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SBI PO के लिए आयु संबंधी समस्याएँ — पूर्ण अध्ययन सामग्री

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अवधारणा

आयु संबंधी प्रश्न (Problems on Ages) बीजगणितीय समीकरण-निर्माण के प्रश्न हैं — इनमें दो या अधिक व्यक्तियों की आयु के बीच दिए गए संबंधों से एक या दो linear equations बनाकर अज्ञात मान निकालना होता है।

इन प्रश्नों की मुख्य कठिनाई "कौन-से समय की आयु" है — यही trap है। SBI PO के setter जानबूझकर तीन time-points मिलाते हैं:

एक सरल उदाहरण: मान लो अभी राम की आयु xx साल है। 5 साल पहले उसकी आयु (x−5)(x - 5) थी। 10 साल बाद उसकी आयु (x+10)(x + 10) होगी। यह सीधी बात है, लेकिन जब तीन लोगों की आयु और दो-तीन time-points एक साथ आते हैं, तब confusion होता है।

एक direct analogy: सोचो आयु एक चलती हुई ट्रेन की तरह है। हर व्यक्ति की ट्रेन एक ही speed (1 साल प्रति साल) से चलती है। जब तुम "5 साल बाद" कहते हो, हर ट्रेन 5 स्टेशन आगे बढ़ जाती है — सबकी एक साथ। इसलिए दो लोगों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता, चाहे कितने भी साल आगे-पीछे जाओ।

SBI PO 2024 के pattern में आयु के प्रश्न अधिकतर average + ratio के combination में आए हैं — अकेले "5 साल पहले राम की आयु" वाले सरल प्रश्न अब कम आते हैं।

गहन विश्लेषण

मूलभूत नियम और Variable चुनाव

नियम 1 — Variable हमेशा वर्तमान आयु के लिए रखो।

यह सबसे बड़ी गलती है जो छात्र करते हैं: वे "5 साल पहले की आयु" को xx मान लेते हैं। इससे भविष्य की आयु (x+10)(x + 10) हो जाती है, जो सही तो है, लेकिन अंतिम answer निकालने के बाद convert करना पड़ता है और गलती होती है। हमेशा वर्तमान आयु = xx।

नियम 2 — अंतर स्थिर रहता है।

आज: A−B=d  ⟹  n साल बाद: (A+n)−(B+n)=d\text{आज: } A - B = d \implies \text{n साल बाद: } (A+n) - (B+n) = d

यह property ratio के प्रश्नों में सीधे equation बनाने में काम आती है।

नियम 3 — Average का total में convert करो।

Average age = Aˉ\bar{A} और group size = nn हो, तो total age = n⋅Aˉn \cdot \bar{A}। Average को equation में रखने से गलतियाँ होती हैं — तुरंत total में बदलो।

प्रश्न-प्रकार और उनके approach

प्रकार 1: सीधा अनुपात (Ratio-based)

दो व्यक्तियों की वर्तमान आयु का अनुपात p:qp:q हो और n साल पहले का अनुपात r:sr:s दिया हो।

Approach:

वर्तमान आयु = pkpk और qkqk (एक variable kk)।

n साल पहले: pk−nqk−n=rs\dfrac{pk - n}{qk - n} = \dfrac{r}{s}

Cross-multiply करके kk निकालो।

ध्यान दो: जब ratio दिया हो तो equation में एक ही variable (kk) काफी है। दो variables (x,yx, y) लेना वक्त की बर्बादी है।

प्रकार 2: Average आयु में परिवर्तन

Group में कोई नया सदस्य जुड़े या निकले और average बदले।

Formula:

नए सदस्य की आयु=नया average×नई संख्या−पुराना average×पुरानी संख्या\text{नए सदस्य की आयु} = \text{नया average} \times \text{नई संख्या} - \text{पुराना average} \times \text{पुरानी संख्या}

यह formula exam hall में 20 सेकंड में काम करता है। Equation बनाने की ज़रूरत नहीं।

प्रकार 3: दो conditions से दो variables

जब दो अलग-अलग conditions दी हों और दो अज्ञात हों, तो simultaneous equations बनाओ। SBI PO 2024 में यही pattern dominant रहा है।

Systematic steps:

  1. दोनों variables को वर्तमान आयु के रूप में define करो।
  2. पहली condition से equation 1 बनाओ।
  3. दूसरी condition से equation 2 बनाओ।
  4. Elimination या substitution से हल करो।
  5. Answer को original question से verify करो — क्या condition satisfy होती है?

प्रकार 4: Sum + Relationship (3 persons)

तीन व्यक्तियों की आयु का sum दिया हो और उनके बीच algebraic संबंध दिया हो।

Key insight: जब x+y+z=Sx + y + z = S और x−z=2(y−z)x - z = 2(y - z) जैसा condition हो, तो दूसरी condition को simplify करने पर अक्सर x+z=2yx + z = 2y मिलता है — यानी yy = middle value (arithmetic mean)। इससे yy सीधे निकल जाता है: y=S/3y = S/3।

यह observation exam hall में 30 सेकंड बचाता है।

Equation बनाने से पहले का mental check

प्रश्न पढ़ते ही तीन चीज़ें identify करो:

  1. कितने unknowns हैं? — उतने ही independent equations चाहिए।
  2. कितने time-points हैं? — हर time-point को वर्तमान आयु से relate करो।
  3. Ratio है या absolute value? — Ratio हो तो kk वाला trick, absolute हो तो direct variable।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternअंतर-स्थिरता से ratio solve करो

जब वर्तमान ratio p:qp:q और n साल पहले का ratio r:sr:s दिया हो — वर्तमान आयु pkpk और qkqk रखो। एक variable, एक equation, काम खत्म।

उदाहरण: वर्तमान ratio 5:7, 18 साल पहले ratio 8:13। (5k−18)/(7k−18)=8/13(5k-18)/(7k-18) = 8/13 65k−234=56k−14465k - 234 = 56k - 144 k=10k = 10

Standard method (दो variables x,yx, y): 4 steps, ~60 सेकंड। यह shortcut (एक variable kk): 2 steps, ~25 सेकंड।

patternSum + Relation में Middle Value पहचानो

तीन व्यक्ति, sum SS दिया हो, और condition a−c=2(b−c)a - c = 2(b - c) या a+c=2ba + c = 2b मिले — तो bb सीधे arithmetic mean है: b=S/3b = S/3।

फिर बाकी conditions से aa या cc निकालो।

उदाहरण (PYQ 2024): x+y+z=90x + y + z = 90, condition x−z=2(y−z)x - z = 2(y-z) simplify होकर x+z=2yx + z = 2y देता है। तुरंत y=30y = 30।

Standard: equations solve करना ~75 सेकंड। यह trick: b=S/3b = S/3 देखते ही ~15 सेकंड।

substitutionAverage वाले प्रश्न — Total की भाषा में सोचो

Average के प्रश्न में कोई नया सदस्य जुड़े तो:

नए सदस्य की आयु = (नया average × नई count) − (पुराना average × पुरानी count)

उदाहरण: पति-पत्नी की शादी 5 साल पहले average age 23। अभी तीनों (बच्चे सहित) का average 20।

  • अभी पति+पत्नी का total = 23×2+2×5=5623 \times 2 + 2 \times 5 = 56
  • तीनों का total = 20×3=6020 \times 3 = 60
  • बच्चे की आयु = 60−56=460 - 56 = 4 साल

Equation बनाना: ~50 सेकंड। Direct total: ~12 सेकंड।

eliminationदो equations में Elimination को prefer करो

जब दो linear equations मिलें जैसे a+b=70a + b = 70 और 7a−9b=−557a - 9b = -55, तो elimination method:

9(a+b)=630  ⟹  9a+9b=6309(a + b) = 630 \implies 9a + 9b = 630 ऊपर की equation जोड़ो: 16a=57516a = 575 — नहीं, multiply adjust करो।

7×(a+b=70)  ⟹  7a+7b=4907 \times (a + b = 70) \implies 7a + 7b = 490 दूसरी equation घटाओ: 7a−9b=−557a - 9b = -55   ⟹  16b=545\implies 16b = 545 — values check करके सही coefficient लगाओ।

SBI PO में coefficients अक्सर ऐसे होते हैं कि एक equation को multiply करके सीधे subtract करने से एक variable eliminate हो जाता है। Substitution से पहले elimination try करो — 2-3 steps कम लगते हैं।

patternn साल पहले/बाद का table बनाओ

जब 3+ persons और 2+ time-points हों, एक छोटी table mentally बनाओ:

| व्यक्ति | n साल पहले | अभी | m साल बाद | |---------|-----------|-----|----------| | A | a−na-n | aa | a+ma+m | | B | b−nb-n | bb | b+mb+m |

यह table equations बनाने में गलत time-point लेने की गलती खत्म करती है। 30 सेकंड invest करो table में, 2 मिनट की गलती बचाओ।

तेज़-समाधान रूपरेखा

Step 1 — Unknowns गिनो। एक unknown? — एक equation काफी। दो unknowns? — दो conditions ढूंढो।

Step 2 — Ratio है? हाँ → kk-method। वर्तमान ages = pk,qkpk, qk। एक variable, एक equation। नहीं → सीधे x,yx, y variables।

Step 3 — Average दिया है? तुरंत total में convert करो: average ×\times count = total।

Step 4 — Time-points identify करो। "n साल पहले" → वर्तमान आयु में से nn घटाओ। "n साल बाद" → nn जोड़ो। एक भी time-point गलत हुआ तो पूरा answer गलत।

Step 5 — Sum + Relationship? a+c=2ba + c = 2b condition मिले → middle value = sum/3। PYQ 2024 का सबसे fast shortcut।

Step 6 — Verify करो। Answer को original conditions में डालकर 10 सेकंड में check करो। SBI PO में wrong answer की negative marking होती है — verify skip मत करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न sum + algebraic relationship का combination है। Shortcut लगाने पर middle value directly निकलती है और बाकी conditions से final answer मिलता है।

समाधान का रास्ता: x+y+z=90x + y + z = 90 और x−z=2(y−z)x - z = 2(y - z) को expand करो: x−z=2y−2z  ⟹  x+z=2yx - z = 2y - 2z \implies x + z = 2y। यानी yy arithmetic mean है। तीनों का sum 90 और x+z=2yx + z = 2y से: y+2y=90  ⟹  y=30y + 2y = 90 \implies y = 30। अब x<y=30x < y = 30 चाहिए, तो options में 30 से कम मान देखो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
Ages of three persons were x, y and z. Sum of their ages is 90 years. It is given that x − z = 2(y − z). Find the possible value of x, if x < y < z.
  1. 30
  2. 24
  3. 32
  4. 34
Solutionसमाधान
From x + y + z = 90 and x − z = 2(y − z), we get x + z = 2y, so substituting gives y = 30. Since x < y = 30, the only valid option less than 30 is x = 24.

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न दो simultaneous equations बनाने और solve करने का है। एक condition "5 साल पहले का average" है, दूसरी "5 साल बाद का ratio"। दोनों को ध्यान से time-point adjust करके equations बनानी होंगी।

समाधान का रास्ता: P और Q की वर्तमान आयु (a−5)(a-5) और (b+5)(b+5) दी है। 5 साल पहले total = (a−5−5)+(b+5−5)=a+b−10(a-5-5) + (b+5-5) = a+b-10। Average = 30, इसलिए a+b−10=60  ⟹  a+b=70a + b - 10 = 60 \implies a + b = 70। 5 साल बाद: (a−5+5):(b+5+5)=9:7  ⟹  a:(b+10)=9:7(a-5+5):(b+5+5) = 9:7 \implies a:(b+10) = 9:7। 7a=9(b+10)=9b+90  ⟹  7a−9b=907a = 9(b+10) = 9b + 90 \implies 7a - 9b = 90। अब a=70−ba = 70 - b रखो: 7(70−b)−9b=90  ⟹  490−16b=90  ⟹  b=257(70-b) - 9b = 90 \implies 490 - 16b = 90 \implies b = 25।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
5 years ago, average age of 2 persons P and Q whose present ages are (a − 5) and (b + 5) was 30. After 5 years, ratio of their ages is 9 : 7. Find the value of b.
  1. 15
  2. 20
  3. 30
  4. 25
Solutionसमाधान
Five years ago the average was 30, so a + b = 70. After 5 years the ratio (a + 5):(b + 10) = 9:7 gives 7a − 9b = −55. Solving these equations yields b = 25.

क्यों यह प्रश्न: Average में teacher जुड़ने पर change — यह classic "new member joins" pattern है। Equation setup थोड़ी tricky है क्योंकि A खुद ही average भी है।

समाधान का रास्ता: A students का total age = A(A−10)A(A-10)। दो teachers जुड़ें, total = A+2A + 2, नया average = (A−10)+2=A−8(A-10) + 2 = A-8। Equation: A(A−10)+56+68=(A+2)(A−8)A(A-10) + 56 + 68 = (A+2)(A-8)। A2−10A+124=A2−6A−16A^2 - 10A + 124 = A^2 - 6A - 16। −10A+124=−6A−16  ⟹  −4A=−140  ⟹  A=35-10A + 124 = -6A - 16 \implies -4A = -140 \implies A = 35।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
Average age of a group of A students is (A − 10) years. If 2 teachers of ages 56 years and 68 years joined the group, then average age of group increase by 2 years. Find the value of A.
  1. 25
  2. 40
  3. 35
  4. 30
Solutionसमाधान
Setting up the equation: [A(A−10) + 56 + 68]/(A+2) = (A−10) + 2. Solving yields A² − 10A + 124 = A² − 6A − 16, giving 4A = 140, so A = 35.

क्यों यह प्रश्न: यह "average में नया सदस्य" का classic प्रश्न है और SBI PO 2017 का real PYQ है। Total की भाषा में सोचने का shortcut यहाँ सबसे तेज़ काम करता है।

समाधान का रास्ता: शादी 5 साल पहले, तब average 23 → तब total = 46। अभी दोनों का total = 46+2×5=5646 + 2 \times 5 = 56। तीनों का अभी average 20 → total = 60। बच्चे की आयु = 60−56=460 - 56 = 4 साल।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2017
The average age of a husband and wife was 23 years when they were married 5 years ago. The average age of the husband, the wife and a child who was born during the interval, is 20 years now. How old is the child now?
  1. 9 months
  2. 3 years
  3. 1 year
  4. 4 years
Solutionसमाधान
Present total age of husband and wife = 23×2 + 2×5 = 56 years. Present total of husband, wife and child = 20×3 = 60 years. Child's age = 60 − 56 = 4 years.

क्यों यह प्रश्न: Ratio-based classic प्रश्न — दो time-points पर ratio दिया है। kk-method यहाँ सबसे efficient है।

समाधान का रास्ता: वर्तमान ages = 5k5k और 7k7k। 18 साल पहले: 5k−187k−18=813\dfrac{5k-18}{7k-18} = \dfrac{8}{13}। Cross-multiply: 13(5k−18)=8(7k−18)  ⟹  65k−234=56k−144  ⟹  9k=90  ⟹  k=1013(5k-18) = 8(7k-18) \implies 65k - 234 = 56k - 144 \implies 9k = 90 \implies k = 10। B की वर्तमान आयु = 7×10=707 \times 10 = 70 साल।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2016
18 years ago the ratio of A's age to B's age was 8:13. Present age of their ages ratio is 5:7. What is the present age of B?
  1. 50 years
  2. 60 years
  3. 90 years
  4. 70 years
Solutionसमाधान
Let present ages be 5k and 7k. Eighteen years ago: (5k-18)/(7k-18) = 8/13. Solving: 65k - 234 = 56k - 144, so 9k = 90, k = 10. B's present age = 7×10 = 70 years.

आम गलतियाँ

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