SBI PO प्रायिकता — पासा, ताश, गेंद और स्वतंत्र घटनाओं की पूरी तैयारी

अवधारणा

प्रायिकता वह गणितीय माप है जो बताता है — किसी घटना के घटित होने की कितनी संभावना है। मान लो परीक्षा हॉल में तुम एक बंद लिफाफे से प्रश्न-पत्र निकालते हो। लिफाफे में 3 आसान और 2 कठिन पर्चियाँ हैं। बिना देखे एक निकालोगे तो आसान पर्ची मिलने की प्रायिकता 3/5 है — यह सहज बोध ही प्रायिकता का मूल आधार है।

औपचारिक परिभाषा सरल है:

$P(\text{घटना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$

यहाँ ध्यान रखो — यह अनुपात हमेशा 0 और 1 के बीच होता है। $P = 0$ का मतलब असंभव घटना, $P = 1$ का मतलब निश्चित घटना।

नमूना स्थान (Sample Space): किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय। एक पासे के लिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, कुल परिणाम = 6।

पूरक घटना का नियम सबसे शक्तिशाली उपकरण है:

$P(\text{घटना नहीं}) = 1 - P(\text{घटना})$

जब सवाल "कम से कम एक" या "कम से कम दो" का हो — हमेशा पूरक से जाओ। सीधे गिनने में 4 steps, पूरक से 1 step।

SBI PO में क्यों कठिन लगता है: यहाँ प्रश्न combinations के साथ मिले होते हैं। गेंद निकालना, ताश चुनना — ये सब $\binom{n}{r}$ से जुड़े हैं। इसलिए Combination का अभ्यास इस chapter का prerequisite है।

गहन विश्लेषण

मूल प्रकार और उनकी पहचान

प्रकार 1 — सरल नमूना स्थान (पासा, सिक्का, ताश का एक पत्ता)

एक पासा: कुल = 6। दो पासे: कुल = 36। तीन पासे: कुल = 216।

एक पत्ता निकालना: कुल = 52। नियम याद रखो:

• 4 suits: Hearts, Diamonds, Clubs, Spades — प्रत्येक में 13 पत्ते।
• Face cards = 12 (4 Jacks + 4 Queens + 4 Kings)।
• Ace अलग होते हैं — face card नहीं, लेकिन honour card हैं।

जोड़ का नियम (Addition Rule): दो घटनाएँ A और B के लिए:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

ताश में "King या Heart" का सवाल हमेशा इसी formula से। Kings = 4, Hearts = 13, King of Hearts = 1 (दोनों में गिना गया)। अनुकूल = 4 + 13 - 1 = 16।

प्रकार 2 — Combination-based (गेंद, व्यक्ति, cards)

जब बिना वापस रखे चुनाव हो:

$P(\text{घटना}) = \frac{\binom{\text{अनुकूल समूह}}{\text{चाहिए उतने}} \times \binom{\text{बाकी समूह}}{\text{बाकी चाहिए}}}{\binom{\text{कुल}}{\text{कुल चुने जाने}}}$

उदाहरण — 5 लाल, 6 नीली, 4 हरी गेंदों में से 3 अलग-अलग रंग की: $P = \frac{5 \times 6 \times 4}{\binom{15}{3}} = \frac{120}{455} = \frac{24}{91}$

यहाँ ध्यान दो — अलग-अलग रंग चुनना एक-एक गेंद चुनने जैसा है, इसलिए numerator में $\binom{5}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{4}{1} = 5 \times 6 \times 4$।

प्रकार 3 — पूरक नियम ("कम से कम एक")

"कम से कम एक पुरुष चुना जाए" का सीधा मतलब है: 1 - P(कोई पुरुष नहीं)।

$P(\text{कम से कम एक पुरुष}) = 1 - P(\text{सभी महिलाएँ}) = 1 - \frac{\binom{3}{2}}{\binom{7}{2}} = 1 - \frac{3}{21} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}$

यह approach SBI PO में सबसे ज़्यादा आती है। "कम से कम" देखते ही — पूरक।

प्रकार 4 — स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)

दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं जब एक के होने से दूसरे की प्रायिकता नहीं बदलती।

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

"A और B दोनों हल करें" का मतलब: $P(\text{दोनों हल}) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

"कम से कम एक हल करे" का सही तरीका: $P = 1 - P(\text{A नहीं हल}) \times P(\text{B नहीं हल}) = 1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{11}{12}$

क्रमागत चुनाव (Sequential Selection) — odd/even sum

जब बिना वापस रखे एक-एक करके चुनाव हो, तब:

$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2 | A_1)$

कार्ड 1 से 27 में से दो कार्ड एक-एक करके निकालो, योग odd हो:

$P = \frac{14}{27} \times \frac{13}{26} + \frac{13}{27} \times \frac{14}{26} = 2 \times \frac{14 \times 13}{27 \times 26} = \frac{364}{702} = \frac{14}{27}$

यह pattern याद करो — odd+even या even+odd, दोनों को जोड़ो।

Set Theory वाले प्रश्न

जब "कम से कम एक विषय पढ़ना" या "दोनों नहीं पढ़ना" जैसे प्रश्न हों:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

"दोनों नहीं पढ़ने वाले" = कुल - $n(A \cup B)$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में प्रायिकता का प्रश्न सामने आए तो यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का keyword पहचानो:

• "कम से कम" / "at least" → पूरक नियम सीधे लगाओ।
• "दोनों" / "सभी" → सीधा गुणन (independent) या combination।
• "योग odd/even" → odd-even count निकालो।
• "या" (A or B) → Addition rule, overlap ढूँढो।

Step 2 — कुल परिणाम (denominator) तय करो:

• बिना order के चुनाव → $\binom{n}{r}$।
• क्रम में / एक-एक करके → $n \times (n-1) \times ...$।
• पासा/सिक्का → सीधे $6^n$ या $2^n$।

Step 3 — अनुकूल परिणाम (numerator) गिनो:

• हमेशा denominator की तरह ही गिनो (दोनों combination या दोनों permutation)।

Step 4 — simplify करो:

• common factors cancel करो, answer choices से मिलाओ।

एक प्रश्न पर 90 seconds से ज़्यादा नहीं — अगर 60 seconds में denominator नहीं दिखा तो elimination से जाओ।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: Sequential selection (without replacement) में conditional probability का सीधा application। Odd sum के लिए odd-even pattern की पहचान ज़रूरी।

समाधान का रास्ता:

1. 1 से 27 में odd numbers = 14 (1,3,5,...,27), even = 13 (2,4,...,26)।
2. योग odd होने के लिए: (पहला odd, दूसरा even) या (पहला even, दूसरा odd)।
3. $P = \frac{14}{27} \times \frac{13}{26} + \frac{13}{27} \times \frac{14}{26} = \frac{2 \times 14 \times 13}{27 \times 26} = \frac{364}{702} = \frac{14}{27}$।
4. Shortcut: formula $\frac{2 \times 14 \times 13}{27 \times 26}$ सीधे लगाओ — 3 steps।

क्यों यह प्रश्न: "कम से कम एक" वाले प्रश्न में पूरक नियम की speed कितनी होती है — यह SBI PO में बार-बार आता है।

समाधान का रास्ता:

1. कुल तरीके = $\binom{7}{2} = 21$।
2. "कम से कम एक पुरुष" → पूरक: $1 - P(\text\{कोई पुरुष नहीं\})$।
3. सिर्फ महिलाएँ चुनना = $\binom{3}{2} = 3$ तरीके।
4. $P = 1 - \frac{3}{21} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$। पूरा हल 20 seconds में।

क्यों यह प्रश्न: दो पासों का सबसे classic प्रश्न। Pyramid pattern याद हो तो 10 seconds, नहीं हो तो 45 seconds।

समाधान का रास्ता:

1. कुल परिणाम = $6 \times 6 = 36$।
2. योग = 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6 जोड़े।
3. योग = 11: (5,6),(6,5) = 2 जोड़े।
4. कुल अनुकूल = 8। $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$।

क्यों यह प्रश्न: स्वतंत्र घटनाओं में "कम से कम एक सफल" — SBI PO में यह pattern descriptive section में भी आता है।

समाधान का रास्ता:

1. A नहीं हल करेगा: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$। B नहीं हल करेगा: $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
2. दोनों में से कोई नहीं हल करेगा = $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$।
3. कम से कम एक हल करेगा = $1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$।

क्यों यह प्रश्न: तीन रंगों की गेंदों में से अलग-अलग रंग — combination-based probability का core template।

समाधान का रास्ता:

1. कुल गेंदें = 5+6+4 = 15। Denominator = $\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} = 455$।
2. अलग-अलग रंग: लाल से 1, नीली से 1, हरी से 1 = $5 \times 6 \times 4 = 120$ तरीके।
3. $P = \frac{120}{455} = \frac{24}{91}$।

क्यों यह प्रश्न: ताश में Addition rule और overlap की पहचान — King of Hearts को दो बार गिनने की गलती सबसे आम है।

समाधान का रास्ता:

1. Kings = 4, Hearts = 13।
2. Overlap: King of Hearts = 1 (दोनों categories में)।
3. अनुकूल = 4 + 13 - 1 = 16। $P = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$।

क्यों यह प्रश्न: Set theory + probability — "न A न B" वाले प्रश्न SBI PO में DI के साथ भी आते हैं।

समाधान का रास्ता:

1. $n(\text\{गणित\} \cup \text\{भौतिकी\}) = 18 + 15 - 10 = 23$।
2. न गणित न भौतिकी = $30 - 23 = 7$।
3. $P = \frac{7}{30}$।

आम गलतियाँ

• King of Hearts को दो बार गिनना: "King या Heart" में King of Hearts दोनों categories में है। Addition rule में $-P(A \cap B)$ लगाना भूल जाते हैं — यही overlap है। हर "A या B" प्रश्न में overlap पहले ढूँढो।

• Ordered और Unordered का confusion: "बिना वापस रखे दो निकाले" — अगर order matter नहीं (जो ज़्यादातर combination problems में नहीं करता) तो denominator $\binom{n}{2}$ होगा, $n(n-1)$ नहीं। $n(n-1)$ तब जब पहला-दूसरा अलग हो (जैसे sequential cards problem में था)।

• "कम से कम" को सीधे calculate करना: P(ठीक 1) + P(ठीक 2) + P(ठीक 3)... — यह 4-5 terms हो जाते हैं, हर term में calculation। पूरक ($1 - P(\text\{कोई नहीं\})$) हमेशा 1-2 steps में देता है।

• स्वतंत्र घटनाओं में "दोनों सफल" और "कम से कम एक सफल" को गड्डमड्ड करना: "दोनों सफल" = $P(A) \times P(B)$। "कम से कम एक सफल" = $1 - P(A^c) \times P(B^c)$। दोनों अलग हैं — सवाल ध्यान से पढ़ो।

• Face cards की गलत गिनती: Face cards = 12 (J, Q, K — प्रत्येक suit में 3, चार suits में 12)। Ace face card नहीं है। "Face card या Ace" = 12 + 4 = 16, कोई overlap नहीं।

• दो पासों में ordered pairs न गिनना: (3,4) और (4,3) दो अलग परिणाम हैं। "योग 7" में सिर्फ (3,4) नहीं, (4,3) भी गिना जाएगा। हमेशा ordered pairs गिनो — इसीलिए total = 36, न कि $\binom{6}{2}+6 = 21$।

संबंधित विषय

• permutation
• combination
• set theory
• conditional probability
• dice problems
• cards problems

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