Learn / SSC CGL / Quant / Arithmetic

SSC CGL औसत (Average) — पूर्ण अध्ययन सामग्री: सूत्र, शॉर्टकट और PYQs

beginner 18 min read

अवधारणा

औसत — जिसे गणित में समांतर माध्य भी कहते हैं — वह एकल मान है जो किसी समूह की सभी संख्याओं को "बराबर-बराबर बाँट" दे तो प्रत्येक को मिले।

सोचो कि 5 दोस्तों के पास क्रमशः ₹10, ₹20, ₹30, ₹40, ₹50 हैं। अगर सब मिला दें और बराबर बाँट लें, तो प्रत्येक को ₹30 मिलेंगे। यही ₹30 इन 5 संख्याओं का औसत है।

मूल सूत्र:

$\text{औसत} = \frac{\text{सभी मानों का योग}}{\text{मानों की संख्या}}$

या उल्टा:

$\text{योग} = \text{औसत} \times \text{संख्याओं की गिनती}$

यह उल्टा रूप SSC CGL में 80% सवालों की चाबी है। जब भी "कोई एक संख्या हटाओ", "एक नया व्यक्ति जोड़ो", "गलत पढ़ा" जैसे शब्द दिखें — तुरंत योग निकालो, तुलना करो।

औसत एक pivot point है। औसत से ऊपर वाली संख्याओं का अतिरिक्त जोड़ हमेशा नीचे वाली संख्याओं की कमी के बराबर होता है। यह सोच "deviation method" की नींव है — बड़े calculations में यह सेकंड बचाता है।

परीक्षा में औसत के मुख्य प्रकार:

सरल औसत — सबसे आम, सीधा formula
औसत में बदलाव — कोई संख्या जोड़ने/हटाने पर क्या होगा
गलत मान का औसत — किसी संख्या को गलत पढ़ा, असली औसत निकालो
औसत चाल (Average Speed) — समान दूरी या समान समय के लिए अलग-अलग formula
लगातार संख्याओं का औसत — AP का middle term सीधे औसत होता है

गहन विश्लेषण

सरल औसत और योग-विधि

SSC CGL के औसत के अधिकांश सवाल एक ही ढाँचे के होते हैं:

"n संख्याओं का औसत A है। एक संख्या बदलने/हटाने/जोड़ने पर औसत B हो गया। वह संख्या क्या थी?"

तरीका — हमेशा योग निकालो:

पुराना योग = $n_1 \times A_1$
नया योग = $n_2 \times A_2$
अंतर = वह बदली हुई संख्या (या जोड़ी/हटाई गई संख्या)

यह तीन-चरण approach कभी fail नहीं होती।

Deviation Method (विचलन विधि)

जब संख्याएँ बड़ी हों और औसत का अनुमान हो, तो:

एक assumed mean (मान लो A) चुनो — कोई भी round number
प्रत्येक संख्या से A घटाओ — deviation निकालो
deviations का औसत निकालो और A में जोड़ो

उदाहरण: 498, 502, 495, 505, 500 का औसत

Assumed mean = 500

Deviations: −2, +2, −5, +5, 0 → योग = 0 → औसत = 500 + 0 = 500

Standard method में 5 बड़ी संख्याओं को जोड़ना होता — यहाँ 5 छोटे numbers जोड़े।

लगातार संख्याओं का औसत

Arithmetic Progression (AP) का नियम: यदि संख्याएँ समान अंतर पर हों, तो:

$\text{औसत} = \frac{\text{पहली} + \text{आखिरी}}{2} = \text{मध्य पद}$

पहले n प्राकृत संख्याओं का औसत = $\frac{n+1}\{2\}$
पहले n सम संख्याओं का औसत = $n+1$
पहले n विषम संख्याओं का औसत = $n$
किसी संख्या के पहले n गुणजों का औसत = $\frac{k(n+1)}\{2\}$ (जहाँ k वह संख्या है)

6 के पहले 10 गुणज: औसत = $\frac{6(10+1)}\{2\} = \frac\{66\}\{2\} = 33$ — सीधे formula से, जोड़ की ज़रूरत नहीं।

प्रत्येक संख्या में समान बदलाव करने पर औसत

प्रत्येक संख्या में $k$ जोड़ा → औसत में भी $k$ जुड़ेगा
प्रत्येक संख्या को $k$ से गुणा किया → औसत भी $k$ गुना होगा
प्रत्येक संख्या को $k$ से भाग दिया → औसत भी $k$ से भाग होगा

यह property calculator बचाती है — सीधे मानसिक गणना।

औसत चाल (Average Speed)

सबसे ज़्यादा गलती यहाँ होती है। औसत चाल कभी भी $(v_1 + v_2)/2$ नहीं होती जब दूरियाँ बराबर हों।

केस 1 — समान दूरी, अलग चाल:

$\text{औसत चाल} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

यह Harmonic Mean है। हमेशा Arithmetic Mean से कम होगा।

केस 2 — समान समय, अलग चाल:

$\text{औसत चाल} = \frac{v_1 + v_2}{2}$

यहाँ Arithmetic Mean सही है।

पहचान trick: सवाल में "आधा रास्ता" या "पहले X km... बाकी X km" → formula 1 लगाओ। "पहले 1 घंटे... अगले 1 घंटे" → formula 2 लगाओ।

भारित औसत (Weighted Average)

जब दो समूहों को मिलाना हो:

$\text{संयुक्त औसत} = \frac{n_1 A_1 + n_2 A_2}{n_1 + n_2}$

Alligation shortcut: दोनों औसतों के बीच की दूरी को ratio में बाँटो — जिस समूह का ratio ज़्यादा, वह संयुक्त औसत के करीब होगा।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternयोग-अंतर विधि

जब भी "n संख्याओं का औसत A, एक हटाने पर औसत B" आए —

नियम: हटाई गई संख्या = $n \times A - (n-1) \times B$

उदाहरण: 5 संख्याओं का औसत 27, एक हटाने पर 25 हटाई संख्या = $5 \times 27 - 4 \times 25 = 135 - 100 = 35$

Standard method: योग निकालो, घटाओ, फिर जोड़ो — 3 steps यह formula: direct substitution — 1 step, 8 सेकंड बनाम 20 सेकंड।

patternनए सदस्य की उम्र/वज़न निकालना

"n लोगों का औसत A, एक नया जोड़ने पर औसत B हुआ" — नए सदस्य का मान:

नियम: नया मान = $B + n \times (B - A)$

यानी: नया औसत + (पुरानी संख्या × औसत में बदलाव)

उदाहरण: 30 छात्रों का औसत वज़न 45 kg, शिक्षक जोड़ने पर 45.32 kg शिक्षक का वज़न = $45.32 + 30 \times (45.32 - 45) = 45.32 + 30 \times 0.32 = 45.32 + 9.6 = 54.92 \approx 55$ kg

Standard method: $31 \times 45.32 - 30 \times 45$ — बड़ा गुणा, गलती की संभावना अधिक। यह method: छोटे numbers, 15 सेकंड बनाम 35 सेकंड।

estimationसमान दूरी की औसत चाल — हमेशा कम

$v_1 = 60$ , $v_2 = 40$ दिया हो तो:

सरल औसत = 50 (गलत) — लेकिन Harmonic Mean हमेशा इससे कम होगा। Harmonic Mean = $\frac{2 \times 60 \times 40}\{100\} = 48$

Quick check: अगर options में 50 और 48 दोनों हों और दूरी बराबर हो, तो 50 को eliminate करो — answer हमेशा arithmetic mean से कम होगा।

Elimination: 1 विकल्प तुरंत हटे, 3 सेकंड बचें।

patternAP का मध्य पद = औसत

लगातार integers, सम, विषम, या किसी भी AP के लिए:

औसत = (पहला + आखिरी) ÷ 2

6 के पहले 10 गुणज: पहला = 6, आखिरी = 60 → औसत = $\frac{6+60}\{2\} = 33$

पहले 50 प्राकृत संख्याएँ: $\frac{1+50}\{2\} = 25.5$

Standard method: पूरा योग निकालो, 50 से भाग दो — 4 steps। यह trick: 1 step, 5 सेकंड बनाम 25 सेकंड।

patternगुणा/भाग पर औसत का बदलाव

"सभी संख्याओं को k से गुणा करो" → नया औसत = पुराना औसत × k

उदाहरण: 8 संख्याओं का औसत 21, सभी को 8 से गुणा किया → नया औसत = $21 \times 8 = 168$

कोई calculation नहीं, सिर्फ एक गुणा — 3 सेकंड में उत्तर। Standard method: योग निकालो, 8 से गुणा करो, 8 से भाग दो — 3 unnecessary steps।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में औसत का सवाल देखते ही यह flow follow करो:

Step 1 — सवाल का प्रकार पहचानो:

"हटाया / जोड़ा / बदला" → योग निकालो, अंतर करो
"सभी को गुणा / जोड़ा / घटाया" → औसत पर same operation
"लगातार संख्याएँ / गुणज" → AP formula: (पहला + आखिरी) ÷ 2
"समान दूरी, अलग चाल" → 2ab/(a+b)
"समान समय, अलग चाल" → (a+b)/2

Step 2 — योग लिखो (कभी मत छोड़ो): योग = औसत × संख्या — यह line हमेशा लिखो, calculation में anchor बनती है।

Step 3 — options देखो: अगर options बहुत अलग-अलग हों (जैसे 30, 35, 40, 45), तो estimation से एक-दो eliminate करो, फिर verify करो।

Step 4 — decimal में घबराओ मत: 45.32 जैसे options fraction में convert करो: $\frac\{1405\}\{31\}$ — calculator नहीं, long division ज़रूरी नहीं, बस verify करो।

Target: औसत का कोई भी straight सवाल 45 सेकंड से कम में।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह classic "हटाने पर औसत बदला" pattern है — SSC CGL में हर tier में आता है। योग-अंतर विधि का सबसे साफ़ उदाहरण।

समाधान का रास्ता: पहले पूरा योग निकालो, फिर शेष का योग निकालो, अंतर = हटाई संख्या।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The average of 5 numbers is 27. If one number is excluded, the average becomes 25. What is the excluded number?

5 संख्याओं का औसत 27 है। यदि एक संख्या को हटा दिया जाए, तो औसत 25 हो जाता है। हटाई गई संख्या क्या है?

Solutionसमाधान

Sum of 5 numbers = 5 × 27 = 135. Sum of remaining 4 numbers = 4 × 25 = 100. Excluded number = 135 − 100 = 35.

5 संख्याओं का योग = 5 × 27 = 135। शेष 4 संख्याओं का योग = 4 × 25 = 100। हटाई गई संख्या = 135 − 100 = 35।

क्यों यह प्रश्न: "नया सदस्य जोड़ने पर औसत बदला" — यहाँ n+1 होती है संख्या, यह गलती बहुत होती है।

समाधान का रास्ता: छात्रों का योग = 30×14 = 420। शिक्षक सहित कुल = 31×15 = 465। शिक्षक = 465−420 = 45।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The average age of a class of 30 students is 14 years. If the teacher's age is included, the average becomes 15 years. What is the teacher's age?

30 छात्रों की एक कक्षा की औसत आयु 14 वर्ष है। यदि शिक्षक की आयु भी शामिल कर ली जाए, तो औसत 15 वर्ष हो जाता है। शिक्षक की आयु क्या है?

50 years
45 years
35 years
40 years

50 वर्ष
45 वर्ष
35 वर्ष
40 वर्ष

Solutionसमाधान

Sum of students' ages = 30 × 14 = 420. Sum including teacher = 31 × 15 = 465. Teacher's age = 465 − 420 = 45 years.

छात्रों की आयु का योग = 30 × 14 = 420। शिक्षक सहित योग = 31 × 15 = 465। शिक्षक की आयु = 465 − 420 = 45 वर्ष।

क्यों यह प्रश्न: AP formula का direct application — पूरा जोड़ने की ज़रूरत नहीं, trick से सीधे answer।

समाधान का रास्ता: 6 के पहले 10 गुणज AP में हैं। पहला = 6, आखिरी = 60। औसत = (6+60)/2 = 33। या: 6×(10+1)/2 = 33।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The average of the first 10 multiples of 6 is:

6 के पहले 10 गुणजों का औसत क्या है?

Solutionसमाधान

First 10 multiples of 6 are 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60. Their sum = 6 × (1+2+...+10) = 6 × 55 = 330. Average = 330 ÷ 10 = 33.

6 के पहले 10 गुणज हैं: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60। योग = 6 × 55 = 330। औसत = 330 ÷ 10 = 33।

क्यों यह प्रश्न: तीन समूहों वाला सवाल — एक में दो, दूसरे में दो, तीसरे में दो संख्याएँ। Systematic approach ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: कुल योग = 6×3.95 = 23.7। पहले दो का = 2×3.4 = 6.8। अगले दो का = 2×3.85 = 7.7। शेष = 23.7 − 6.8 − 7.7 = 9.2। औसत = 9.2/2 = 4.6।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The average of 6 numbers is 3.95. The average of two of them is 3.4, while the average of the other two is 3.85. What is the average of the remaining two numbers?

6 संख्याओं का औसत 3.95 है। उनमें से दो का औसत 3.4 है, जबकि अन्य दो का औसत 3.85 है। बची हुई दो संख्याओं का औसत क्या है?

Solutionसमाधान

Total of 6 numbers = 6 × 3.95 = 23.7. Sum of first two = 2 × 3.4 = 6.8. Sum of next two = 2 × 3.85 = 7.7. Sum of last two = 23.7 − 6.8 − 7.7 = 9.2. Average = 9.2 / 2 = 4.6.

6 संख्याओं का योग = 23.7। पहली दो का योग = 6.8, अगली दो का = 7.7। शेष दो का योग = 23.7 − 6.8 − 7.7 = 9.2। औसत = 4.6।

क्यों यह प्रश्न: पहले n प्राकृत संख्याओं का औसत — formula सीधे याद हो तो 3 सेकंड।

समाधान का रास्ता: औसत = (n+1)/2 = (50+1)/2 = 25.5। या: (1+50)/2 = 25.5।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The average of first 50 natural numbers is:

पहले 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत क्या है?

26
25
25.5
24.5

26
25
25.5
24.5

Solutionसमाधान

Sum of first 50 natural numbers = 50 × 51 / 2 = 1275. Average = 1275 / 50 = 25.5.

पहले 50 प्राकृत संख्याओं का योग = 50×51/2 = 1275। औसत = 1275/50 = 25.5।

क्यों यह प्रश्न: "सभी को गुणा करो" property — एक line में उत्तर।

समाधान का रास्ता: सभी को 8 से गुणा → नया औसत = 8×21 = 168। योग की कोई ज़रूरत नहीं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The average of 8 numbers is 21. If each number is multiplied by 8, what will be the new average?

8 संख्याओं का औसत 21 है। यदि प्रत्येक संख्या को 8 से गुणा कर दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?

Solutionसमाधान

When each number is multiplied by 8, the new average = 8 × 21 = 168.

जब प्रत्येक संख्या को 8 से गुणा किया जाता है, तो नया औसत = 8 × 21 = 168।

क्यों यह प्रश्न: औसत चाल का सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला type — "आधा रास्ता 60, आधा 40"।

समाधान का रास्ता: समान दूरी है → Harmonic Mean। $\frac{2 \times 60 \times 40}{60+40} = \frac\{4800\}\{100\} = 48$ km/h।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A car travels at 60 km/h for the first half of the journey and at 40 km/h for the second half. What is the average speed for the entire journey?

एक कार यात्रा के पहले आधे भाग में 60 km/h की गति से और दूसरे आधे भाग में 40 km/h की गति से चलती है। पूरी यात्रा की औसत गति क्या होगी?

52 km/h
50 km/h
45 km/h
48 km/h

52 km/h
50 km/h
45 km/h
48 km/h

Solutionसमाधान

For equal distances, average speed = 2ab/(a+b) = 2 × 60 × 40 / (60 + 40) = 4800 / 100 = 48 km/h.

समान दूरी के लिए औसत चाल = 2ab/(a+b) = 2×60×40/(60+40) = 4800/100 = 48 km/h।

आम गलतियाँ

औसत चाल में arithmetic mean लगाना: "पहले आधे रास्ते में 60, दूसरे में 40" देखकर सीधे (60+40)/2 = 50 लिख देना। यह गलत है — दूरी बराबर होने पर harmonic mean लगता है, जो 48 है। यह trap options में 50 हमेशा रहता है।
नया सदस्य जोड़ने पर n भूल जाना: "30 छात्रों में 1 शिक्षक जोड़ा" — शिक्षक सहित योग के लिए 31 से गुणा करना है, 30 से नहीं। हर बार n+1 लिखो, फिर calculate करो।
"औसत बढ़ा" का मतलब हर बार जोड़ा नहीं: कभी-कभी गलत मान हटाकर सही डाला जाता है — दोनों योगों का अंतर निकालो, तब समझ में आएगा।
AP में "पहले n पद" और "n तक" का confusion: पहले 10 गुणज = 6, 12, ... 60। "60 तक के गुणज" = 10 ही हैं, ठीक है। लेकिन "100 से कम के गुणज" = 1 से 16 तक, जो 16 पद हैं — यह फर्क पहचानो।
Decimal में गुणा की गलती: 6×3.95 = 23.7 — इसे 23.70 लिखो ताकि घटाव में गलती न हो। 23.7 − 6.8 − 7.7 = 9.2 में जल्दबाजी में 9.7 लिख देते हैं।
"प्रत्येक संख्या में k जोड़ा" और "k को संख्याओं में जोड़ा" में फर्क: प्रत्येक में k जोड़ा → औसत k बढ़ा। सिर्फ एक संख्या k जोड़ी → औसत k/n बढ़ा। यह trap frequently आता है।

SSC CGL औसत (Average) — पूर्ण अध्ययन सामग्री: सूत्र, शॉर्टकट और PYQs

अवधारणा

गहन विश्लेषण

सरल औसत और योग-विधि

Deviation Method (विचलन विधि)

लगातार संख्याओं का औसत

प्रत्येक संख्या में समान बदलाव करने पर औसत

औसत चाल (Average Speed)

भारित औसत (Weighted Average)

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

संबंधित विषय

SarkariRise पर अभ्यास