SBI PO कार्य और समय — दक्षता, मानव-दिवस और संयुक्त कार्य की पूरी तैयारी

अवधारणा

कार्य और समय का मूल विचार यह है: किसी काम को पूरा करने की गति (दक्षता) और उसमें लगने वाला समय, एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

इसे एक सरल उदाहरण से समझो — मान लो एक नल एक टंकी को 10 घंटे में भरता है। यानी वह नल प्रति घंटे पूरी टंकी का $\frac{1}{10}$ हिस्सा भरता है। यह $\frac{1}{10}$ उसकी दक्षता (efficiency) है।

अब अगर दो नल एक साथ खुलें और दोनों की दक्षता $\frac{1}{10}$ तथा $\frac{1}{15}$ हो, तो मिलकर वे प्रति घंटे $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ काम करेंगे — यानी 6 घंटे में टंकी भरेगी।

मुख्य अवधारणाएँ जो SBI PO में आती हैं:

1. एकल दक्षता: यदि कोई व्यक्ति $n$ दिन में काम करता है, तो प्रतिदिन दक्षता = $\frac{1}{n}$
2. संयुक्त दक्षता: एक साथ काम करने वाले सभी लोगों की दक्षता जोड़ो
3. मानव-दिवस (Man-Days): $\text{पुरुष} \times \text{दिन} \times \text{घंटे} = \text{कुल कार्य}$ — यह एक constant रहता है
4. आंशिक कार्य: जब x दिन में $\frac{p}{q}$ काम हो चुका हो, तो बचा काम $\left(1 - \frac{p}{q}\right)$ है
5. वेतन का वितरण: वेतन हमेशा किए गए काम के अनुपात में बँटता है, न कि समय के अनुपात में

एक सरल सादृश्य: दक्षता को "नल की गति" की तरह सोचो — बड़ा नल जल्दी भरेगा, छोटा नल देर से। दोनों एक साथ खोलो तो दोनों की गतियाँ जुड़ती हैं। यही "संयुक्त कार्य" है।

SBI PO में इस topic से 2-3 प्रश्न सीधे आते हैं, और कुछ DI sets में भी यही logic काम आता है। इसलिए इस chapter को रटने की नहीं, समझने की ज़रूरत है।

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र और उनकी व्युत्पत्ति

सूत्र 1: दक्षता और समय का संबंध

$\text{दक्षता} = \frac{1}{\text{समय}}$

अगर A, $a$ दिन में काम करे और B, $b$ दिन में, तो दोनों मिलकर:

$\text{संयुक्त समय} = \frac{ab}{a+b}$

यह सूत्र याद करने की ज़रूरत नहीं — बस दोनों की दक्षता जोड़ो और उलटा करो।

सूत्र 2: मानव-दिवस (Man-Days) सूत्र

$M_1 \times D_1 \times H_1 \times E_1 = M_2 \times D_2 \times H_2 \times E_2$

जहाँ M = पुरुषों की संख्या, D = दिन, H = प्रतिदिन घंटे, E = efficiency

जब कोई condition नहीं बदली हो तो उसे दोनों तरफ cancel कर दो।

LCM विधि — परीक्षा में सबसे तेज़

SBI PO में भिन्नों से बचने का सबसे अच्छा तरीका है — कुल काम को LCM मान लो।

उदाहरण: A, 12 दिन में और B, 8 दिन में काम करे।

• LCM(12, 8) = 24 → कुल काम = 24 units
• A की दक्षता = $\frac{24}{12}$ = 2 units/दिन
• B की दक्षता = $\frac{24}{8}$ = 3 units/दिन
• मिलकर = 5 units/दिन → समय = $\frac{24}{5}$ = 4.8 दिन

भिन्नों का झंझट नहीं, पूरे numbers में काम।

तीन व्यक्तियों वाले प्रश्न

जब A+B मिलकर, B+C मिलकर, A+C मिलकर का समय दिया हो:

$\text{A+B+C की दक्षता} = \frac{(A+B) + (B+C) + (A+C)}{2} \text{ की दक्षता}$

यानी तीनों की संयुक्त दक्षता = $\frac{\text{तीनों जोड़ियों की दक्षताओं का योग}}{2}$

वेतन वितरण — सबसे अधिक गलत होने वाला type

नियम: वेतन काम के अनुपात में बँटता है।

अगर A, B, C ने क्रमशः $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ प्रतिदिन काम किया और x दिन साथ काम किया, तो उनका काम का अनुपात = $\frac{x}{a} : \frac{x}{b} : \frac{x}{c}$ = $\frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

ध्यान दो — अगर सभी एक ही समय काम करें, तो x cancel हो जाता है और सिर्फ दक्षता का अनुपात लेना है।

पाइप और टंकी — कार्य और समय का ही extension

• भरने वाले नल → positive दक्षता (+)
• खाली करने वाले नल → negative दक्षता (−)
• टंकी पूरी भरी हो = 1 unit काम

Special case: अगर नल A, $a$ घंटे में भरे और रिसाव B, $b$ घंटे में खाली करे:

$\text{प्रभावी दक्षता} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Alternate दिन वाले प्रश्न

A और B बारी-बारी काम करें, A पहले दिन शुरू करे:

• पहले 2 दिनों में काम = A की दक्षता + B की दक्षता
• इसे "एक cycle" मानो और देखो कितने cycle लगते हैं

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा में जब कार्य और समय का प्रश्न देखो, यह निर्णय-क्रम अपनाओ:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

• क्या वेतन बाँटना है? → दक्षता का अनुपात निकालो, समय का नहीं
• क्या कुल समय निकालना है? → LCM method अपनाओ
• क्या अतिरिक्त पुरुष/दिन/घंटे बदल रहे हैं? → Man-Days formula

Step 2 — LCM लो या नहीं:

• अगर 2-3 लोगों का individual समय दिया है → LCM निकालो
• अगर efficiencies ratios में दी हैं → direct ratio use करो

Step 3 — बचा काम हमेशा check करो: $(1 - \text{हुआ काम})$ का हिस्सा calculate करो, गलती यहीं होती है

Step 4 — Answer cross-check: अगर A, B से तेज़ है तो A का वेतन B से ज़्यादा होना चाहिए। अगर उल्टा आए तो दक्षता और समय का अनुपात फिर देखो।

समय-सीमा: सीधे प्रश्न 60-90 सेकंड में हों। 3-variable जैसे complex प्रश्न 2-2.5 मिनट में।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह SBI PO 2016 का classic वेतन-वितरण प्रश्न है। Z की दक्षता निकालना और फिर अनुपात से वेतन बाँटना — यह दो-step approach है जो बहुत से छात्र गलत करते हैं क्योंकि वे Z के काम के बजाय Z के दिन के हिसाब से बाँट देते हैं।

समाधान का रास्ता:

1. LCM(5, 4, 2) = 20 → कुल काम = 20 units
2. X की दक्षता = 4/दिन, Y की = 5/दिन, 2 दिन में X+Y का काम = 18 units
3. Z ने बाकी 2 units किया → Z की दक्षता = 1/दिन (2 दिन में 2 units)
4. अनुपात: X:Y:Z = 8:10:2 = 4:5:1 → कुल 10 हिस्से
5. Z का वेतन = $\frac{1}{10} \times 5000 = ₹500$

क्यों यह प्रश्न: यह SBI PO 2025 का multi-variable efficiency प्रश्न है — तीन conditions, तीन unknowns। ऐसे प्रश्न SBI PO को IBPS PO से "slightly harder" बनाते हैं। Andy = a, Bill = b, Linda = c की efficiency मानकर systematic equations बनाना ही एकमात्र reliable approach है।

समाधान का रास्ता:

1. Condition 1: $\frac{25\% \times a}{25\% \times (b+c)} = \frac{1}{1}$ → $a = b+c$ ... (i)
2. Condition 2: \frac{\text{time for a+b to do 50% work}}{\text{time for c to do 100% work}} = \frac{1}{4}
   • $\frac{1/(2(a+b))}{1/c} = \frac{1}{4}$ → $2c = a+b$ ... (ii)
3. Equation (i) और (ii) से: $a = b+c$ और $2c = a+b$
   • (i) में से: $a - b = c$
   • (ii) में रखो: $2(a-b) = a+b$ → $2a - 2b = a + b$ → $a = 3b$
   • फिर $c = a - b = 3b - b = 2b$
   • Ratio: $a:b:c = 3:1:2$
4. कुल efficiency = $3+1+2 = 6$ units/दिन, 3 दिन में काम पूरा → कुल काम = 18 units
5. Bill की efficiency = 1 unit/दिन → Bill अकेले = 18 दिन

क्यों यह प्रश्न: यह SBI PO 2019 का Man-Days formula प्रश्न है जहाँ घंटे भी बदलते हैं। छात्र अक्सर "additional men" और "total men" में गड़बड़ाते हैं — answer 35 additional है, total नहीं।

समाधान का रास्ता:

1. पहले 25 दिनों में: 105 पुरुष × 25 दिन × 8 घंटे = 2/5 काम → total काम = $\frac{105 \times 25 \times 8}{2/5}$ = $105 \times 25 \times 8 \times \frac{5}{2}$ = 52,500 man-hours
2. बचा काम = 3/5, बचे दिन = 25, नए घंटे = 9
3. ज़रूरी पुरुष = $\frac{52,500 \times \frac{3}{2}}{25 \times 9}$ = $\frac{78,750}{225}$ = 140 पुरुष (alternative: direct ratio)
   • Simple ratio: $\frac{M_2}{105} = \frac{3/5 \times 25 \times 8}{2/5 \times 25 \times 9} = \frac{3 \times 8}{2 \times 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$
   • $M_2 = 140$ → Additional = $140 - 105 = 35$

आम गलतियाँ

• वेतन दिनों के अनुपात में बाँटना: यह सबसे महंगी गलती है। जो कम दिन में काम करता है वह तेज़ है, उसका वेतन ज़्यादा होता है — इसलिए हमेशा दक्षता (1/दिन) का अनुपात लो।

• "Additional men" को "total men" समझना: Man-Days प्रश्नों में अक्सर पूछा जाता है "कितने अतिरिक्त पुरुष चाहिए।" $M_2$ निकालने के बाद $M_2 - M_1$ करना मत भूलो।

• बचा काम गलत निकालना: अगर $\frac{2}{5}$ काम हो गया है तो बचा काम $\frac{3}{5}$ है, $\frac{2}{5}$ नहीं। प्रश्न को ध्यान से पढ़ो — "हुआ काम" और "बचा काम" में फ़र्क करो।

• LCM लेते समय Z की दक्षता को negative करना: पाइप-टंकी में outlet pipe की दक्षता negative होती है, लेकिन "कार्य और समय" में Z की दक्षता हमेशा positive होती है। दोनों chapters के rules mix मत करो।

• Efficiency ratio और time ratio को एक मानना: अगर A:B दक्षता = 3:1 है, तो A:B समय = 1:3 है — उल्टा। "ज़्यादा दक्षता = कम समय" — यह हमेशा याद रखो।

• Complex 3-variable प्रश्नों में guess-and-check लगाना: SBI PO 2025 जैसे प्रश्नों में options से backward work करने में 3+ मिनट लग जाते हैं। Systematic equations हमेशा तेज़ होती हैं — भले ही शुरुआत में 30 सेकंड ज़्यादा लगें।

संबंधित विषय

• pipes and cisterns
• time speed distance
• ratio and proportion
• percentage
• partnership
• simple interest

SarkariRise पर अभ्यास