RBI ग्रेड B के लिए द्विघात समीकरण — मूल, विविक्तकर और गुणनखंड विधि

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अवधारणा

द्विघात समीकरण वह बीजगणितीय समीकरण है जिसमें चर (variable) की अधिकतम घात 2 होती है। इसका मानक रूप है:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{जहाँ } a \neq 0$

इसे एक उपमा से समझो — मान लो तुम एक ऐसे मैदान की लंबाई और चौड़ाई ढूँढ रहे हो जिसका क्षेत्रफल तुम्हें पता है। यदि लंबाई = $x$ और चौड़ाई = $(x-3)$ , और क्षेत्रफल = 10 है, तो समीकरण बनती है $x(x-3) = 10$ , यानी $x^2 - 3x - 10 = 0$ । यह द्विघात समीकरण है।

हर द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल (roots) होते हैं — इन्हें $\alpha$ और $\beta$ से दर्शाते हैं। ये मूल वास्तविक भी हो सकते हैं, काल्पनिक भी, और बराबर भी।

RBI Grade B में द्विघात समीकरण तीन रूपों में आती है:

सीधे मूल निकालो — x² - 6x + 8 = 0 जैसे simple गुणनखंड प्रश्न
शर्त-आधारित — "समान मूल के लिए k का मान क्या होगा?" — यहाँ विविक्तकर की शर्त लगती है
word problem में छुपी — "दो क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 168 है" — पहले equation बनाओ, फिर हल करो

तीनों प्रकार अलग-अलग approach माँगते हैं। जो छात्र सिर्फ quadratic formula रटते हैं, वे हर प्रश्न में 60-90 सेकंड लगाते हैं। जो Sum-Product और गुणनखंड की logic समझते हैं, वे 15-25 सेकंड में हल कर देते हैं।

गहन विश्लेषण

मूलों का योग और गुणनफल — Vieta के सूत्र

यह वह tool है जो RBI Grade B में सबसे ज़्यादा काम आता है। समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हों, तो:

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$

इसे याद करने की ज़रूरत नहीं — इसे derive करो। अगर $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं, तो समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है:

$a(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ $a[x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta] = 0$ $ax^2 - a(\alpha+\beta)x + a\alpha\beta = 0$

मानक रूप से compare करने पर: $b = -a(\alpha+\beta)$ , इसलिए $\alpha+\beta = -b/a$ । और $c = a\alpha\beta$ , इसलिए $\alpha\beta = c/a$ ।

गुणनखंड (Factorisation) — Sum-Product Logic

$x^2 + bx + c = 0$ जब $a=1$ हो, तो दो संख्याएँ ढूँढो जिनका योग $b$ हो और गुणनफल $c$ हो।

उदाहरण: $x^2 - 6x + 8 = 0$

योग चाहिए: $-6$ , गुणनफल चाहिए: $+8$
संख्याएँ: $-2$ और $-4$ (क्योंकि $-2 + (-4) = -6$ और $(-2)(-4) = +8$ )
गुणनखंड: $(x-2)(x-4) = 0$
मूल: $x = 2$ या $x = 4$

जब $a \neq 1$ हो, तो $ac$ का गुणनफल और $b$ का योग वाली जोड़ी ढूँढो:

उदाहरण: $6x^2 - 13x + 6 = 0$

$ac = 6 \times 6 = 36$ , और योग चाहिए $-13$
जोड़ी: $-4$ और $-9$ (क्योंकि $(-4)(-9)=36$ और $-4+(-9)=-13$ )
Split करो: $6x^2 - 4x - 9x + 6 = 0$
$2x(3x-2) - 3(3x-2) = 0$
$(2x-3)(3x-2) = 0$
मूल: $x = 3/2$ या $x = 2/3$

विविक्तकर (Discriminant) — $D = b^2 - 4ac$

यह वह lens है जो बिना हल किए बताता है कि मूलों की प्रकृति क्या होगी:

| $D$ का मान | मूलों की प्रकृति | |---|---| | $D > 0$ | दो अलग वास्तविक मूल | | $D = 0$ | दो बराबर वास्तविक मूल | | $D < 0$ | कोई वास्तविक मूल नहीं (काल्पनिक मूल) |

RBI Grade B में अक्सर पूछा जाता है: "k का वह मान जिसके लिए मूल बराबर हों" — सीधे $D = 0$ लगाओ।

$\alpha^3 + \beta^3$ और उच्च घात के expressions

जब $\alpha$ और $\beta$ दिए हों और $\alpha^3 + \beta^3$ पूछा जाए, तो यह identity काम आती है:

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

और $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

इन्हें याद रखो — quadratic formula से $\alpha$ और $\beta$ के individual values निकालकर cube करना मूर्खता है।

Quadratic Formula — कब use करें?

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

सच कहूँ तो: RBI Grade B के 90% प्रश्नों में गुणनखंड विधि ही काफी है। Quadratic formula तभी लो जब गुणनखंड 30 सेकंड में नहीं दिख रहा हो। यह formula backup है, primary tool नहीं।

Word Problems में Equation कैसे बनाएँ

तीन common patterns:

Pattern 1 — क्रमागत संख्याएँ:

क्रमागत विषम/सम: $x$ और $x+2$
इनके वर्गों का योग = $k$ → $x^2 + (x+2)^2 = k$

Pattern 2 — संख्या और उसका व्युत्क्रम:

$x + \frac{1}{x} = k$ → दोनों तरफ $x$ से गुणा करो → $x^2 - kx + 1 = 0$

Pattern 3 — क्षेत्रफल/गुणनफल:

दो numbers जिनका product $= p$ और sum $= s$ → $t^2 - st + p = 0$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternSum-Product पहले, Formula बाद में

जब भी $x^2 + bx + c = 0$ दिखे और coefficients integer हों, तो सीधे पूछो: "कौन सी दो संख्याएँ $b$ का योग और $c$ का गुणनफल देती हैं?" इसमें 5-8 सेकंड लगते हैं। Quadratic formula apply करने में minimum 40-50 सेकंड — calculation mistake का risk अलग। उदाहरण: $x^2 - 7x + 12 = 0$ → योग $-7$ , गुणनफल $12$ → $-3$ और $-4$ → मूल: 3 और 4। Standard formula: ~45 सेकंड। Sum-Product: ~8 सेकंड।

patternVieta से उच्च घात — Individual values मत निकालो

$\alpha^3 + \beta^3$ पूछा जाए और समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ हो। गलत तरीका: $\alpha = 2, \beta = 3$ निकालो, फिर $8 + 27 = 35$ करो (लेकिन आसान numbers थे)। सही तरीका identity से: $(\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 5^3 - 3(6)(5) = 125 - 90 = 35$ । जब numbers ugly हों (जैसे $x^2 - 11x + 23 = 0$ ), यह identity 10 सेकंड में देती है जो individual calculation में 60+ सेकंड लेती। Step count: identity → 3 steps; direct calculation → 8+ steps।

eliminationDiscriminant से k की Condition — सीधे equation

जब "k के लिए समान मूल" या "कोई वास्तविक मूल नहीं" पूछें: $D = b^2 - 4ac$ लिखो, condition लगाओ, k solve करो। $kx^2 + 4x + 1 = 0$ में समान मूल → $16 - 4k = 0$ → $k = 4$ । यह 15 सेकंड का काम है। गलती वे करते हैं जो quadratic formula में $k$ रखकर roots बराबर करने की कोशिश करते हैं — उसमें 90+ सेकंड जाते हैं।

substitutionव्युत्क्रम योग — दोनों तरफ x से गुणा करो

$x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$ जैसे प्रश्न में तुरंत $x$ से multiply करो: $x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$ , या $6x^2 - 13x + 6 = 0$ । अब $ac = 36$ , और जोड़ी जिसका योग $-13$ और गुणनफल $36$ : $-4$ और $-9$ । मूल: $3/2$ और $2/3$ । जो छात्र fraction के साथ directly काम करते हैं, वे step-wise गड़बड़ाते हैं। पहले पूरी equation को integer coefficients में convert करो — 1 अतिरिक्त step लेकिन 3-4 गलतियाँ बचती हैं।

patternWord Problem में सम/विषम क्रमागत — x और x+2 pattern

"दो क्रमागत सम/विषम संख्याएँ" → हमेशा $x$ और $x+2$ लो, कभी $2n$ और $2n+2$ नहीं — वह एक extra variable बनाता है। गुणनफल $= 168$ दिया हो: $x(x+2) = 168$ → $x^2 + 2x - 168 = 0$ → योग $2$ , गुणनफल $-168$ → $14$ और $-12$ → $(x+14)(x-12) = 0$ → $x = 12$ । Standard substitution $2n$ से: 6 steps। Direct $x$ से: 4 steps। धनात्मक मूल चुनना याद रखो।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में इस decision tree को follow करो:

Step 1 — प्रश्न type पहचानो:

मूल निकालने हैं → Step 2
k की condition है → Step 4
$\alpha^n + \beta^n$ या symmetric expression है → Step 5

Step 2 — गुणनखंड ढूँढो (15 सेकंड):

$a = 1$ : सीधे Sum-Product — दो numbers जिनका योग $b$ और गुणनफल $c$
$a \neq 1$ : $ac$ का गुणनफल, $b$ का योग वाली जोड़ी ढूँढो, split और factor करो
15 सेकंड में नहीं मिला → Step 3

Step 3 — Quadratic Formula (backup): $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ — सिर्फ तब जब गुणनखंड न मिले

Step 4 — Discriminant condition:

बराबर मूल: $D = 0$ → $b^2 - 4ac = 0$ → k solve करो
वास्तविक मूल नहीं: $D < 0$ → inequality solve करो
वास्तविक अलग मूल: $D > 0$ → inequality solve करो

Step 5 — Vieta + Identity: $\alpha + \beta = -b/a$ , $\alpha\beta = c/a$ → identity लगाओ, कभी individual values मत निकालो

अंत में: Word problem में equation बनाते समय सबसे पहले variable define करो, फिर एक line में equation लिखो — directly solve मत करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: व्युत्क्रम का योग देखते ही fraction equation बनती है — इसे integer coefficients में convert करना fundamental skill है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The sum of a number and its reciprocal is 13/6. Find the number.

किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 13/6 है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

2/3 or 3/2
3/4 or 4/3
1/2 or 2
5/6 or 6/5

2/3 या 3/2
3/4 या 4/3
1/2 या 2
5/6 या 6/5

Solutionसमाधान

Let the number be x. Then x + 1/x = 13/6. Multiplying by x: x² + 1 = 13x/6. Rearranging: 6x² + 6 = 13x, or 6x² - 13x + 6 = 0. Factoring: (2x - 3)(3x - 2) = 0. Therefore, x = 3/2 or x = 2/3.

माना संख्या x है। तब x + 1/x = 13/6। x से गुणा करने पर: x² + 1 = 13x/6। पुनर्व्यवस्थित करने पर: 6x² + 6 = 13x, या 6x² - 13x + 6 = 0। गुणनखंड करने पर: (2x - 3)(3x - 2) = 0। अतः x = 3/2 या x = 2/3।

समाधान का रास्ता: माना संख्या $x$ है। $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$ → $x$ से multiply करो → $6x^2 - 13x + 6 = 0$ → $ac = 36$ , जोड़ी: $-4$ और $-9$ → $(2x-3)(3x-2) = 0$ → $x = \frac{3}{2}$ या $x = \frac{2}{3}$ ।

क्यों यह प्रश्न: यह सबसे basic गुणनखंड pattern है — Sum-Product की speed यहाँ सबसे साफ दिखती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The roots of the equation x² - 6x + 8 = 0 are:

समीकरण x² - 6x + 8 = 0 के मूल हैं:

2, 4
1, 8
3, 3
-2, -4

2, 4
1, 8
3, 3
-2, -4

Solutionसमाधान

Using factorization: x² - 6x + 8 = 0 can be written as (x-2)(x-4) = 0. Therefore, x = 2 or x = 4. We can verify: 2 + 4 = 6 (sum of roots) and 2 × 4 = 8 (product of roots).

गुणनखंड का उपयोग करते हुए: x² - 6x + 8 = 0 को (x-2)(x-4) = 0 लिखा जा सकता है। अतः x = 2 या x = 4। हम सत्यापित कर सकते हैं: 2 + 4 = 6 (मूलों का योग) और 2 × 4 = 8 (मूलों का गुणनफल)।

समाधान का रास्ता: $x^2 - 6x + 8 = 0$ → योग $-6$ , गुणनफल $+8$ → $-2$ और $-4$ → $(x-2)(x-4) = 0$ → मूल: 2 और 4। Verification: $2+4=6$ ✓, $2 \times 4 = 8$ ✓।

क्यों यह प्रश्न: Word problem में equation setup करना — यह वह step है जहाँ 60% गलतियाँ होती हैं, हल में नहीं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The sum of squares of two consecutive odd numbers is 130. Find the smaller number.

दो क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग 130 है। छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

Let the numbers be x and x+2. Then x² + (x+2)² = 130. Expanding: x² + x² + 4x + 4 = 130, so 2x² + 4x - 126 = 0, or x² + 2x - 63 = 0. Solving: (x+9)(x-7) = 0, so x = 7 or x = -9. Taking positive value, x = 7.

माना संख्याएं x और x+2 हैं। तब x² + (x+2)² = 130। विस्तार करने पर: x² + x² + 4x + 4 = 130, अतः 2x² + 4x - 126 = 0, या x² + 2x - 63 = 0। हल करने पर: (x+9)(x-7) = 0, अतः x = 7 या x = -9। धनात्मक मान लेने पर, x = 7।

समाधान का रास्ता: माना संख्याएँ $x$ और $x+2$ हों। $x^2 + (x+2)^2 = 130$ → $2x^2 + 4x + 4 = 130$ → $x^2 + 2x - 63 = 0$ → योग $2$ , गुणनफल $-63$ → $9$ और $-7$ → $(x+9)(x-7) = 0$ → $x = 7$ (धनात्मक मान)।

क्यों यह प्रश्न: Discriminant की condition — यह type RBI Grade B में बार-बार आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

For what value of k will the equation kx² + 4x + 1 = 0 have equal roots?

k के किस मान के लिए समीकरण kx² + 4x + 1 = 0 के मूल बराबर होंगे?

Solutionसमाधान

For equal roots, discriminant = 0. Here, b² - 4ac = 0, so 4² - 4(k)(1) = 0. This gives 16 - 4k = 0, therefore k = 4.

समान मूलों के लिए, विविक्तकर = 0। यहां, b² - 4ac = 0, अतः 4² - 4(k)(1) = 0। इससे 16 - 4k = 0, अतः k = 4।

समाधान का रास्ता: समान मूल → $D = 0$ → $b^2 - 4ac = 0$ → $4^2 - 4(k)(1) = 0$ → $16 = 4k$ → $k = 4$ ।

क्यों यह प्रश्न: Vieta formulas का सबसे elegant application — $\alpha^3 + \beta^3$ identity बिना individual values के।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If α and β are roots of x² - 5x + 6 = 0, find the value of α³ + β³.

यदि α और β समीकरण x² - 5x + 6 = 0 के मूल हैं, तो α³ + β³ का मान ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

From the equation, α + β = 5 and αβ = 6. We know α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α + β) = 5³ - 3(6)(5) = 125 - 90 = 35.

समीकरण से, α + β = 5 और αβ = 6। हम जानते हैं α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α + β) = 5³ - 3(6)(5) = 125 - 90 = 35।

समाधान का रास्ता: $x^2 - 5x + 6 = 0$ से $\alpha + \beta = 5$ , $\alpha\beta = 6$ । Identity: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 125 - 90 = 35$ ।

आम गलतियाँ

Discriminant में $b$ का sign भूलना: $3x^2 - 2x + k = 0$ में $b = -2$ है, इसलिए $b^2 = (-2)^2 = 4$ , न कि $-4$ । $D = 4 - 12k$ है। जो छात्र directly $2^2 = 4$ लिखते हैं वे सही answer देते हैं, पर जो $b = 2$ मान लेते हैं और sign-sensitive problems में फँसते हैं, वे गलत करते हैं।
Word problem में ऋणात्मक मूल स्वीकार करना: "दो क्रमागत सम संख्याएँ" — यदि equation $(x+14)(x-12) = 0$ दे, तो $x = -14$ को ignore करो। संख्याएँ धनात्मक माँगी गई हैं। यह सबसे common mark-खोने वाली गलती है।
$a=1$ न होने पर Sum-Product सीधे लगाना: $6x^2 - 13x + 6 = 0$ में सीधे $b = -13$ और $c = 6$ की जोड़ी ढूँढना गलत है। $a \neq 1$ होने पर $ac$ का गुणनफल और $b$ का योग use करो।
$\alpha^3 + \beta^3$ के लिए individual values निकालना: समय की बर्बादी और calculation error का risk। Identity हमेशा तेज़ और safe है।
"कोई वास्तविक मूल नहीं" की condition: $D < 0$ है, $D \leq 0$ नहीं। $D = 0$ पर बराबर वास्तविक मूल होते हैं। Inequality लिखते समय strict < use करो।
व्युत्क्रम प्रश्न में $x = 0$ consider करना: $x + \frac{1}{x} = k$ में $x = 0$ हो ही नहीं सकता (व्युत्क्रम undefined)। गुणनखंड के बाद $x = 0$ जैसा कोई मूल valid नहीं है।

RBI ग्रेड B के लिए द्विघात समीकरण — मूल, विविक्तकर और गुणनखंड विधि

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूलों का योग और गुणनफल — Vieta के सूत्र

गुणनखंड (Factorisation) — Sum-Product Logic

विविक्तकर (Discriminant) — $D = b^2 - 4ac$

$\alpha^3 + \beta^3$ और उच्च घात के expressions

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गुणनखंड (Factorisation) — Sum-Product Logic

विविक्तकर (Discriminant) — D=b2−4acD = b^2 - 4acD=b2−4ac

α3+β3\alpha^3 + \beta^3α3+β3 और उच्च घात के expressions

Quadratic Formula — कब use करें?

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विविक्तकर (Discriminant) — $D = b^2 - 4ac$

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