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SSC CGL के लिए महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) — सम्पूर्ण गाइड

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अवधारणा

HCF और LCM — ये दो शब्द SSC CGL के Quant section में बार-बार आते हैं। इनकी ठोस समझ न हो तो परीक्षा में गड़बड़ाहट निश्चित है।

महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को बिना शेषफल के विभाजित करे। सोचो — तुम्हारे पास 36 और 48 मीटर के दो रस्से हैं। इन्हें बराबर टुकड़ों में काटना है और कोई रस्सा बर्बाद नहीं होना चाहिए। सबसे बड़ा टुकड़ा कितने मीटर का होगा? वही HCF है — यहाँ 12 मीटर।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाज्य हो। उदाहरण: तीन अलग-अलग समय पर घड़ी की घंटियाँ बजती हैं — वे अगली बार एक साथ कब बजेंगी? वह समय LCM से निकलता है।

दोनों के बीच मूल सम्बन्ध:

$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$

यह सूत्र दो संख्याओं के लिए ही मान्य है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए यह सूत्र सीधे लागू नहीं होता — यह गलती SSC में बहुत होती है।

एक और ज़रूरी तथ्य: HCF हमेशा LCM का एक गुणनखंड होता है। अर्थात्, LCM हमेशा HCF से पूरी तरह विभाज्य होनी चाहिए। अगर ऐसा नहीं है, तो वह pair मान्य ही नहीं है — यह trick SSC में सीधे एक प्रश्न-प्रकार है।

गहन विश्लेषण

HCF निकालने की विधियाँ

विधि 1 — अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorization):

दोनों संख्याओं को prime factors में तोड़ो। HCF = सभी सामान्य prime factors का न्यूनतम घात का गुणनफल।

उदाहरण: HCF(72, 120) निकालो।

$72 = 2^3 \times 3^2$ $120 = 2^3 \times 3 \times 5$

सामान्य factors: $2^3$ और $3^1$ (न्यूनतम घात लो)

$\text{HCF} = 2^3 \times 3 = 24$

विधि 2 — भाग विधि (Euclid's Division):

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दो। शेषफल को विभाजक बनाओ, पुराने विभाजक को भाज्य। जब शेषफल 0 आए, अंतिम विभाजक ही HCF है।

$\text{HCF}(72, 120):$ $120 = 1 \times 72 + 48$ $72 = 1 \times 48 + 24$ $48 = 2 \times 24 + 0$

इसलिए HCF = 24। यह विधि बड़ी संख्याओं के लिए तेज़ है।

LCM निकालने की विधि

अभाज्य गुणनखंड विधि:

LCM = सभी prime factors का अधिकतम घात का गुणनफल।

उदाहरण: LCM(72, 120):

$72 = 2^3 \times 3^2, \quad 120 = 2^3 \times 3 \times 5$

$\text{LCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$

सूत्र से LCM:

$\text{LCM} = \frac{a \times b}{\text{HCF}(a,b)}$

उदाहरण: HCF = 24, एक संख्या = 72, दूसरी = ?

$\text{LCM} = \frac{72 \times b}{24}$

अगर LCM = 360 है: $b = \frac{360 \times 24}\{72\} = 120$

तीन या अधिक संख्याओं के लिए

तीन संख्याओं $a, b, c$ के लिए:

$\text{LCM}(a,b,c) = \text{LCM}(\text{LCM}(a,b), c)$ $\text{HCF}(a,b,c) = \text{HCF}(\text{HCF}(a,b), c)$

सावधान: $\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b \times c$ — यह सूत्र तीन संख्याओं के लिए गलत है।

SSC में आने वाले प्रश्न-प्रकार

प्रकार 1 — HCF/LCM दिए हों, एक संख्या ज्ञात करो: सूत्र $\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b$ सीधे लगाओ।

प्रकार 2 — Ratio में संख्याएँ दी हों, LCM से संख्या निकालो: संख्याओं को $3k$ और $4k$ मानो। उनका LCM $12k$ होगा। LCM दिया है तो $k$ निकालो।

प्रकार 3 — घंटी / दौड़ / Circular motion: "कब मिलेंगे" = LCM of time intervals।

प्रकार 4 — किसी संख्या से घटाओ/जोड़ो ताकि विभाज्यता हो: LCM निकालो, फिर देखो nearest multiple कौन-सा है।

प्रकार 5 — HCF/LCM की मान्य pair: जाँचो कि HCF, LCM को पूरी तरह विभाजित करता है या नहीं।

भिन्नों का HCF और LCM

$\text{HCF of fractions} = \frac{\text{HCF of numerators}}{\text{LCM of denominators}}$

$\text{LCM of fractions} = \frac{\text{LCM of numerators}}{\text{HCF of denominators}}$

यह SSC में कभी-कभी आता है — formula याद रखो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

eliminationHCF-LCM की मान्य जोड़ी पहचानो — 5 सेकंड में

जब भी प्रश्न पूछे "इनमें से कौन-सी जोड़ी HCF और LCM नहीं हो सकती" — सिर्फ एक काम करो: देखो कि HCF, LCM को divide करता है या नहीं। अगर नहीं करता, वह जोड़ी invalid है।

उदाहरण: HCF = 35, LCM = 120। क्या 35, 120 को divide करता है? $120 \div 35 = 3.43...$ — नहीं। इसलिए यह जोड़ी invalid है।

मानक तरीका: दोनों संख्याओं के गुणनखंड निकालो — 60 सेकंड। यह shortcut: मात्र एक भाग करो — 5 सेकंड।

substitutionRatio वाले प्रश्न — k-method से सीधे हल

जब दो संख्याएँ $m:n$ के अनुपात में हों, तो उन्हें $mk$ और $nk$ मानो।

LCM $(mk, nk)$ = $k \times$ LCM $(m, n)$ — जब $m$ और $n$ co-prime हों तो LCM $(mk, nk) = mnk$ ।

उदाहरण: Ratio $3:4$ , LCM = 84। $k \times$ LCM $(3,4) = 84 \Rightarrow k \times 12 = 84 \Rightarrow k = 7$ । संख्याएँ: $3 \times 7 = 21$ और $4 \times 7 = 28$ ।

मानक तरीका: prime factorization करो — 45 सेकंड। k-method: 3 steps में हल — 15 सेकंड।

patternघंटी/चक्कर प्रश्न — LCM of intervals

"A, B, C क्रमशः $p$ , $q$ , $r$ सेकंड बाद मिलते हैं — अगली बार कब?" — उत्तर हमेशा LCM $(p, q, r)$ सेकंड बाद।

SSC में यह pattern हर बार एक ही तरह आता है। LCM निकालो, starting time में जोड़ो।

LCM $(24, 36, 54)$ : पहले $24 = 2^3 \times 3$ , $36 = 2^2 \times 3^2$ , $54 = 2 \times 3^3$ । LCM $= 2^3 \times 3^3 = 216$ सेकंड = 3 मिनट 36 सेकंड।

मानक तरीका: factor tree बनाओ — 60 सेकंड। Pattern पहचानते ही LCM: 20 सेकंड।

substitutionदो संख्याओं में से एक ज्ञात करो — एक गुणा और एक भाग

सूत्र $\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b$ सीधे लगाओ।

दूसरी संख्या $= \frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text\{पहली संख्या\}}$

उदाहरण: HCF = 8, LCM = 48, एक संख्या = 24। दूसरी $= \frac{8 \times 48}\{24\} = \frac\{384\}\{24\} = 16$ ।

यह formula याद हो तो 10 सेकंड में उत्तर। बिना formula के prime factorization में 50 सेकंड।

estimation'घटाओ ताकि विभाज्य हो' — LCM का nearest multiple

प्रश्न: संख्या $N$ से कम से कम क्या घटाएँ/जोड़ें कि वह $a, b, c$ से विभाज्य हो?

Step 1: LCM $(a, b, c)$ निकालो। Step 2: $N \div$ LCM से nearest multiple ढूँढो। Step 3: $N -$ (वह multiple) = घटाने वाली संख्या।

उदाहरण: 5834 से क्या घटाएँ कि 20, 28, 32, 35 से विभाज्य हो? LCM = 1120। $5834 \div 1120 \approx 5.2$ । तो $5 \times 1120 = 5600$ और $5834 - 5600 = 234$ । लेकिन "greatest number subtracted" = 4714, क्योंकि $5834 - 4714 = 1120 = 1 \times 1120$ — यह भी divisible है। प्रश्न को ध्यान से पढ़ो।

इस pattern में 30 सेकंड बचते हैं बनाम trial-and-error के।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में HCF/LCM प्रश्न देखते ही यह decision tree चलाओ:

क्या प्रश्न में ratio दिया है? → हाँ: k-method लगाओ। संख्याएँ $mk$ और $nk$ मानो, LCM से $k$ निकालो।

क्या HCF और LCM दिए हैं और एक संख्या ज्ञात करनी है? → सीधे: दूसरी संख्या $= \frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text\{ज्ञात संख्या\}}$

क्या पूछा है कि कौन-सी pair invalid है? → देखो: क्या HCF, LCM को divide करता है? नहीं तो — वह invalid pair है।

क्या घंटी / दौड़ / circular motion है? → "कब मिलेंगे" = LCM of intervals, starting time में जोड़ो।

क्या किसी संख्या से घटाना/जोड़ना है? → LCM निकालो → nearest multiple ढूँढो → अंतर निकालो।

HCF निकालना है: → दो संख्याएँ: Euclid's division (तेज़)। तीन से अधिक: prime factorization।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: HCF और LCM की सबसे मौलिक शर्त — HCF हमेशा LCM का divisor होना चाहिए। यह concept SSC CGL में हर 2-3 साल पर आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2011

Which of the following cannot be the HCF and LCM of two numbers?

12 and 96
35 and 120
18 and 72
15 and 90

Solutionसमाधान

HCF must always be a factor of LCM. Since 35 does not divide 120 evenly, 35 and 120 cannot be the HCF and LCM of any two numbers.

समाधान का रास्ता: चारों options में HCF को LCM से divide करो। जहाँ भाग पूरा न हो — वही उत्तर है। $120 \div 35 = 3.43...$ — पूरा नहीं। इसलिए 35 और 120 invalid pair है।

क्यों यह प्रश्न: घंटी/circular motion प्रश्नों में LCM सीधे answer देता है — यह pattern SSC में बहुत बार repeat होता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2011

Three bells ring at intervals of 24, 36, and 54 seconds. They ring together at 10:15:00 a.m. When will they next ring together?

10:19:36 a.m.
10:18:00 a.m.
10:18:36 a.m.
10:19:00 a.m.

Solutionसमाधान

LCM of 24, 36, and 54 is 216 seconds = 3 minutes 36 seconds. Adding to 10:15:00 gives 10:18:36 a.m.

समाधान का रास्ता: $24 = 2^3 \times 3$ , $36 = 2^2 \times 3^2$ , $54 = 2 \times 3^3$ । LCM $= 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$ सेकंड। $216$ सेकंड $= 3$ मिनट $36$ सेकंड। $10:15:00 + 0:03:36 = 10:18:36$ a.m.

क्यों यह प्रश्न: $\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b$ सूत्र का सबसे सीधा application। इसे formula से 10 सेकंड में हल करना सीखो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2010

The H.C.F. and L.C.M. of two numbers are 8 and 48 respectively. If one of the numbers is 24, then the other number is

Solutionसमाधान

Using the property: HCF × LCM = product of two numbers. So 8 × 48 = 24 × x, giving x = 384/24 = 16.

समाधान का रास्ता: $x = \frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text\{ज्ञात संख्या\}} = \frac{8 \times 48}\{24\} = \frac\{384\}\{24\} = 16$ । Verification: HCF(16, 24) = 8 ✓, LCM(16, 24) = 48 ✓।

क्यों यह प्रश्न: "घटाओ ताकि विभाज्य हो" — यह प्रश्न tricky लगता है लेकिन LCM निकालने के बाद पूरी तरह सीधा हो जाता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2010

The greatest number, which when subtracted from 5834, gives a number exactly divisible by each of 20, 28, 32 and 35, is

4714
5200
1120
5600

Solutionसमाधान

LCM of 20, 28, 32, 35 = 1120. The largest multiple of 1120 ≤ 5834 is 5×1120 = 5600. So the number to subtract = 5834 - 5600 = 234... but answer is 4714. Re-check: 5834 - 4714 = 1120, which is divisible by all. So the greatest number subtracted is 4714.

समाधान का रास्ता: LCM(20, 28, 32, 35) निकालो: $20 = 2^2 \times 5$ , $28 = 2^2 \times 7$ , $32 = 2^5$ , $35 = 5 \times 7$ । LCM $= 2^5 \times 5 \times 7 = 1120$ । $5834 - 1120 = 4714$ । इसलिए 4714 घटाने पर बचता है $1120$ , जो सभी से विभाज्य है।

क्यों यह प्रश्न: Ratio और LCM का combination — k-method यहाँ सबसे तेज़ है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2010

Two numbers are in the ratio 3 : 4. Their L.C.M. is 84. The greater number is

Solutionसमाधान

Let the numbers be 3k and 4k. LCM of 3k and 4k = 12k = 84, so k = 7. Greater number = 4×7 = 28.

समाधान का रास्ता: संख्याएँ: $3k$ और $4k$ । चूँकि $\gcd(3,4) = 1$ , इसलिए LCM $= 12k$ । $12k = 84 \Rightarrow k = 7$ । बड़ी संख्या $= 4 \times 7 = 28$ ।

क्यों यह प्रश्न: HCF-LCM सूत्र का standard application, हिंदी माध्यम के परीक्षार्थियों के लिए।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The HCF and LCM of two numbers are 12 and 180 respectively. If one number is 36, what is the other number?

दो संख्याओं का HCF और LCM क्रमशः 12 और 180 हैं। यदि एक संख्या 36 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

Solutionसमाधान

Using the fundamental property: HCF × LCM = Product of two numbers. Therefore, 12 × 180 = 36 × x, which gives 2160 = 36x, so x = 60. We can verify: HCF(36, 60) = 12 and LCM(36, 60) = 180.

मौलिक गुण का उपयोग करते हुए: HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल। इसलिए, 12 × 180 = 36 × x, जिससे 2160 = 36x, तो x = 60। हम सत्यापित कर सकते हैं: HCF(36, 60) = 12 और LCM(36, 60) = 180।

समाधान का रास्ता: $x = \frac{12 \times 180}\{36\} = \frac\{2160\}\{36\} = 60$ । Verification: HCF(36, 60) = 12 ✓, LCM(36, 60) = 180 ✓।

आम गलतियाँ

तीन संख्याओं पर HCF × LCM = गुणनफल लगाना: यह सूत्र सिर्फ दो संख्याओं के लिए है। तीन संख्याओं पर यह गलत परिणाम देता है। तीन संख्याओं के लिए prime factorization करो।
HCF को LCM से बड़ा मान लेना: HCF कभी भी LCM से बड़ा नहीं हो सकता (केवल तब बराबर होते हैं जब दोनों संख्याएँ समान हों)। अगर answer में HCF > LCM आए, तुमने कहीं गलती की है।
Ratio वाले प्रश्न में LCM = $m \times n \times k$ मानना: अगर $m$ और $n$ co-prime नहीं हैं (जैसे 4 और 6), तो LCM $(4k, 6k) \neq 24k$ । LCM $(4k, 6k) = 12k$ है। हमेशा LCM $(m, n) \times k$ करो।
"घटाओ" vs "जोड़ो" का confusion: "X से क्या घटाएँ कि divisible हो" और "X में क्या जोड़ें कि divisible हो" — दोनों अलग हैं। पहले में lower multiple लो, दूसरे में upper multiple।
Euclid division में order उलटना: हमेशा बड़ी संख्या $\div$ छोटी संख्या से शुरू करो। उल्टा करने पर शेषफल सही नहीं आएगा।
Fraction का HCF/LCM: अंश का HCF / हर का LCM (HCF के लिए), और अंश का LCM / हर का HCF (LCM के लिए) — इन्हें आपस में मत बदलो। SSC में इस formula को उलटा लगाने की गलती बहुत होती है।

SSC CGL के लिए महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) — सम्पूर्ण गाइड

अवधारणा

गहन विश्लेषण

HCF निकालने की विधियाँ

LCM निकालने की विधि

तीन या अधिक संख्याओं के लिए

SSC में आने वाले प्रश्न-प्रकार

भिन्नों का HCF और LCM

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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