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NDA गणित — प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometry) सम्पूर्ण अध्ययन

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अवधारणा

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वे फलन हैं जो किसी त्रिकोणमितीय अनुपात की value दी जाए, तो कोण वापस देते हैं। जैसे sin 30° = 1/2 — यहाँ sin एक ratio से कोण की तरफ़ जाता है, उलटा। sin⁻¹(1/2) = π/6 — यह उलटी दिशा में जाना है।

पर एक समस्या है। sin का graph बार-बार repeat होता है — इसलिए एक ratio के लिए अनंत कोण संभव हैं। sin(π/6) = sin(5π/6) = sin(13π/6) = 1/2 — सबका मान एक ही। तो प्रतिलोम फलन को "एकार्थी" (one-to-one) बनाने के लिए हमें एक सीमित range चुननी पड़ती है जिसे मुख्य मान शाखा (Principal Value Branch) कहते हैं।

यह बिल्कुल वैसा ही है जैसे शहर में एकतरफ़ा सड़कें — sin के graph की वह पट्टी जो न घूमे, न पलटे, सीधे चले।

NDA में यह topic क्यों ज़रूरी है: हर साल 2-4 प्रश्न सीधे इसी पर आते हैं, और ये प्रश्न formula-based हैं — रटने का नहीं, समझने का मौका है। जो student मूल सर्वसमिकाएँ याद कर ले, वह 2 मिनट में 3 अंक पक्के कर सकता है।

गहन विश्लेषण

मुख्य मान — Domain और Range

यह table कंठस्थ करो। परीक्षा में इसके बिना काम नहीं चलेगा:

| फलन | Domain | Range (मुख्य मान शाखा) | |---|---|---| | sin⁻¹x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] | | cos⁻¹x | [-1, 1] | [0, π] | | tan⁻¹x | (-∞, ∞) | (-π/2, π/2) | | cosec⁻¹x | (-∞,-1] ∪ [1,∞) | [-π/2, π/2] \ {0} | | sec⁻¹x | (-∞,-1] ∪ [1,∞) | [0, π] \ {π/2} | | cot⁻¹x | (-∞, ∞) | (0, π) |

NDA के लिए सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹।

पूरक सर्वसमिकाएँ (Complementary Identities)

ये सबसे शक्तिशाली हैं और NDA में बार-बार use होती हैं:

sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2,x∈[−1,1]\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1, 1]

tan⁡−1x+cot⁡−1x=π2,x∈R\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}

sec⁡−1x+csc⁡−1x=π2,∣x∣≥1\sec^{-1}x + \csc^{-1}x = \frac{\pi}{2}, \quad |x| \geq 1

विशेष महत्वपूर्ण:

tan⁡−1x+tan⁡−1(1x)={π2यदि x>0−π2यदि x<0\tan^{-1}x + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{यदि } x > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{यदि } x < 0 \end{cases}

यह identity NDA 2025 में सीधे आई — नीचे PYQ में देखो।

tan⁻¹ के योग-अंतर सूत्र

ये सूत्र NDA में सबसे ज़्यादा useful हैं:

tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1(x+y1−xy),xy<1\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right), \quad xy < 1

tan⁡−1x−tan⁡−1y=tan⁡−1(x−y1+xy),xy>−1\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right), \quad xy > -1

सावधानी: जब xy > 1 और दोनों x, y > 0 हों, तो: tan⁡−1x+tan⁡−1y=π+tan⁡−1(x+y1−xy)\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)

और जब xy > 1 और दोनों x, y < 0 हों, तो: tan⁡−1x+tan⁡−1y=−π+tan⁡−1(x+y1−xy)\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)

NDA में 90% सवाल xy < 1 वाले आते हैं — condition check करना मत भूलो, पर panic भी मत करो।

ऋणात्मक arguments के लिए नियम (Negative Argument Rules)

sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x

देखो — sin⁻¹ और tan⁻¹ विषम फलन (odd functions) हैं, पर cos⁻¹ नहीं। यह गलती परीक्षा में बहुत होती है।

व्युत्क्रम रूपांतरण (Reciprocal Conversions)

sin⁡−1x=cos⁡−11−x2=tan⁡−1(x1−x2),x∈[0,1]\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2} = \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right), \quad x \in [0,1]

cos⁡−1x=sin⁡−11−x2=tan⁡−1(1−x2x),x∈(0,1]\cos^{-1}x = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2} = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right), \quad x \in (0,1]

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patterntan⁻¹(k) + tan⁻¹(1/k) — तुरंत पहचानो

जब भी tan⁻¹(k) + tan⁻¹(1/k) दिखे, बस sign देखो।

  • k > 0 → उत्तर π/2
  • k < 0 → उत्तर -π/2 Formula apply करने की ज़रूरत नहीं। सीधे sign check करो और लिख दो। सामान्य तरीका: formula लगाओ, 1 - k·(1/k) = 0 देखो, L'Hopital या limit लो — 60 सेकंड। इस shortcut से: k का sign देखो, उत्तर लिखो — 5 सेकंड।
substitutionsin⁻¹x = cos⁻¹x — सीधा हल

sin⁻¹x = cos⁻¹x type के सवाल में सीधे complementary identity use करो। sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 (यह हमेशा सत्य है) अब अगर sin⁻¹x = cos⁻¹x = θ (दोनों बराबर), तो: θ + θ = π/2 → θ = π/4 → x = sin(π/4) = 1/√2 सामान्य तरीका: दोनों को cos और sin में convert करो, equation solve करो — 90 सेकंड। इस shortcut से: 2θ = π/2 लिखो, x निकालो — 15 सेकंड।

patterntan⁻¹(a/b) − tan⁻¹((a−b)/(a+b)) — 1 पहचान

यह expression हमेशा π/4 देता है — proof के बिना याद रखो, पर समझकर। tan⁻¹(a/b) − tan⁻¹((a−b)/(a+b)) अंतर-सूत्र से: tan⁻¹[(x−y)/(1+xy)] जहाँ x = a/b, y = (a−b)/(a+b)। Numerator और denominator दोनों में (a²+b²)/[b(a+b)] आता है — ratio 1 बनता है। tan⁻¹(1) = π/4। इसे पहचानते ही उत्तर लिखो: 8 सेकंड। Formula से calculate करने में: 3 मिनट।

substitutiontan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = π/4 — k निकालना

tan⁻¹k + tan⁻¹(1/2) = π/4 जैसे सवाल में: tan⁻¹k = π/4 − tan⁻¹(1/2) दोनों sides का tan लो: k = tan(π/4 − tan⁻¹(1/2)) = (1 − 1/2)/(1 + 1·1/2) = (1/2)/(3/2) = 1/3 यह 2-step substitution है। सामान्य तरीका (cross-multiply, quadratic) की तुलना में: 3 steps कम, 45 सेकंड की बचत।

patterncos⁻¹(−x) का trap — odd नहीं है

sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x — यह याद है? अच्छा। पर cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x — यह अलग है। Trick: "sin और tan विषम (odd) हैं, cos नहीं।" जब भी negative argument दिखे — पहले यह check करो। एक गलत sign से option बदल जाता है। यह trap NDA में हर साल किसी न किसी प्रश्न में छुपा होता है।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में प्रतिलोम त्रिकोणमिति का प्रश्न देखते ही यह क्रम follow करो:

Step 1 — Expression की पहचान करो:

Step 2 — Condition check करो:

Step 3 — Negative argument देखो:

Step 4 — Equation solve करनी है?

Domain और range का violation हो रहा है क्या — यह हमेशा अंत में check करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह NDA 2025 का प्रश्न है जो tan⁻¹k + tan⁻¹(1/k) की core identity को test करता है। Roots की positivity समझना ज़रूरी है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025
If k is a root of x² - 4x + 1 = 0, then what is tan⁻¹k + tan⁻¹(1/k) equal to?
  1. -π/2
  2. 0
  3. π/4
  4. π/2
Solutionसमाधान
The roots of x² - 4x + 1 = 0 are 2±√3, both positive. For any k > 0, tan⁻¹k + tan⁻¹(1/k) = π/2.

समाधान का रास्ता:

  1. x² − 4x + 1 = 0 के roots: x = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3। दोनों positive हैं (2 − √3 ≈ 0.27 > 0)।
  2. k > 0 है, इसलिए tan⁻¹k + tan⁻¹(1/k) = π/2।
  3. उत्तर: π/2। Formula की ज़रूरत नहीं — बस roots की positivity confirm करो।

क्यों यह प्रश्न: यह NDA 2025 का प्रश्न tan⁻¹ के subtraction को समझता है — π/4 से tan⁻¹(1/2) घटाकर k निकालना।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025
If tan⁻¹k + tan⁻¹(1/2) = π/4, then what is the value of k?
  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
Solutionसमाधान
tan⁻¹k = π/4 - tan⁻¹(1/2). Taking tan: k = (1 - 1/2)/(1 + 1·1/2) = (1/2)/(3/2) = 1/3.

समाधान का रास्ता:

  1. tan⁻¹k = π/4 − tan⁻¹(1/2)
  2. दोनों sides tan लो: k = tan(π/4 − tan⁻¹(1/2))
  3. अंतर-सूत्र: k = (tan(π/4) − 1/2)/(1 + tan(π/4)·1/2) = (1 − 1/2)/(1 + 1/2) = (1/2)/(3/2) = 1/3
  4. उत्तर: k = 1/3।

क्यों यह प्रश्न: NDA 2024 का यह प्रश्न complementary identity sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 की सीधी application है। Elegant और fast।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
If cos⁻¹x = sin⁻¹x, then which one of the following is correct?
  1. x = 1
  2. x = 1/2
  3. x = 1/√2
  4. x = 1/√3
Solutionसमाधान
cos⁻¹x + sin⁻¹x = π/2 for all x ∈ [–1, 1]. If cos⁻¹x = sin⁻¹x, then 2sin⁻¹x = π/2, so sin⁻¹x = π/4, giving x = sin(π/4) = 1/√2.

समाधान का रास्ता:

  1. मान लो cos⁻¹x = sin⁻¹x = θ
  2. sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 (identity) → θ + θ = π/2 → θ = π/4
  3. sin⁻¹x = π/4 → x = sin(π/4) = 1/√2
  4. उत्तर: x = 1/√2।

क्यों यह प्रश्न: NDA 2024 का यह algebraic manipulation वाला प्रश्न tan⁻¹ अंतर-सूत्र की mastery test करता है। Step-by-step algebra ज़रूरी है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
What is tan⁻¹(a/b) – tan⁻¹((a–b)/(a+b)) equal to?
  1. –π/4
  2. π/4
  3. tan⁻¹((a²–b²)/(a²+b²))
  4. tan⁻¹(2ab/(a²+b²))
Solutionसमाधान
Using tan⁻¹x – tan⁻¹y = tan⁻¹((x–y)/(1+xy)): x = a/b, y = (a–b)/(a+b). x – y = a/b – (a–b)/(a+b) = [a(a+b) – b(a–b)]/[b(a+b)] = (a² + ab – ab + b²)/[b(a+b)] = (a²+b²)/[b(a+b)]. 1 + xy = 1 + (a/b)(a–b)/(a+b) = [b(a+b) + a(a–b)]/[b(a+b)] = (ab + b² + a² – ab)/[b(a+b)] = (a²+b²)/[b(a+b)]. So (x–y)/(1+xy) = 1, hence tan⁻¹(1) = π/4.

समाधान का रास्ता:

  1. tan⁻¹(a/b) − tan⁻¹((a−b)/(a+b)) में x = a/b, y = (a−b)/(a+b) रखो।
  2. Numerator: x − y = a/b − (a−b)/(a+b) = [a(a+b) − b(a−b)] / [b(a+b)] = (a² + b²)/[b(a+b)]
  3. Denominator: 1 + xy = 1 + (a/b)·(a−b)/(a+b) = [b(a+b) + a(a−b)] / [b(a+b)] = (a² + b²)/[b(a+b)]
  4. (x−y)/(1+xy) = 1 → tan⁻¹(1) = π/4
  5. उत्तर: π/4।

आम गलतियाँ

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