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SBI PO के लिए मिश्रण और मिश्रधातु — अनुपात, सांद्रता और Alligation Rule

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अवधारणा

मिश्रण और मिश्रधातु का topic सुनने में simple लगता है, लेकिन SBI PO में इसे profit-loss या percentage के साथ जोड़कर पूछा जाता है — और वहीं ज़्यादातर उम्मीदवार फँस जाते हैं।

मूल विचार यह है: जब दो या दो से अधिक वस्तुओं को मिलाया जाता है, तो मिश्रण का कोई एक गुण (जैसे — मूल्य, सांद्रता, घनत्व) उन वस्तुओं के अलग-अलग गुणों के बीच कहीं होगा।

एक सरल सादृश्य सोचो: मान लो तुम्हारे पास दो कक्षाएँ हैं — एक में ₹40/kg वाली चाय है, दूसरे में ₹60/kg वाली। अगर इन्हें मिलाकर ₹45/kg वाली चाय बनानी है, तो सस्ती चाय की मात्रा ज़्यादा लेनी होगी। Alligation Rule इसी "कितना-कितना" का जवाब देता है — बिना किसी equation बनाए।

Alligation Rule का सार: $\frac{\text{सस्ती वस्तु की मात्रा}}{\text{महँगी वस्तु की मात्रा}} = \frac{\text{महँगी} - \text{मिश्रण का मूल्य}}{\text{मिश्रण का मूल्य} - \text{सस्ती}}$

यह formula भारित औसत का ही उल्टा रूप है। जब मिश्रण का औसत मूल्य दोनों के बीच हो, तो यह rule हमेशा काम करता है।

किन situations में यह topic आता है:

दो अलग-अलग मूल्य की वस्तुओं को मिलाकर एक मिश्रित मूल्य
दूध-पानी जैसे तरल पदार्थों में सांद्रता (concentration)
किसी mixture से एक हिस्सा निकालकर दूसरा मिलाना (replacement problems)
दो containers से तरल मिलाकर desired ratio बनाना

SBI PO में यह topic 2-3 प्रश्नों में प्रत्यक्ष और 3-4 प्रश्नों में अप्रत्यक्ष रूप से (profit-loss के साथ) आता है। इसे ignore करना महँगा पड़ता है।

गहन विश्लेषण

Alligation Rule — दृश्य विधि

Alligation को हमेशा एक cross diagram से समझो। यह diagram ही तुम्हारी सबसे बड़ी speed देने वाली tool है।

    A (सस्ता)          B (महँगा)
       |                   |
      [a]                 [b]
        \                 /
         \               /
          [m] (मिश्रण)
         /               \
        /                 \
    (b - m)            (m - a)

अनुपात: $A : B = (b - m) : (m - a)$

उदाहरण: ₹40/kg और ₹60/kg की चाय मिलाकर ₹45/kg चाहिए। $A : B = (60 - 45) : (45 - 40) = 15 : 5 = 3 : 1$

यानी 3 भाग सस्ती चाय और 1 भाग महँगी चाय।

Replacement Problem — सबसे महत्त्वपूर्ण प्रकार

जब किसी mixture से $x$ लीटर निकाला जाए और $x$ लीटर नई चीज़ डाली जाए — यह operation $n$ बार हो तो:

$\text{शेष मूल पदार्थ} = \text{कुल} \times \left(1 - \frac{x}{\text{कुल}}\right)^n$

उदाहरण: 100 लीटर दूध में से 20 लीटर निकालकर पानी डाला जाए, यह 3 बार हो: $\text{शेष दूध} = 100 \times \left(\frac{80}{100}\right)^3 = 100 \times 0.512 = 51.2 \text{ लीटर}$

SBI PO में यह formula सीधे नहीं पूछा जाता — इसे step-by-step form में पूछते हैं जैसे PYQ id 6a7dacf0a6145e02463ec100 में। वहाँ एक ही replacement है, तो formula की ज़रूरत नहीं — सीधे calculation करो।

Profit-Loss के साथ Alligation — SBI PO का असली Challenge

यह combination सबसे ज़्यादा marks लेता है और सबसे ज़्यादा गलत होता है।

तरीका:

पहले mixture का cost price निकालो (selling price और profit% से)
फिर उस CP को alligation में "मिश्रण का मूल्य" की जगह रखो
Cross diagram से अनुपात निकालो

$CP_{mixture} = \frac{SP \times 100}{100 + \text{profit}\%}$

देखो PYQ 6a7dcd441ed41f41b201522e में यही हुआ: SP = ₹767, profit = 18%, तो $CP = \frac{767 \times 100}{118} = ₹650$ । अब alligation: A=₹614, B=₹695, mixture=₹650।

दो Containers से Mixing

जब दो containers में अलग-अलग ratio हो और final ratio चाहिए, तो हर container की एक quantity (जैसे पानी का fraction) निकालो और उन्हें alligation में treat करो।

Fraction निकालने का तरीका:

Container 1 में पानी : शराब = 4:3 → पानी का fraction = $\frac{4}{7}$
Container 2 में पानी : शराब = 2:1 → पानी का fraction = $\frac{2}{3}$
Desired ratio 13:8 → पानी का desired fraction = $\frac{13}{21}$

फिर alligation: $\frac{2}{3} - \frac{13}{21} = \frac{14-13}{21} = \frac{1}{21}$ और $\frac{13}{21} - \frac{4}{7} = \frac{13-12}{21} = \frac{1}{21}$

अनुपात = $\frac{1}{21} : \frac{1}{21} = 1:1$

तीन घटकों का मिश्रण

अगर तीन चीज़ें मिलाई जाएँ, तो पहले दो को मिलाओ, फिर उस intermediate mixture को तीसरे के साथ। या सीधे भारित औसत equation लिखो:

$m = \frac{a \cdot w_1 + b \cdot w_2 + c \cdot w_3}{w_1 + w_2 + w_3}$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternCross-Diagram हमेशा पहले बनाओ

जैसे ही mixture का कोई भी प्रश्न दिखे — तुरंत cross diagram बनाओ। तीन values: सस्ता (a), महँगा (b), मिश्रण (m)। Cross subtract करो: ऊपर-दाएँ से नीचे-बाएँ और ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ। अनुपात मिल जाएगा। Standard equation लिखने में: 45 seconds। Cross diagram से: 12 seconds।

patternProfit-Loss + Alligation में पहला कदम CP निकालना

जब भी selling price और profit% दिया हो और alligation लगाना हो — पहले $CP = \frac{SP \times 100}\{100 + P\%\}$ लगाओ, उसके बाद alligation। बहुत से उम्मीदवार SP को ही alligation में डाल देते हैं — यह गलत है। यह एक step extra है लेकिन यही सही रास्ता है। इस pattern को पहचानने पर: 4 steps बचते हैं (equation बनाने और solve करने के)।

estimationFraction Conversion — LCM से तुरंत

जब दो containers के ratio दिए हों और fractions compare करने हों, तो तीनों denominators का LCM निकालो और सब fractions को उसी base पर convert करो। जैसे 4/7, 2/3, और desired 13/21 — LCM = 21। तो 4/7 = 12/21, 2/3 = 14/21। Alligation: (14-13):(13-12) = 1:1। Calculator-जैसी LCM trick: 3 denominators के LCM की जगह simply सबको multiply करके simplify करो — 5 steps कम।

patternReplacement Formula — घातांक पहचानो

जब "x बार mixture निकाला और x बार नया पदार्थ डाला" लिखा हो — formula है $\text\{शेष\} = \text{Total} \times \left(\frac{\text{Total} - \text\{निकाला\}}{Total}\right)^n$ । अगर सिर्फ एक बार हो (n=1), formula की ज़रूरत नहीं — सीधे proportion। 2+ बार हो तो formula। Standard step-by-step: 5 steps प्रति replacement। Formula: 1 calculation।

eliminationAlligation में Weighted Average की जाँच

अनुपात निकालने के बाद verify करो: $\frac{a \cdot w_1 + b \cdot w_2}{w_1 + w_2}$ = m होना चाहिए। यह 10-second check है जो गलत answer को exam hall में ही पकड़ लेता है — मिश्रण का प्रश्न लगभग 30% बार arithmetic error से गलत होते हैं। यह verification: 10 seconds, गलत answer submit करने की cost: 0.25 marks।

तेज़-समाधान रूपरेखा

Exam hall में यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

क्या दो चीज़ें मिल रही हैं और combined value चाहिए? → Alligation (Cross Diagram)
क्या mixture से निकालकर नया डाला जा रहा है? → Replacement formula
क्या दो containers से mix करके final ratio चाहिए? → Fraction + Alligation

Step 2 — Profit/Loss है क्या?

हाँ → पहले CP निकालो, फिर alligation
नहीं → सीधे alligation

Step 3 — Cross Diagram बनाओ:

तीन values भरो: a (कम), b (ज़्यादा), m (मिश्रण)
Cross subtract: $(b-m)$ और $(m-a)$
अनुपात = $(b-m):(m-a)$

Step 4 — Verify:

अनुपात को back-check करो: weighted average = m?
अगर मात्रा माँगी है — अनुपात से actual quantity निकालो

एक प्रश्न पर अधिकतम 90 seconds। अगर 60 seconds में cross diagram नहीं बना, तो mark करो और आगे बढ़ो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह Replacement + Water Addition का combination है जो SBI PO में बार-बार आता है। सबसे common गलती — 25% mixture हटाने के बाद पानी की मात्रा गलत calculate करना।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

A 140 liters mixture contains 80 liters milk and the remaining is water. 25% mixture is removed and 19 liters of water is added. Find the final quantity of water.

66 lit
64 lit
54 lit
60 lit

Solutionसमाधान

Water = 60L. After removing 25% mixture, remaining water = 60×(3/4) = 45L. Adding 19L water gives final water = 45+19 = 64 litres.

समाधान का रास्ता:

कुल मिश्रण = 140L, दूध = 80L, पानी = 60L
25% mixture हटाया → 35L हटाया (जिसमें दूध = 20L, पानी = 15L)
शेष पानी = $60 - 15 = 45L$
19L पानी मिलाया → अंतिम पानी = $45 + 19 = 64L$

क्यों यह प्रश्न: Profit-Loss + Alligation का classic combination। यहाँ selling price और profit% दोनों दिए हैं — पहले CP निकालना अनिवार्य है। जो सीधे ₹767 को alligation में डालते हैं, उनका answer गलत आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019

35kg of a type of gram (type A) which costs ₹614 per kg was mixed with certain amount of another type of gram (type B), which costs ₹695 per kg. Then the mixture was sold at ₹767 per kg and 18% profit was gained. What was the amount of type B in the mixture?

24 kg
28 kg
36 kg
32 kg

Solutionसमाधान

Cost price of mixture = 767×100/118 = ₹650/kg. Using alligation with CP of A=614, B=695, mixture CP=650: ratio of A:B = (695-650):(650-614) = 45:36 = 5:4. So B = 35×(4/5) = 28 kg.

समाधान का रास्ता:

Profit 18%, SP = ₹767 → $CP = \frac{767 \times 100}{118} = ₹650/kg$
Alligation: A = ₹614, B = ₹695, Mixture = ₹650
Cross diagram: $(695 - 650) : (650 - 614) = 45 : 36 = 5 : 4$
Type A = 35 kg, तो Type B = $35 \times \frac{4}{5} = 28$ kg

क्यों यह प्रश्न: दो containers से mixing और final ratio — SBI PO में यह pattern confusing लगता है क्योंकि ratios को fractions में convert करना पड़ता है। जो यह step skip करते हैं, वे गलत answer पर पहुँचते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2019

In a pot, the ratio of water and alcohol is 4 : 3. In another pot, the ratio of water and alcohol is 2 : 1. In what ratio mixture should be taken from both mixtures to make final mixture so that in final mixture the ratio of water and alcohol be 13 : 8?

Solutionसमाधान

Water fraction in mixture 1 = 4/7, in mixture 2 = 2/3, and desired = 13/21. Using alligation: (2/3 - 13/21):(13/21 - 4/7) = (1/21):(1/21) = 1:1. So the ratio is 1:1.

समाधान का रास्ता:

Container 1: पानी:शराब = 4:3 → पानी का fraction = $\frac{4}{7}$
Container 2: पानी:शराब = 2:1 → पानी का fraction = $\frac{2}{3}$
Desired ratio 13:8 → पानी का fraction = $\frac{13}{21}$
LCM(7,3,21) = 21 पर convert: $\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$ , $\frac{2}{3} = \frac{14}{21}$
Alligation: $(14 - 13) : (13 - 12) = 1 : 1$

आम गलतियाँ

SP को CP की जगह रखना: जब profit% दिया हो, alligation में selling price मत डालो — पहले CP = SP×100/(100+P%) निकालो। यह सबसे common और सबसे महँगी गलती है।
Replacement में ratio vs. quantity confuse करना: जब mixture हटाया जाए तो दूध और पानी दोनों उसी अनुपात में हटते हैं जिस अनुपात में mixture में हैं। सिर्फ पानी या सिर्फ दूध नहीं हटता — जब तक specifically न कहा जाए।
Alligation में घटाव की दिशा उलटना: Cross diagram में हमेशा "विकर्ण" (diagonal) subtract होता है — बड़े से छोटा। $(b - m)$ और $(m - a)$ दोनों positive होने चाहिए। अगर negative आए तो तुमने m को सीमा के बाहर रखा है।
Final ratio को final quantity समझना: Alligation सिर्फ अनुपात देता है। अगर प्रश्न में एक quantity दी हो, तो अनुपात से दूसरी निकालो — cross-multiply करो।
तीन चीज़ों के मिश्रण में direct alligation लगाना: तीन components हों तो पहले दो को मिलाओ, फिर तीसरे के साथ। या linear equation लिखो। Single alligation तीन पर सीधे नहीं लगती।
Fraction conversion में arithmetic error: $\frac{4}{7}$ , $\frac{2}{3}$ जैसे fractions को common denominator पर लाते समय calculation गलत हो जाती है। LCM निकालो, फिर numerator multiply करो — जल्दबाज़ी में यही गलत होता है।

SBI PO के लिए मिश्रण और मिश्रधातु — अनुपात, सांद्रता और Alligation Rule

अवधारणा

गहन विश्लेषण

Alligation Rule — दृश्य विधि

Replacement Problem — सबसे महत्त्वपूर्ण प्रकार

Profit-Loss के साथ Alligation — SBI PO का असली Challenge

दो Containers से Mixing

तीन घटकों का मिश्रण

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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