर सदा नहीं होता, और यह conceptual trap है।

गहन विश्लेषण

$i$ की घातें — चक्रीय pattern

$i$ की घातें 4 के चक्र में दोहराती हैं:

| घात | मान | |-----|-----| | $i^1$ | $i$ | | $i^2$ | $-1$ | | $i^3$ | $-i$ | | $i^4$ | $1$ | | $i^5$ | $i$ (फिर से शुरू) |

नियम: $i^n$ निकालने के लिए $n$ को 4 से भाग दो। शेषफल 0, 1, 2, या 3 होगा। उसके अनुसार मान लो।

उदाहरण: $i^{23}$ — $23 \div 4 = 5$ शेष $3$ — अतः $i^{23} = i^3 = -i$

मापांक (Modulus)

$z = a + bi$ का मापांक:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

यह आर्गेंड तल में origin से बिंदु $(a, b)$ की दूरी है। Pythagoras theorem का सीधा application।

गुण जो काम आते हैं:

$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$
$|z|^2 = z \cdot \bar{z}$

संयुग्मी (Conjugate)

$z = a + bi$ का संयुग्मी:

$\bar{z} = a - bi$

बस काल्पनिक भाग का चिह्न बदल दो। इतना सरल है।

महत्वपूर्ण गुण:

$z + \bar{z} = 2a$ (वास्तविक)
$z - \bar{z} = 2bi$ (शुद्ध काल्पनिक)
$z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$

संयुग्मी का सबसे बड़ा उपयोग: जब भी denominator में सम्मिश्र संख्या हो, संयुग्मी से गुणा करके वास्तविक बना दो।

कोणांक (Argument)

कोणांक $\theta = \arg(z)$ वह कोण है जो $z$ का position vector $x$ -अक्ष से बनाता है।

$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

लेकिन सावधान — सीधे $\arctan$ मत लगाओ। पहले चतुर्थांश देखो:

| चतुर्थांश | $a$ | $b$ | $\arg(z)$ | |-----------|-----|-----|-----------| | I | $+$ | $+$ | $\tan^{-1}(b/a)$ | | II | $-$ | $+$ | $\pi - \tan^{-1}(|b/a|)$ | | III | $-$ | $-$ | $-\pi + \tan^{-1}(|b/a|)$ | | IV | $+$ | $-$ | $-\tan^{-1}(|b/a|)$ |

उदाहरण: $z = -1 + i$ — द्वितीय चतुर्थांश, संदर्भ कोण $= \tan^{-1}(1/1) = \pi/4$ , अतः $\arg(z) = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$

ध्रुवीय रूप (Polar Form)

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

जहाँ $r = |z|$ और $\theta = \arg(z)$ ।

De Moivre का प्रमेय:

$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

यह NDA में तब उपयोगी होता है जब $z^n$ निकालना हो, विशेषकर $|z| = 1$ हो तो $r^n = 1$ और केवल कोण बदलता है।

गुणन और भाग

गुणन: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

याद रखो: वास्तविक भाग में $i^2 = -1$ के कारण $-bd$ आता है।

भाग: denominator को संयुग्मी से गुणा करो:

$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$

सम्मिश्र संख्याओं में असमानता — सबसे बड़ा conceptual trap

यह बात पत्थर पर लिख लो: सम्मिश्र संख्याओं के बीच $>$ या $<$ का संबंध परिभाषित नहीं है। केवल तभी असमानता valid है जब दोनों संख्याएँ शुद्ध वास्तविक हों।

क्यों? क्योंकि complex numbers का set एक ordered field नहीं है। जब किसी संख्या में काल्पनिक भाग हो ( $b \neq 0$ ), तो उसे "बड़ा" या "छोटा" नहीं कहा जा सकता।

NDA ने यह प्रश्न 2026 में पूछा — तीनों inequalities में non-real complex numbers थे, अतः उत्तर था: शून्य (None)।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patterni की घात — 4 से भाग शॉर्टकट

जब भी $i^n$ दिखे, सीधे $n \div 4$ करो और शेषफल देखो। शेष 0 → 1, शेष 1 → i, शेष 2 → −1, शेष 3 → −i।

उदाहरण: $i^{47}$ — $47 = 4 \times 11 + 3$ — शेष 3 — उत्तर: $-i$ । सामान्य विधि: सभी घातें लिखना = 10 steps। यह shortcut: 2 steps।

patternमापांक — 3-4-5 और 5-12-13 Pythagorean triple पहचानो

NDA में मापांक के प्रश्न अधिकतर Pythagorean triples पर आधारित होते हैं।

$(3, 4) \Rightarrow |z| = 5$
$(5, 12) \Rightarrow |z| = 13$
$(8, 15) \Rightarrow |z| = 17$
$(7, 24) \Rightarrow |z| = 25$

$z = 3 + 4i$ देखते ही calculator की ज़रूरत नहीं — सीधे 5। सामान्य विधि: $\sqrt{9+16}$ = $\sqrt{25}$ = 5 — 3 steps। Pattern recognition: 1 step।

substitutionसंयुग्मी गुणन — denominator साफ़ करो

$\frac{1}{a+bi}$ को simplify करना हो तो numerator और denominator दोनों में $(a-bi)$ गुणा करो।

$\frac{1}{3+4i} = \frac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{3-4i}{9+16} = \frac{3-4i}{25} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$

Denominator का $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$ — यह सदा वास्तविक होता है। बिना इस trick के: लंबी भाग-विधि = 8+ steps। इस trick से: 3 steps।

patternकोणांक — चतुर्थांश देखकर π जोड़ो/घटाओ

कोणांक में calculator की गलती से बचने का तरीका:

पहले $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{|b|}{|a|}\right)$ निकालो (सदा positive, standard angles से)।
फिर चतुर्थांश देखो: I→ $\alpha$ , II→ $\pi-\alpha$ , III→ $-(\pi-\alpha)$ , IV→ $-\alpha$ ।

$z = -1-i$ : $\alpha = \pi/4$ , तृतीय चतुर्थांश → $-(\pi - \pi/4) = -3\pi/4$ । यह 2-step process है। सीधे $\arctan$ लगाने पर गलत चतुर्थांश का जोखिम।

eliminationअसमानता प्रश्न — शून्य उत्तर की पहचान

जब भी प्रश्न में non-real complex numbers की inequality दी हो ( $a+bi$ जहाँ $b \neq 0$ ), options देखो: अगर "None" या "0" या "कोई नहीं" option में है — वही उत्तर है। Reasoning: complex numbers ordered field नहीं हैं। इसे verify करने में 0 seconds लगते हैं अगर concept clear हो।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा कक्ष में सम्मिश्र संख्या का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

"मापांक" → $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ , Pythagorean triple देखो
"संयुग्मी" → चिह्न बदलो, बस
"कोणांक" → चतुर्थांश देखो, $\tan^{-1}$ + adjustment
"गुणन/भाग" → expand करो, $i^2 = -1$ याद रखो
"असमानता" → non-real है? → None/0 उत्तर
" $i^n$ " → $n \div 4$ , शेषफल देखो

Step 2 — calculation:

$z$ का वास्तविक और काल्पनिक भाग अलग-अलग लिखो। कभी भी $i$ को variable की तरह treat करते हुए $i^2 = -1$ substitute करना मत भूलो।

Step 3 — answer check:

Options में से वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग match करो। अगर options close हैं, sign error की जाँच करो — यही सबसे common गलती है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह NDA का सबसे महत्वपूर्ण conceptual प्रश्न है — ordered field का concept directly test होता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

Consider the following inequalities: I. 1 + 4i > 3 + 2i II. 2 + 3i < 3 + 4i III. 4 + 3i > 3 + 4i, where i = √−1. How many of the above are valid?

None
One
Two
All the three

Solutionसमाधान

Inequalities (greater than / less than) are not defined for complex numbers (non-real). The set of complex numbers is not an ordered field. Hence none of the three inequalities involving non-real complex numbers is valid.

समाधान का रास्ता: तीनों inequalities में $i$ वाले terms हैं अतः ये non-real complex numbers हैं। Complex numbers ordered set नहीं बनाते — $>$ और $<$ undefined हैं। तीनों में से एक भी valid नहीं। उत्तर: None।

क्यों यह प्रश्न: मापांक का सबसे direct formula-test — 3-4-5 triple की पहचान।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The modulus of the complex number z = 3 + 4i is:

सम्मिश्र संख्या z = 3 + 4i का मापांक (modulus) है:

25
7
√7
5

25
7
√7
5

Solutionसमाधान

Modulus |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

मापांक |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।

समाधान का रास्ता: $z = 3 + 4i$ देखते ही 3-4-5 triple पहचानो। $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ । Option (D) सही।

क्यों यह प्रश्न: $z^2$ expansion में $i^2 = -1$ का application — sign गलती का classic trap।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If z = 1 + i, what is z²?

यदि z = 1 + i है, तो z² क्या है?

1 + 2i
-2i
2
2i

1 + 2i
-2i
2
2i

Solutionसमाधान

z² = (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.

z² = (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i।

समाधान का रास्ता: $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 0 + 2i = 2i$ । वास्तविक भाग cancel हो जाता है। Option (D) सही।

क्यों यह प्रश्न: द्वितीय चतुर्थांश में कोणांक — $\pi - \alpha$ adjustment का test।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The argument (amplitude) of the complex number z = −1 + i is:

सम्मिश्र संख्या z = −1 + i का कोणांक (argument) है:

−π/4
π/4
π/2
3π/4

−π/4
π/4
π/2
3π/4

Solutionसमाधान

z = −1 + i lies in the second quadrant. tan θ = 1/(−1) so reference angle = π/4. Since real part is negative and imaginary part is positive, argument = π − π/4 = 3π/4.

z = −1 + i द्वितीय चतुर्थांश में है। संदर्भ कोण π/4 है और चूँकि वास्तविक भाग ऋणात्मक और काल्पनिक भाग धनात्मक है, अतः कोणांक = π − π/4 = 3π/4।

समाधान का रास्ता: $z = -1 + i$ में $a = -1$ (ऋणात्मक), $b = 1$ (धनात्मक) → द्वितीय चतुर्थांश। $\alpha = \tan^{-1}(1/1) = \pi/4$ । अतः $\arg(z) = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$ । Option (D) सही।

क्यों यह प्रश्न: संयुग्मी का direct definition test — सबसे सरल किन्तु sign गलती का खतरा।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The conjugate of the complex number z = 5 − 3i is:

सम्मिश्र संख्या z = 5 − 3i का संयुग्म (conjugate) है:

−5 + 3i
−5 − 3i
5 + 3i
5 − 3i

−5 + 3i
−5 − 3i
5 + 3i
5 − 3i

Solutionसमाधान

The conjugate of z = a + bi is z̄ = a − bi. So conjugate of 5 − 3i is 5 + 3i.

z = a + bi का संयुग्म z̄ = a − bi होता है। अतः 5 − 3i का संयुग्म 5 + 3i है।

समाधान का रास्ता: $z = 5 - 3i$ का संयुग्मी $\bar{z} = 5 + 3i$ । बस काल्पनिक भाग का चिह्न बदला। Option (C) सही।

क्यों यह प्रश्न: गुणन में वास्तविक भाग निकालना — $i^2$ को absorb करने की skill test।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Which of the following is the real part of z = (2 + 3i)(1 − i)?

z = (2 + 3i)(1 − i) का वास्तविक भाग (real part) कौन-सा है?

2
−1
5
1

2
−1
5
1

Solutionसमाधान

(2+3i)(1−i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i − 3(−1) = 2 + i + 3 = 5 + i. Real part = 5.

(2+3i)(1−i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i। अतः वास्तविक भाग = 5।

समाधान का रास्ता: $(2+3i)(1-i) = 2(1) + 2(-i) + 3i(1) + 3i(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i - 3(-1) = 2 + i + 3 = 5 + i$ । वास्तविक भाग $= 5$ । Option (C) सही।

आम गलतियाँ

$i^2$ को $+1$ लिखना: यह सबसे घातक गलती है। $(1+i)^2$ expand करते समय $i^2 = -1$ याद रखो, $+1$ नहीं। इससे पूरा sign बदल जाता है।
कोणांक में चतुर्थांश ignore करना: $z = -1 + i$ और $z = 1 - i$ दोनों का $|\tan\theta| = 1$ है, लेकिन कोणांक $3\pi/4$ और $-\pi/4$ हैं। Calculator पर सीधे $\arctan(-1/1)$ लगाना गलत उत्तर देगा।
असमानता में फँसना: अगर option में "None" है और प्रश्न में non-real complex numbers की inequality है — बिना calculate किए "None" चुनो। Complex numbers का कोई order नहीं होता।
संयुग्मी में मापांक बदलना: $\bar{z}$ निकालते समय केवल $b$ का चिह्न बदलो — $a$ का नहीं। $z = 5 - 3i$ का संयुग्मी $-5 + 3i$ नहीं, बल्कि $5 + 3i$ है।
भाग में denominator को real नहीं करना: $\frac{3+i}{2-i}$ को directly simplify करने की कोशिश मत करो। पहले $(2+i)$ से गुणा करो — तभी वास्तविक और काल्पनिक भाग अलग होंगे।
$|z|^2 = a^2 - b^2$ लिखना: $|z|^2 = a^2 + b^2$ है, घटाना नहीं। $b$ का coefficient $i$ है, लेकिन $|z|$ निकालते समय $b$ को square करते हैं जो सदा positive होता है।

NDA गणित: सम्मिश्र संख्याएँ — मापांक, कोणांक, संयुग्मी और आर्गेंड तल

अवधारणा

गहन विश्लेषण

$i$ की घातें — चक्रीय pattern

मापांक (Modulus)

संयुग्मी (Conjugate)

कोणांक (Argument)

ध्रुवीय रूप (Polar Form)

गुणन और भाग

सम्मिश्र संख्याओं में असमानता — सबसे बड़ा conceptual trap

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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iii की घातें — चक्रीय pattern

मापांक (Modulus)

संयुग्मी (Conjugate)

कोणांक (Argument)

ध्रुवीय रूप (Polar Form)

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