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SSC CHSL संख्या प्रणाली — पूर्णांक, HCF, LCM, विभाज्यता और अभाज्य संख्याएँ

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अवधारणा

संख्या प्रणाली SSC CHSL के Quant section की नींव है। यहाँ गलती हुई तो आगे के सारे chapters लड़खड़ाते हैं।

सोचो — एक इमारत की तरह। Percentage, Profit-Loss, Time-Work — ये सब ऊपरी मंज़िलें हैं। संख्या प्रणाली उसकी ज़मीन है। ज़मीन कमज़ोर तो इमारत गिरती है।

संख्याओं के प्रकार जो exam में काम आते हैं:

प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers): 1, 2, 3, 4, ... — गिनती के लिए
पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): 0, 1, 2, 3, ... — शून्य शामिल
पूर्णांक (Integers): ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... — ऋणात्मक भी शामिल
अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers): जिन्हें सिर्फ़ 1 और स्वयं से विभाजित किया जा सके — 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
सम संख्याएँ (Even): 2 से विभाज्य — 2, 4, 6, 8, ...
विषम संख्याएँ (Odd): 2 से विभाज्य नहीं — 1, 3, 5, 7, ...

SSC CHSL में यह topic क्यों महत्वपूर्ण है?

यह exam 12th-pass students के लिए है। Quant section में संख्या प्रणाली से सीधे 3-5 प्रश्न आते हैं — trailing zeros, HCF-LCM applications, remainder problems, और क्रमागत संख्याओं के सवाल। ये सवाल दिखने में जटिल लगते हैं, पर एक बार pattern पकड़ में आ जाए तो 30-45 seconds में हल हो जाते हैं।

HCF और LCM का असली मतलब:

HCF (महत्तम समापवर्तक) — दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा common factor। जैसे 12 और 18 का HCF = 6। मतलब — 6 सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को पूरी तरह विभाजित करती है।

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) — दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा common multiple। जैसे 4 और 6 का LCM = 12। मतलब — 12 सबसे छोटी संख्या है जो दोनों का गुणज है।

सबसे ज़रूरी सूत्र: $\text{HCF} \times \text{LCM} = \text\{पहली संख्या\} \times \text\{दूसरी संख्या\}$

यह सूत्र exam में bar-bar आता है — इसे रट लो, तर्क बाद में समझना।

गहन विश्लेषण

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

ये नियम options eliminate करने के लिए सबसे तेज़ हथियार हैं:

| भाजक | नियम | उदाहरण | |------|------|---------| | 2 | अंतिम अंक सम हो | 246 ✓ | | 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य | 123 → 1+2+3=6 ✓ | | 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य | 1324 → 24÷4=6 ✓ | | 5 | अंतिम अंक 0 या 5 | 135 ✓ | | 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य | 126 ✓ | | 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य | 1128 → 128÷8=16 ✓ | | 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य | 729 → 7+2+9=18 ✓ | | 11 | (विषम स्थान के अंकों का योग) - (सम स्थान के अंकों का योग) = 0 या 11 का गुणज | 1331 → (1+3)-(3+1)=0 ✓ |

Trailing Zeros की गिनती

यह SSC CHSL का सबसे पसंदीदा सवाल है। $n!$ के अंत में शून्यों की संख्या = $n!$ में 5 के कितने गुणनखंड हैं।

क्यों 5? क्योंकि $10 = 2 \times 5$ , और $n!$ में 2 के गुणनखंड हमेशा 5 के गुणनखंडों से अधिक होते हैं। इसलिए limiting factor हमेशा 5 है।

सूत्र: $\text{Trailing Zeros} = \left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{625}\right\rfloor + \ldots$

जब तक भाजक $n$ से बड़ा न हो जाए।

उदाहरण: $100!$ में trailing zeros = $\lfloor100/5\rfloor + \lfloor100/25\rfloor = 20 + 4 = 24$

HCF और LCM निकालने की विधि

Prime Factorization Method (सबसे reliable):

$\text{HCF}$ = सभी common prime factors की न्यूनतम घात

$\text{LCM}$ = सभी prime factors की अधिकतम घात

उदाहरण: $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ निकालो 72 और 120 का:

$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$
$\text{HCF} = 2^3 \times 3^1 = 24$
$\text{LCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$

Verification: $24 \times 360 = 8640 = 72 \times 120$ ✓

Remainder Problems का Pattern

जब कोई संख्या $a$ , $b$ , $c$ से विभाजित होने पर शेषफल $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ देती है:

Case 1: जब $(a - r_1) = (b - r_2) = (c - r_3) = k$ हो, तो संख्या $= \text{LCM}(a, b, c) \times n - k$

Case 2: जब शेषफल एक समान हो, तो $(a - r)$ वाली संख्या LCM का गुणज है।

क्रमागत संख्याओं के सवाल

क्रमागत पूर्णांक: $n, n+1, n+2$ क्रमागत सम संख्याएँ: $2n, 2n+2, 2n+4$ क्रमागत विषम संख्याएँ: $2n-1, 2n+1, 2n+3$

जब तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग दिया हो:

$(2n-1)^2 + (2n+1)^2 + (2n+3)^2 = S$

इसे expand करने की ज़रूरत नहीं — सीधे middle value के आसपास guess करो। अगर $S = 683$ , तो $683/3 \approx 228$ , $\sqrt{228} \approx 15$ । Check करो: $13^2 + 15^2 + 17^2 = 169 + 225 + 289 = 683$ ✓

अभाज्य संख्याओं की पहचान

100 तक की अभाज्य संख्याएँ याद रखने की ज़रूरत नहीं। बस यह trick काम आती है: किसी संख्या $n$ के लिए, $\sqrt{n}$ तक के सभी अभाज्यों से divide करके देखो। अगर कोई भी divide नहीं करता, तो $n$ अभाज्य है।

उदाहरण: 97 अभाज्य है या नहीं? $\sqrt{97} \approx 9.8$ । 2, 3, 5, 7 में से कोई भी 97 को divide नहीं करता। इसलिए 97 अभाज्य है।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternTrailing Zeros: 5 से भागो, जोड़ते जाओ

जब भी $n!$ में trailing zeros पूछे जाएँ, बस $n$ को 5, 25, 125, 625 से क्रमशः divide करके जोड़ते जाओ। रुको जब भाजक $n$ से बड़ा हो जाए।

उदाहरण: $125!$ में trailing zeros = $\lfloor125/5\rfloor + \lfloor125/25\rfloor + \lfloor125/125\rfloor = 25 + 5 + 1 = 31$

Standard method (prime factorization पूरी करना): 4 मिनट। यह pattern: 20 seconds। 3 steps बनाम 15+ steps।

substitutionHCF-LCM से दूसरी संख्या खोजो

जब HCF, LCM और एक संख्या दी हो, दूसरी संख्या = $\frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text\{दी गई संख्या\}}$

उदाहरण: HCF = 23, LCM = 1449, एक संख्या = 161। दूसरी संख्या = $\frac{23 \times 1449}{161} = \frac{33327}{161} = 207$

Verification के लिए: 207 = 23 × 9, 161 = 23 × 7। HCF(9,7) = 1, LCM(9,7) = 63। 23 × 63 = 1449 ✓

Standard algebraic method: 90 seconds। यह direct formula: 15 seconds।

patternRemainder Pattern: कमी देखो

जब संख्या को $a$ , $b$ , $c$ से divide करने पर शेषफल इस तरह हों कि $(a - r_1) = (b - r_2) = (c - r_3) = k$ , तो सीधे $\text{LCM}(a,b,c) - k$ सबसे छोटी संख्या है।

उदाहरण: 4 से remainder 1, 5 से remainder 2, 6 से remainder 3। कमी हर जगह 3 है। LCM(4,5,6) = 60। सबसे छोटी संख्या = $60 - 3 = 57$ ।

Pattern पहचानने के बाद: 2 steps। बिना pattern के trial-error: 6-8 steps।

estimationक्रमागत विषम संख्याएँ: योग को 3 से भागो, फिर जड़ निकालो

तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग $S$ दिया हो, तो बीच की संख्या $\approx \sqrt{S/3}$ ।

उदाहरण: $S = 683$ । $683/3 \approx 227.7$ । $\sqrt{227.7} \approx 15.09$ । नज़दीकी विषम = 15। Check: $13^2 + 15^2 + 17^2 = 169 + 225 + 289 = 683$ ✓

पूरा algebraic expansion: 6 steps, 75 seconds। यह estimation + verify: 2 steps, 20 seconds।

estimationक्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल: 4 से भागो, जड़ निकालो

दो क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल $P$ दिया हो। $P/4$ का मान निकालो, फिर उसके आसपास $n(n+1)$ check करो।

उदाहरण: $P = 288$ । $288/4 = 72$ । $8 \times 9 = 72$ । इसलिए संख्याएँ $2 \times 8 = 16$ और $2 \times 9 = 18$ । बड़ी = 18।

द्विघात समीकरण बनाकर हल: 5 steps, 60 seconds। यह shortcut: 3 steps, 20 seconds।

तेज़-समाधान रूपरेखा

Exam hall में सवाल देखते ही यह decision tree follow करो:

क्या $n!$ में trailing zeros पूछे हैं? → हाँ: $\lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \lfloor n/125 \rfloor + \ldots$ — बस।

क्या HCF, LCM और एक संख्या दी है? → दूसरी संख्या = $\frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text\{दी गई संख्या\}}$ । Answer निकालो, options में check करो।

क्या remainder problem है? → पहले check करो: क्या $(भाजक - शेषफल)$ हर जगह बराबर है? अगर हाँ — $\text{LCM} - k$ सीधे answer। → अगर नहीं — $\text{LCM} \times n + r$ form में सोचो।

क्या क्रमागत संख्याओं का सवाल है? → 3 संख्याएँ: बीच वाली $= \sqrt{\text\{योग\}/3}$ (approximate, फिर verify)। → 2 सम संख्याएँ: $P/4 = n(n+1)$ form में।

Options देखकर eliminate करो — अगर सवाल में "सबसे छोटी धनात्मक संख्या" है, तो सबसे छोटा option पहले check करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: Trailing zeros SSC CHSL में हर साल आता है। यह सीधा pattern-recognition सवाल है — formula याद है तो 20 seconds।

समाधान का रास्ता: $\lfloor125/5\rfloor = 25$ , फिर $\lfloor125/25\rfloor = 5$ , फिर $\lfloor125/125\rfloor = 1$ , फिर $\lfloor125/625\rfloor = 0$ (रुको)। योग = $25 + 5 + 1 = 31$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Find the number of zeros at the end of 125!

125! के अंत में कितने शून्य होंगे?

Solutionसमाधान

Trailing zeros are formed by factors of 10 = 2 × 5. In 125!, the number of factors of 5 determines trailing zeros (as factors of 2 are always more). Count = ⌊125/5⌋ + ⌊125/25⌋ + ⌊125/125⌋ = 25 + 5 + 1 = 31.

अंतिम शून्य 10 = 2 × 5 के गुणनखंडों से बनते हैं। 125! में, 5 के गुणनखंडों की संख्या अंतिम शून्यों को निर्धारित करती है। गिनती = ⌊125/5⌋ + ⌊125/25⌋ + ⌊125/125⌋ = 25 + 5 + 1 = 31।

क्यों यह प्रश्न: HCF-LCM का यह सबसे classic application है। एक formula, एक step।

समाधान का रास्ता: $\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b$ → $23 \times 1449 = 161 \times b$ → $b = 33327/161 = 207$ । Options में 207 पहला है — confirm।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The HCF of two numbers is 23 and their LCM is 1449. If one number is 161, find the other number.

दो संख्याओं का HCF 23 है और उनका LCM 1449 है। यदि एक संख्या 161 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

Using the formula: HCF × LCM = Product of two numbers. Therefore, 23 × 1449 = 161 × other number. Solving: other number = (23 × 1449) ÷ 161 = 33327 ÷ 161 = 207.

सूत्र का उपयोग करते हुए: महत्तम समापवर्तक × लघुत्तम समापवर्त्य = दो संख्याओं का गुणनफल। इसलिए, 23 × 1449 = 161 × दूसरी संख्या। हल करने पर: दूसरी संख्या = (23 × 1449) ÷ 161 = 207।

क्यों यह प्रश्न: Remainder pattern की पहचान — यह 30 second का सवाल है अगर "कमी" pattern दिखे।

समाधान का रास्ता: 4 से remainder 1 → कमी = 3। 5 से remainder 2 → कमी = 3। 6 से remainder 3 → कमी = 3। कमी बराबर है। LCM(4,5,6) = 60। सबसे छोटी संख्या = $60 - 3 = 57$ । Options check करो: 57 = $4 \times 14 + 1$ ✓, $5 \times 11 + 2$ ✓, $6 \times 9 + 3$ ✓।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A positive integer when divided by 4, 5, 6 leaves remainders 1, 2, 3 respectively. What is the smallest such number?

एक धनात्मक पूर्णांक को 4, 5, 6 से विभाजित करने पर क्रमशः 1, 2, 3 शेषफल मिलते हैं। ऐसी सबसे छोटी संख्या क्या है?

Solutionसमाधान

The number leaves remainder (divisor - 3) in each case. So the number + 3 is divisible by 4, 5, and 6. LCM(4,5,6) = 60. Therefore, the number is of the form 60k - 3. The smallest positive value occurs when k = 1, giving 60 - 3 = 57.

संख्या प्रत्येक स्थिति में (भाजक - 3) शेषफल छोड़ती है। तो संख्या + 3, 4, 5, और 6 से विभाज्य है। लसम(4,5,6) = 60। इसलिए, संख्या 60k - 3 के रूप में है। सबसे छोटा धनात्मक मान k = 1 पर मिलता है, जो 60 - 3 = 57 देता है।

क्यों यह प्रश्न: क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल — estimation shortcut सबसे तेज़ है।

समाधान का रास्ता: $288 / 4 = 72$ । अब $n(n+1) = 72$ — $8 \times 9 = 72$ । संख्याएँ: $2 \times 8 = 16$ और $2 \times 9 = 18$ । बड़ी = 18।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

The product of two consecutive even numbers is 288. Find the larger number.

दो क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 288 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

Let the two consecutive even numbers be 2n and 2n+2. Their product = 2n(2n+2) = 4n(n+1) = 288. Therefore, n(n+1) = 72. Solving: n² + n - 72 = 0, which gives (n+9)(n-8) = 0. Taking n = 8, the numbers are 16 and 18. The larger number is 18.

दो क्रमागत सम संख्याएं 2n और 2n+2 हों। उनका गुणनफल = 2n(2n+2) = 4n(n+1) = 288। इसलिए, n(n+1) = 72। हल करने पर: n² + n - 72 = 0, जिससे n = 8 मिलता है। संख्याएं 16 और 18 हैं। बड़ी संख्या 18 है।

क्यों यह प्रश्न: तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग — estimation trick यहाँ सबसे powerful है।

समाधान का रास्ता: $683 / 3 \approx 227.7$ । $\sqrt{227.7} \approx 15.09$ । नज़दीकी विषम = 15। Verify: $13^2 + 15^2 + 17^2 = 169 + 225 + 289 = 683$ ✓। बीच की संख्या = 15।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If the sum of the squares of three consecutive odd numbers is 683, find the middle number.

यदि तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग 683 है, तो बीच वाली संख्या ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

Let the three consecutive odd numbers be (2n-1), (2n+1), and (2n+3). Their sum of squares = (2n-1)² + (2n+1)² + (2n+3)² = 683. Expanding and solving: 12n² + 12 = 683, which gives n = 7.5. The middle number is 2(7.5)+1 = 16, but checking with n=7 gives middle number as 15.

तीन क्रमागत विषम संख्याएं (2n-1), (2n+1), और (2n+3) हों। उनके वर्गों का योग = (2n-1)² + (2n+1)² + (2n+3)² = 683। विस्तार करके हल करने पर: 12n² + 12 = 683, जिससे n = 7 मिलता है। मध्य संख्या 15 है।

आम गलतियाँ

Trailing zeros में 2 की गिनती करना: बहुत से students $n!$ में 2 और 5 दोनों की गिनती करते हैं और minimum लेते हैं। लेकिन 2 हमेशा ज़्यादा होते हैं — सिर्फ़ 5 गिनो। 100! में 2 के 97 factors हैं, 5 के सिर्फ़ 24। Minimum = 24। हमेशा।
HCF × LCM सूत्र को तीन संख्याओं पर apply करना: यह सूत्र सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए काम करता है। तीन संख्याओं के लिए $a \times b \times c = \text{HCF}(a,b,c) \times \text{LCM}(a,b,c) \times k$ नहीं होता। तीन संख्याओं के लिए prime factorization method ही use करो।
Remainder problem में LCM + r लिखना: अगर शेषफल $r$ दिया है तो संख्या $= \text{LCM} \times n + r$ होती है, $\text{LCM} - r$ नहीं। और अगर "कमी" pattern है तो $\text{LCM} - k$ । इन दोनों cases को confuse मत करो।
क्रमागत विषम संख्याएँ $(n, n+2, n+4)$ लिखना: यह तभी काम करता है जब पहली संख्या विषम हो। अगर $n$ सम निकला तो सवाल गलत हो जाएगा। हमेशा $(2n-1), (2n+1), (2n+3)$ form use करो या estimation shortcut।
अभाज्य संख्याओं में 1 को शामिल करना: 1 न अभाज्य है, न भाज्य (composite)। यह एक अलग category है। अगर सवाल में "पहली 5 अभाज्य संख्याओं का योग" पूछा जाए तो $2+3+5+7+11 = 28$ , $1+2+3+5+7 = 18$ नहीं।
Consecutive even numbers में $n, n+1$ लेना: क्रमागत सम संख्याएँ $n$ और $n+1$ नहीं होतीं — वे $n$ और $n+2$ होती हैं (जहाँ $n$ सम हो)। या $2n$ और $2n+2$ form use करो जो automatically even ensures करता है।

SSC CHSL संख्या प्रणाली — पूर्णांक, HCF, LCM, विभाज्यता और अभाज्य संख्याएँ

अवधारणा

गहन विश्लेषण

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

Trailing Zeros की गिनती

HCF और LCM निकालने की विधि

Remainder Problems का Pattern

क्रमागत संख्याओं के सवाल

अभाज्य संख्याओं की पहचान

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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