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SBI PO के लिए द्विघात समीकरण — मूल, विभेदक और असमानता की सम्पूर्ण तैयारी

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अवधारणा

द्विघात समीकरण वह बीजगणितीय व्यंजन है जिसमें चर की अधिकतम घात 2 हो — अर्थात् $ax^2 + bx + c = 0$ , जहाँ $a \neq 0$ । SBI PO में यह topic इसलिए critical है क्योंकि यहाँ सिर्फ़ मूल निकालना नहीं पूछा जाता — दो अलग-अलग समीकरणों के मूलों (x और y) की आपस में तुलना करने वाले प्रश्न आते हैं, जिनमें speed ही असली परीक्षा है।

एक सरल सादृश्य: सोचो कि तुम एक ऐसी दुकान ढूंढ रहे हो जहाँ दो चीज़ें एक साथ खरीदने पर कुल खर्च और गुणनफल दोनों तय हों। अगर तुम जानते हो कि "दो चीज़ों का कुल दाम 6 रुपये है और गुणनफल 8 रुपये है", तो तुम तुरंत कह सकते हो कि वे चीज़ें 2 और 4 रुपये की हैं। यही Sum-Product method है — और यह quadratic formula से कई गुना तेज़ है।

द्विघात समीकरण के तीन मुख्य काम होते हैं परीक्षा में:

मूल ज्ञात करना — गुणनखंड या विभेदक से।
मूलों के बीच सम्बन्ध ज्ञात करना — Vieta के सूत्रों से ( $\alpha + \beta$ और $\alpha\beta$ )।
x और y की तुलना करना — दो अलग समीकरण दिए जाते हैं, तुम्हें बताना होता है कि x > y, x < y, x = y, या सम्बन्ध अनिश्चित है।

SBI PO में अक्सर 4-5 प्रश्न इसी set में आते हैं। अगर गुणनखंड method ठीक से आता है तो प्रत्येक प्रश्न 30-40 सेकंड में हल हो जाता है।

गहन विश्लेषण

मूलभूत संरचना और Vieta के सूत्र

समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हों, तो:

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$

इन दो सूत्रों को "Vieta के सूत्र" कहते हैं। इनसे $\alpha^2 + \beta^2$ , $\alpha^3 + \beta^3$ जैसी symmetrical expressions बिना मूल निकाले ही compute होती हैं।

उदाहरण: $x^2 - 6x + 8 = 0$ में $a=1, b=-6, c=8$ ।

$\alpha + \beta = 6$ , $\alpha\beta = 8$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 36 - 16 = 20$

मूल निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

गुणनखंड विधि (Sum-Product Method)

$ax^2 + bx + c = 0$ को factor करने के लिए:

दो संख्याएँ ढूंढो जिनका गुणनफल = $a \times c$ और योग = $b$ हो।
$b$ को उन दो संख्याओं में split करो।
grouping से factor निकालो।

उदाहरण: $2x^2 - 5x + 3 = 0$

$a \times c = 6$ , $b = -5$
दो संख्याएँ जिनका गुणनफल 6 और योग -5: वे हैं $-3$ और $-2$ ।
$2x^2 - 3x - 2x + 3 = x(2x-3) - 1(2x-3) = (2x-3)(x-1) = 0$
$x = \frac{3}{2}$ या $x = 1$

यह quadratic formula से तेज़ है क्योंकि यहाँ कोई $\sqrt{}$ compute नहीं करनी।

विभेदक (Discriminant) — $D = b^2 - 4ac$

| D का मान | मूलों की प्रकृति | |---|---| | $D > 0$ | दो वास्तविक और भिन्न मूल | | $D = 0$ | दो बराबर (समान) मूल | | $D < 0$ | दो अवास्तविक (complex) मूल |

समान मूलों की condition: $D = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac$ ।

उदाहरण: $x^2 - px + 36 = 0$ में समान मूलों के लिए: $p^2 - 4(1)(36) = 0 \Rightarrow p^2 = 144 \Rightarrow p = \pm 12$

मूलों से समीकरण बनाना

अगर मूल $\alpha$ और $\beta$ दिए हों, तो समीकरण: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

उदाहरण: मूल $3+\sqrt{2}$ और $3-\sqrt{2}$ :

योग $= 6$ , गुणनफल $= 9 - 2 = 7$
समीकरण: $x^2 - 6x + 7 = 0$

यहाँ ध्यान दो — irrational मूल हमेशा conjugate pair में आते हैं: अगर $a+\sqrt{b}$ एक मूल है, तो $a-\sqrt{b}$ दूसरा ज़रूर होगा।

द्विघात असमानता (Quadratic Inequality)

$x^2 - 5x + 6 > 0$ को हल करना:

पहले $= 0$ से मूल निकालो: $(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2, 3$
number line पर इन बिंदुओं को चिह्नित करो।
तीन क्षेत्र बनते हैं: $(-\infty, 2)$ , $(2, 3)$ , $(3, \infty)$
Parabola rule: $a > 0$ होने पर, parabola ऊपर खुलती है। इसलिए बाहरी क्षेत्रों में expression positive और बीच में negative होगी।
$> 0$ चाहिए, तो: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

याद करो: $> 0$ माँगा है और $a > 0$ है, तो union of outer intervals — यानी मूलों के बाहर। $< 0$ माँगा है और $a > 0$ है, तो intersection (between the roots) — यानी मूलों के बीच।

Modulus वाले समीकरण

$x^2 - 4|x| + 3 = 0$ जैसे प्रश्नों में:

$|x| = t$ (जहाँ $t \geq 0$ ) रखो।
$t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-3) = 0$
$t = 1$ या $t = 3$ , यानी $|x| = 1$ या $|x| = 3$
इसलिए $x = \pm 1$ या $x = \pm 3$

x और y तुलना — SBI PO का मुख्य pattern

दो समीकरण दिए जाते हैं, जैसे:

Equation I: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2, 3$
Equation II: $y^2 - 7y + 12 = 0 \Rightarrow y = 3, 4$

x के सभी values ( $\{2, 3\}$ ) को y के सभी values ( $\{3, 4\}$ ) से compare करो — कुल $2 \times 2 = 4$ comparisons:

$2 < 3$ , $2 < 4$ , $3 = 3$ , $3 < 4$

x तीनों comparisons में $\leq$ y है, इसलिए answer: $x \leq y$ ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternSum-Product पहले, formula कभी नहीं

जब भी $ax^2 + bx + c = 0$ दिखे और $a \cdot c$ एक छोटी-सी संख्या हो (जैसे 6, 8, 12, 15), तो तुरंत दो संख्याएँ सोचो जिनका product = $a \cdot c$ और sum = $b$ । यह integer pairs ढूंढना 5-10 सेकंड का काम है।

उदाहरण: $3x^2 - 10x + 8 = 0$ । $a \cdot c = 24$ , $b = -10$ । Pairs: $-6$ और $-4$ (गुणनफल 24, योग -10)। $3x^2 - 6x - 4x + 8 = 3x(x-2) - 4(x-2) = (3x-4)(x-2) = 0$ । $x = 4/3$ या $x = 2$ ।

Standard method (quadratic formula): 8 steps, ~50 सेकंड। यह shortcut: 3 steps, ~15 सेकंड।

patternVieta से direct — मूल निकालो ही मत

जब $\alpha^2 + \beta^2$ , $\alpha^3 + \beta^3$ , $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ जैसी symmetrical expression पूछी जाए, तो मूल निकालने की ज़रूरत नहीं।

Identity याद करो:

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$

$x^2 - 6x + 8 = 0$ में $\alpha^2 + \beta^2$ = $36 - 16 = 20$ ।

Direct substitution: $\alpha = 2, \beta = 4$ निकालकर $4+16=20$ — 4 steps। Vieta method: $(6)^2 - 2(8) = 20$ — 2 steps, ~10 सेकंड।

eliminationParabola Sign Rule — असमानता 3 सेकंड में

$ax^2 + bx + c$ की inequality हल करते वक्त, parabola का मुँह याद रखो:

$a > 0$ : parabola ऊपर खुली। बाहरी क्षेत्र (+), बीच का क्षेत्र (-)।
- $> 0$ : बाहर (union of tails)
- $< 0$ : अंदर (between roots)
$a < 0$ : उलटा।
- $< 0$ : बाहर
- $> 0$ : अंदर

उदाहरण: $x^2 - 5x + 6 > 0$ । $a = 1 > 0$ , मूल $= 2, 3$ । $> 0$ चाहिए, $a > 0$ , इसलिए बाहरी: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ ।

Standard method (test points): 3 calculations। Parabola rule: 1 mental step, ~5 सेकंड।

substitutionModulus substitution — |x| को t बनाओ

$|x|$ वाले किसी भी quadratic में तुरंत $|x| = t, t \geq 0$ रखो। normal quadratic बन जाएगा। $t$ के positive solutions लो, फिर $x = \pm t$ लिखो।

$x^2 - 4|x| + 3 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow t = 1, 3 \Rightarrow x = \pm1, \pm3$ ।

यह substitution न करने पर: $x < 0$ और $x > 0$ के लिए अलग-अलग cases बनाने पड़ते — 6 steps। Substitution से: 3 steps, ~20 सेकंड बनाम ~60 सेकंड।

eliminationx-y तुलना में minimum-maximum comparison

x के मूल $\{x_1, x_2\}$ और y के मूल $\{y_1, y_2\}$ में पूरी तरह compare करने से पहले, ranges देखो:

अगर $\max(x) < \min(y)$ : x < y हमेशा।
अगर $\min(x) > \max(y)$ : x > y हमेशा।
अगर ranges overlap करती हों: सभी 4 pairs check करो।

उदाहरण: $x = \{1, 2\}$ , $y = \{4, 5\}$ । $\max(x) = 2 < \min(y) = 4$ । तुरंत: x < y।

Full comparison: 4 checks। Range method: 1 check, ~5 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

मूल निकालने हैं? → Step 2
$\alpha^2 + \beta^2$ या similar expression? → सीधे Vieta formulas
x और y की तुलना? → दोनों को factor करो, फिर range compare

Step 2 — Factor करने की कोशिश:

$a \cdot c$ compute करो। क्या integer pair मिलती है जिनका sum = $b$ ? अगर हाँ → Sum-Product method।
नहीं मिली (irrational roots) → $D = b^2 - 4ac$ compute करो → Quadratic formula।

Step 3 — Inequality है?

मूल निकालो → Parabola rule लगाओ (ऊपर खुली/नीचे खुली) → सीधे interval लिखो।

Step 4 — Modulus है?

$|x| = t$ substitution → normal quadratic → $t \geq 0$ filter → $x = \pm t$ ।

Step 5 — x-y comparison:

Ranges overlap? → No: 1 second answer। Yes: 4 comparisons, tallying।
अगर कोई pair x = y और कोई pair x > y दे, तो: "x ≥ y"।
अगर mixed हो (कहीं x > y, कहीं x < y): answer है "सम्बन्ध निर्धारित नहीं किया जा सकता"।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: Modulus वाले quadratic SBI PO में trap की तरह आते हैं — students सीधे $x^2$ समझकर गलत roots निकालते हैं। Substitution technique देखो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The solution of x² - 4|x| + 3 = 0 is:

x² - 4|x| + 3 = 0 का हल है:

±1, ±3
±1, ±2
±2, ±3
±1, ±4

±1, ±3
±1, ±2
±2, ±3
±1, ±4

Solutionसमाधान

Let |x| = y, then y² - 4y + 3 = 0. Factoring: (y-1)(y-3) = 0, so y = 1 or y = 3. Therefore |x| = 1 or |x| = 3, which gives x = ±1 or x = ±3.

माना |x| = y, तब y² - 4y + 3 = 0। गुणनखंड करने पर: (y-1)(y-3) = 0, अतः y = 1 या y = 3। इसलिए |x| = 1 या |x| = 3, जो x = ±1 या x = ±3 देता है।

समाधान का रास्ता: $|x| = y$ रखो (negative नहीं हो सकता)। $y^2 - 4y + 3 = (y-1)(y-3) = 0$ । $y = 1$ या $y = 3$ । चूँकि $y = |x|$ , इसलिए $x = \pm1, \pm3$ । Option (A) सही।

क्यों यह प्रश्न: Vieta formula का classic application — मूल निकाले बिना symmetrical expression ज्ञात करना।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If α and β are roots of x² - 6x + 8 = 0, then the value of α² + β² is:

यदि α और β समीकरण x² - 6x + 8 = 0 के मूल हैं, तो α² + β² का मान है:

Solutionसमाधान

For equation x² - 6x + 8 = 0, α + β = 6 and αβ = 8. Using identity α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 6² - 2(8) = 36 - 16 = 20.

समीकरण x² - 6x + 8 = 0 के लिए, α + β = 6 और αβ = 8। सूत्र α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 6² - 2(8) = 36 - 16 = 20 का उपयोग करके।

समाधान का रास्ता: $\alpha + \beta = 6$ , $\alpha\beta = 8$ । Identity: $\alpha^2 + \beta^2 = (6)^2 - 2(8) = 36 - 16 = 20$ । Option (A) सही। मूल निकालने की ज़रूरत नहीं।

क्यों यह प्रश्न: मूलों से समीकरण बनाना — उलटी दिशा। SBI PO में coefficients identify करने के प्रश्न आते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The quadratic equation x² - px + q = 0 has roots 2 and 3. The values of p and q are:

द्विघात समीकरण x² - px + q = 0 के मूल 2 और 3 हैं। p और q के मान हैं:

p = 5, q = 6
p = -5, q = 6
p = 5, q = -6
p = -5, q = -6

p = 5, q = 6
p = -5, q = 6
p = 5, q = -6
p = -5, q = -6

Solutionसमाधान

For roots 2 and 3: Sum of roots = 2 + 3 = 5 = p. Product of roots = 2 × 3 = 6 = q. Therefore, p = 5 and q = 6.

मूल 2 और 3 के लिए: मूलों का योग = 2 + 3 = 5 = p। मूलों का गुणनफल = 2 × 3 = 6 = q। अतः p = 5 और q = 6।

समाधान का रास्ता: मूल 2 और 3 दिए हैं। $p = \alpha + \beta = 5$ , $q = \alpha\beta = 6$ । सीधे Vieta से। Option (A) सही।

क्यों यह प्रश्न: Standard SBI PO x-y comparison pattern — Sum-Product method की speed परखी जाती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The roots of the equation 2x² - 5x + 3 = 0 are:

समीकरण 2x² - 5x + 3 = 0 के मूल हैं:

1, 3/2
3/2, 1
1/2, 3
2, 3/2

1, 3/2
3/2, 1
1/2, 3
2, 3/2

Solutionसमाधान

Using factorization: 2x² - 5x + 3 = 0 can be written as 2x² - 3x - 2x + 3 = 0, which gives (2x-3)(x-1) = 0. Therefore, x = 3/2 or x = 1.

गुणनखंड विधि से: 2x² - 5x + 3 = 0 को 2x² - 3x - 2x + 3 = 0 लिखा जा सकता है, जो (2x-3)(x-1) = 0 देता है। अतः x = 3/2 या x = 1।

समाधान का रास्ता: $2 \times 3 = 6 = a \cdot c$ । $b = -5$ । Pair: $-3, -2$ । $2x^2 - 3x - 2x + 3 = (2x-3)(x-1) = 0$ । $x = 3/2$ या $x = 1$ । Option (A) सही।

क्यों यह प्रश्न: Discriminant condition — "equal roots" का direct formula application।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If x² - px + 36 = 0 has equal roots, then the value of p is:

यदि x² - px + 36 = 0 के मूल बराबर हैं, तो p का मान है:

±12
±6
±18
±24

±12
±6
±18
±24

Solutionसमाधान

For equal roots, discriminant = 0. So p² - 4(1)(36) = 0, which gives p² = 144, therefore p = ±12.

समान मूलों के लिए, विविक्तकर = 0। अतः p² - 4(1)(36) = 0, जो p² = 144 देता है, इसलिए p = ±12।

समाधान का रास्ता: समान मूल $\Rightarrow$ $D = 0$ । $p^2 - 4(36) = 0 \Rightarrow p^2 = 144 \Rightarrow p = \pm 12$ । Option (A) सही।

क्यों यह प्रश्न: Quadratic inequality — Parabola Sign Rule का direct application।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If x² - 5x + 6 > 0, then x lies in the interval:

यदि x² - 5x + 6 > 0 है, तो x किस अंतराल में होगा?

(-∞, 2) ∪ (3, ∞)
(2, 3)
(-∞, 3)
(2, ∞)

(-∞, 2) ∪ (3, ∞)
(2, 3)
(-∞, 3)
(2, ∞)

Solutionसमाधान

Factoring x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3). For (x-2)(x-3) > 0, both factors must have same sign. This occurs when x < 2 or x > 3, i.e., x ∈ (-∞, 2) ∪ (3, ∞).

गुणनखंड करने पर x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)। (x-2)(x-3) > 0 के लिए, दोनों गुणनखंडों का चिह्न समान होना चाहिए। यह x < 2 या x > 3 पर होता है, अर्थात् x ∈ (-∞, 2) ∪ (3, ∞)।

समाधान का रास्ता: $(x-2)(x-3) > 0$ । $a = 1 > 0$ (ऊपर खुली parabola)। $> 0$ चाहिए → बाहरी क्षेत्र। $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ । Option (A) सही।

क्यों यह प्रश्न: Irrational conjugate roots — conjugate pair property और Vieta का साथ-साथ test।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The quadratic equation whose roots are 3 + √2 and 3 - √2 is:

वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल 3 + √2 और 3 - √2 हैं:

x² - 6x + 7 = 0
x² - 6x + 9 = 0
x² + 6x + 7 = 0
x² - 3x + 2 = 0

x² - 6x + 7 = 0
x² - 6x + 9 = 0
x² + 6x + 7 = 0
x² - 3x + 2 = 0

Solutionसमाधान

Sum of roots = (3 + √2) + (3 - √2) = 6. Product of roots = (3 + √2)(3 - √2) = 9 - 2 = 7. Therefore, equation is x² - 6x + 7 = 0.

मूलों का योग = (3 + √2) + (3 - √2) = 6। मूलों का गुणनफल = (3 + √2)(3 - √2) = 9 - 2 = 7। अतः समीकरण x² - 6x + 7 = 0 है।

समाधान का रास्ता: योग $= (3+\sqrt{2}) + (3-\sqrt{2}) = 6$ । गुणनफल $= (3)^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$ । समीकरण: $x^2 - 6x + 7 = 0$ । Option (A) सही।

क्यों यह प्रश्न: Discriminant inequality — $D > 0$ की condition। $k$ के संदर्भ में answer।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If 2x² - 3x - k = 0 has real and distinct roots, then:

यदि 2x² - 3x - k = 0 के मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं, तो:

k > -9/8
k < -9/8
k ≥ -9/8
k ≤ -9/8

k > -9/8
k < -9/8
k ≥ -9/8
k ≤ -9/8

Solutionसमाधान

For real and distinct roots, discriminant > 0. So (-3)² - 4(2)(-k) > 0, which gives 9 + 8k > 0, therefore k > -9/8.

वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए, विविक्तकर > 0। अतः (-3)² - 4(2)(-k) > 0, जो 9 + 8k > 0 देता है, इसलिए k > -9/8।

समाधान का रास्ता: $D > 0$ (वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए)। $(-3)^2 - 4(2)(-k) > 0 \Rightarrow 9 + 8k > 0 \Rightarrow k > -\frac{9}{8}$ । Option (A) सही।

आम गलतियाँ

$-b/a$ को $b/a$ लिखना: $\alpha + \beta = -b/a$ है, $b/a$ नहीं। $x^2 - 6x + 8 = 0$ में $b = -6$ , इसलिए $\alpha + \beta = -(-6)/1 = 6$ । जल्दी में sign गलत हो जाता है।
Modulus equation में negative roots include करना: $|x| = t$ रखने के बाद $t < 0$ को reject करना ज़रूरी है। अगर quadratic के दोनों roots negative आएँ, तो original equation का कोई वास्तविक solution नहीं।
$D = b^2 - 4ac$ में $a, b, c$ गलत identify करना: $2x^2 - 3x - k = 0$ में $c = -k$ है, $+k$ नहीं। $D$ में $-4(2)(-k) = +8k$ आएगा।
Inequality में direction पलटना: $> 0$ का मतलब "जहाँ parabola x-axis के ऊपर है" — यह outer region है। $< 0$ inner region है। दोनों को आपस में मत उलटो।
x-y comparison में partial answer: अगर 4 pairs में से 3 में x < y और 1 में x = y है, तो answer "x < y" नहीं है — सही answer "x ≤ y" है। सभी 4 pairs check करो।
Irrational roots को individually factor करने की कोशिश: जब $D$ perfect square नहीं है (जैसे $D = 8$ ), तो Sum-Product से integer factor नहीं मिलेगा। ऐसे में सीधे quadratic formula use करो — जबरदस्ती factor करने में time waste मत करो।

SBI PO के लिए द्विघात समीकरण — मूल, विभेदक और असमानता की सम्पूर्ण तैयारी

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूलभूत संरचना और Vieta के सूत्र

गुणनखंड विधि (Sum-Product Method)

विभेदक (Discriminant) — $D = b^2 - 4ac$

मूलों से समीकरण बनाना

द्विघात असमानता (Quadratic Inequality)

Modulus वाले समीकरण

x और y तुलना — SBI PO का मुख्य pattern

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूलभूत संरचना और Vieta के सूत्र

गुणनखंड विधि (Sum-Product Method)

विभेदक (Discriminant) — D=b2−4acD = b^2 - 4acD=b2−4ac

मूलों से समीकरण बनाना

द्विघात असमानता (Quadratic Inequality)

Modulus वाले समीकरण

x और y तुलना — SBI PO का मुख्य pattern

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

संबंधित विषय

SarkariRise पर अभ्यास

विभेदक (Discriminant) — $D = b^2 - 4ac$