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RRB NTPC संख्या पद्धति — पूर्णांक, विभाज्यता, LCM-HCF और वर्ग-घन

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अवधारणा

संख्या पद्धति (Number System) वह नींव है जिस पर Quant का पूरा महल खड़ा है। RRB NTPC में इस topic से सीधे प्रश्न आते हैं — वर्ग, घन, LCM, HCF, शेषफल, और औसत। इन्हें कमज़ोर छोड़ा तो बाद में Percentage और Time-Work में भी लड़खड़ाओगे।

संख्याओं के प्रकार — एक साफ़ तस्वीर:

प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers): 1, 2, 3, 4, ... — गिनने की शुरुआत यहीं से होती है। शून्य शामिल नहीं।
पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): 0, 1, 2, 3, ... — प्राकृतिक संख्याओं में शून्य जोड़ दो।
पूर्णांक (Integers): ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... — ऋणात्मक भी शामिल।
परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers): जो $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखी जा सकें जहाँ $q \neq 0$ । जैसे $\frac{3}{4}$ , $-\frac{7}{2}$ , $5$ ।
अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers): जिनके सिर्फ़ दो गुणनखंड हों — 1 और वह स्वयं। जैसे 2, 3, 5, 7, 11, 13...

एक सरल सादृश्य: सोचो एक बड़ा डिब्बा है — पूर्ण संख्याओं का। उसके अंदर एक छोटा डिब्बा है — प्राकृतिक संख्याओं का। और उस बड़े डिब्बे के बाहर और भी बड़ा डिब्बा है — पूर्णांकों का। हर category पिछली category को अपने में समेटे हुए है।

विभाज्यता (Divisibility) का सार: किसी संख्या $a$ को $b$ से विभाजित करने पर यदि शेषफल शून्य हो, तो $a$ , $b$ से विभाज्य है। RRB NTPC में शेषफल वाले प्रश्न बार-बार आते हैं — इसलिए Euclid का Division Algorithm समझ लो: $a = bq + r$ , जहाँ $0 \leq r < b$ ।

गहन विश्लेषण

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

ये rules परीक्षा-हॉल में calculator की तरह काम करते हैं। रटो मत — समझो कि क्यों काम करते हैं।

| भाजक | नियम | उदाहरण | |------|------|---------| | 2 | अंतिम अंक सम हो | 346 — हाँ | | 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य हो | 123: 1+2+3=6 — हाँ | | 4 | अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो | 1732: 32÷4=8 — हाँ | | 5 | अंतिम अंक 0 या 5 हो | 245 — हाँ | | 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो | 612 — हाँ | | 8 | अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो | 1512: 512÷8=64 — हाँ | | 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य हो | 729: 7+2+9=18 — हाँ | | 11 | विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों के अंकों का योग = 0 या 11 का गुणज | 1331: (1+3)−(3+1)=0 — हाँ |

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) और HCF (महत्तम समापवर्तक)

अभाज्य गुणनखंडन विधि — यही सबसे तेज़ और विश्वसनीय है।

उदाहरण: 12 और 18 का LCM और HCF निकालो।

$12 = 2^2 \times 3^1$ $18 = 2^1 \times 3^2$

HCF = हर common prime factor की न्यूनतम घात = $2^1 \times 3^1 = 6$
LCM = हर prime factor की अधिकतम घात = $2^2 \times 3^2 = 36$

महत्वपूर्ण सम्बन्ध: $LCM \times HCF = a \times b$ (दो संख्याओं के लिए)

इसलिए: $36 \times 6 = 12 \times 18 = 216$ ✓

वर्ग और घन — जो याद होने चाहिए

RRB NTPC में 1 से 25 तक के वर्ग और 1 से 10 तक के घन सीधे पूछे जाते हैं।

1 से 20 तक के वर्ग:

$1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9,\ 4^2=16,\ 5^2=25$

$6^2=36,\ 7^2=49,\ 8^2=64,\ 9^2=81,\ 10^2=100$

$11^2=121,\ 12^2=144,\ 13^2=169,\ 14^2=196,\ 15^2=225$

$16^2=256,\ 17^2=289,\ 18^2=324,\ 19^2=361,\ 20^2=400$

1 से 10 तक के घन:

$1^3=1,\ 2^3=8,\ 3^3=27,\ 4^3=64,\ 5^3=125$

$6^3=216,\ 7^3=343,\ 8^3=512,\ 9^3=729,\ 10^3=1000$

पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र

$S = \frac{n(n+1)}{2}$

यह सूत्र तब काम आता है जब 1 से किसी संख्या तक का योग पूछा जाए। $n=10$ के लिए: $\frac{10 \times 11}{2} = 55$ ।

प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग:

$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग:

$S = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

शेषफल (Remainder) — Euclid की विधि

$17 = 5 \times 3 + 2$ — यहाँ भाजक 5, भाज्य 17, भागफल 3 और शेषफल 2।

याद रखो: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। अगर किसी प्रश्न में शेषफल $\geq$ भाजक आए, तो तुमने कहीं गलती की।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

pattern5 से गुणा — Half-and-Multiply

जब भी किसी संख्या को 5 से गुणा करना हो: संख्या को 2 से भाग दो और 10 से गुणा करो।

उदाहरण: $15 \times 5$

परंपरागत विधि: $15 \times 5 = 75$ (2 steps)
Shortcut: $15 \div 2 = 7.5$ , फिर $7.5 \times 10 = 75$ (1 step, mental calculation)

$348 \times 5$ : $348 \div 2 = 174$ , $174 \times 10 = 1740$

परंपरागत विधि: 45 सेकंड। Shortcut: 8 सेकंड।

substitution25% निकालना — चतुर्थांश

25% = $\frac{1}{4}$ । इसलिए किसी भी संख्या का 25% निकालने के लिए उसे 4 से भाग दो।

उदाहरण: $80$ का $25\%$

Formula विधि: $\frac{25}{100} \times 80 = 20$ (4 steps)
Shortcut: $80 \div 4 = 20$ (1 step)

$360$ का $25\%$ : $360 \div 4 = 90$ । बस।

परंपरागत विधि: 30 सेकंड। Shortcut: 5 सेकंड।

vedic5 में अंत होने वाले वर्ग — एकाधिकेन पूर्वेण

सूत्र: एकाधिकेन पूर्वेण — पहले वाले अंक को उससे एक अधिक संख्या से गुणा करो, अंत में 25 लगाओ।

उदाहरण: $15^2$

दहाई का अंक = 1, उससे एक अधिक = 2
$1 \times 2 = 2$ , अंत में 25 → उत्तर = 225

$25^2$ : $2 \times 3 = 6$ , अंत में 25 → 625

$35^2$ : $3 \times 4 = 12$ , अंत में 25 → 1225

$85^2$ : $8 \times 9 = 72$ , अंत में 25 → 7225

परंपरागत गुणा: 6 steps। यह shortcut: 2 steps। 40 सेकंड बनाम 6 सेकंड।

patternLCM जल्दी निकालना — Division Method

दो संख्याओं का LCM निकालने का सबसे तेज़ तरीका:

$LCM(a, b) = \frac{a \times b}{HCF(a, b)}$

उदाहरण: $12$ और $18$ का LCM। पहले HCF: $18 = 1 \times 12 + 6$ ; $12 = 2 \times 6 + 0$ । HCF = 6। फिर: $LCM = \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$ ।

अभाज्य गुणनखंडन की बजाय यह formula 3 संख्याओं तक के लिए 50% तेज़ है।

substitutionप्रतिशत वृद्धि से मूल संख्या — Reverse Percentage

अगर वृद्धि के बाद संख्या दी हो और मूल पूछी हो:

मूल संख्या = $\frac{\text\{वृद्धि के बाद संख्या\}}{1 + \frac{\text\{प्रतिशत\}}{100}}$

उदाहरण: 20% वृद्धि के बाद 120 हुई। मूल = $\frac{120}{1.2} = 100$ ।

या सरल सोचो: 120% = 120, तो 100% = $\frac{120}{120} \times 100 = 100$ ।

परंपरागत equation बनाना: 45 सेकंड। यह mental shortcut: 10 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में जब संख्या पद्धति का प्रश्न सामने आए, यह decision tree अपनाओ:

Step 1 — प्रश्न किस category का है?

वर्ग/घन पूछा है → सीधे याद की हुई table से उत्तर दो। 5 सेकंड।
LCM/HCF पूछा है → दो संख्याएँ हैं? $LCM \times HCF = a \times b$ formula। तीन या ज़्यादा? गुणनखंडन।
शेषफल पूछा है → $a = bq + r$ लिखो। $r$ की गणना करो।
प्रतिशत से मूल संख्या → Reverse percentage: $\frac{\text\{दी गई संख्या\}}{\text\{(100+\%)/100\}}$ ।
1 से n तक योग → $\frac{n(n+1)}{2}$ । n याद हो तो 5 सेकंड।

Step 2 — Options देखो। अगर options में बड़ा अंतर है, estimation करो। अगर options close हैं, exact calculation करो।

Step 3 — Elimination। गलत options को तुरंत काटो। जैसे "4 का घन 12 है" — 12 सम है पर बहुत छोटा। $4^3 > 4^2 = 16$ होना चाहिए, इसलिए 12 और 16 काटो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: 5 में अंत होने वाले वर्गों पर RRB NTPC में बार-बार प्रश्न आता है। एकाधिकेन पूर्वेण सूत्र यहाँ सीधे लागू होता है।

समाधान का रास्ता: 15 = 10 + 5, या सीधे Vedic trick: दहाई का अंक 1, उससे एक अधिक 2। $1 \times 2 = 2$ , अंत में 25 जोड़ो → 225। Option (c) सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the square of 15?

15 का वर्ग क्या है?

Solutionसमाधान

15² = 15 × 15 = 225. We can also use the identity (a+b)² where 15 = 10+5, so 15² = (10+5)² = 100 + 100 + 25 = 225.

15² = 15 × 15 = 225। हम सर्वसमिका (a+b)² का भी उपयोग कर सकते हैं जहाँ 15 = 10+5, अतः 15² = (10+5)² = 100 + 100 + 25 = 225।

क्यों यह प्रश्न: Reverse percentage RRB NTPC में percentage chapter का सबसे common question-type है। यहाँ number system की समझ — कि 120% का मतलब क्या है — directly काम आती है।

समाधान का रास्ता: 20% वृद्धि मतलब मूल का 120% = 120। इसलिए मूल = $\frac{120}{1.2} = 100$ । Option (b) सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If a number is increased by 20%, it becomes 120. What is the original number?

यदि किसी संख्या को 20% बढ़ा दिया जाए, तो वह 120 हो जाती है। वह मूल संख्या क्या है?

Solutionसमाधान

Let original number be x. After 20% increase: x + 0.2x = 1.2x = 120. Therefore, x = 120/1.2 = 100.

माना मूल संख्या x है। 20% वृद्धि के बाद: x + 0.2x = 1.2x = 120। अतः x = 120/1.2 = 100।

क्यों यह प्रश्न: LCM का यह प्रश्न अभाज्य गुणनखंडन की समझ परखता है। RRB NTPC में 2-3 संख्याओं का LCM हर बार आता है।

समाधान का रास्ता: $12 = 2^2 \times 3$ , $18 = 2 \times 3^2$ । LCM = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ । Option (a) सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the LCM of 12 and 18?

12 और 18 का LCM क्या है?

Solutionसमाधान

To find LCM, we use prime factorization. 12 = 2²×3, 18 = 2×3². LCM = 2²×3² = 4×9 = 36.

लघुत्तम समापवर्त्य निकालने के लिए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करते हैं। 12 = 2²×3, 18 = 2×3²। ल.स. = 2²×3² = 4×9 = 36।

क्यों यह प्रश्न: 25% का प्रश्न fraction conversion की speed परखता है। $\frac{1}{4}$ याद हो तो 5 सेकंड।

समाधान का रास्ता: 25% = $\frac{1}{4}$ । $80 \div 4 = 20$ । Option (b) सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is 25% of 80?

80 का 25% कितना होगा?

Solutionसमाधान

25% of 80 = (25/100) × 80 = 0.25 × 80 = 20. Alternatively, 25% = 1/4, so 1/4 × 80 = 20.

80 का 25% = (25/100) × 80 = 0.25 × 80 = 20। वैकल्पिक रूप से, 25% = 1/4, अतः 1/4 × 80 = 20।

क्यों यह प्रश्न: औसत का यह basic प्रश्न number system की नींव — जोड़ और भाग — परखता है।

समाधान का रास्ता: $8 + 12 + 16 + 20 = 56$ । $56 \div 4 = 14$ । Option (b) सही है। Trick: 8 और 20 का औसत = 14, 12 और 16 का औसत = 14। Symmetric set में middle value ही औसत होती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the average of 8, 12, 16, and 20?

8, 12, 16 और 20 का औसत क्या है?

Solutionसमाधान

Average = Sum of all numbers / Count of numbers = (8 + 12 + 16 + 20) / 4 = 56 / 4 = 14.

औसत = सभी संख्याओं का योग / संख्याओं की गिनती = (8 + 12 + 16 + 20) / 4 = 56 / 4 = 14।

क्यों यह प्रश्न: शेषफल का यह प्रश्न Euclid Division Algorithm की सीधी application है।

समाधान का रास्ता: $17 = 5 \times 3 + 2$ । शेषफल = 2। Option (b) सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the remainder when 17 is divided by 5?

जब 17 को 5 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?

Solutionसमाधान

When 17 is divided by 5: 17 = 5 × 3 + 2. The quotient is 3 and the remainder is 2.

जब 17 को 5 से भाग देते हैं: 17 = 5 × 3 + 2। भागफल 3 है और शेषफल 2 है।

क्यों यह प्रश्न: घन का प्रश्न याद की हुई table से सीधे हल होता है। $4^3$ जिसे याद है, उसे 5 सेकंड लगते हैं।

समाधान का रास्ता: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$ । Option (d) सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the cube of 4?

4 का घन क्या होगा?

Solutionसमाधान

The cube of 4 is 4³ = 4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64.

4 का घन 4³ = 4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64 है।

क्यों यह प्रश्न: $\frac{n(n+1)}{2}$ सूत्र RRB NTPC में series और progression दोनों में काम आता है।

समाधान का रास्ता: $n = 10$ । योग = $\frac{10 \times 11}{2} = 55$ । Option (c) सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the sum of first 10 natural numbers?

पहले 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

Solutionसमाधान

The sum of first n natural numbers is given by the formula n(n+1)/2. For n=10, sum = 10×11/2 = 110/2 = 55.

पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग n(n+1)/2 सूत्र से निकलता है। n=10 के लिए, योग = 10×11/2 = 110/2 = 55।

आम गलतियाँ

0 को प्राकृतिक संख्या मानना। प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं। अगर प्रश्न में "प्राकृतिक संख्याओं का योग" पूछा हो तो 0 मत जोड़ो।
LCM और HCF को उल्टा लिखना। याद रखो: LCM हमेशा HCF से बड़ा या बराबर होता है। अगर तुम्हारा LCM, HCF से छोटा निकले — तुमने कहीं गड़बड़ी की।
$LCM \times HCF = a \times b$ को तीन संख्याओं पर लागू करना। यह formula सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए है। तीन या ज़्यादा के लिए गुणनखंडन ज़रूरी है।
शेषफल को भाजक से बड़ा रखना। $a = bq + r$ में हमेशा $r < b$ । अगर $r \geq b$ आए तो भागफल को एक और बढ़ाओ।
"5 में अंत होने वाले वर्ग" का उत्तर 5 पर ही रोक देना। $15^2 = 225$ है, $215$ नहीं। Vedic trick में "25" पूरा suffix है — सिर्फ़ "5" नहीं।
Reverse percentage में base गलत लेना। "20% बढ़ने पर 120 हुई" में base 120 नहीं है — base वह है जो पूछना है। $\frac{120}{1.2}$ करो, $120 \times 1.2$ नहीं।

RRB NTPC संख्या पद्धति — पूर्णांक, विभाज्यता, LCM-HCF और वर्ग-घन

अवधारणा

गहन विश्लेषण

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) और HCF (महत्तम समापवर्तक)

वर्ग और घन — जो याद होने चाहिए

पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र

शेषफल (Remainder) — Euclid की विधि

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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