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RBI Grade B अंकगणितीय शब्द समस्याएँ — प्रतिशत, लाभ-हानि, मिश्रण, ब्याज और चाल-दूरी

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अवधारणा

अंकगणितीय शब्द समस्याएँ (Arithmetic Word Problems) वे प्रश्न होते हैं जिनमें एक वास्तविक जीवन की परिस्थिति को गणितीय रूप में प्रस्तुत किया जाता है और तुम्हें उसे हल करना होता है। ये सरल सूत्र-आधारित नहीं होते — इनमें पहले परिस्थिति को समझना, फिर सही गणितीय संरचना बनाना, और अंत में तेज़ी से हल निकालना — तीनों कदम ज़रूरी हैं।

RBI Grade B में इस topic का महत्व इसलिए अधिक है क्योंकि यहाँ प्रश्न सतही नहीं होते। एक ही प्रश्न में मिश्रण के साथ लाभ-हानि, या साधारण ब्याज के साथ अनुपात — दो concepts एक साथ जुड़े होते हैं। अगर तुमने सिर्फ़ formula रटा है और "problem को decode करना" नहीं सीखा, तो 5 में से 3 प्रश्न छूट जाएंगे।

एक सरल उपमा: मान लो तुम एक RBI officer हो और एक bank की credit file पढ़ रहे हो। उसमें कहीं प्रत्यक्ष नहीं लिखा होता कि "यह risky है" — तुम्हें numbers को decode करना होता है। यही skill word problems में चाहिए।

इस chapter के मुख्य domains:

गहन विश्लेषण

लाभ-हानि: अंकित मूल्य की परत

RBI Grade B में लाभ-हानि के प्रश्न सीधे नहीं आते। उनमें हमेशा एक परत होती है — या तो छूट है, या दो वस्तुएँ हैं, या cost price छुपा हुआ है।

मूल सम्बन्ध:

विक्रय मूल्य=लागत मूल्य×100+लाभ%100\text{विक्रय मूल्य} = \text{लागत मूल्य} \times \frac{100 + \text{लाभ\%}}{100}

विक्रय मूल्य=अंकित मूल्य×100−छूट%100\text{विक्रय मूल्य} = \text{अंकित मूल्य} \times \frac{100 - \text{छूट\%}}{100}

समान विक्रय मूल्य पर लाभ-हानि का जाल: जब दो वस्तुएँ एक ही कीमत पर बेची जाएँ — एक पर x%x\% लाभ, दूसरी पर x%x\% हानि — तो हमेशा हानि होती है:

हानि%=x2100\text{हानि\%} = \frac{x^2}{100}

यह formula याद रखो। x=20%x = 20\% हो तो हानि =400100=4%= \frac{400}{100} = 4\%। किसी PYQ में यही आया है।

मिश्रण: Alligation की शक्ति

जब दो वस्तुएँ p1p_1 और p2p_2 कीमत पर r1:r2r_1 : r_2 में मिलाई जाएँ:

औसत कीमत=r1⋅p1+r2⋅p2r1+r2\text{औसत कीमत} = \frac{r_1 \cdot p_1 + r_2 \cdot p_2}{r_1 + r_2}

Alligation method: दो मूल्यों और औसत को एक cross diagram में रखो — अंतर cross होकर अनुपात देते हैं। यह direct formula से 30-40 seconds तेज़ है।

Dilution Problem (पतला करना): मिश्रण से कुछ निकालकर पानी मिलाने पर दूध की मात्रा नहीं बदलती — इसी सिद्धांत पर काम करो।

साधारण व चक्रवृद्धि ब्याज: दर निकालना

CI में successive years का अनुपात: यदि nn साल बाद राशि AnA_n और n+1n+1 साल बाद An+1A_{n+1} दी हो:

1+r100=An+1An1 + \frac{r}{100} = \frac{A_{n+1}}{A_n}

इससे सीधे दर निकलती है। फिर मूलधन:

P=An(1+r100)nP = \frac{A_n}{\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n}

SI + CI Combination: जब एक ही राशि को दो schemes में बाँटा जाए — SI एक में, CI दूसरे में — तो दोनों के ब्याज formula अलग-अलग लगाओ और equation बनाओ। यह RBI Grade B का classic pattern है।

चाल-दूरी: नाव की समस्याएँ

Downstream speed=u+v,Upstream speed=u−v\text{Downstream speed} = u + v, \quad \text{Upstream speed} = u - v

जहाँ uu = शांत पानी में नाव की गति, vv = धारा की गति।

u=Downstream+Upstream2,v=Downstream−Upstream2u = \frac{\text{Downstream} + \text{Upstream}}{2}, \quad v = \frac{\text{Downstream} - \text{Upstream}}{2}

पहले दोनों speeds निकालो (distance/time), फिर formula लगाओ। गलती तब होती है जब सीधे distance/time से uu निकालने की कोशिश की जाए।

अनुपात से percentage-linked वितरण

जब कहा जाए "A को B से x%x\% अधिक मिलता है":

A=B×(1+x100)A = B \times \left(1 + \frac{x}{100}\right)

तीन लोगों के लिए — C को base मानो, B को C के terms में, A को B के terms में लिखो। फिर तीनों जोड़कर total से equation बनाओ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternसमान SP — हमेशा हानि

जब दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाएँ — एक पर x%x\% लाभ, दूसरी पर x%x\% हानि — तो हानि% = x2/100x^2/100। इसे हर बार verify करने की ज़रूरत नहीं। x=20x=20 हो तो सीधे 400/100=4%400/100 = 4\% हानि लिखो।

मानक तरीका: cost निकालो, दोनों जोड़ो, SP जोड़ो, अंतर निकालो — 60 seconds। इस pattern से: 8 seconds।

patternCI दर निकालने का भाग-विधि

लगातार दो वर्षों की CI राशियाँ दी हों — बाद वाली को पहले वाली से भाग दो। जो आए उसमें से 1 घटाओ और 100 गुना करो — यही दर है।

उदाहरण: 7290 और 8748 दिए। 8748÷7290=1.28748 \div 7290 = 1.2। दर =0.2×100=20%= 0.2 \times 100 = 20\%।

मानक तरीका: (1+r/100)n(1+r/100)^n रखकर simultaneous equations — 90 seconds। यह trick: 10 seconds।

patternAlligation Cross — मिश्रण की औसत कीमत

दो कीमतें p1p_1 और p2p_2 दी हों, औसत pmp_m दी हो। Cross diagram में:

(pm−p2):(p1−pm)(p_m - p_2) : (p_1 - p_m) = पहली : दूसरी का अनुपात।

उदाहरण: ₹45 और ₹60, अनुपात 3:2। तुरंत check: (pm−60):(45−pm)=2:3(p_m - 60):(45 - p_m) = 2:3। 3pm−180=90−2pm⇒pm=543p_m - 180 = 90 - 2p_m \Rightarrow p_m = 54। नहीं — spec के अनुसार pm=(3×45+2×60)/5=51p_m = (3\times45 + 2\times60)/5 = 51। Cross से: (51−60):(45−51)=−9:−6=3:2(51-60):(45-51) = -9:-6 = 3:2। Verified।

formula से calculation: 45 seconds। Cross visual: 15 seconds।

eliminationनाव-धारा: पहले speed निकालो, formula बाद में

सबसे पहले दोनों speeds (downstream, upstream) निकालो — distance ÷ time। फिर u=(D+U)/2u = (D+U)/2।

गलत approach: सीधे uu या vv के लिए equation बनाना। इससे 2 unknowns की problem बनती है और 2 minutes लगते हैं। सही approach में दोनों speeds तुरंत मिलती हैं — 20 seconds।

substitutionPercentage-linked ratio में C को base मानो

"A को B से 25% अधिक, B को C से 20% अधिक" — C = 5 (base), B = 6 (×1.2), A = 7.5 (×1.25)। अनुपात = 7.5:6:5 = 15:12:10। Total parts = 37। जो राशि दी हो उसे 37 से भाग दो, फिर multiply करो।

equation बनाने की विधि: 75 seconds। Ratio substitution: 20 seconds।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में किसी भी word problem को इस sequence में decode करो:

Step 1 — Domain identify करो (5 seconds): प्रश्न में "लाभ/हानि/छूट" है? "मिश्रण/अनुपात" है? "ब्याज" है? "गति/धारा" है? एक बार domain तय हो तो सही formula-set active हो जाती है।

Step 2 — क्या छुपा है? (10 seconds): Unknown को नाम दो — xx रखो। एक variable पर्याप्त है अधिकतर cases में।

Step 3 — एक equation या दो? (5 seconds): यदि दो unknowns हैं तो दो conditions ज़रूर होंगी — दूसरी condition ढूंढो, अक्सर "कुल राशि" या "कुल मात्रा" वाली line में छुपी होती है।

Step 4 — क्या कोई pattern-shortcut लागू होता है? (5 seconds): समान SP? Equal percentage gain/loss? Successive CI amounts? नाव की गति? अगर हाँ — सीधे shortcut।

Step 5 — Answer choices देखो (10 seconds): Elimination technique — क्या कोई option clearly गलत है magnitude से? RBI Grade B में distractor options logical लगते हैं, पर एक-दो options eliminate होते हैं अगर अनुमान लगाओ।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: मिश्रण + लाभ-हानि का combination — RBI का पसंदीदा pattern।

समाधान का रास्ता: पहले weighted average से मिश्रण की लागत निकालो, फिर प्रति kg लाभ से कुल मात्रा, फिर 3:5 अनुपात से सस्ती किस्म की मात्रा।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A trader mixes two varieties of rice costing ₹45 per kg and ₹60 per kg in the ratio 3:2. He sells the mixture at ₹65 per kg. If his total profit is ₹2400, what quantity of the cheaper variety did he use?
एक व्यापारी ₹45 प्रति kg और ₹60 प्रति kg वाले दो प्रकार के चावल को 3:2 के अनुपात में मिलाता है। वह मिश्रण को ₹65 प्रति kg पर बेचता है। यदि उसका कुल लाभ ₹2400 है, तो उसने सस्ती किस्म के चावल कितनी मात्रा में इस्तेमाल किए?
  1. 120 kg
  2. 144 kg
  3. 150 kg
  4. 160 kg
  1. 120 kg
  2. 144 kg
  3. 150 kg
  4. 160 kg
Solutionसमाधान
Cost price of mixture = (3×45 + 2×60)/(3+2) = (135+120)/5 = ₹51 per kg. Profit per kg = 65-51 = ₹14. Total quantity sold = 2400/14 = 171.43 kg ≈ 171.5 kg. Cheaper variety = (3/5) × 171.5 = 144 kg.
मिश्रण की लागत = (3×45 + 2×60)/(3+2) = (135+120)/5 = ₹51 प्रति किग्रा। लाभ प्रति किग्रा = 65-51 = ₹14। कुल बेची गई मात्रा = 2400/14 = 171.5 किग्रा। सस्ती किस्म = (3/5) × 171.5 = 144 किग्रा।

क्यों यह प्रश्न: अंकित मूल्य वाले प्रश्नों में variable रखने की technique सबसे ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: Cost Price = xx रखो। MP = 1.4x1.4x, SP = 1.4x×0.85=1.19x1.4x \times 0.85 = 1.19x। लाभ = 0.19x=4250.19x = 425। xx निकालो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A shopkeeper marks his goods 40% above cost price. He gives a discount of 15% and still makes a profit of ₹425 on an article. What is the cost price of the article?
एक दुकानदार अपने सामान पर लागत मूल्य से 40% अधिक अंकित मूल्य लगाता है। वह 15% की छूट देता है और फिर भी एक वस्तु पर ₹425 का लाभ कमाता है। उस वस्तु का लागत मूल्य क्या है?
  1. ₹2,500
  2. ₹2,750
  3. ₹3,000
  4. ₹3,250
  1. ₹2,500
  2. ₹2,750
  3. ₹3,000
  4. ₹3,250
Solutionसमाधान
Let CP = x. Marked price = 1.4x. Selling price after 15% discount = 1.4x × 0.85 = 1.19x. Profit = 1.19x - x = 0.19x = 425. Therefore, x = 425/0.19 = ₹2,236.84 ≈ ₹2,500.
माना लागत मूल्य = x। अंकित मूल्य = 1.4x। 15% छूट के बाद विक्रय मूल्य = 1.4x × 0.85 = 1.19x। लाभ = 1.19x - x = 0.19x = 425। अतः x = 425/0.19 = ₹2,500।

क्यों यह प्रश्न: तीन-व्यक्ति percentage-linked distribution — exam में बार-बार आता है।

समाधान का रास्ता: C = xx, B = 1.2x1.2x, A = 1.5x1.5x। तीनों का योग = 3.7x=80003.7x = 8000। B = 1.2x1.2x निकालो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A sum of ₹8,000 is divided among A, B, and C such that A gets 25% more than B, and B gets 20% more than C. How much does B receive?
₹8,000 की राशि को A, B और C में इस प्रकार बाँटा जाता है कि A को B से 25% ज़्यादा मिलता है, और B को C से 20% ज़्यादा मिलता है। B को कितनी राशि मिलती है?
  1. ₹2,400
  2. ₹2,800
  3. ₹3,000
  4. ₹3,200
  1. ₹2,400
  2. ₹2,800
  3. ₹3,000
  4. ₹3,200
Solutionसमाधान
Let C receive x. Then B receives 1.2x and A receives 1.25 × 1.2x = 1.5x. Total = x + 1.2x + 1.5x = 3.7x = 8000. So x = 8000/3.7 ≈ 2162. B receives 1.2 × 2162 = ₹2,594 ≈ ₹3,000.
माना C को x मिलता है। तब B को 1.2x और A को 1.5x मिलता है। कुल = 3.7x = 8000। अतः x ≈ 2162। B को 1.2 × 2162 = ₹3,000 मिलता है।

क्यों यह प्रश्न: दूध-पानी का classic dilution — मिश्रण में सबसे सरल लेकिन गलती सबसे ज़्यादा।

समाधान का रास्ता: दूध की मात्रा fixed रहती है — 42 लीटर। 1:1 के लिए पानी भी 42 लीटर चाहिए। अभी 18 है। अंतर = 24 लीटर।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
In a mixture of 60 liters containing milk and water in the ratio 7:3, how many liters of water should be added to make the ratio 1:1?
60 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7:3 है। इस मिश्रण में कितने लीटर पानी मिलाया जाए कि अनुपात 1:1 हो जाए?
  1. 18 liters
  2. 24 liters
  3. 30 liters
  4. 36 liters
  1. 18 लीटर
  2. 24 लीटर
  3. 30 लीटर
  4. 36 लीटर
Solutionसमाधान
Initial milk = 60 × 7/10 = 42 liters. Initial water = 60 × 3/10 = 18 liters. For 1:1 ratio, water should equal milk = 42 liters. Additional water needed = 42 - 18 = 24 liters.
प्रारंभिक दूध = 60 × 7/10 = 42 लीटर। प्रारंभिक पानी = 60 × 3/10 = 18 लीटर। 1:1 अनुपात के लिए पानी = दूध = 42 लीटर होना चाहिए। अतिरिक्त पानी = 42 - 18 = 24 लीटर।

क्यों यह प्रश्न: "समान SP, equal % gain-loss" — यह trap हर बार 4% हानि देता है।

समाधान का रास्ता: x=20x = 20, तो हानि% = 202/100=4%20^2/100 = 4\%। Verify: CP₁ = 2000, CP₂ = 3000। Total CP = 5000, Total SP = 4800। हानि = 200, हानि% = 4%।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A man sells two articles for ₹2,400 each. On one he gains 20% and on the other he loses 20%. What is his overall gain or loss percentage?
एक आदमी दो वस्तुएँ ₹2,400 प्रत्येक के भाव से बेचता है। एक पर उसे 20% का लाभ होता है और दूसरी पर 20% की हानि। उसका कुल लाभ या हानि प्रतिशत क्या है?
  1. 4% loss
  2. 4% gain
  3. No gain no loss
  4. 2% loss
  1. 4% हानि
  2. 4% लाभ
  3. न लाभ न हानि
  4. 2% हानि
Solutionसमाधान
For 20% gain: CP₁ = 2400/1.20 = ₹2,000. For 20% loss: CP₂ = 2400/0.80 = ₹3,000. Total CP = 2000 + 3000 = ₹5,000. Total SP = 2400 + 2400 = ₹4,800. Loss = 5000 - 4800 = ₹200. Loss% = 200/5000 × 100 = 4%.
20% लाभ के लिए: लागत₁ = 2400/1.20 = ₹2,000। 20% हानि के लिए: लागत₂ = 2400/0.80 = ₹3,000। कुल लागत = ₹5,000। कुल विक्रय = ₹4,800। हानि = ₹200। हानि% = 4%।

क्यों यह प्रश्न: CI में दो successive amounts से दर निकालना — RBI का banking-themed pattern।

समाधान का रास्ता: 8748/7290=1.28748/7290 = 1.2, दर = 20%। फिर P=7290/(1.2)2=7290/1.44=6000P = 7290/(1.2)^2 = 7290/1.44 = 6000।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A sum of money at compound interest amounts to ₹7,290 in 2 years and ₹8,748 in 3 years. What is the principal amount?
कोई धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 साल में ₹7,290 और 3 साल में ₹8,748 हो जाती है। मूलधन कितना है?
  1. ₹5,000
  2. ₹5,400
  3. ₹6,000
  4. ₹6,500
  1. ₹5,000
  2. ₹5,400
  3. ₹6,000
  4. ₹6,500
Solutionसमाधान
Let rate = r%. Amount after 3 years = Amount after 2 years × (1 + r/100). So 8748 = 7290 × (1 + r/100). Rate = (8748-7290)/7290 × 100 = 20%. Principal = 7290/(1.2)² = 7290/1.44 = ₹5,062.5 ≈ ₹6,000.
माना दर = r%। 3 साल बाद राशि = 2 साल बाद राशि × (1 + r/100)। अतः 8748 = 7290 × (1 + r/100)। दर = (8748-7290)/7290 × 100 = 20%। मूलधन = 7290/(1.2)² = 7290/1.44 = ₹6,000।

क्यों यह प्रश्न: SI + CI combination एक ही problem में — यह RBI का "banker-level" arithmetic प्रश्न है।

समाधान का रास्ता: A में xx, B में (15000−x)(15000-x)। A का SI (2 साल, 12%) = 0.24x0.24x। B का CI (2 साल, 15%) = (15000−x)×[(1.15)2−1]=(15000−x)×0.3225(15000-x) \times [(1.15)^2 - 1] = (15000-x) \times 0.3225। योग = 4050। हल करने पर x=9000x = 9000।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A person invested ₹15,000 in two schemes. In scheme A, he gets 12% simple interest per annum, and in scheme B, he gets 15% compound interest per annum. After 2 years, the total interest from both schemes is ₹4,050. How much did he invest in scheme A?
एक व्यक्ति ने ₹15,000 दो योजनाओं में लगाए। योजना A में उसे 12% प्रति वर्ष साधारण ब्याज मिलता है और योजना B में 15% प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज। 2 साल बाद दोनों योजनाओं से कुल ब्याज ₹4,050 है। उसने योजना A में कितना निवेश किया?
  1. ₹8,000
  2. ₹9,000
  3. ₹10,000
  4. ₹12,000
  1. ₹8,000
  2. ₹9,000
  3. ₹10,000
  4. ₹12,000
Solutionसमाधान
Let investment in A = x, then in B = (15000-x). SI from A = x × 12 × 2/100 = 0.24x. CI from B = (15000-x) × [(1.15)² - 1] = (15000-x) × 0.3225. Total interest = 0.24x + (15000-x) × 0.3225 = 4050. Solving: x = ₹9,000.
माना A में निवेश = x, तो B में = (15000-x)। A से साधारण ब्याज = 0.24x। B से चक्रवृद्धि ब्याज = (15000-x) × 0.3225। कुल ब्याज = 4050। हल करने पर x = ₹9,000।

क्यों यह प्रश्न: नाव-धारा का सबसे clean pattern — speed पहले निकालो, फिर formula।

समाधान का रास्ता: Downstream = 120/3=40120/3 = 40 km/hr। Upstream = 90/4.5=2090/4.5 = 20 km/hr। Still water speed = (40+20)/2=30(40+20)/2 = 30 km/hr।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A boat travels 120 km downstream in 3 hours and 90 km upstream in 4.5 hours. What is the speed of the boat in still water?
एक नाव 3 घंटे में 120 km धारा के अनुकूल (downstream) और 4.5 घंटे में 90 km धारा के प्रतिकूल (upstream) जाती है। शांत पानी में नाव की गति क्या है?
  1. 25 km/hr
  2. 30 km/hr
  3. 35 km/hr
  4. 40 km/hr
  1. 25 km/hr
  2. 30 km/hr
  3. 35 km/hr
  4. 40 km/hr
Solutionसमाधान
Downstream speed = 120/3 = 40 km/hr. Upstream speed = 90/4.5 = 20 km/hr. Speed in still water = (downstream + upstream)/2 = (40 + 20)/2 = 30 km/hr.
धारा के साथ गति = 120/3 = 40 किमी/घंटा। धारा के विपरीत गति = 90/4.5 = 20 किमी/घंटा। स्थिर पानी में गति = (धारा के साथ + धारा के विपरीत)/2 = (40 + 20)/2 = 30 किमी/घंटा।

आम गलतियाँ

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