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SSC CHSL के लिए समय और दूरी — चाल, सापेक्ष चाल, औसत चाल की पूरी तैयारी

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अवधारणा

समय और दूरी का पूरा chapter एक ही मूल सम्बन्ध पर टिका है:

दूरी=चाल×समय\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}

इसे तीनों रूपों में याद रखो: d=s×t⇒s=dt⇒t=dsd = s \times t \quad\Rightarrow\quad s = \frac{d}{t} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{d}{s}

इसे समझने का सबसे सरल तरीका: कल्पना करो कि तुम एक राजमार्ग पर गाड़ी चला रहे हो। तुम्हारी गति 60 km/h है — यानी हर घंटे में 60 किलोमीटर तय होते हैं। 3 घंटे चलने पर 180 km दूरी तय होगी। यही तीनों का सम्बन्ध है।

इकाइयों का रूपांतरण — यह सबसे ज़्यादा गलती होती है:

1 km/h=518 m/s1 \text{ km/h} = \frac{5}{18} \text{ m/s}

1 m/s=185 km/h1 \text{ m/s} = \frac{18}{5} \text{ km/h}

इस chapter के तीन बड़े क्षेत्र हैं जहाँ से SSC CHSL में प्रश्न आते हैं:

  1. सीधी चाल — घर से ऑफिस, आगे-पीछे यात्रा, औसत चाल
  2. सापेक्ष चाल — दो वस्तुओं का एक-दूसरे के सापेक्ष चलना (रेलगाड़ी के प्रश्न यहीं आते हैं)
  3. मिलन बिंदु — दो व्यक्ति एक-दूसरे की ओर चलते हैं, कब और कहाँ मिलेंगे

SSC CHSL में इस chapter से औसतन 2-3 प्रश्न आते हैं। इनमें से अधिकतर सापेक्ष चाल या औसत चाल पर होते हैं — ये दोनों धारणाएं अच्छी तरह समझ लो, बाकी खुद-ब-खुद हल होने लगेंगे।

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र और उनका सही प्रयोग

d=s×td = s \times t

देखो — परीक्षा में सीधा "दूरी बताओ" वाले प्रश्न नहीं आते। प्रश्न हमेशा किसी शर्त के साथ आते हैं जैसे "अगर चाल 10 km/h बढ़ा दें तो 2 घंटे कम लगेंगे।" इन प्रश्नों में equation बनाना आना चाहिए।

इकाई रूपांतरण की ट्रिक:

90 km/h = 90×51890 \times \frac{5}{18} = 25 m/s — यह याद कर लो, रेलगाड़ी के प्रश्नों में बार-बार काम आता है।

औसत चाल — सबसे ज़्यादा गलती यहाँ होती है

गलत सोच: औसत चाल = s1+s22\frac{s_1 + s_2}{2}

यह सूत्र केवल तब सही है जब दोनों चालों पर बराबर समय लगाया जाए।

सही सूत्र: औसत चाल=कुल दूरीकुल समय\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}

विशेष केस — दो चाल, समान दूरी (आने-जाने वाला प्रश्न):

औसत चाल=2s1s2s1+s2\text{औसत चाल} = \frac{2 s_1 s_2}{s_1 + s_2}

यह harmonic mean है। इसे सीधे याद कर लो — "4 से जाओ, 6 से आओ" वाले प्रश्नों में:

औसत चाल=2×4×64+6=4810=4.8 km/h\text{औसत चाल} = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ km/h}

तीन बराबर हिस्सों वाला प्रश्न:

यात्रा का 13\frac{1}{3} भाग s1s_1 चाल से, 13\frac{1}{3} भाग s2s_2 चाल से, 13\frac{1}{3} भाग s3s_3 चाल से:

औसत चाल=31s1+1s2+1s3\text{औसत चाल} = \frac{3}{\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} + \frac{1}{s_3}}

सापेक्ष चाल (Relative Speed)

यह पूरे chapter की सबसे ज़रूरी अवधारणा है।

नियम:

रेलगाड़ी के प्रश्नों में तय दूरी:

| स्थिति | तय दूरी | |--------|---------| | ट्रेन किसी खड़े व्यक्ति को पार करे | ट्रेन की लंबाई | | ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म को पार करे | ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई | | दो ट्रेनें एक-दूसरे को पार करें | दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग |

विपरीत दिशा में दो ट्रेनें: समय=L1+L2s1+s2\text{समय} = \frac{L_1 + L_2}{s_1 + s_2}

एक ही दिशा में दो ट्रेनें (overtake): समय=L1+L2∣s1−s2∣\text{समय} = \frac{L_1 + L_2}{|s_1 - s_2|}

मिलन बिंदु (Meeting Point)

दोनों एक-दूसरे की ओर चलें:

मिलने का समय=कुल दूरीs1+s2\text{मिलने का समय} = \frac{\text{कुल दूरी}}{s_1 + s_2}

मिलन बिंदु की दूरी A से: s1×ts_1 \times t, B से: s2×ts_2 \times t

एक ही दिशा में (पीछा करना):

मिलने का समय=प्रारंभिक दूरीs1−s2\text{मिलने का समय} = \frac{\text{प्रारंभिक दूरी}}{s_1 - s_2}

आगे-पीछे चलने वाले प्रश्न (Lead/Head Start)

अगर A, B से d0d_0 km आगे से शुरू करे और दोनों एक ही दिशा में चलें: t=d0sB−sA(जब sB>sA)t = \frac{d_0}{s_B - s_A} \quad (\text{जब } s_B > s_A)

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternसमान दूरी — हार्मोनिक माध्य सूत्र

जब भी कोई व्यक्ति एक ही दूरी दो अलग चालों से तय करे (जैसे जाना और आना), औसत चाल के लिए सीधे हार्मोनिक माध्य लगाओ:

औसत चाल=2s1s2s1+s2\text{औसत चाल} = \frac{2 s_1 s_2}{s_1 + s_2}

उदाहरण: 30 km/h से जाना, 20 km/h से आना।

सामान्य तरीका: दूरी माना dd, कुल समय = d30+d20=5d60\frac{d}{30} + \frac{d}{20} = \frac{5d}{60}, औसत = 2d5d/60=24\frac{2d}{5d/60} = 24 km/h — इसमें 40 सेकंड लगते हैं।

shortcut: 2×30×2030+20=120050=24\frac{2 \times 30 \times 20}{30 + 20} = \frac{1200}{50} = 24 km/h — 8 सेकंड में।

सामान्य तरीका: 5 steps, shortcut: 2 steps।

patternkm/h से m/s — 5/18 का तुरंत प्रयोग

रेलगाड़ी के प्रश्नों में km/h को m/s में बदलना पड़ता है। 90 km/h को 518\frac{5}{18} से गुणा करो:

90×518=5×5=25 m/s90 \times \frac{5}{18} = 5 \times 5 = 25 \text{ m/s}

अक्सर-आने वाले मान याद कर लो:

  • 36 km/h = 10 m/s
  • 54 km/h = 15 m/s
  • 72 km/h = 20 m/s
  • 90 km/h = 25 m/s

इन्हें याद रखने पर calculator की ज़रूरत नहीं — सामान्य तरीका: 15 सेकंड, याद हो तो: 3 सेकंड।

patternबराबर हिस्सों वाली यात्रा — सीधा सूत्र

जब यात्रा के बराबर-बराबर हिस्से अलग-अलग चालों से तय हों, तब harmonic mean का सामान्य रूप लगाओ।

तीन बराबर हिस्से, चालें s1,s2,s3s_1, s_2, s_3:

औसत चाल=3s1s2s3s1s2+s2s3+s3s1\text{औसत चाल} = \frac{3 s_1 s_2 s_3}{s_1 s_2 + s_2 s_3 + s_3 s_1}

या तेज़ तरीका: कुल दूरी =3d= 3d, कुल समय =d(1s1+1s2+1s3)= d\left(\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}\right), फिर भाग दो।

20, 30, 60 km/h के लिए:

  • कुल समय = d(120+130+160)=d⋅3+2+160=d10d\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}\right) = d \cdot \frac{3+2+1}{60} = \frac{d}{10}
  • औसत = 3dd/10=30\frac{3d}{d/10} = 30 km/h

सामान्य तरीका (equation बनाकर): 6 steps, यह shortcut: 3 steps।

eliminationविपरीत दिशा में मिलने का समय — जोड़ो और भाग दो

दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर चल रही हों — बस चालें जोड़ो और कुल दूरी से भाग दो। कोई equation नहीं बनानी।

300 km दूर, 60 km/h और 40 km/h से चलें: t=30060+40=300100=3 घंटेt = \frac{300}{60+40} = \frac{300}{100} = 3 \text{ घंटे}

एक ही दिशा में (पीछा): चालें घटाओ।

यह नियम इतना सीधा है कि सोचने में 2 सेकंड लगते हैं, लिखने में 5 सेकंड।

substitutionसमय-दूरी में substitution से options जाँचना

जब प्रश्न में equation बनाना मुश्किल लगे, options में से एक value डालकर जाँचो।

उदाहरण: "दूरी 12 km है?" — 124+126=3+2=5\frac{12}{4} + \frac{12}{6} = 3 + 2 = 5 घंटे। शर्त पूरी। सही।

यह तरीका तब काम आता है जब equation में dd के बजाय सीधे options वाली संख्या रखना आसान हो। equation बनाना: 45 सेकंड, substitution: 20 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में प्रश्न देखते ही यह decision tree चलाओ:

क्या दो अलग चालें हैं और दूरी समान है? → हाँ: 2s1s2s1+s2\frac{2 s_1 s_2}{s_1 + s_2} सूत्र सीधे लगाओ। → नहीं: आगे देखो।

क्या दो चीज़ें एक-दूसरे की ओर या एक ही दिशा में चल रही हैं? → विपरीत दिशा: सापेक्ष चाल = s1+s2s_1 + s_2 → एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = ∣s1−s2∣|s_1 - s_2|

क्या रेलगाड़ी प्रश्न है? → km/h को m/s में बदलो (याद रखे मान देखो) → तय दूरी = लंबाइयों का योग → समय = (तय दूरी) ÷ (सापेक्ष चाल)

क्या यात्रा के हिस्से दिए हैं? → हिस्से बराबर हों: harmonic mean सूत्र → हिस्से असमान हों: हर हिस्से का समय अलग निकालो, कुल दूरी ÷ कुल समय

बाकी सब: माना dd = दूरी, equation बनाओ, हल करो। options में से substitution करना भी एक विकल्प है।

इकाई हमेशा एक-जैसी रखो — km और km/h साथ, या m और m/s साथ। मिला-जुला रखने से ज़्यादातर गलतियाँ होती हैं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न "आने-जाने की यात्रा" का classic type है। हार्मोनिक माध्य सूत्र यहाँ सीधे लग सकता है, पर equation वाला तरीका भी आना चाहिए।

समाधान का रास्ता: माना dd = दूरी। जाने का समय = d4\frac{d}{4}, आने का समय = d6\frac{d}{6}। कुल: d4+d6=5\frac{d}{4} + \frac{d}{6} = 5 → 3d+2d12=5\frac{3d+2d}{12} = 5 → d=12d = 12 km।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A person walks from home to office at 4 km/h and returns at 6 km/h. If the total time taken is 5 hours, what is the distance between home and office?
एक व्यक्ति घर से ऑफिस 4 km/h की चाल से जाता है और 6 km/h की चाल से वापस आता है। अगर कुल समय 5 घंटे लगता है, तो घर और ऑफिस के बीच की दूरी कितनी है?
  1. 10 km
  2. 12 km
  3. 8 km
  4. 15 km
  1. 10 km
  2. 12 km
  3. 8 km
  4. 15 km
Solutionसमाधान
Let distance = d km. Time to office = d/4, Time back = d/6. Total time: d/4 + d/6 = 5. Solving: (3d + 2d)/12 = 5, 5d/12 = 5, d = 12 km.
माना दूरी = d किमी। ऑफिस जाने का समय = d/4, वापसी का समय = d/6। कुल समय: d/4 + d/6 = 5। हल करने पर: (3d + 2d)/12 = 5, 5d/12 = 5, d = 12 किमी।

क्यों यह प्रश्न: यह बराबर हिस्सों वाली यात्रा का प्रश्न है। बहुत से अभ्यर्थी गलत तरीके से तीनों चालों का arithmetic mean (36.67) ले लेते हैं। सही तरीका harmonic mean है।

समाधान का रास्ता: कुल दूरी =3d= 3d। कुल समय =d20+d30+d60=3d+2d+d60=d10= \frac{d}{20} + \frac{d}{30} + \frac{d}{60} = \frac{3d+2d+d}{60} = \frac{d}{10}। औसत चाल =3dd/10=30= \frac{3d}{d/10} = 30 km/h।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A person covers 1/3 of his journey at 20 km/h, 1/3 at 30 km/h, and remaining at 60 km/h. What is his average speed?
एक व्यक्ति अपनी यात्रा का 1/3 भाग 20 km/h की रफ्तार से, 1/3 भाग 30 km/h की रफ्तार से और बाकी हिस्सा 60 km/h की रफ्तार से तय करता है। उसकी औसत चाल क्या है?
  1. 30 km/h
  2. 32 km/h
  3. 28 km/h
  4. 35 km/h
  1. 30 km/h
  2. 32 km/h
  3. 28 km/h
  4. 35 km/h
Solutionसमाधान
Let total distance = 3d. Time = d/20 + d/30 + d/60 = d(3+2+1)/60 = d/10. Average speed = 3d/(d/10) = 30 km/h.
माना कुल दूरी = 3d। समय = d/20 + d/30 + d/60 = d(3+2+1)/60 = d/10। औसत गति = 3d/(d/10) = 30 किमी/घंटा।

क्यों यह प्रश्न: रेलगाड़ी का classic "crossing" प्रश्न। विपरीत दिशा में होने की वजह से चालें जुड़ेंगी। इकाई रूपांतरण करना ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: कुल लंबाई = 150+100=250150 + 100 = 250 m। सापेक्ष चाल = 40+50=9040 + 50 = 90 km/h =90×518=25= 90 \times \frac{5}{18} = 25 m/s। समय = 25025=10\frac{250}{25} = 10 सेकंड।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
Two trains 150m and 100m long are running in opposite directions at 40 km/h and 50 km/h respectively. In how much time will they completely cross each other?
150m और 100m लंबी दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में क्रमशः 40 km/h और 50 km/h की रफ्तार से दौड़ रही हैं। वे एक-दूसरे को पूरी तरह पार करने में कितना समय लेंगी?
  1. 10 seconds
  2. 12 seconds
  3. 8 seconds
  4. 15 seconds
  1. 10 सेकंड
  2. 12 सेकंड
  3. 8 सेकंड
  4. 15 सेकंड
Solutionसमाधान
Total length = 150 + 100 = 250m. Relative speed = 40 + 50 = 90 km/h = 90 × 5/18 = 25 m/s. Time = 250/25 = 10 seconds.
कुल लंबाई = 150 + 100 = 250 मी। सापेक्ष गति = 40 + 50 = 90 किमी/घंटा = 90 × 5/18 = 25 मी/से। समय = 250/25 = 10 सेकंड।

क्यों यह प्रश्न: मिलन-बिंदु का सीधा प्रश्न। दोनों विपरीत दिशाओं से चल रहे हैं — सापेक्ष चाल जोड़ो।

समाधान का रास्ता: सापेक्ष चाल = 60+40=10060 + 40 = 100 km/h। मिलने का समय = 300100=3\frac{300}{100} = 3 घंटे।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
Two cities are 300 km apart. A car starts from city A towards B at 60 km/h and another car starts from B towards A at 40 km/h simultaneously. When will they meet?
दो शहर 300 km की दूरी पर हैं। एक कार शहर A से B की तरफ 60 km/h की रफ्तार से और दूसरी कार शहर B से A की तरफ 40 km/h की रफ्तार से एक साथ चलना शुरू करती हैं। वे कब मिलेंगी?
  1. 3 hours
  2. 2.5 hours
  3. 3.5 hours
  4. 4 hours
  1. 3 घंटे
  2. 2.5 घंटे
  3. 3.5 घंटे
  4. 4 घंटे
Solutionसमाधान
Relative speed when approaching = 60 + 40 = 100 km/h. Time to meet = Total distance/Relative speed = 300/100 = 3 hours.
आपस में मिलने पर सापेक्ष गति = 60 + 40 = 100 किमी/घंटा। मिलने का समय = कुल दूरी/सापेक्ष गति = 300/100 = 3 घंटे।

क्यों यह प्रश्न: यहाँ दूरी के हिस्से बराबर नहीं हैं (10 km और 15 km)। इसलिए formula से नहीं, हर हिस्से का समय अलग निकालना होगा।

समाधान का रास्ता: पहले 10 km का समय = 1015=23\frac{10}{15} = \frac{2}{3} घंटा। अगले 15 km का समय = 1510=32\frac{15}{10} = \frac{3}{2} घंटा। कुल समय = 23+32=4+96=136\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4+9}{6} = \frac{13}{6} घंटा। कुल दूरी = 25 km। औसत = 2513/6=15013≈12\frac{25}{13/6} = \frac{150}{13} \approx 12 km/h।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A cyclist travels first 10 km at 15 km/h and next 15 km at 10 km/h. What is his average speed for the entire journey?
एक साइकिल चालक पहले 10 km की दूरी 15 km/h की रफ्तार से और अगले 15 km की दूरी 10 km/h की रफ्तार से तय करता है। पूरी यात्रा की औसत रफ्तार क्या होगी?
  1. 12 km/h
  2. 11.5 km/h
  3. 12.5 km/h
  4. 13 km/h
  1. 12 km/h
  2. 11.5 km/h
  3. 12.5 km/h
  4. 13 km/h
Solutionसमाधान
Time for first 10 km = 10/15 = 2/3 hour. Time for next 15 km = 15/10 = 1.5 hours. Total time = 2/3 + 1.5 = 2.17 hours. Average speed = 25/2.17 = 12 km/h.
पहले 10 किमी का समय = 10/15 = 2/3 घंटा। अगले 15 किमी का समय = 15/10 = 1.5 घंटे। कुल समय = 2/3 + 1.5 = 2.17 घंटे। औसत गति = 25/2.17 = 12 किमी/घंटा।

क्यों यह प्रश्न: विपरीत दिशा में चलने पर दूरी बढ़ती है — सापेक्ष चाल जोड़ो। यह concept "कब दूरी X होगी" के रूप में आता है।

समाधान का रास्ता: विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 60+40=10060 + 40 = 100 km/h। समय = 350100=3.5\frac{350}{100} = 3.5 घंटे।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
Two cars start from the same point in opposite directions at speeds of 60 km/h and 40 km/h respectively. After how much time will they be 350 km apart?
दो कारें एक ही जगह से विपरीत दिशाओं में क्रमशः 60 km/h और 40 km/h की रफ्तार से चलना शुरू करती हैं। कितने समय बाद उनके बीच की दूरी 350 km हो जाएगी?
  1. 3.5 hours
  2. 4 hours
  3. 3 hours
  4. 5 hours
  1. 3.5 घंटे
  2. 4 घंटे
  3. 3 घंटे
  4. 5 घंटे
Solutionसमाधान
Relative speed when moving in opposite directions = 60 + 40 = 100 km/h. Time = Distance/Speed = 350/100 = 3.5 hours.
विपरीत दिशा में चलने पर सापेक्ष गति = 60 + 40 = 100 किमी/घंटा। समय = दूरी/गति = 350/100 = 3.5 घंटे।

क्यों यह प्रश्न: यह circular track का सरल प्रश्न है — चक्करों की संख्या = कुल समय ÷ एक चक्कर का समय।

समाधान का रास्ता: एक चक्कर = 2 मिनट। 15 मिनट में चक्कर = 152=7.5\frac{15}{2} = 7.5।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A runner completes a circular track of 400m in 2 minutes. How many rounds will he complete in 15 minutes?
एक धावक 400m के गोलाकार ट्रैक को 2 मिनट में पूरा करता है। 15 मिनट में वह कितने चक्कर लगाएगा?
  1. 7.5 rounds
  2. 8 rounds
  3. 6 rounds
  4. 10 rounds
  1. 7.5 चक्कर
  2. 8 चक्कर
  3. 6 चक्कर
  4. 10 चक्कर
Solutionसमाधान
Time for 1 round = 2 minutes. In 15 minutes, rounds completed = 15/2 = 7.5 rounds.
1 चक्कर का समय = 2 मिनट। 15 मिनट में पूरे होने वाले चक्कर = 15/2 = 7.5 चक्कर।

क्यों यह प्रश्न: यह "आधी दूरी" वाला प्रश्न है जहाँ हर हिस्से की दूरी बराबर है। हार्मोनिक माध्य सूत्र लगाओ।

समाधान का रास्ता: माना हर आधी दूरी = dd। d80+d120=5\frac{d}{80} + \frac{d}{120} = 5 → 3d+2d240=5\frac{3d+2d}{240} = 5 → 5d=12005d = 1200 → d=240d = 240 km। कुल दूरी = 2d=4802d = 480 km।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A car travels at 80 km/h for the first half of the journey and 120 km/h for the second half. If the total time taken is 5 hours, what is the total distance?
एक कार यात्रा के पहले आधे हिस्से में 80 km/h और दूसरे आधे हिस्से में 120 km/h की रफ्तार से चलती है। अगर कुल समय 5 घंटे लगता है, तो कुल दूरी कितनी है?
  1. 480 km
  2. 500 km
  3. 450 km
  4. 520 km
  1. 480 km
  2. 500 km
  3. 450 km
  4. 520 km
Solutionसमाधान
Let each half distance = d km. Time for first half = d/80, Time for second half = d/120. Total time: d/80 + d/120 = 5. Solving: (3d + 2d)/240 = 5, 5d/240 = 5, d = 240 km. Total distance = 2d = 480 km.
माना प्रत्येक आधी दूरी = d किमी। पहली आधी का समय = d/80, दूसरी आधी का समय = d/120। कुल समय: d/80 + d/120 = 5। हल करने पर: (3d + 2d)/240 = 5, 5d/240 = 5, d = 240 किमी। कुल दूरी = 2d = 480 किमी।

आम गलतियाँ

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