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SSC MTS के लिए मिश्रण और मिलावट (Alligation) — पूरी तैयारी

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अवधारणा

मिश्रण और मिलावट (Mixtures and Alligation) — यह topic उतना डरावना नहीं जितना नाम सुनकर लगता है। इसका मूल विचार बहुत सीधा है: दो या दो से अधिक चीज़ें मिलाओ, और देखो कि नए मिश्रण की "औसत कीमत" या "औसत सांद्रता" (concentration) क्या बनती है।

एक ठोस उदाहरण लो। मान लो बाज़ार में एक दुकानदार ₹40/kg वाली चाय और ₹60/kg वाली चाय मिलाकर ₹50/kg पर बेचना चाहता है। सवाल यह है — दोनों को किस अनुपात में मिलाए?

यहाँ Alligation का नियम काम आता है। यह नियम असल में एक क्रॉस-सब्ट्रैक्शन trick है — सस्ती चीज़ की कीमत को mean से घटाओ, और महँगी चीज़ की कीमत को mean से घटाओ। जो अंतर आएगा, वह अनुपात उलटा हो जाता है।

Alligation का सूत्र:

$\text{सस्ती मात्रा} : \text{महँगी मात्रा} = (d_2 - \bar{x}) : (\bar{x} - d_1)$

जहाँ $d_1$ = सस्ती चीज़ की कीमत/concentration, $d_2$ = महँगी चीज़ की कीमत/concentration, $\bar{x}$ = मिश्रण की mean कीमत/concentration।

ऊपर के उदाहरण में: $(60-50) : (50-40) = 10:10 = 1:1$ । यानी दोनों बराबर-बराबर मिलाओ।

एक और तरीके से सोचो — जैसे किसी तालाब में गर्म और ठंडा पानी मिलाते हो। ज़्यादा ठंडा डालोगे तो मिश्रण ठंडे की तरफ़ खिंचेगा। Alligation बस यही "खिंचाव" नापता है।

यह topic SSC MTS में मुख्यतः तीन रूपों में आता है:

दो किस्मों की मिलावट (cost-based)
दूध-पानी या alcohol-water concentration
प्रतिस्थापन (replacement) — जब मिश्रण का कुछ हिस्सा निकालकर कुछ और डाला जाए

गहन विश्लेषण

Alligation का नियम — पूरी व्युत्पत्ति

मान लो $n_1$ kg सस्ती चीज़ ( $d_1$ कीमत पर) और $n_2$ kg महँगी चीज़ ( $d_2$ कीमत पर) मिलाई जाती है, और मिश्रण की mean कीमत $\bar{x}$ है।

भारित औसत का सूत्र:

$\bar{x} = \frac{n_1 \cdot d_1 + n_2 \cdot d_2}{n_1 + n_2}$

इसे रearrange करो:

$\bar{x}(n_1 + n_2) = n_1 d_1 + n_2 d_2$

$n_1 \bar{x} + n_2 \bar{x} = n_1 d_1 + n_2 d_2$

$n_2(\bar{x} - d_2) = n_1(d_1 - \bar{x})$

$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\bar{x} - d_2}{d_1 - \bar{x}} = \frac{d_2 - \bar{x}}{\bar{x} - d_1}$

यही Alligation है। Criss-cross subtract करो, फिर flip (उलट) करो।

Alligation का Diagram (Cross Method)

   d₁          d₂
     \          /
      \        /
       x̄ (mean)
      /        \
     /          \
(d₂ - x̄)    (x̄ - d₁)

$n_1 : n_2 = (d_2 - \bar{x}) : (\bar{x} - d_1)$

तीन मुख्य प्रकार

प्रकार 1 — दो वस्तुओं की मिलावट (Cost-based)

जब दो अलग-अलग कीमत की वस्तुएँ मिलाकर एक निश्चित कीमत पर बेचनी हों।

उदाहरण: ₹30/kg और ₹50/kg वाला चावल मिलाकर ₹42/kg पर बेचना है।

Alligation: $(50-42) : (42-30) = 8:12 = 2:3$
यानी ₹30 वाला : ₹50 वाला = $2:3$

प्रकार 2 — Concentration / Percentage based

जब दो solutions (या एक solution और pure substance) मिलाकर एक नई concentration बनानी हो।

उदाहरण: 60% milk solution में pure milk (100%) मिलाकर 75% बनाना है।

$d_1 = 60\%$ , $d_2 = 100\%$ , $\bar{x} = 75\%$
अनुपात: $(100-75) : (75-60) = 25:15 = 5:3$
यानी पुराना solution : pure milk = $5:3$

प्रकार 3 — प्रतिस्थापन (Replacement)

जब $V$ लीटर के मिश्रण से $x$ लीटर निकालकर $x$ लीटर water (या कुछ और) डाला जाए, यह process $n$ बार हो।

सूत्र:

$\text{बचा हुआ पदार्थ} = V \times \left(1 - \frac{x}{V}\right)^n$

एक बार replacement के लिए ( $n=1$ ):

$\text{alcohol बचा} = \text{initial alcohol} \times \frac{V-x}{V}$

उदाहरण: 50 लीटर मिश्रण में alcohol:water = 3:2, 10 लीटर निकालकर पानी डालो।

Initial alcohol = $\frac{3}{5} \times 50 = 30$ L
Replacement के बाद alcohol = $30 \times \frac{50-10}{50} = 30 \times \frac{4}{5} = 24$ L
नया water = $50-24 = 26$ L
नया अनुपात = $24:26 = 12:13$

Mean और Extreme का संबंध

एक महत्वपूर्ण बात — mean ( $\bar{x}$ ) हमेशा $d_1$ और $d_2$ के बीच में होना चाहिए। अगर mean किसी एक extreme के बराबर है, तो दूसरी चीज़ की मात्रा शून्य है। अगर mean range के बाहर है, तो सवाल ही गलत है।

तीन से ज़्यादा components

जब तीन चीज़ें मिलाई जाएँ, तो Alligation को दो बार use करो — पहले दो को मिलाओ, फिर उस परिणाम को तीसरे के साथ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternCross-Subtract और Flip

जब भी दो चीज़ें मिलाकर mean निकालना हो — diagram बनाओ, cross subtract करो, और ratio लिखो।

उदाहरण: ₹20 और ₹30 की चीज़ें मिलाकर ₹24 mean चाहिए।

ऊपर लिखो: 20 और 30
Cross subtract: $(30-24)=6$ और $(24-20)=4$
Ratio: $6:4 = 3:2$ (₹20 वाली : ₹30 वाली)

Standard method (equations लिखकर): 4 steps, ~45 सेकंड। Alligation cross: 2 steps, ~12 सेकंड।

patternReplacement Formula — एक बार में answer

प्रतिस्थापन के सवालों में बार-बार subtract मत करो। सूत्र सीधे use करो:

$\text{बचा हुआ} = \text{शुरुआती मात्रा} \times \left(\frac{V - x}{V}\right)^n$

उदाहरण: 40L में alcohol 80%, 8L निकालकर पानी डालो, 2 बार।

बचा alcohol = $0.80 \times 40 \times \left(\frac{32}{40}\right)^2 = 32 \times 0.64 = 20.48$ L

Step-by-step method: 6 steps। Formula: 2 steps।

elimination% से सीधे अनुपात — बिना equation

जब pure substance (100%) या pure water (0%) मिलाना हो, तो alligation और भी तेज़ हो जाती है।

उदाहरण: 40% solution में pure water मिलाकर 30% बनाना है।

$d_1 = 0\%$ (water), $d_2 = 40\%$ , $\bar{x} = 30\%$
Ratio: $(40-30):(30-0) = 10:30 = 1:3$
यानी solution : water = $1:3$

Equation लिखने की ज़रूरत नहीं। Cross method: ~10 सेकंड।

eliminationMean की Position देखो — options eliminate करो

Mean हमेशा दोनों extremes के बीच होती है। अगर mean $d_1$ के करीब है, तो $d_1$ वाली चीज़ का ratio ज़्यादा होगा।

उदाहरण: ₹10 और ₹50 मिलाकर mean ₹15 — mean ₹10 के करीब है, इसलिए ₹10 वाली चीज़ ज़्यादा होगी। Options में जो ratio $\geq1$ दिखाए ₹10 के लिए, वही सही है।

4 options में से 2-3 को बिना calculate किए eliminate: ~5 सेकंड।

patternDifference Method — तेज़ ratio निकालो

जब mean दिया हो और दोनों extremes दिए हों:

$d_1$ से mean का अंतर = $A$
$d_2$ से mean का अंतर = $B$
Ratio = $B:A$ (उल्टा)

यह याद रखो: "जितना दूर, उतना कम" — जो extreme mean से जितनी दूर है, उसकी मात्रा उतनी कम लगती है।

Mental calculation में 1 step: ~8 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में मिश्रण का सवाल आए तो यह decision tree follow करो:

Step 1: सवाल में क्या पूछा है?

अगर ratio पूछा है → Alligation cross method सीधे use करो।
अगर मात्रा पूछी है → पहले alligation से ratio निकालो, फिर total quantity से गुणा करो।

Step 2: कितने components हैं?

दो components → एक बार alligation।
तीन components → दो बार alligation (किन्हीं दो को पहले मिलाओ)।

Step 3: क्या replacement है?

हाँ → $\left(\frac{V-x}{V}\right)^n$ formula।
नहीं → direct alligation।

Step 4: Mean की position check करो।

Mean दोनों extremes के बीच होनी चाहिए — अगर नहीं है तो सवाल दोबारा पढ़ो।

Step 5: Options देखो — बड़े अनुपात वाला component वह है जो mean के करीब है। इससे eliminate करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह classic cost-based alligation है — सीधा cross method लगाओ, ratio तुरंत मिलेगा।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2016

Two varieties of sugar are mixed together in a certain ratio. The cost of the mixture per Kg is ₹0.50 less than that of the superior and ₹0.75 more than the inferior variety. The ratio in which the superior and inferior varieties of sugar have been mixed is:

Solutionसमाधान

Using alligation: the superior variety costs 0.50 more than mixture and inferior costs 0.75 less. Ratio = 0.75:0.50 = 3:2.

समाधान का रास्ता:

Superior variety की कीमत = mean + 0.50 (mean से ₹0.50 ज़्यादा)
Inferior variety की कीमत = mean − 0.75 (mean से ₹0.75 कम)
Alligation cross: Superior : Inferior = (mean − inferior से अंतर) : (superior से mean का अंतर) = $0.75 : 0.50 = 3:2$
ध्यान रखो: cross method में inferior का अंतर → superior की मात्रा, और superior का अंतर → inferior की मात्रा।

क्यों यह प्रश्न: यह percentage-based alligation है जहाँ pure milk (100%) मिलाई जा रही है — बहुत common type।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

A solution of milk and water contains 60% milk. How many litres of pure milk must be added to 40 litres of this solution to make the milk content 75%?

10 L
24 L
20 L
12 L

Solutionसमाधान

Using alligation between 60% and 100% milk to reach 75%: ratio is 5:3 per 8 units; 40 litres corresponds to 40/5×3 = 24 litres of pure milk to be added.

समाधान का रास्ता:

$d_1 = 60\%$ (पुरानी solution), $d_2 = 100\%$ (pure milk), $\bar{x} = 75\%$
Alligation: $(100-75) : (75-60) = 25:15 = 5:3$
यानी पुरानी solution : pure milk = $5:3$
पुरानी solution = 40 L → $\frac{5}{5} \times 40 = 40$ L (यह 5 units है)
Pure milk = $\frac{3}{5} \times 40 = 24$ L
Cross-check: $\frac{60\% \times 40 + 100\% \times 24}{40+24} = \frac{24+24}{64} = \frac{48}{64} = 75\%$ ✓

क्यों यह प्रश्न: यह replacement type है — formula सीधे लगाओ, fraction calculate करो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

From a 50-litre mixture containing alcohol and water in the ratio 3:2, 10 litres are removed and replaced with water. What is the new ratio of alcohol to water?

12:13
19:7
17:5
5:4

Solutionसमाधान

Initial alcohol = 30 L, water = 20 L. Removing 10 L of mixture removes 6 L alcohol and 4 L water. After replacement: alcohol = 24 L, water = 16+10 = 26 L. Ratio = 24:26 = 12:13.

समाधान का रास्ता:

Initial mixture = 50 L, alcohol:water = 3:2
Initial alcohol = $\frac{3}{5} \times 50 = 30$ L, initial water = 20 L
10 L mixture निकाला → 10 L में alcohol = $\frac{3}{5} \times 10 = 6$ L, water = 4 L
10 L water डाला
बचा alcohol = $30 - 6 = 24$ L
बचा water = $20 - 4 + 10 = 26$ L
नया ratio = $24:26 = 12:13$
Formula से verify: alcohol = $30 \times \frac{40}{50} = 30 \times 0.8 = 24$ L ✓

आम गलतियाँ

Cross करने के बाद ratio को flip मत भूलो। Alligation में $d_2 - \bar{x}$ वाला अंतर $d_1$ (सस्ती चीज़) की मात्रा देता है, $d_1 - \bar{x}$ नहीं। यही सबसे common गलती है।
Replacement में पूरे mixture का fraction लो, सिर्फ़ alcohol का नहीं। जब 10 L निकालते हो, तो वह 10 L पूरे मिश्रण की concentration पर निकलता है — सिर्फ़ alcohol या सिर्फ़ water नहीं।
Mean को range के बाहर मत रखो। अगर सवाल में mean किसी भी extreme से बाहर है (जैसे दोनों ₹20 और ₹30 के बीच mean ₹35 दिया है), तो सवाल दोबारा पढ़ो — कहीं misread हुआ है।
Percentage और actual quantity में गड़बड़। "40 लीटर solution में 60% milk" का मतलब 24 L milk है, 60 L नहीं। Alligation में जब quantity calculate करो, percentage से actual quantity निकालना मत भूलो।
तीन components में alligation गलत तरीके से apply करना। तीन चीज़ें हों तो एक बार में सीधे cross नहीं लगेगा — पहले किन्हीं दो के बीच alligation करो, फिर उस result को तीसरे के साथ।
Replacement formula में base गलत लेना। $\left(\frac{V-x}{V}\right)^n$ में $V$ हमेशा total mixture की volume है, $n$ replacements के पहले वाली original quantity नहीं। हर replacement के बाद total volume वही रहती है ( $V$ ), क्योंकि उतना ही निकाला और उतना ही डाला।

SSC MTS के लिए मिश्रण और मिलावट (Alligation) — पूरी तैयारी

अवधारणा

गहन विश्लेषण

Alligation का नियम — पूरी व्युत्पत्ति

Alligation का Diagram (Cross Method)

तीन मुख्य प्रकार

Mean और Extreme का संबंध

तीन से ज़्यादा components

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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