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NDA गणित: क्रमचय और संचय — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

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अवधारणा

क्रमचय और संचय — ये दोनों गणना के दो अलग-अलग दृष्टिकोण हैं। एक ही प्रश्न पर दोनों लागू हो सकते हैं, पर सही तरीका चुनने में ज़्यादातर छात्र फँसते हैं।

मूल अंतर एक वाक्य में: जब क्रम (order) मायने रखे — क्रमचय (Permutation)। जब केवल चुनाव (selection) मायने रखे — संचय (Combination)।

एक व्यावहारिक उदाहरण लो: तुम्हारे पास A, B, C तीन दोस्त हैं।

"कमेटी में से अध्यक्ष, उपाध्यक्ष, सचिव कौन बनेगा?" — यहाँ ABC और BAC अलग-अलग हैं क्योंकि पद अलग हैं। यह क्रमचय है।
"कमेटी में 2 लोगों को चुनना है।" — यहाँ AB और BA एक ही चुनाव है। यह संचय है।

भाज्य (Factorial) की नींव:

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$

विशेष: $0! = 1$ — यह परिभाषा है, सिद्धांत नहीं। इसे याद रखो, वरना कई सूत्र टूट जाते हैं।

मूल सूत्र:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

इन दोनों का संबंध: $P(n, r) = r! \times C(n, r)$

अर्थात — पहले $r$ चीज़ें चुनो (Combination), फिर उन्हें arrange करो ( $r!$ तरीकों से)।

गहन विश्लेषण

गणना के मूल सिद्धांत

गुणन नियम (Multiplication Principle): यदि काम दो चरणों में होता है — पहले $m$ तरीकों से, फिर $n$ तरीकों से — तो कुल तरीके $m \times n$ होंगे।

योग नियम (Addition Principle): यदि दो काम अलग-अलग तरीकों से हो सकते हैं (एक-साथ नहीं), तो कुल $m + n$ तरीके।

परीक्षा में "या" शब्द आए तो Addition, "और" शब्द आए तो Multiplication — यह rough rule काम की है।

क्रमचय के महत्वपूर्ण cases

सभी अलग-अलग चीज़ों की arrangement: $n$ चीज़ें = $n!$ तरीके।

जब कुछ चीज़ें दोहराई जाएँ: $n$ चीज़ों में $p$ एक जैसी, $q$ एक जैसी हों:

$\text{व्यवस्थाएँ} = \frac{n!}{p! \cdot q!}$

वृत्तीय क्रमचय (Circular Permutation): $n$ चीज़ों को वृत्त में सजाने के तरीके = $(n-1)!$

इसके पीछे कारण: वृत्त में एक स्थान fixed मान लो (reference point), बाकी $(n-1)$ को arrange करो।

बंधन (Restriction) वाले प्रश्न: ये NDA में अक्सर आते हैं।

"दो विशेष व्यक्ति साथ रहें" → उन्हें एक block मानो, फिर $(n-1)!$ × (block की internal arrangements)
"दो विशेष व्यक्ति साथ न रहें" → Total arrangements − (दोनों साथ हों वाली arrangements)

संचय के महत्वपूर्ण properties

सममिति गुण: $C(n, r) = C(n, n-r)$

यह property NDA में directly पूछी जाती है। जब $C(n, r) = C(n, k)$ हो, तो या तो $r = k$ या $r + k = n$ ।

Pascal की पहचान: $C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$

योग सूत्र: $C(n, 0) + C(n, 1) + \cdots + C(n, n) = 2^n$

Vandermonde की पहचान (कम आती है, पर जानो): $C(m+n, r) = \sum_{k=0}^{r} C(m, k) \cdot C(n, r-k)$

Polygon में diagonal की संख्या

$n$ भुजाओं वाले polygon में diagonals की संख्या:

$D = C(n, 2) - n = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n(n-3)}{2}$

सोचो: $n$ vertices से $C(n,2)$ रेखाखंड बनते हैं, जिनमें से $n$ तो स्वयं भुजाएँ हैं — बाकी सब diagonals।

Stars and Bars (विभाजन सूत्र)

यह NDA में कभी-कभी आता है, पर छात्र इसे अक्सर नहीं जानते।

धनात्मक पूर्णांक solutions ( $x_1 + x_2 + \cdots + x_r = n$ , जहाँ हर $x_i \geq 1$ ): $\text{solutions} = C(n-1, r-1)$

अऋणात्मक पूर्णांक solutions ( $x_1 + x_2 + \cdots + x_r = n$ , जहाँ हर $x_i \geq 0$ ): $\text{solutions} = C(n+r-1, r-1)$

"अधिकतम r चीज़ें चुनो" वाले प्रश्न

$n$ अलग-अलग चीज़ों में से अधिकतम $r$ चुनने के तरीके:

$C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + \cdots + C(n, r)$

ध्यान रखो — "अधिकतम" में $C(n, 0) = 1$ (कुछ नहीं चुनना) शामिल होता है या नहीं, यह context पर निर्भर है। NDA के प्रश्नों में अक्सर empty selection को count किया जाता है।

Vowel-Consonant constraint वाले प्रश्न

ये arrangement प्रश्न बार-बार आते हैं। तरीका:

पहले vowels और consonants अलग करो।
Vowel positions में vowels arrange करो।
Consonant positions में consonants arrange करो।
दोनों को गुणा करो।

या "सब consonants साथ" वाले में: consonants का एक block बनाओ, फिर (block + बाकी letters) को arrange करो, फिर block के अंदर consonants को arrange करो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternC(n,r) = C(n, n-r) से तुरंत बचाओ

जब $C(n, r) = C(n, k)$ दिया हो और $r \neq k$ , तो सीधे $r + k = n$ लिखो।

उदाहरण: $C(5n, r) = C(5n, n+r)$ — यहाँ $r + (n+r) = 5n$ → $2r + n = 5n$ → $r = 2n$ ।

Standard तरीका: पूरा algebra expand करो — 4-5 steps। इस shortcut से: 1 step।

patternPolygon Diagonal Formula याद रखने की तरकीब

$n$ sides → diagonals = $\frac{n(n-3)}{2}$ ।

याद करने की तरकीब: $n$ vertices से $n$ को ही हटाओ (खुद से और दोनों adjacent vertices से — कुल 3)। इसीलिए $(n-3)$ आया।

Reverse use: diagonal = $d$ दी हो, तो $n^2 - 3n - 2d = 0$ solve करो। $d = 20$ के लिए: $n^2 - 3n - 40 = 0$ → $(n-8)(n+5) = 0$ → $n = 8$ । Calculator-free quadratic: सीधे देखो $8 \times 5 = 40$ और $8 - 5 = 3$ । 5 seconds।

patternStars and Bars — positive solutions की गिनती

$x + y + z = n$ के धनात्मक integer solutions = $C(n-1, 2)$ ।

$n = 5$ : $C(4, 2) = 6$ । Standard तरीका — सब cases enumerate करो: $(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)$ — 30+ seconds। Formula से: 5 seconds।

सामान्यीकरण: $r$ variables के लिए $C(n-1, r-1)$ ।

eliminationNumber Formation — अंक 0 वाले प्रश्नों में

जब 0 अंकों में शामिल हो और leading digit शून्य नहीं हो सकती:

कुल arrangements − (0 पहले वाली arrangements) — यह लम्बा तरीका है।

तेज़ तरीका: Leading digit के लिए (total − 1) choices (0 छोड़कर), बाकी positions के लिए बचे हुए अंकों की arrangements।

Example (0,1,2,3 से 4-digit numbers): Leading digit = 3 choices (1,2,3), बाकी 3 positions = $3!= 6$ । Total = $3 \times 6 = 18$ । Standard (4! − 3!) = 24 − 6 = 18 से verify होता है, पर direct method faster है।

patternDELHI जैसे prearranged position प्रश्न

"Vowels और consonants अपनी-अपनी positions पर रहें" — इसका मतलब है vowels आपस में swap करें, consonants आपस में swap करें।

Steps: vowels की संख्या = $v$ , consonants की संख्या = $c$ → answer = $v! \times c!$ ।

DELHI: vowels = E, I (2 vowels) → $2!$ ; consonants = D, L, H (3 consonants) → $3!$ । Total = $2 \times 6 = 12$ । इसे count करने में 8 seconds।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-कक्ष में यह decision tree follow करो:

Step 1 — क्रम मायने रखता है?

हाँ → Permutation ( $P(n,r)$ या arrangement formula)
नहीं → Combination ( $C(n,r)$ )

Step 2 — कोई restriction है?

"साथ रहें" → Block method (एक unit मानो)
"साथ न रहें" → Total − (साथ वाले)
"Vowel-Consonant fixed" → अलग-अलग arrange करके गुणा करो
"Leading digit 0 नहीं" → Leading digit के लिए (n−1) choices

Step 3 — Special formula trigger:

"Diagonal" शब्द → $\frac{n(n-3)}{2}$
" $x + y + z = n$ , positive integers" → $C(n-1, r-1)$
"अधिकतम $r$ चुनो" → $C(n,0) + C(n,1) + \cdots + C(n,r)$ (empty selection check करो)
" $C(n,r) = C(n,k)$ " → $r = k$ या $r + k = n$

Step 4 — दोहराई गई चीज़ें?

हाँ → $\frac{n!}{p! \cdot q! \cdots}$

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: अंक 0 के साथ number formation NDA का classic trap है। Leading digit का constraint हर बार आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

Using digits 0, 1, 2 and 3, how many numbers greater than 1000 can be made (repetition of digits is not allowed)?

Solutionसमाधान

Numbers greater than 1000 means 4-digit numbers (since with these 4 digits we can only form up to 4-digit numbers without repetition). First digit can't be 0: 3 choices (1, 2, or 3). Remaining 3 places filled with the other 3 digits: 3! = 6 ways. Total = 3 × 6 = 18.

समाधान का रास्ता: सबसे पहले पहचानो — 0, 1, 2, 3 से बिना repetition के 1000 से बड़ी संख्या यानी 4-digit number। Thousands place में 0 नहीं जा सकता → 3 choices (1, 2, 3)। बाकी 3 positions में शेष 3 अंक → $3! = 6$ । Total = $3 \times 6 = 18$ ।

क्यों यह प्रश्न: Polygon diagonal formula का reverse use — $n$ ज्ञात करना। NDA में यह quadratic form में आता है।