NDA गणित: द्विघात समीकरण — मूल, विविक्तकर और गुणनखंड

अवधारणा

द्विघात समीकरण वह बीजीय समीकरण है जिसमें चर का उच्चतम घात 2 होता है। सामान्य रूप:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

यहाँ $a$, $b$, $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ अनिवार्य है — वरना समीकरण रैखिक बन जाता है।

एक सरल सादृश्य: सोचो एक परवलय (parabola) $y = ax^2 + bx + c$ को X-अक्ष पर रखा है। जहाँ-जहाँ वह X-अक्ष को काटता है, वे बिन्दु उस समीकरण के मूल हैं। अगर वह X-अक्ष को दो जगह काटे — दो वास्तविक मूल। एक जगह स्पर्श करे — दो बराबर मूल। बिल्कुल न काटे — दो काल्पनिक मूल।

NDA में इस topic का महत्त्व: NDA के पिछले वर्षों के प्रश्नों में द्विघात समीकरण से हर साल 3-5 प्रश्न आते हैं। इनमें केवल सूत्र याद करना काफ़ी नहीं — Vieta के सूत्रों का चतुर उपयोग, मूलों की प्रकृति, और substitution की तकनीक जाननी होगी।

मूलों को $\alpha$ और $\beta$ से लिखते हैं। इन मूलों के दो fundamental सम्बन्ध हैं:

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$

ये Vieta के सूत्र हैं। NDA में आधे से ज़्यादा द्विघात प्रश्न इन्हीं दो सूत्रों पर टिके होते हैं। इन्हें रटो नहीं — समझो कि $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ को expand करने पर ये स्वयं निकलते हैं।

गहन विश्लेषण

विविक्तकर (Discriminant) और मूलों की प्रकृति

$D = b^2 - 4ac$

| $D$ का मान | मूलों की प्रकृति | |---|---| | $D > 0$ | दो अलग-अलग वास्तविक मूल | | $D = 0$ | दो बराबर वास्तविक मूल | | $D < 0$ | दो conjugate काल्पनिक मूल | | $D \geq 0$ और पूर्ण वर्ग | दो परिमेय मूल (यदि $a, b, c$ परिमेय हों) |

महत्त्वपूर्ण बात: जब $a, b, c$ परिमेय हों और $D$ धनात्मक परन्तु पूर्ण वर्ग न हो, तो मूल अपरिमेय और conjugate जोड़े में होते हैं — जैसे $p + \sqrt{q}$ और $p - \sqrt{q}$।

गुणनखंड विधि (Factorisation)

$x^2 + bx + c = 0$ (monic form, अर्थात् leading coefficient = 1) के लिए:

दो संख्याएँ खोजो जिनका योग $b$ हो और गुणनफल $c$ हो। यही Sum-Product trick है।

उदाहरण: $x^2 - 5x + 6 = 0$ दो संख्याएँ जिनका योग $-5$ और गुणनफल $6$: वे हैं $-2$ और $-3$। अतः $(x-2)(x-3) = 0$, मूल $2$ और $3$।

पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the Square)

$ax^2 + bx + c = 0$ को इस रूप में लिखते हैं:

$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = 0$

यह technique न्यूनतम/अधिकतम मान ढूंढने में बहुत उपयोगी है। NDA 2026 में इसी से एक प्रश्न आया था ($x^2 + kx + k^2$ का minimum)।

Vieta सूत्रों के advanced उपयोग

मूलों के व्यंजकों को Vieta से बदलो:

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = \left(\frac{-b}{a}\right)^2 - \frac{2c}{a}$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{D}{a^2}$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

यह pattern परीक्षा में बार-बार आता है। जब भी $(\alpha - \beta)$ दी हो — तुरन्त $(\alpha-\beta)^2 = D/a^2$ लिखो।

GP में $a, b, c$ का विशेष case

अगर $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी (GP) में हों, तो $b^2 = ac$। फिर $D = b^2 - 4ac = ac - 4ac = -3ac$। चूँकि $a > 0, c > 0$, इसलिए $D < 0$ — मूल सदा काल्पनिक।

NDA 2024 में यही पूछा गया था। इकाई के घनमूल $\omega$ का सम्बन्ध — मूल $\frac{-b \pm i\sqrt{3ac}}{2a}$ होते हैं, जो $\omega$ और $\omega^2$ के proportional होते हैं।

Substitution technique: $\sqrt{x}$ वाले प्रश्न

जब $\sqrt{x}$ दिखे, $y = \sqrt{x}$ रखो ($y \geq 0$ अनिवार्य)।

$5\sqrt{x} - x - 4 = 0 \Rightarrow -y^2 + 5y - 4 = 0 \Rightarrow y^2 - 5y + 4 = 0$ $(y-1)(y-4) = 0 \Rightarrow y = 1$ या $4$ $\therefore x = 1$ या $16$ — दोनों परिमेय।

लेकिन $\sqrt{x} + x + 1 = 0$: $y \geq 0$ के लिए $y^2 + y + 1 = 0$, $D = 1 - 4 = -3 < 0$ — कोई वास्तविक मूल नहीं।

नई समीकरण बनाना

मूल $\alpha, \beta$ की जगह $\alpha^2, \beta^2$ वाली नई समीकरण चाहिए: नई समीकरण: $x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha^2\beta^2 = 0$

जहाँ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ और $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2$।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में द्विघात समीकरण का प्रश्न देखते ही यह sequence follow करो:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

• मूलों की प्रकृति पूछी है? → $D$ निकालो, sign देखो।
• मूलों के बीच सम्बन्ध दिया है? → Vieta सूत्र लगाओ।
• $\sqrt{x}$ दिख रहा है? → $y = \sqrt{x}$ रखो, $y \geq 0$ याद रखो।
• Minimum/maximum पूछा है? → Complete the square करो।

Step 2 — Special conditions:

• $a, b, c$ GP में हैं? → $b^2 = ac$, $D < 0$ सीधे लिखो।
• $(\alpha - \beta)$ दिया है? → $(\alpha-\beta)^2 = D/a^2$ use करो।

Step 3 — Options eliminate करो: $D$ का sign पता लगते ही "वास्तविक/काल्पनिक" वाले जो भी गलत options हों, काट दो। अक्सर 2 options तुरन्त जाते हैं।

Step 4 — Verify: Final answer को Vieta से cross-check करो — $\alpha + \beta$ और $\alpha\beta$ की value formula से match होनी चाहिए।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह NDA 2026 का प्रश्न है जो "unchanged on squaring roots" की condition पर आधारित है — यह pure case-analysis का प्रश्न है जिसमें घबराहट हो सकती है, पर methodology clear हो तो 3 मिनट में हल होता है।

समाधान का रास्ता: पहले condition लिखो: $\{\alpha, \beta\} = \{\alpha^2, \beta^2\}$। इसके दो cases हैं — (i) $\alpha = \alpha^2$ और $\beta = \beta^2$ अलग-अलग: दोनों $\in \{0,1\}$, pairs $(0,0), (0,1), (1,1)$ — तीन equations। (ii) $\alpha = \beta^2$ और $\beta = \alpha^2$ पर $\alpha \neq \alpha^2$: $\alpha = \alpha^4 \Rightarrow \alpha^3 = 1$, $\alpha \neq 1$ — इकाई का primitive घनमूल, एक equation $x^2+x+1=0$। कुल $3+1=4$।

क्यों यह प्रश्न: NDA 2026 का यह प्रश्न AM-GM और Vieta को एक साथ जोड़ता है — जो छात्र Vieta reflexively नहीं लिखते, वे यहाँ फँस जाते हैं।

समाधान का रास्ता: पहली equation $x^2 - 2bx + c^2 = 0$ से: $\alpha + \beta = 2b$, $\alpha\beta = c^2$। इसलिए $A = b$ और $G = \sqrt{c^2} = c$ (चूँकि $c > 0$)। दूसरी equation $x^2 - (b+c)x + bc = 0$: गुणनखंड $(x-b)(x-c) = 0$, मूल $b$ और $c$, अर्थात् $A$ और $G$।

क्यों यह प्रश्न: NDA 2026 का यह प्रश्न directly "completing the square" technique test करता है।

समाधान का रास्ता: $x^2 + kx + k^2 = (x + k/2)^2 + k^2 - k^2/4 = (x + k/2)^2 + 3k^2/4$। चूँकि $(x+k/2)^2 \geq 0$, minimum value $3k^2/4$ है जब $x = -k/2$।

क्यों यह प्रश्न: NDA 2026 का यह प्रश्न substitution और domain दोनों test करता है — Statement I में trap है जो 60% छात्र खाते हैं।

समाधान का रास्ता: Statement I: $y = \sqrt{x} \geq 0$ रखो। $y^2 + y + 1 = 0$, $D = 1-4 = -3 < 0$ — कोई वास्तविक मूल नहीं, Statement I गलत। Statement II: $-y^2 + 5y - 4 = 0 \Rightarrow (y-1)(y-4) = 0$, $y = 1$ या $4$ (दोनों $\geq 0$), $x = 1$ या $16$ — परिमेय, Statement II सही। उत्तर: केवल II।

क्यों यह प्रश्न: NDA 2025 का classic प्रश्न जो $(\alpha - \beta)$ दिए जाने पर $D$ formula का direct उपयोग करवाता है।

समाधान का रास्ता: $\alpha - \beta = 2\sqrt{3}$ दिया है। Vieta से: $\alpha + \beta = k$, $\alpha\beta = k$। $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = k^2 - 4k = 12$। $k^2 - 4k - 12 = 0 \Rightarrow (k-6)(k+2) = 0$। $k = 6$ या $k = -2$। Option में $k = 6$।

क्यों यह प्रश्न: NDA 2024 का यह प्रश्न GP condition, काल्पनिक मूल, और इकाई के घनमूल — तीन concepts को एक साथ जोड़ता है।

समाधान का रास्ता: $a, b, c$ GP में $\Rightarrow b^2 = ac$। $D = b^2 - 4ac = ac - 4ac = -3ac < 0$ ($a>0, c>0$ दिया है) — Statement 1 सही। गुणनफल $= c/a = b^2/a^2$ ($\because c = b^2/a$) — Statement 3 सही। मूल $= \frac{-b \pm i\sqrt{3}b}{2a}$, ratio $= \frac{-1+i\sqrt{3}}{-1-i\sqrt{3}} = \omega$ — Statement 2 सही। तीनों सही।

आम गलतियाँ

• $\sqrt{x}$ में domain भूलना: $y = \sqrt{x}$ रखने के बाद $y \geq 0$ की condition नहीं लगाते। $y$ के ऋणात्मक मान मिलें तो उन्हें discard करना होगा — यह step छूटने पर गलत उत्तर आता है।

• Vieta में sign की गलती: $\alpha + \beta = -b/a$ है, $+b/a$ नहीं। $x^2 - 5x + 6 = 0$ में $\alpha + \beta = +5$ होता है, $-5$ नहीं। हर बार check करो।

• GP condition में $b$ का sign: $a, b, c$ GP में हों तो $b^2 = ac$ सच है चाहे $b$ ऋणात्मक हो। लेकिन $G = \sqrt{\alpha\beta}$ निकालते समय $\alpha\beta \geq 0$ check करना जरूरी है — negative product पर geometric mean वास्तविक नहीं होता।

• "Unchanged" equation का मतलब: "मूल unchanged" का मतलब है $\{\alpha, \beta\} = \{\alpha^2, \beta^2\}$ — यह set equality है, order नहीं। $\alpha = \beta^2$ और $\beta = \alpha^2$ भी valid case है जिसे छात्र अक्सर छोड़ देते हैं।

• Completing the square में $a \neq 1$ पर गलती: $2x^2 + 8x + 5$ को complete करते समय पहले $2$ बाहर निकालो: $2(x^2 + 4x) + 5 = 2(x+2)^2 - 8 + 5 = 2(x+2)^2 - 3$। सीधे $(x+4)^2$ लिखना गलत है।

• Discriminant से ratio निकालने की गलती: $(\alpha/\beta) + (\beta/\alpha) = (\alpha^2 + \beta^2)/(\alpha\beta)$ — इसे $D$ से directly नहीं निकालते। पहले Vieta से $\alpha^2 + \beta^2$ और $\alpha\beta$ अलग-अलग निकालो, फिर भाग करो।

संबंधित विषय

• complex numbers
• arithmetic progression
• geometric progression
• inequalities
• polynomials
• cube roots of unity

SarkariRise पर अभ्यास