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SSC CGL के लिए मिश्रण और एलीगेशन — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

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अवधारणा

मिश्रण और एलीगेशन का मूल विचार एकदम सरल है — जब दो या दो से अधिक चीज़ें (दूध-पानी, दो प्रकार के अनाज, दो धातुएँ) मिलाई जाती हैं, तो मिश्रण का गुण (कीमत, सांद्रता, प्रतिशत) उन चीज़ों के बीच कहीं होता है।

सोचो इस तरह: तुम्हारे पास दो कक्षाएँ हैं — एक में सभी 30 अंक लाए, दूसरी में सभी 70 अंक। अगर दोनों कक्षाएँ बराबर संख्या में मिलाई जाएँ, तो औसत 50 होगा। लेकिन अगर पहली कक्षा में 3 गुने बच्चे हों, तो औसत 50 से नीचे खिसकेगा। यही है मिश्रण का सार — अनुपात तय करता है कि माध्य मूल्य कहाँ बैठेगा।

एलीगेशन नियम इसी का उलटा करता है: माध्य मूल्य दिया हो, तो अनुपात निकालो।

SSC CGL में यह topic इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि:

सीधे "अनुपात निकालो" वाले प्रश्न आते हैं
"कितने बार प्रतिस्थापन के बाद सांद्रता क्या होगी" वाले प्रश्न आते हैं
लाभ-हानि के साथ मिलाकर पूछा जाता है (मिश्रण को किस कीमत पर बेचें कि X% लाभ हो)

तीनों प्रकार अलग लगते हैं पर tool एक ही है — एलीगेशन का cross-difference।

गहन विश्लेषण

एलीगेशन का मूल नियम (Cross-Difference Method)

जब दो घटकों को मिलाकर माध्य मूल्य m प्राप्त करना हो:

घटक A का मूल्य = a
घटक B का मूल्य = b  (जहाँ a < m < b)
माध्य मूल्य = m

A : B = (b - m) : (m - a)

याद रखो: A का अनुपात = B की तरफ का अंतर, B का अनुपात = A की तरफ का अंतर। यानी cross करके घटाओ।

उदाहरण: ₹20/kg और ₹30/kg को मिलाकर ₹24/kg का मिश्रण चाहिए।

$\text{A : B} = (30 - 24) : (24 - 20) = 6 : 4 = 3 : 2$

अर्थात् 3 भाग ₹20 वाला + 2 भाग ₹30 वाला।

पानी मिलाने का विशेष केस

पानी की कीमत = ₹0। इसे एलीगेशन में सीधे a = 0 रखो।

पानी : दूध = (दूध की कीमत - माध्य) : (माध्य - 0)
           = (दूध की कीमत - माध्य) : माध्य

यह SSC CGL में सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला sub-type है।

भारित औसत से मिश्रण मूल्य निकालना

जब अनुपात दिया हो और मिश्रण का मूल्य पूछा हो:

$\text{मिश्रण मूल्य} = \frac{a \times q_1 + b \times q_2}{q_1 + q_2}$

जहाँ $q_1$ और $q_2$ क्रमशः A और B की मात्राएँ हैं।

उदाहरण: ₹20/kg (3 भाग) + ₹30/kg (2 भाग)

$= \frac{3 \times 20 + 2 \times 30}{5} = \frac{60 + 60}{5} = ₹24$

प्रतिस्थापन सूत्र (Replacement Formula)

यह SSC CGL का सबसे tricky sub-type है। एक बर्तन में T लीटर मिश्रण है। हर बार x लीटर निकालकर x लीटर पानी (या दूसरा घटक) डाला जाता है।

n बार के बाद मूल घटक की मात्रा:

$\text{बची हुई मात्रा} = T \times \left(\frac{T - x}{T}\right)^n$

ध्यान दो: यह सूत्र तभी काम करता है जब हर बार निकाली गई मात्रा x एक समान हो।

उदाहरण: 40 लीटर दूध, हर बार 4 लीटर निकालकर पानी डालो, 2 बार:

$= 40 \times \left(\frac{40-4}{40}\right)^2 = 40 \times \left(\frac{9}{10}\right)^2 = 40 \times \frac{81}{100} = 32.4 \text{ लीटर}$

लाभ-हानि के साथ मिश्रण

जब पूछा जाए "X% लाभ पर बेचने के लिए किस अनुपात में मिलाएँ":

पहले क्रय मूल्य निकालो:

$\text{क्रय मूल्य} = \frac{\text{विक्रय मूल्य}}{1 + \frac{\text{लाभ}\%}{100}}$

फिर इस क्रय मूल्य को माध्य मानकर एलीगेशन लगाओ।

तीन घटकों का मिश्रण

SSC CGL में कभी-कभी तीन घटक आते हैं। तब:

$\text{मिश्रण मूल्य} = \frac{a \times q_1 + b \times q_2 + c \times q_3}{q_1 + q_2 + q_3}$

एलीगेशन तीन घटकों पर सीधे नहीं लगता — पहले दो को मिलाओ, फिर तीसरे के साथ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternCross-Difference: X बनाओ

जब भी दो मूल्य और माध्य मूल्य दिए हों, तुरंत X आकार बनाओ:

  a          b
    \      /
      m
    /      \
(b-m)    (a-m) ← ये negative नहीं, absolute difference

A : B = (b - m) : (m - a)

उदाहरण: a=30, b=42, m=35 (42-35) : (35-30) = 7 : 5

Standard method (equation बनाना): 6 steps, ~40 seconds। Cross-difference: 2 steps, ~10 seconds।

patternप्रतिस्थापन में (1 - x/T)ⁿ याद करो

"n बार निकालकर पानी डालने" वाले हर प्रश्न में बस एक fraction उठाना है:

$\text{fraction} = \frac{T - x}{T} = 1 - \frac{x}{T}$

फिर इसे n बार गुणा करो और T से multiply करो।

40L, 4L निकालो, 2 बार: fraction = 36/40 = 9/10 दूध = 40 × (9/10)² = 40 × 81/100 = 32.4L

Standard method (step-by-step हर बार calculate करना): 4+ steps। इस सूत्र से: 2 steps — fraction बनाओ, square करो।

substitutionपानी = 0 trick

जब दूध में पानी मिलाने का प्रश्न हो, पानी की कीमत 0 रखो:

पानी : दूध = (दूध की कीमत - माध्य) : माध्य

₹12 दूध, ₹8 माध्य: पानी : दूध = (12 - 8) : 8 = 4 : 8 = 1 : 2

अलग equation बनाने की ज़रूरत नहीं — एक line में answer। Standard approach: 3+ steps (~35s)। यह trick: 1 line (~8s)।

eliminationलाभ% वाले प्रश्न में पहले CP निकालो

"X% लाभ पर बेचने के लिए मिश्रण" — यहाँ SP दिया होता है।

CP = SP ÷ (1 + profit%/100)

₹68.20 SP, 10% profit: CP = 68.20 ÷ 1.1 = ₹62

अब ₹62 को माध्य मानकर एलीगेशन: ₹60 और ₹65 के लिए → (65-62) : (62-60) = 3 : 2

जो लोग SP को सीधे माध्य मानकर एलीगेशन लगाते हैं, वे गलत answer पाते हैं। यह step पहले करो — 100% accuracy मिलेगी।

estimationअनुपात से मिश्रण मूल्य: Weighted Average shortcut

जब अनुपात p:q दिया हो और दोनों मूल्य दिए हों:

$\text{मूल्य} = \text{सस्ता} + \frac{q}{p+q} \times \text{अंतर}$

₹20 और ₹30, अनुपात 3:2: मूल्य = 20 + (2/5) × 10 = 20 + 4 = ₹24

भारित औसत formula से यही मिलता है पर इस form में mentally calculate करना आसान है। Standard formula: multiplication + division (~30s)। इस form में: mental math (~12s)।

तेज़-समाधान रूपरेखा

SSC CGL में मिश्रण का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

"किस अनुपात में मिलाएँ?" → एलीगेशन (cross-difference)
"मिश्रण का मूल्य क्या होगा?" → भारित औसत
"n बार निकालकर डाला" → प्रतिस्थापन सूत्र
"X% लाभ पर बेचना है" → पहले CP निकालो, फिर एलीगेशन

Step 2 — मूल्य assign करो:

पानी है → 0 रखो। शुद्ध घटक है → उसका मूल्य/सांद्रता 100% रखो।

Step 3 — एलीगेशन में:

हमेशा check करो: माध्य मूल्य दोनों घटकों के बीच में है या नहीं। अगर नहीं है, तो प्रश्न में कोई गड़बड़ी है।

Step 4 — Ratio simplify करो:

Answer में HCF से divide करके simplest form में दो। Options से match करो।

प्रतिस्थापन में: fraction को पहले simplify करो, फिर power लगाओ — इससे calculation छोटी रहती है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: पानी-दूध वाला सबसे classic एलीगेशन प्रश्न। पानी = 0 trick का सीधा application।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In what ratio must water be mixed with milk costing ₹12 per litre to obtain a mixture worth ₹8 per litre?

₹12 प्रति लीटर वाले दूध में पानी किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण की कीमत ₹8 प्रति लीटर हो जाए?

2 : 1
3 : 1
1 : 3
1 : 2

2 : 1
3 : 1
1 : 3
1 : 2

Solutionसमाधान

Using alligation: Cost of milk = ₹12, Cost of water = ₹0, Mean price = ₹8. Ratio of water to milk = (12 - 8) : (8 - 0) = 4 : 8 = 1 : 2. So water and milk must be mixed in ratio 1 : 2.

मिश्रण नियम से: दूध का मूल्य = ₹12, पानी का मूल्य = ₹0, माध्य मूल्य = ₹8। पानी : दूध = (12 - 8) : (8 - 0) = 4 : 8 = 1 : 2। अतः पानी और दूध को 1 : 2 के अनुपात में मिलाना होगा।

समाधान का रास्ता: दूध = ₹12, पानी = ₹0, माध्य = ₹8। Cross-difference: पानी : दूध = (12-8) : (8-0) = 4 : 8 = 1 : 2। Answer: 1 : 2।

क्यों यह प्रश्न: प्रतिस्थापन सूत्र का standard application — SSC CGL में यह sub-type बार-बार आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A container has 40 litres of milk. 4 litres of milk is taken out and replaced with water. This process is repeated once more. What is the quantity of milk in the final mixture?

एक बर्तन में 40 लीटर दूध है। उसमें से 4 लीटर दूध निकालकर उसकी जगह पानी डाल दिया जाता है। यही प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अंतिम मिश्रण में दूध की मात्रा कितनी होगी?

32.4 litres
32 litres
30 litres
33.6 litres

32.4 लीटर
32 लीटर
30 लीटर
33.6 लीटर

Solutionसमाधान

Milk remaining after n replacements = Total × (1 - replaced/total)^n. Here: 40 × (1 - 4/40)² = 40 × (36/40)² = 40 × (9/10)² = 40 × 81/100 = 32.4 litres.

n बार निकालने के बाद दूध = कुल × (1 - निकाली गई मात्रा/कुल)^n। यहाँ: 40 × (36/40)² = 40 × (9/10)² = 40 × 81/100 = 32.4 लीटर।

समाधान का रास्ता: T=40, x=4, n=2। Fraction = (40-4)/40 = 9/10। दूध = 40 × (9/10)² = 40 × 81/100 = 32.4 लीटर।

क्यों यह प्रश्न: भारित औसत का सीधा प्रश्न — अनुपात दिया, मूल्य पूछा।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Two varieties of rice costing ₹20/kg and ₹30/kg are mixed in the ratio 3 : 2. What is the cost price of the mixture per kg?

₹20/kg और ₹30/kg वाले दो प्रकार के चावलों को 3 : 2 के अनुपात में मिलाया जाता है। मिश्रण का प्रति kg लागत मूल्य क्या होगा?

₹24 per kg
₹25 per kg
₹26 per kg
₹22 per kg

₹24 प्रति kg
₹25 प्रति kg
₹26 प्रति kg
₹22 प्रति kg

Solutionसमाधान

Weighted average price = (3 × 20 + 2 × 30) / (3 + 2) = (60 + 60) / 5 = 120 / 5 = ₹24 per kg.

मिश्रण का भारित औसत मूल्य = (3 × 20 + 2 × 30) / (3 + 2) = (60 + 60) / 5 = 120 / 5 = ₹24 प्रति किग्रा।

समाधान का रास्ता: (3×20 + 2×30) ÷ 5 = (60+60) ÷ 5 = 120 ÷ 5 = ₹24।

क्यों यह प्रश्न: प्रतिस्थापन में अनुपात पूछा — सूत्र के बाद एक extra step।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A container has 40 litres of milk. 8 litres of milk is replaced by water. This process is repeated once more. What is the ratio of milk to water in the final mixture?

एक बर्तन में 40 लीटर दूध है। उसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उसकी जगह पानी डाल दिया जाता है। यही प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अंतिम मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

3:2
4:1
9:16
16:9

3:2
4:1
9:16
16:9

Solutionसमाधान

After first replacement: milk = 40 × (32/40) = 32 litres. After second replacement: milk = 32 × (32/40) = 25.6 litres. Water = 40 - 25.6 = 14.4 litres. Ratio = 25.6 : 14.4 = 256 : 144 = 16 : 9.

पहले प्रतिस्थापन के बाद: दूध = 40 × (32/40) = 32 लीटर। दूसरे प्रतिस्थापन के बाद: दूध = 32 × (32/40) = 25.6 लीटर। पानी = 40 - 25.6 = 14.4 लीटर। अनुपात = 25.6 : 14.4 = 16 : 9।

समाधान का रास्ता: T=40, x=8, n=2। Fraction = 32/40 = 4/5। दूध = 40 × (4/5)² = 40 × 16/25 = 25.6L। पानी = 14.4L। अनुपात = 25.6 : 14.4 = 16 : 9।

क्यों यह प्रश्न: लाभ% के साथ एलीगेशन — CP पहले निकालने की ज़रूरत।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

In what ratio must a grocer mix two types of tea worth ₹60/kg and ₹65/kg so that by selling the mixture at ₹68.20/kg he gains 10%?

एक दुकानदार ₹60/kg और ₹65/kg वाली दो प्रकार की चाय को किस अनुपात में मिलाए कि मिश्रण को ₹68.20/kg पर बेचने पर उसे 10% का फायदा हो?

Solutionसमाधान

Selling price = ₹68.20, gain = 10%, so cost price of mixture = 68.20/1.1 = ₹62. By alligation: (65-62):(62-60) = 3:2.

विक्रय मूल्य = ₹68.20, लाभ = 10%, इसलिए मिश्रण का क्रय मूल्य = 68.20/1.1 = ₹62। अलगाव से: (65-62):(62-60) = 3:2।

समाधान का रास्ता: SP = ₹68.20, लाभ = 10%। CP = 68.20 ÷ 1.1 = ₹62। एलीगेशन: ₹60 और ₹65 के साथ माध्य ₹62। अनुपात = (65-62) : (62-60) = 3 : 2।

क्यों यह प्रश्न: मिश्रण निकालकर शुद्ध घटक डालना — इसमें निकाले गए मिश्रण का अनुपात मूल अनुपात के बराबर होता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A 20-litre mixture of milk and water contains milk and water in the ratio 3:1. 10 litres of the mixture is removed and replaced with pure milk. What is the new ratio of milk to water?

दूध और पानी के 20 लीटर मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3:1 है। मिश्रण में से 10 लीटर निकालकर उसकी जगह शुद्ध दूध डाल दिया जाता है। अब दूध और पानी का नया अनुपात क्या होगा?

Solutionसमाधान

Original milk = 15L, water = 5L. Remove 10L (ratio 3:1): milk removed = 7.5, water removed = 2.5. Remaining: milk = 7.5, water = 2.5. Add 10L pure milk: milk = 17.5, water = 2.5. Ratio = 17.5:2.5 = 7:1.

मूल दूध = 15L, पानी = 5L। 10L निकालने पर: दूध निकाला = 7.5, पानी निकाला = 2.5। 10L शुद्ध दूध मिलाने पर: दूध = 17.5, पानी = 2.5। अनुपात = 7:1।

समाधान का रास्ता: मूल दूध = 15L, पानी = 5L। 10L निकाला (अनुपात 3:1 में) → दूध निकाला = 7.5L, पानी = 2.5L। 10L शुद्ध दूध मिलाया → दूध = 7.5 + 10 = 17.5L, पानी = 2.5L। अनुपात = 17.5 : 2.5 = 7 : 1।

आम गलतियाँ

प्रतिस्थापन में हर बार नई calculation करना: हर step अलग से calculate करने से गलती की संभावना बढ़ती है और समय बर्बाद होता है। सूत्र $T \times \left(\frac{T-x}{T}\right)^n$ एक बार में answer देता है।
एलीगेशन में ratio उल्टा लिखना: A : B = (b-m) : (m-a) — यहाँ A का ratio B की तरफ का अंतर है, न कि A की तरफ का। जल्दी में लोग उल्टा कर देते हैं। Cross करके घटाओ, यह याद रखो।
लाभ% प्रश्न में SP को माध्य मानना: यह सबसे बड़ी गलती है। माध्य हमेशा CP होता है। SP दिया हो और profit% दिया हो, तो पहले CP निकालो।
मिश्रण में से निकालते समय ratio भूलना: जब मिश्रण निकाला जाता है, तो वह वर्तमान अनुपात में निकलता है, न कि एक घटक से। "10L मिश्रण निकाला" का मतलब 10L शुद्ध दूध निकाला नहीं है।
तीन घटकों पर सीधे एलीगेशन लगाना: एलीगेशन दो घटकों के बीच काम करता है। तीन हों तो पहले दो मिलाओ, फिर तीसरे के साथ।
Fraction simplify किए बिना power लगाना: प्रतिस्थापन में (36/40)² की जगह (9/10)² लगाओ — calculation छोटी रहती है और गलती कम होती है।

SSC CGL के लिए मिश्रण और एलीगेशन — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

अवधारणा

गहन विश्लेषण

एलीगेशन का मूल नियम (Cross-Difference Method)

पानी मिलाने का विशेष केस

भारित औसत से मिश्रण मूल्य निकालना

प्रतिस्थापन सूत्र (Replacement Formula)

लाभ-हानि के साथ मिश्रण

तीन घटकों का मिश्रण

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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