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SBI PO के लिए क्रमचय और संचय — nPr, nCr, वितरण और व्यवस्था की पूरी रणनीति

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अवधारणा

क्रमचय और संचय — ये दोनों "गिनने" के औज़ार हैं, लेकिन इनके बीच एक बुनियादी फ़र्क है जो SBI PO में बार-बार trap करता है।

संचय (Combination): तुम एक committee बनाते हो। Ram, Shyam, Geeta — या Geeta, Ram, Shyam — दोनों एक ही committee है। क्रम मायने नहीं रखता।

क्रमचय (Permutation): तुम एक podium बनाते हो। Gold–Silver–Bronze अलग है Bronze–Silver–Gold से। क्रम मायने रखता है।

एक ठोस analogy: एक ATM PIN — 1234 और 4321 दो अलग PIN हैं, इसलिए यह क्रमचय है। लेकिन एक fruit basket में 4 fruits चुनना — apple, mango, banana किसी भी क्रम में चुनो, basket एक ही है — यह संचय है।

मूल सूत्र:

$nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

$nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

और इनका सम्बन्ध: $nP_r = nC_r \times r!$

यानी: क्रमचय = संचय × क्रम की व्यवस्था

SBI PO में यह topic इसलिए कठिन है क्योंकि प्रश्न सीधे "nPr निकालो" नहीं पूछता — वह एक scenario देता है और तुम्हें खुद तय करना है कि यह क्रमचय है या संचय, और कौन-सा प्रतिबंध कहाँ लागू होगा।

गहन विश्लेषण

दोहराव वाले अक्षर/वस्तुओं की व्यवस्था

जब सभी n वस्तुएं अलग हों: व्यवस्थाएं $= n!$

जब कुछ वस्तुएं दोहराई जाएं — मान लो $p$ बार एक, $q$ बार दूसरी:

$\text{व्यवस्थाएं} = \frac{n!}{p! \cdot q!}$

PUNCTUAL में 8 अक्षर हैं: P, U, N, C, T, U, A, L — यहाँ U दो बार है। $= \frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$

परीक्षा में trap: अक्षर गिनते समय दोहराव छूट जाता है। MATHEMATICS में M दो बार, A तीन बार, T दो बार है — तीन-तीन denominator भूलना सबसे common गलती।

प्रतिबंध वाली व्यवस्था — "साथ रहना" और "साथ न रहना"

"X और Y हमेशा साथ रहें" वाले प्रश्न:

उन्हें एक unit मानो, फिर बाकियों के साथ arrange करो, फिर unit के अंदर arrange करो।

8 लोग, 3 हमेशा साथ → 3 को 1 unit मानो = $(8-3+1) = 6$ units $= 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$

"कोई दो लड़कियाँ साथ न हों" — Gap Method:

यह SBI PO का सबसे ज़्यादा आने वाला scenario है।

तरीका:

पहले लड़कों को arrange करो: $m!$ तरीके
$m$ लड़कों के बीच और किनारों पर $(m+1)$ gaps बनते हैं
उन gaps में से $g$ gaps चुनो: $\binom{m+1}{g}$
लड़कियों को arrange करो: $g!$ तरीके

5 लड़के, 4 लड़कियाँ, कोई दो लड़कियाँ साथ न हों: $5! \times \binom{6}{4} \times 4! = 120 \times 15 \times 24 = 43200$

6 पुरुष, 4 महिलाएं, कोई दो महिलाएं साथ न हों: $6! \times \binom{7}{4} \times 4! = 720 \times 35 \times 24 = 604800$

Complementary Counting — "कम से कम एक" वाले प्रश्न

यह सबसे efficient technique है:

$\text{कम से कम एक} = \text{कुल} - \text{एक भी नहीं}$

6 उपन्यास, 3 कविता-संग्रह, 4 किताबें चुनो, कम से कम 1 कविता ज़रूर हो: $= \binom{9}{4} - \binom{6}{4} = 126 - 15 = 111$

Direct method से: 1 कविता + 3 उपन्यास, 2 कविता + 2 उपन्यास, 3 कविता + 1 उपन्यास — तीनों cases जोड़ने में गलती की संभावना ज़्यादा। Complementary हमेशा तेज़ और सुरक्षित।

Stars and Bars — समान वस्तुओं का वितरण

यह technique SBI PO में regularly आती है लेकिन अधिकांश students को पता ही नहीं।

$n$ एकसमान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग डिब्बों में बाँटना (कोई डिब्बा खाली हो सकता है): $= \binom{n+r-1}{r-1}$

कोई डिब्बा खाली न हो: पहले हर डिब्बे में 1 डालो, फिर बाकी $(n-r)$ वस्तुएं $r$ डिब्बों में: $= \binom{(n-r)+r-1}{r-1} = \binom{n-1}{r-1}$

10 गेंदें, 4 डिब्बे, कोई खाली नहीं: $= \binom{10-1}{4-1} = \binom{9}{3} = 84$

10 किताबें (एकसमान), 4 छात्र, हर छात्र को कम से कम 1: $= \binom{9}{3} = 84$

सावधान: यह formula तभी काम करता है जब वस्तुएं identical हों। अलग-अलग वस्तुओं के लिए अलग approach।

nCr की महत्वपूर्ण property

$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$

इसका exam में उपयोग: $\binom{15}{13} = \binom{15}{2} = 105$ — बड़ी calculation से बचो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternGap Method — लड़कियाँ अलग रहें

जब भी "कोई दो X साथ न हों" देखो, तुरंत Gap Method। पहले बाकियों को arrange करो, gaps गिनो $(m+1)$ , उनमें से $g$ चुनो।

Standard direct method: सभी cases enumerate करो — कम से कम 5 sub-cases, ~3 मिनट। Gap Method: 3 steps — $m! \times \binom{m+1}{g} \times g!$ — 40 seconds।

5 लड़के, 4 लड़कियाँ: $120 \times 15 \times 24 = 43200$ — बस।

eliminationComplementary Counting — कम से कम एक

"कम से कम 1" देखते ही: Total − None।

Direct enumeration: 1+3, 2+2, 3+1 — तीन cases, हर case में nCr, फिर जोड़ — 2 मिनट, गलती की संभावना अधिक। Complementary: $\binom{9}{4} - \binom{6}{4} = 126 - 15 = 111$ — 30 seconds, एक ही calculation।

यह technique किसी भी "कम से कम k" प्रश्न पर लागू होती है जब $k=1$ या $k$ छोटा हो।

patternStars and Bars — identical वस्तुओं का वितरण

" $n$ एकसमान वस्तुएं, $r$ अलग boxes" — formula याद करो:

कोई restriction नहीं: $\binom{n+r-1}{r-1}$
हर box में कम से कम 1: $\binom{n-1}{r-1}$

Standard method: सभी $(x_1, x_2, \ldots, x_r)$ combinations enumerate करने की कोशिश — impossible for $n=10, r=4$ । Stars and Bars: $\binom{9}{3} = 84$ — 15 seconds।

Trigger: प्रश्न में "identical/एकसमान" शब्द + distribution → यही formula।

patternUnit Method — साथ रहने की शर्त

"X, Y, Z हमेशा साथ रहें" → उन्हें एक unit बनाओ।

$n$ objects, $k$ हमेशा साथ → $(n-k+1)$ units को arrange करो: $(n-k+1)!$ Unit के अंदर: $k!$ कुल: $(n-k+1)! \times k!$

8 लोग, 3 साथ: $(8-3+1)! \times 3! = 6! \times 6 = 4320$ — बिना cases के, 20 seconds।

patternnCr symmetry — बड़े r से बचो

$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ हमेशा।

$\binom{20}{17}$ calculate मत करो — यह $\binom{20}{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{6} = 1140$ है। Standard: 17 terms का product/division — 90 seconds। Symmetry trick: 3 terms — 10 seconds।

जब भी $r > n/2$ , तुरंत $\binom{n}{n-r}$ में convert करो।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में यह decision tree follow करो:

Step 1 — क्रम मायने रखता है?

हाँ → Permutation ( $nPr$ )
नहीं → Combination ( $nCr$ )

Step 2 — कोई प्रतिबंध है?

"साथ रहना" → Unit Method, फिर बाकी arrange
"साथ न रहना" → Gap Method (पहले बाकियों को arrange करो)
"कम से कम एक" → Complementary: Total − None
कोई restriction नहीं → सीधा formula

Step 3 — वस्तुएं identical हैं?

हाँ → Stars and Bars
नहीं → Permutation/Combination के standard formula

Step 4 — दोहराव वाले अक्षर?

$\frac{n!}{p! \cdot q! \cdots}$ — हर दोहराव का factorial denominator में

Speed check: अगर answer 5 digits से ऊपर जा रहा है और options में छोटे numbers हैं, गलती की संभावना — step 2 फिर से check करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: दोहराव वाले अक्षरों की व्यवस्था — SBI PO में यह pattern बार-बार आता है। अक्षर गिनते समय दोहराव पहचानना ही असली skill है।

समाधान का रास्ता: PUNCTUAL → P, U, N, C, T, U, A, L → 8 अक्षर, U दो बार। Formula: $\frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2015

In how many different ways can the letters of the word 'PUNCTUAL' be arranged?

64
20160
960
40320

Solutionसमाधान

PUNCTUAL has 8 letters with 'U' repeated twice. Number of arrangements = 8!/2! = 40320/2 = 20160.

क्यों यह प्रश्न: Stars and Bars का classic form — "कोई डिब्बा खाली न हो" की condition के साथ। यह formula याद न हो तो यह प्रश्न 5 मिनट में भी solve नहीं होगा।

समाधान का रास्ता: 10 identical गेंदें, 4 boxes, कोई खाली नहीं। पहले हर box में 1 दो → 6 बचीं। अब $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6$ , Stars and Bars: $\binom{6+4-1}{4-1} = \binom{9}{3} = 84$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In how many ways can 10 identical balls be distributed among 4 distinct boxes such that no box remains empty?

10 एकसमान गेंदों को 4 अलग-अलग डिब्बों में कितने तरीकों से बाँटा जा सकता है, जबकि कोई भी डिब्बा खाली न रहे?

Solutionसमाधान

Since no box can be empty, first put 1 ball in each box. Now we need to distribute remaining 6 balls among 4 boxes with no restriction. This is equivalent to finding number of non-negative integer solutions to x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 6. Using stars and bars method: C(n+k-1, k-1) = C(6+4-1, 4-1) = C(9,3) = 84.

चूंकि कोई बॉक्स खाली नहीं हो सकता, पहले प्रत्येक बॉक्स में 1 गेंद रखें। अब शेष 6 गेंदों को 4 बॉक्स में बांटना है। यह x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 6 के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या खोजने के समान है। Stars and bars विधि से: C(9,3) = 84।

क्यों यह प्रश्न: Gap Method का textbook application — 5+4 mix, कोई दो लड़कियाँ adjacent नहीं। यह SBI PO Prelims और Mains दोनों में आता है।

समाधान का रास्ता: लड़कों को पहले arrange करो: $5! = 120$ । 6 gaps बनते हैं। 6 में से 4 choose करो: $\binom{6}{4} = 15$ । लड़कियों को arrange करो: $4! = 24$ । कुल: $120 \times 15 \times 24 = 43200$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In how many ways can 5 boys and 4 girls be arranged in a row such that no two girls sit together?

5 लड़कों और 4 लड़कियों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है, जबकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें?

43200
46800
43800
42000

43200
46800
43800
42000

Solutionसमाधान

First arrange 5 boys in 5! ways = 120. This creates 6 gaps (before first, between boys, after last). Choose 4 gaps from 6 for girls in 6C4 = 15 ways. Arrange 4 girls in chosen gaps in 4! = 24 ways. Total = 120 × 15 × 24 = 43200.

पहले 5 लड़कों को 5! = 120 तरीकों से व्यवस्थित करें। इससे 6 स्थान बनते हैं। 6 में से 4 स्थान चुनें = 6C4 = 15 तरीके। 4 लड़कियों को चुने गए स्थानों में 4! = 24 तरीकों से व्यवस्थित करें। कुल = 120 × 15 × 24 = 43200।

क्यों यह प्रश्न: Complementary counting का clean example — "कम से कम 1" condition। Direct method में 3 cases, complementary में 1 subtraction।

समाधान का रास्ता: कुल: $\binom{9}{4} = 126$ । बिना कविता के: $\binom{6}{4} = 15$ । कम से कम 1 कविता: $126 - 15 = 111$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

From 6 different novels and 3 different poems, in how many ways can 4 books be selected if at least one poem must be included?

6 अलग-अलग उपन्यासों और 3 अलग-अलग कविता-संग्रहों में से 4 किताबें कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं, यदि कम से कम एक कविता-संग्रह जरूर शामिल हो?

Solutionसमाधान

Total ways to select 4 books from 9 = 9C4 = 126. Ways to select 4 books with no poems (all novels) = 6C4 = 15. Ways with at least one poem = 126 - 15 = 111.

9 किताबों में से 4 चुनने के कुल तरीके = 9C4 = 126। बिना कविता के (केवल उपन्यास) = 6C4 = 15। कम से कम एक कविता के साथ = 126 - 15 = 111।

क्यों यह प्रश्न: Unit Method का direct application — "3 खास लोग हमेशा साथ" condition। इसे एक unit मानना automatically step count घटा देता है।

समाधान का रास्ता: 3 को 1 unit बनाओ → 6 units। $6! = 720$ । Unit के अंदर: $3! = 6$ । कुल: $720 \times 6 = 4320$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In how many ways can 8 people be arranged in a row such that 3 particular people are always together?

8 लोगों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से खड़ा किया जा सकता है, जबकि 3 खास लोग हमेशा साथ रहें?

2880
3600
4320
5040

2880
3600
4320
5040

Solutionसमाधान

Treat the 3 particular people as one unit. So we have 6 units to arrange in 6! = 720 ways. Within the unit, 3 people can be arranged in 3! = 6 ways. Total arrangements = 6! × 3! = 720 × 6 = 4320.

3 विशेष व्यक्तियों को एक इकाई मानें। तो हमारे पास 6 इकाइयों को 6! = 720 तरीकों से व्यवस्थित करना है। इकाई के भीतर, 3 लोगों को 3! = 6 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। कुल व्यवस्थाएं = 6! × 3! = 720 × 6 = 4320।

क्यों यह प्रश्न: Gap Method का 6+4 version — 7 gaps में से 4 choose करना। यह $\binom{7}{4} = 35$ calculation SBI PO में देखी गई है।

समाधान का रास्ता: 6 पुरुषों को arrange करो: $6! = 720$ । 7 gaps बनते हैं। 4 महिलाओं के लिए 4 gaps: $\binom{7}{4} = 35$ । महिलाओं की arrangement: $4! = 24$ । कुल: $720 \times 35 \times 24 = 604800$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

How many ways can 6 men and 4 women be arranged in a row such that no two women sit together?

6 पुरुषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बिठाया जा सकता है, जिससे कोई भी दो महिलाएं एक-साथ न बैठें?

432000
604800
518400
720000

432000
604800
518400
720000

Solutionसमाधान

First arrange 6 men in 6! = 720 ways. This creates 7 gaps (before first, between men, after last). Choose 4 gaps from these 7 for women: C(7,4) = 35 ways. Arrange 4 women in chosen gaps: 4! = 24 ways. Total = 720 × 35 × 24 = 604800.

पहले 6 पुरुषों को 6! = 720 तरीकों से व्यवस्थित करें। इससे 7 स्थान बनते हैं (पहले से पहले, पुरुषों के बीच, अंत के बाद)। महिलाओं के लिए इन 7 में से 4 स्थान चुनें: C(7,4) = 35 तरीके। चुने गए स्थानों में 4 महिलाओं को व्यवस्थित करें: 4! = 24 तरीके। कुल = 720 × 35 × 24 = 604800।

क्यों यह प्रश्न: Stars and Bars का duplicate प्रश्न — identical किताबें, छात्रों में वितरण। Formula एक है: $\binom{n-1}{r-1}$ ।

समाधान का रास्ता: 10 identical किताबें, 4 छात्र, हर को कम से कम 1। पहले 1-1 दो → 6 बचीं → $\binom{9}{3} = 84$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In how many ways can 10 identical books be distributed among 4 students such that each student gets at least 1 book?

10 एक जैसी किताबों को 4 छात्रों में कितने तरीकों से बाँटा जा सकता है, जबकि हर छात्र को कम से कम 1 किताब मिले?

Solutionसमाधान

First give 1 book to each student, leaving 6 books to distribute freely among 4 students. This is equivalent to finding non-negative integer solutions to x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 6. Using stars and bars formula: C(6+4-1, 4-1) = C(9,3) = 84.

पहले प्रत्येक छात्र को 1 किताब दें, जिससे 6 किताबें 4 छात्रों में मुक्त रूप से वितरित करने को बचती हैं। यह x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 6 के गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधान खोजने के बराबर है। stars और bars सूत्र का उपयोग करके: C(6+4-1, 4-1) = C(9,3) = 84।

आम गलतियाँ

दोहराव न गिनना: MATHEMATICS में M, A, T तीनों repeat होते हैं। अगर सिर्फ $11!$ लगा दिया तो answer कई गुना बड़ा आएगा। हर word में पहले repetition check करो — यह 10 seconds का काम है जो marks बचाता है।
Identical और Distinct में confusion: "10 एकसमान गेंदें 4 boxes में" vs "10 अलग-अलग गेंदें 4 boxes में" — पहले में Stars and Bars ( $\binom{9}{3}$ ), दूसरे में $4^{10}$ (हर गेंद के 4 choices)। प्रश्न में "identical/एकसमान/एक जैसी" शब्द देखते ही alert हो जाओ।
Gap Method में gaps की गलत गिनती: $m$ लोगों की row में gaps होते हैं $m+1$ (दोनों किनारे + बीच के)। $m-1$ मत लिखो। 5 लड़कों के लिए 6 gaps, 6 पुरुषों के लिए 7 gaps।
"कम से कम 1" में direct method की कोशिश: जब options close हों (जैसे 105, 111, 120, 126) तो direct method में गलत case छूट सकता है। Complementary method में एक ही calculation — गलती की गुंजाइश नहीं।
nCr symmetry ignore करना: $\binom{15}{13}$ को 13-term product से निकालने की कोशिश में समय नष्ट होता है। $\binom{15}{2} = 105$ — 5 seconds।
Unit Method में unit के अंदर की arrangement भूलना: 3 लोगों को 1 unit बनाया, बाकियों के साथ arrange किया — लेकिन unit के अंदर $3! = 6$ multiply करना भूल गए। Final answer $6!$ की जगह $6! \times 3!$ है। Unit बनाते ही एक note लिखो: "अंदर $k!$ "।

SBI PO के लिए क्रमचय और संचय — nPr, nCr, वितरण और व्यवस्था की पूरी रणनीति

अवधारणा

गहन विश्लेषण

दोहराव वाले अक्षर/वस्तुओं की व्यवस्था

प्रतिबंध वाली व्यवस्था — "साथ रहना" और "साथ न रहना"

Complementary Counting — "कम से कम एक" वाले प्रश्न

Stars and Bars — समान वस्तुओं का वितरण

nCr की महत्वपूर्ण property

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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