NDA गणित: फलनात्मक समीकरण — परिभाषा, विधियाँ और PYQ हल

अवधारणा

फलनात्मक समीकरण (Functional Equation) वह समीकरण है जिसमें अज्ञात राशि कोई संख्या नहीं, बल्कि एक पूरा फलन होता है। तुम्हें यह पता करना होता है कि $f$ किस प्रकार का फलन है — बशर्ते वह दी गई शर्त को सभी allowed values के लिए पूरा करे।

सरल सादृश्य: कल्पना करो कि एक "मशीन" है जिसका नाम $f$ है। तुम्हें मशीन का input नहीं पता, output नहीं पता — बस यह पता है कि यह मशीन किसी भी दो inputs के साथ एक खास नियम का पालन करती है। फलनात्मक समीकरण उसी नियम को लिखता है, और तुम्हारा काम है उस मशीन की "recipe" ढूंढना।

उदाहरण: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ — यह कहता है कि दो संख्याओं का योग पहले करो फिर $f$ लगाओ, या पहले अलग-अलग $f$ लगाओ फिर जोड़ो — दोनों बराबर हैं। यह गुण linear functions $f(x) = cx$ में होता है।

NDA में फलनात्मक समीकरण के प्रश्न इसलिए महत्वपूर्ण हैं क्योंकि:

1. ये सीधे रटने से नहीं आते — सोचना पड़ता है।
2. एक बार pattern पहचान लो तो calculation बहुत कम हो जाती है।
3. 2024 और 2025 दोनों sessions में इस topic से प्रश्न आए — यह trend है।

मुख्य प्रकार जो NDA में आते हैं:

• $f(x/y) = f(x)/f(y)$ — Power function pattern
• $f(xy) = f(x+y)$ — Constant function pattern
• $af(x) + bf(1/x) = g(x)$ — System of equations approach

हर प्रकार की एक अलग "signature move" है। वह move याद कर लो — 90% काम हो जाता है।

गहन विश्लेषण

प्रकार 1: $f(x/y) = f(x)/f(y)$

यह सबसे classical form है। इसकी जाँच करते हैं कि कौन से फलन इसे satisfy करते हैं।

$x = y$ रखो:

$f\left(\frac{x}{x}\right) = \frac{f(x)}{f(x)} \implies f(1) = 1$

$x = 1$ रखो:

$f\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{f(1)}{f(y)} = \frac{1}{f(y)}$

$y = 1/z$ रखो मूल equation में:

$f(xz) = \frac{f(x)}{f(1/z)} = f(x) \cdot f(z)$

तो $f(xy) = f(x) \cdot f(y)$ — यह Cauchy's multiplicative functional equation है।

इसका एकमात्र continuous solution है: $f(x) = x^k$ किसी $k$ के लिए।

यह NDA के लिए practical conclusion: जब भी $f(x/y) = f(x)/f(y)$ या $f(xy) = f(x)f(y)$ दिखे, तुरंत मान लो $f(x) = x^k$। फिर दी गई value से $k$ निकालो।

प्रकार 2: $f(xy) = f(x + y)$

यह थोड़ा अजीब लगता है — गुणन और योग का मिश्रण। इसका secret यह है कि यह शर्त बहुत strong constraint लगाती है।

$y = 0$ रखो:

$f(x \cdot 0) = f(x + 0) \implies f(0) = f(x) \quad \text{सभी } x \text{ के लिए}$

रुको — इसका मतलब है $f$ constant है! $f(x) = f(0)$ सभी $x$ के लिए।

तो $f(5) = 10$ दिया है, इसलिए $f(x) = 10$ सभी $x$ के लिए।

ध्यान दो: $y = 0$ substitution यहाँ पूरी problem solve कर देती है — एक ही step में। यही "signature move" है इस प्रकार की।

प्रकार 3: $af(x) + bf(1/x) = g(x)$

यह "system of equations" approach है। दो equations मिलाकर $f(x)$ निकालते हैं।

Step 1: मूल equation लिखो — equation (i)।

Step 2: $x$ की जगह $1/x$ रखो — equation (ii)।

Step 3: दोनों equations को मिलाकर $f(1/x)$ eliminate करो।

उदाहरण: $3f(x) + f(1/x) = \frac{1}{x} + 1$

Equation (i): $3f(x) + f(1/x) = \frac{1}{x} + 1$

$x \to 1/x$ रखने पर equation (ii): $3f(1/x) + f(x) = x + 1$

Equation (i) को $3$ से गुणा करो: $9f(x) + 3f(1/x) = \frac{3}{x} + 3$

Equation (ii) घटाओ: $8f(x) = \frac{3}{x} - x + 2$

$f(x) = \frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}$

Power Function का Quick Test

जब $f(xy) = f(x)f(y)$ pattern हो और एक value दी हो, तो:

$f(x^n) = [f(x)]^n$

यह नियम याद कर लो। इसका proof:

$f(x^2) = f(x \cdot x) = f(x) \cdot f(x) = [f(x)]^2$ $f(x^3) = f(x^2 \cdot x) = f(x^2) \cdot f(x) = [f(x)]^3$

और general: $f(x^n) = [f(x)]^n$।

यह NDA 2025 के दोनों questions — $f(16)$ और $f(1) \cdot f(4)$ — को 15 seconds में solve कर देता है।

प्रांत और परिसर पर ध्यान

फलनात्मक समीकरण solve करते समय यह check करो कि तुम्हारी substitution प्रांत (domain) के अंदर है या नहीं।

• $f(x/y) = f(x)/f(y)$ में $y \neq 0$ जरूरी है।
• $f$ का प्रांत "all positive reals" है तो $x = -1$ substitute मत करो।
• अगर प्रांत "all reals" है, तो $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$ — ये तीनों try करो, कोई न कोई काम करेगा।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा में फलनात्मक समीकरण देखते ही यह sequence follow करो:

Step 1 — Type identify करो (10 seconds):

• $f(x/y) = f(x)/f(y)$ या $f(xy) = f(x)f(y)$ → Power type
• $f(xy) = f(x+y)$ → Constant type
• $af(x) + bf(1/x) = g(x)$ → Mirror substitution type

Step 2 — Signature move लगाओ:

• Power type: $f(x) = x^k$ मानो, दी गई value से $k$ निकालो
• Constant type: $y = 0$ रखो, तुरंत $f$ = constant मिलेगा
• Mirror type: $x \to 1/x$ करो, दूसरी equation बनाओ, eliminate करो

Step 3 — केवल जो पूछा है वह निकालो। पूरा $f(x)$ derive करने की जरूरत नहीं अगर सिर्फ $f(16)$ पूछा है।

Step 4 — Sanity check: क्या तुम्हारा answer original equation satisfy करता है? 5 seconds में verify करो।

अगर equation का type तुरंत न समझ आए: $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$ में से एक substitute करो — कोई न कोई simplification जरूर मिलेगी।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह NDA 2025 का classic power-type question है। $f(16)$ निकालने के लिए $f(2) = 3$ से $k$ की ज़रूरत नहीं — सीधे $f(x^n) = [f(x)]^n$ rule काम करता है।

समाधान का रास्ता: $16 = 2^4$ देखो। $f(16) = f(2^4) = [f(2)]^4 = 3^4 = 81$। अगर direct rule याद न हो तो $f(x) = x^k$ मानो, $2^k = 3$ से $k$ निकालो, फिर $f(16) = 16^k = (2^4)^k = (2^k)^4 = 3^4 = 81$।

क्यों यह प्रश्न: $f(1)$ का मान multiplicative equations में हमेशा 1 होता है — यह directly याद रखो। $f(4)$ के लिए $f(x^n)$ rule use करो।

समाधान का रास्ता: $x = y$ रखो: $f(1) = 1$। $f(4) = f(2^2) = [f(2)]^2 = 3^2 = 9$। $f(1) \cdot f(4) = 1 \times 9 = 9$।

क्यों यह प्रश्न: $f(xy) = f(x+y)$ देखकर घबराओ नहीं। $y = 0$ रखते ही $f(0) = f(x)$ — यानी constant function। $f(0) = f(5) = 10$।

समाधान का रास्ता: $x = 5$, $y = 0$ रखो: $f(5 \times 0) = f(5 + 0)$, तो $f(0) = f(5) = 10$। एक substitution, answer ready।

क्यों यह प्रश्न: यह ऊपर के question का continuation है। एक बार $f$ constant है यह जान लो, बाकी सब trivial है।

समाधान का रास्ता: $y = 0$ substitution से $f(x) = 10$ सभी $x$ के लिए। इसलिए $f(20) + f(-20) = 10 + 10 = 20$।

क्यों यह प्रश्न: यह NDA 2024 का mirror substitution type है। $3f(x) + f(1/x)$ देखते ही $x \to 1/x$ substitute करना चाहिए — यही इस type की पहचान है।

समाधान का रास्ता: Equation (i): $3f(x) + f(1/x) = \frac{1}{x} + 1$। $x \to 1/x$ रखने पर equation (ii): $3f(1/x) + f(x) = x + 1$। $3 \times (i)$: $9f(x) + 3f(1/x) = \frac{3}{x} + 3$। $(ii)$ घटाओ: $8f(x) = \frac{3}{x} - x + 2$। तो $f(x) = \frac{3}{8x} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}$।

आम गलतियाँ

• $f(x^n) \neq n \cdot f(x)$। यह $f(nx)$ वाला formula नहीं है। Multiplicative equations में $f(x^n) = [f(x)]^n$ है, $n \cdot f(x)$ नहीं। दोनों को mix मत करो।

• $f(xy) = f(x+y)$ में $x = y = 1$ रखकर $f(1) = f(2)$ निकालना और यह सोचना कि $f$ constant है — यह incomplete argument है। $y = 0$ रखने पर $f(0) = f(x)$ सभी $x$ के लिए मिलता है — यही पूरा proof है। $x = y = 1$ वाला एक specific case है।

• Mirror substitution में गलत coefficient लगाना। $3f(x) + f(1/x) = ..$ को $3$ से गुणा करते हो तो $9f(x) + 3f(1/x)$ बनता है, फिर equation (ii) — जो $f(x) + 3f(1/x) = ..$ है — subtract करते हो। coefficient carefully देखो।

• $f(1) = 1$ assume करना additive equations में। $f(x + y) = f(x) + f(y)$ (additive) में $f(1)$ कोई भी value हो सकती है — यह निर्भर करता है दी गई condition पर। Multiplicative में जरूर $f(1) = 1$ होता है।

• Domain ignore करना। $f(x/y) = f(x)/f(y)$ में $y \neq 0$ जरूरी है। अगर domain "positive reals" है तो $x = 0$ या negative values substitute मत करो — वह प्रांत से बाहर है।

• $f(x) = x^k$ assume करने के बाद $k$ को explicitly निकाले बिना answer देना। $2^k = 3$ से $k = \log_2 3$ आता है, लेकिन NDA में तुम्हें $k$ की value नहीं चाहिए — सीधे $f(16) = (2^k)^4 = 3^4 = 81$ लिखो। अगर बीच में $k = \log_2 3$ को decimal में convert करने लगे तो समय बर्बाद होगा।

संबंधित विषय

• functions domain range
• composite functions
• inverse functions
• sequences and series
• logarithms
• quadratic equations

SarkariRise पर अभ्यास