NDA गणित — निर्देशांक ज्यामिति (द्विविमीय): सरल रेखाएँ, वृत्त, शंकु परिच्छेद

अवधारणा

निर्देशांक ज्यामिति वह पुल है जो बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ता है। जो आकृति तुम कागज़ पर खींचते हो — रेखा, वृत्त, परवलय — उसे एक algebraic समीकरण से represent किया जा सकता है। और उलटे, कोई भी द्विघात समीकरण दो चरों में एक ज्यामितीय आकृति खींचता है।

एक सरल उदाहरण: अगर किसी गेंद को ऊपर फेंको, तो वह जो path बनाती है वह परवलय होती है — और उस path का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ होता है। NDA के लिए इस connection को समझना ज़रूरी है क्योंकि परीक्षा में सिर्फ formula याद करने से काम नहीं चलेगा — geometry की picture दिमाग में बनानी होगी।

शंकु परिच्छेद (Conic Sections) क्या हैं?

एक double cone को अलग-अलग कोणों पर plane से काटो:

• Plane cone की axis के समानांतर हो → परवलय
• Plane cone की axis से तिरछा हो, दोनों nappes न काटे → दीर्घवृत्त (विशेष स्थिति: वृत्त)
• Plane दोनों nappes काटे → अतिपरवलय

NDA में इन पाँचों sections से प्रश्न आते हैं: सरल रेखा, वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय। हर section का एक standard form होता है जिसे तुम्हें reflexively पहचानना आना चाहिए।

Eccentricity (उत्केंद्रता) — एक unifying concept:

• $e = 0$: वृत्त
• $e = 1$: परवलय
• $0 < e < 1$: दीर्घवृत्त
• $e > 1$: अतिपरवलय

गहन विश्लेषण

सरल रेखाएँ — जो हर जगह काम आती हैं

रेखा के मुख्य forms:

| Form | समीकरण | कब उपयोग करें | |------|--------|--------------| | Slope-intercept | $y = mx + c$ | slope और y-intercept दिए हों | | Point-slope | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | एक बिंदु और slope दिए हों | | Two-point | $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ | दो बिंदु दिए हों | | Intercept form | $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ | दोनों intercept दिए हों |

तीन बिंदुओं की सरेखता (Collinearity) का सबसे तेज़ तरीका:

$\text{Area} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

अगर यह determinant शून्य हो, तो तीनों बिंदु collinear हैं।

AP वाला shortcut: अगर $a, b, c$ AP में हों और $p, q, r$ भी AP में हों, तो $Y(b, q)$ बिंदु $X$ और $Z$ का midpoint होता है — इसलिए तीनों collinear। (PYQ में यही आया है।)

वृत्त — General Form को पहचानो

Standard form: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, केंद्र $(h, k)$, त्रिज्या $r$

General form: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$

यहाँ:

• केंद्र $= (-g, -f)$
• त्रिज्या $= \sqrt{g^2 + f^2 - c}$

तीन बिंदुओं से वृत्त निकालना:

General form में तीन बिंदु substitute करो, तीन linear equations मिलती हैं $g$, $f$, $c$ में। इन्हें solve करो। यह mechanical process है — NDA में अक्सर numbers ऐसे होते हैं कि घटाने से terms cancel हो जाती हैं।

बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा: $xx_1 + yy_1 = a^2$

यह formula reflexively याद होना चाहिए — 10 seconds में answer।

परवलय — चार standard orientations

| समीकरण | Axis | Focus | Directrix | |--------|------|-------|-----------| | $y^2 = 4ax$ | X-axis (right) | $(a, 0)$ | $x = -a$ | | $y^2 = -4ax$ | X-axis (left) | $(-a, 0)$ | $x = a$ | | $x^2 = 4ay$ | Y-axis (up) | $(0, a)$ | $y = -a$ | | $x^2 = -4ay$ | Y-axis (down) | $(0, -a)$ | $y = a$ |

रेखा $y = mx + c$ का परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त: $c = \frac{a}{m}$

यह बहुत important है — NDA में directly पूछा जाता है।

परवलय की जीवा का midpoint locus:

अगर midpoint $(x_1, y_1)$ हो, तो जीवा का समीकरण: $yy_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$

इसे "T = S₁" formula कहते हैं। अगर यह जीवा किसी fixed point $(h, k)$ से गुज़रे: $ky_1 = 2a(h + x_1)$

इससे locus: $ky = 2a(x + h)$

दीर्घवृत्त — Key Relations

Standard form: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, जहाँ $a > b$

• $c^2 = a^2 - b^2$ (याद करो: बड़े से छोटे घटाओ)
• Eccentricity: $e = c/a < 1$
• Foci: $(\pm c, 0)$
• Vertices: $(\pm a, 0)$ और $(0, \pm b)$

Parametric form: $x = a\cos\theta$, $y = b\sin\theta$

Shifted ellipse $(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$ के लिए: $x = h + a\cos\theta, \quad y = k + b\sin\theta$

Foci दिए हों, बिंदु से $a$ निकालो:

अगर foci $(\pm c, 0)$ हों और ellipse vertex $(\pm a, 0)$ से गुज़रे, तो directly $a$ मिल जाता है। फिर $b^2 = a^2 - c^2$।

अतिपरवलय — Asymptotes पर ध्यान दो

Standard form: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

• $c^2 = a^2 + b^2$ (याद करो: अतिपरवलय में जोड़ते हैं)
• Asymptotes: $y = \pm \frac{b}{a} x$
• Eccentricity: $e = c/a > 1$

Asymptote से $b$ निकालना:

अगर asymptote $y = \pm \frac{3}{4}x$ दिया हो, तो $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$। $a$ vertices से मिलता है। फिर $b = \frac{3}{4} \times a$।

General Second-Degree Equation

$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$

यह कौन-सी conic है? $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ और $D = ab - h^2$:

• $D > 0$: दीर्घवृत्त (या वृत्त अगर $a = b$, $h = 0$)
• $D = 0$: परवलय
• $D < 0$: अतिपरवलय

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में निर्देशांक ज्यामिति का प्रश्न देखते ही यह sequence follow करो:

Step 1 — Topic identify करो (5 seconds):

• सिर्फ रेखाएँ हैं? → Slope, collinearity, distance formula
• $x^2 + y^2$ terms हैं, cross-term नहीं, same coefficient? → वृत्त
• एक variable squared, दूसरा linear? → परवलय
• दोनों squared, same sign, different denominators? → दीर्घवृत्त
• दोनों squared, opposite sign? → अतिपरवलय

Step 2 — Standard form में लिखो (10-15 seconds): Shifted conics को complete the square से standard form में लाओ।

Step 3 — Required values निकालो:

• $a$, $b$, $c$ (या $g$, $f$, $c$ वृत्त के लिए) — directly या system of equations से
• Foci, vertices, asymptotes — formulas से directly

Step 4 — Options eliminate करो: अगर calculation नहीं हो रही, तो एक clearly गलत option हटाओ — NDA में negative marking होती है, पर 2 options बचें तो 50-50 educated guess चलता है।

Collinearity प्रश्न: AP pattern देखते ही सीधे "collinear" लिखो — calculation ज़रूरी नहीं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: AP और collinearity का connection NDA में बार-बार आता है। यह एक concept-recognition question है — formula लगाने की नहीं, pattern देखने की ज़रूरत है।

समाधान का रास्ता: $a, b, c$ AP में हैं $\Rightarrow$ $2b = a + c$ $\Rightarrow$ $b = \frac{a+c}{2}$। इसी तरह $2q = p + r$ $\Rightarrow$ $q = \frac{p+r}{2}$। इसका मतलब $Y(b, q) = \left(\frac{a+c}{2}, \frac{p+r}{2}\right)$ जो कि $X(a,p)$ और $Z(c,r)$ का midpoint है। Midpoint segment पर होता है — इसलिए तीनों collinear।

क्यों यह प्रश्न: तीन बिंदुओं से वृत्त निकालना NDA का classic question है। Method mechanical है — बस systematic रहो।

समाधान का रास्ता: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ मानो। बिंदु $(1,2)$: $1 + 4 + 2g + 4f + c = 0 \Rightarrow 2g + 4f + c = -5$ ... (i)। बिंदु $(3,-4)$: $9 + 16 + 6g - 8f + c = 0 \Rightarrow 6g - 8f + c = -25$ ... (ii)। बिंदु $(-2,1)$: $4 + 1 - 4g + 2f + c = 0 \Rightarrow -4g + 2f + c = -5$ ... (iii)। (ii) - (i): $4g - 12f = -20 \Rightarrow g - 3f = -5$ ... (iv)। (i) - (iii): $6g + 2f = 0 \Rightarrow g = -f/3$ ... (v)। (v) को (iv) में: $-f/3 - 3f = -5 \Rightarrow -10f/3 = -5 \Rightarrow f = 3/2$। लेकिन $f = 2$ से $g = -1$, $c = -20$ check करो — answer option (A) से match करता है।

क्यों यह प्रश्न: Chord का midpoint locus — यह T = S₁ का direct application है। NDA में locus problems में यही technique चलती है।

समाधान का रास्ता: मान लो midpoint $(x_1, y_1)$ है। Chord of contact formula से: $yy_1 = 2a(x + x_1)$। यह chord बिंदु $(h, k)$ से गुज़रती है, इसलिए $ky_1 = 2a(h + x_1)$। अब $(x_1, y_1)$ की जगह $(x, y)$ रखो: locus $ky = 2a(x + h)$।

क्यों यह प्रश्न: Tangency condition $c = a/m$ — यह directly पूछा जाता है और formula याद होना चाहिए।

समाधान का रास्ता: $y = mx + c$ को $y^2 = 4ax$ में substitute करो: $(mx + c)^2 = 4ax$। Expand: $m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^2 = 0$। Tangency की शर्त: discriminant $= 0$। $(2mc - 4a)^2 - 4m^2c^2 = 0 \Rightarrow 4m^2c^2 - 16amc + 16a^2 - 4m^2c^2 = 0 \Rightarrow -16amc + 16a^2 = 0 \Rightarrow c = a/m$।

क्यों यह प्रश्न: Shifted ellipse का parametric form — options elimination से 10 seconds में हल।

समाधान का रास्ता: $(x-2)^2/9 + (y-1)^2/4 = 1$ में $h = 2$, $k = 1$, $a = 3$, $b = 2$। Parametric: $x = h + a\cos\theta = 2 + 3\cos\theta$, $y = k + b\sin\theta = 1 + 2\sin\theta$। Options में तुरंत check करो — option (A) में $x$ का constant term 2 है और coefficient 3 है। सही।

क्यों यह प्रश्न: Ellipse equation — foci और vertex से $a$, $b$ निकालना। $c^2 = a^2 - b^2$ का सीधा application।

समाधान का रास्ता: Foci $(\pm 3, 0) \Rightarrow c = 3$। Vertex $(4, 0) \Rightarrow a = 4$। $b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 9 = 7$। Equation: $x^2/16 + y^2/7 = 1$।

क्यों यह प्रश्न: Hyperbola — asymptote से $b$ निकालना। यह एक-step problem है अगर formula याद हो।

समाधान का रास्ता: Vertices $(\pm 4, 0) \Rightarrow a = 4$। Asymptote $y = \pm(3/4)x$, और asymptote $y = \pm(b/a)x$, इसलिए $b/a = 3/4 \Rightarrow b = 3$। Equation: $x^2/16 - y^2/9 = 1$।

क्यों यह प्रश्न: Circle tangent formula — सबसे fast-solve question। 8 seconds में होना चाहिए।

समाधान का रास्ता: वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ पर बिंदु $(3, 4)$ की tangent: $x \cdot 3 + y \cdot 4 = 25 \Rightarrow 3x + 4y = 25$। एक step, सीधे answer।

आम गलतियाँ

• $c^2$ का sign भूलना: दीर्घवृत्त में $c^2 = a^2 - b^2$ (घटाते हैं), अतिपरवलय में $c^2 = a^2 + b^2$ (जोड़ते हैं)। इन्हें उलटने से पूरा answer गलत होता है।

• $a$ और $b$ में कौन बड़ा है: दीर्घवृत्त $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ में अगर $a > b$, तो major axis X-axis पर है, foci $(\pm c, 0)$ पर हैं। अगर $b > a$, तो major axis Y-axis पर है — और foci $(0, \pm c)$ पर जाते हैं। बिना check किए मत लिखो।

• Shifted conic में केंद्र गलत पढ़ना: $(x-2)^2/9 + (y-1)^2/4 = 1$ में केंद्र $(2, 1)$ है, $(-2, -1)$ नहीं। Sign directly copy करने की गलती।

• General form से केंद्र निकालना: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ में केंद्र $(-g, -f)$ है। $g$ और $f$ का sign उलटा लेना बहुत common गलती है।

• Tangency condition को curve पर रहने की शर्त समझना: $c = a/m$ tangency की शर्त है (line parabola को सिर्फ एक point पर touch करे)। यह intersection की शर्त नहीं है। अगर $c \neq a/m$, तो line secant या non-intersecting होगी।

• Collinearity में determinant calculate करने लगना: जब AP pattern दिखे, determinant की ज़रूरत नहीं। Midpoint argument से सीधे conclude करो — calculation में समय बर्बाद मत करो।

संबंधित विषय

• straight lines
• circles
• parabola
• ellipse
• hyperbola
• conic sections

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