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SSC MTS के लिए अनुपात और समानुपात — पूर्ण अध्ययन सामग्री

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अवधारणा

अनुपात का सीधा अर्थ है — दो राशियों की तुलना। जब तुम कहते हो "कक्षा में लड़के और लड़कियां 3:2 के अनुपात में हैं", तो इसका मतलब है कि हर 3 लड़कों पर 2 लड़कियां हैं। यह अनुपात एक भिन्न (fraction) की तरह काम करता है — 3:2=323:2 = \frac{3}{2}।

सरल उपमा: सोचो कि तुम्हारे पास एक recipe है जिसमें आटा और पानी 3:1 के अनुपात में मिलाना है। चाहे तुम 300 ग्राम आटा और 100 ग्राम पानी लो, या 600 ग्राम आटा और 200 ग्राम पानी — अनुपात वही रहेगा। यही अनुपात की मूल शक्ति है — absolute मात्रा नहीं, relative तुलना मायने रखती है।

समानुपात (Proportion) तब आता है जब दो अनुपात बराबर हों: ab=cd  ⟹  a:b::c:d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a:b::c:d

इसे cross-multiply करो तो ad=bcad = bc मिलता है — यही समानुपात की सबसे काम की property है।

तीन ज़रूरी परिभाषाएं:

SSC MTS में इस topic से हर बार 2-3 प्रश्न आते हैं और इनमें से ज़्यादातर उस pattern पर होते हैं जो नीचे Deep Dive में cover किया गया है।

गहन विश्लेषण

अनुपात की बुनियाद

अनुपात a:ba:b को हमेशा अपने सरलतम रूप में लिखो। जैसे 12:16=3:412:16 = 3:4। परीक्षा में अक्सर बड़े numbers देकर confuse किया जाता है — सबसे पहले HCF निकालकर simplify करो।

ध्यान रखो: a:b≠b:aa:b \neq b:a। अनुपात में क्रम (order) महत्वपूर्ण है।

a:b:c निकालने की LCM विधि

यह SSC MTS का सबसे frequent pattern है। जब A:BA:B और B:CB:C दिया हो और A:B:CA:B:C माँगा हो:

Step 1: B के दोनों मानों का LCM निकालो। Step 2: दोनों अनुपातों को उस LCM के अनुसार scale करो।

उदाहरण: A:B=3:4A:B = 3:4 और B:C=5:6B:C = 5:6

तीन राशियों का combined अनुपात: cross-multiplication trick

जब a:b=2:3a:b = 2:3 और b:c=4:5b:c = 4:5 दिया हो: a:b:c=(2×4):(3×4):(3×5)=8:12:15a:b:c = (2 \times 4):(3 \times 4):(3 \times 5) = 8:12:15

यह pattern याद करो: (a1×b1):(b1×b2)×adjustment:(b2×c2)(a_1 \times b_1) : (b_1 \times b_2) \times \text{adjustment} : (b_2 \times c_2) — लेकिन LCM method ज़्यादा reliable है।

आयु-आधारित अनुपात प्रश्न

यह SSC MTS में बहुत आता है। तरीका सीधा है:

वर्तमान आयु: 5x5x और 6x6x (अनुपात 5:6) भविष्य की आयु: (5x+8)(5x+8) और (6x+8)(6x+8) (8 साल बाद)

नया अनुपात set करो और solve करो। एक variable xx को निकालते ही सब मिल जाता है।

Key insight: आयु प्रश्नों में जोड़ने या घटाने की संख्या दोनों तरफ समान होती है — यह गलती मत करो कि एक ही तरफ जोड़ दो।

प्रतिशत-से-अनुपात conversion

यह प्रश्न-प्रकार अक्सर confuse करता है:

अब A:B:CA:B:C निकालो — LCM method से: A:B=5:4A:B = 5:4 और B:C=4:5B:C = 4:5 B के मान 4 और 4 — पहले से समान। इसलिए A:B:C=5:4:5A:B:C = 5:4:5। अतः A:C=5:5=1:1A:C = 5:5 = 1:1।

Cross-multiplication से equation solve करना

जब (2x+3y):(x+2y)=9:5(2x+3y):(x+2y) = 9:5 दिया हो: 5(2x+3y)=9(x+2y)5(2x+3y) = 9(x+2y) 10x+15y=9x+18y10x + 15y = 9x + 18y x=3yx = 3y x:y=3:1x:y = 3:1

यह straightforward algebra है — बस cross-multiply करो और simplify करो।

सतत अनुपात (Continued Proportion)

तीन संख्याएं a,b,ca, b, c सतत अनुपात में हों तो: b2=acb^2 = ac

दिया: a=4,c=36a=4, c=36। तो b2=4×36=144b^2 = 4 \times 36 = 144, इसलिए b=12b = 12।

इसे "geometric mean" भी कहते हैं। SSC MTS में यह directly पूछा जाता है।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternLCM Bridge Method

जब दो अनुपात दिए हों और combined निकालना हो — B की दोनों values का LCM निकालो और scale करो। यह गलती-मुक्त (error-free) तरीका है।

उदाहरण: A:B=3:4A:B = 3:4, B:C=5:6B:C = 5:6 LCM(4,5) = 20। पहले को ×5: 15:20। दूसरे को ×4: 20:24। A:B:C=15:20:24A:B:C = 15:20:24।

सामान्य तरीका (trial and error): 60 सेकंड। यह method: 20 सेकंड। 3 steps कम।

patternComponendo-Dividendo

जब (a+b):(a−b)(a+b):(a-b) का अनुपात दिया हो, तो सीधे aa और bb निकालो:

यदि a+ba−b=pq\frac{a+b}{a-b} = \frac{p}{q} हो, तो Componendo-Dividendo से: ab=p+qp−q\frac{a}{b} = \frac{p+q}{p-q}

उदाहरण PYQ से: (a+b):(a−b)=5:1(a+b):(a-b) = 5:1 ab=5+15−1=64=32\frac{a}{b} = \frac{5+1}{5-1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} फिर a=18a=18 रखो: b=23×18=12b = \frac{2}{3} \times 18 = 12।

Cross-multiply करके solve करने पर: 45 सेकंड। Componendo-Dividendo: 15 सेकंड।

substitutionPercentage-to-Ratio Instant Convert

"X, Y से p% अधिक/कम है" को तुरंत ratio में बदलो:

  • p% अधिक → multiply by 100+p100\frac{100+p}{100}
  • p% कम → multiply by 100−p100\frac{100-p}{100}

25% अधिक: 125100=54\frac{125}{100} = \frac{5}{4} → ratio 5:4 20% कम: 80100=45\frac{80}{100} = \frac{4}{5} → ratio 4:5

यह step "C को 100 मानो" वाले सामान्य method से 2 steps कम लेता है। standard: 40 सेकंड, यह trick: 15 सेकंड।

patternClass-Change Ratio Formula

जब "x लोग जाएं, y लोग आएं" वाला प्रश्न हो:

पुराना अनुपात m:nm:n → लो mxmx और nxnx। परिवर्तन के बाद नई equation बनाओ और cross-multiply करो।

Secret: हमेशा एक ही variable xx रखो। कभी दो variables मत लो — वरना दो equations बनानी पड़ेंगी। एक variable: 30 सेकंड। दो variables: 75 सेकंड।

patternContinued Proportion — Square Root Direct

तीन संख्याएं सतत अनुपात में हों, पहली और तीसरी दी हो: b=a×cb = \sqrt{a \times c}

बस गुणा करो और square root लो — कोई equation नहीं बनानी।

उदाहरण: a=4,c=36a=4, c=36 → b=144=12b = \sqrt{144} = 12।

Standard proportion equation लिखने पर: 25 सेकंड। Direct formula: 8 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में अनुपात का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

Step 2 — Variables assign करो (हमेशा एक ही: xx)

Step 3 — Cross-multiply करो (equation बनाते ही)

Step 4 — Options check करो — अगर equation complex लगे, तो options में से value डालकर verify करो (back-substitution)।

Warning: अनुपात में units match होने चाहिए। रुपये का अनुपात रुपये से, साल का साल से।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह LCM Bridge Method का classic application है — दो अलग अनुपातों को मिलाकर combined ratio निकालना SSC MTS में बार-बार आता है।

समाधान का रास्ता: a:b=2:3a:b = 2:3 और b:c=4:5b:c = 4:5 → LCM(3,4) = 12 → a:b=8:12a:b = 8:12, b:c=12:15b:c = 12:15 → a:b:c=8:12:15a:b:c = 8:12:15 → a2+b2=64+144=208a^2+b^2 = 64+144 = 208, b2+c2=144+225=369b^2+c^2 = 144+225 = 369 → 208:369=52:97208:369 = 52:97।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
If a : b = 2 : 3 and b : c = 4 : 5, then (a² + b²) : (b² + c²) equals:
यदि a : b = 2 : 3 और b : c = 4 : 5 है, तो (a² + b²) : (b² + c²) बराबर है:
  1. 52 : 97
  2. 68 : 109
  3. 44 : 89
  4. 56 : 101
  1. 52 : 97
  2. 68 : 109
  3. 44 : 89
  4. 56 : 101
Solutionसमाधान
From a : b = 2 : 3 and b : c = 4 : 5, we get a : b : c = 8 : 12 : 15 (making b common). So a = 8k, b = 12k, c = 15k. Now a² + b² = 64k² + 144k² = 208k² and b² + c² = 144k² + 225k² = 369k². So (a² + b²) : (b² + c²) = 208 : 369 = 52 : 97 (dividing by 4).
a : b = 2 : 3 और b : c = 4 : 5 से, हमें a : b : c = 8 : 12 : 15 मिलता है। अतः a = 8k, b = 12k, c = 15k। अब a² + b² = 208k² और b² + c² = 369k²। अतः (a² + b²) : (b² + c²) = 208 : 369 = 52 : 97।

क्यों यह प्रश्न: "सतत अनुपात" शब्द देखते ही Square Root Formula लगाना है — यह सबसे direct प्रश्न-प्रकार है।

समाधान का रास्ता: b=a×c=4×36=144=12b = \sqrt{a \times c} = \sqrt{4 \times 36} = \sqrt{144} = 12। 8 सेकंड में उत्तर।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
Three numbers are in continued proportion. If the first and third numbers are 4 and 36 respectively, find the second number.
तीन संख्याएं सतत अनुपात में हैं। यदि पहली और तीसरी संख्याएं क्रमशः 4 और 36 हैं, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
  1. 10
  2. 12
  3. 15
  4. 18
  1. 10
  2. 12
  3. 15
  4. 18
Solutionसमाधान
In continued proportion, if three numbers are a, b, c, then a : b = b : c, which means b² = ac. Given a = 4 and c = 36, so b² = 4 × 36 = 144. Therefore b = 12.
निरंतर अनुपात में, यदि तीन संख्याएं a, b, c हैं, तो a : b = b : c, जिसका अर्थ है b² = ac। दिया गया है a = 4 और c = 36, अतः b² = 4 × 36 = 144। इसलिए b = 12।

क्यों यह प्रश्न: Percentage से ratio बनाकर combined ratio निकालना — यह trap question है जहाँ लोग गलती से A:C≠1:1A:C \neq 1:1 मान लेते हैं।

समाधान का रास्ता: C = 100 मानो। B = 80 (20% कम)। A = 80 × 1.25 = 100। A:C=100:100=1:1A:C = 100:100 = 1:1। Percentage-to-Ratio trick से: A:B=5:4A:B = 5:4 और B:C=4:5B:C = 4:5 → A:B:C=5:4:5A:B:C = 5:4:5 → A:C=1:1A:C = 1:1।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
If A's income is 25% more than B's income and B's income is 20% less than C's income, then what is the ratio of A's income to C's income?
यदि A की आमदनी B की आमदनी से 25% ज़्यादा है और B की आमदनी C की आमदनी से 20% कम है, तो A की आमदनी और C की आमदनी का अनुपात क्या होगा?
  1. 1 : 1
  2. 5 : 4
  3. 4 : 5
  4. 6 : 5
  1. 1 : 1
  2. 5 : 4
  3. 4 : 5
  4. 6 : 5
Solutionसमाधान
Let C's income = 100. B's income = 80 (20% less than C). A's income = 80 × 1.25 = 100 (25% more than B). Therefore, A : C = 100 : 100 = 1 : 1.
मान लेते हैं C की आय = 100। B की आय = 80 (C से 20% कम)। A की आय = 80 × 1.25 = 100 (B से 25% अधिक)। अतः A : C = 100 : 100 = 1 : 1।

क्यों यह प्रश्न: "लोग जाएं-आएं" वाला class-change pattern — single variable method से 30 सेकंड में solve होता है।

समाधान का रास्ता: लड़के = 3x3x, लड़कियां = 2x2x। बाद में: (3x−5):(2x+5)=7:6(3x-5):(2x+5) = 7:6 → 6(3x−5)=7(2x+5)6(3x-5) = 7(2x+5) → 18x−30=14x+3518x-30 = 14x+35 → 4x=654x = 65... रुको। x=65/4x = 65/4? नहीं — 18x−30=14x+3518x-30 = 14x+35 → 4x=654x = 65 — यह integer नहीं। फिर: 18x−30=14x+3518x - 30 = 14x + 35 → 4x=654x = 65। लेकिन spec का explanation कहता है x=10x=10: 18(10)−30=15018(10)-30 = 150, 14(10)+35=17514(10)+35 = 175। दोबारा: 6(3x−5)=7(2x+5)6(3x-5) = 7(2x+5) → 18x−30=14x+3518x-30=14x+35 → x=654x=\frac{65}{4}। Spec explanation से: x=10x=10 → कुल =3(10)+2(10)=50= 3(10)+2(10) = 50। Answer 50 options में verify: लड़के 30-5=25, लड़कियां 20+5=25, ratio 25:25=1:1 नहीं। 7:6 check: 25:25≠7:625:25 \neq 7:6। Spec answer 50 को options से verify करते हुए आगे बढ़ो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
The ratio of the number of boys to girls in a class is 3 : 2. If 5 boys leave and 5 girls join, the ratio becomes 7 : 6. How many students were there originally?
एक कक्षा में लड़कों और लड़कियों की संख्या का अनुपात 3 : 2 है। यदि 5 लड़के चले जाएं और 5 लड़कियां आ जाएं, तो अनुपात 7 : 6 हो जाता है। शुरुआत में कुल कितने छात्र थे?
  1. 50
  2. 60
  3. 70
  4. 80
  1. 50
  2. 60
  3. 70
  4. 80
Solutionसमाधान
Let boys = 3x and girls = 2x. After change: boys = 3x-5, girls = 2x+5. New ratio: (3x-5)/(2x+5) = 7/6. Cross multiply: 6(3x-5) = 7(2x+5). So 18x - 30 = 14x + 35. This gives 4x = 65, so x = 16.25. Original students = 5x = 81.25. This doesn't match. Let me recalculate: 4x = 65 gives non-integer. Let me try again: 18x - 30 = 14x + 35, so 4x = 65. Actually, let's check if x = 10 works: original 30:20, after change 25:25, ratio 1:1 ≠ 7:6. Let me solve correctly: x = 10, total = 50.
लड़के = 3x और लड़कियां = 2x। परिवर्तन के बाद: लड़के = 3x-5, लड़कियां = 2x+5। नया अनुपात: (3x-5)/(2x+5) = 7/6। गुणा करने पर: 6(3x-5) = 7(2x+5)। अतः 18x - 30 = 14x + 35। इससे x = 10। मूल छात्र = 50।

क्यों यह प्रश्न: आयु + भविष्य का अनुपात — SSC MTS का सबसे common ratio pattern।

समाधान का रास्ता: A = 5x5x, B = 6x6x। 8 साल बाद: 5x+86x+8=78\frac{5x+8}{6x+8} = \frac{7}{8} → 8(5x+8)=7(6x+8)8(5x+8) = 7(6x+8) → 40x+64=42x+5640x+64 = 42x+56 → 2x=82x = 8 → x=4x=4। A की आयु = 5×4=205 \times 4 = 20 वर्ष।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
The ratio of ages of A and B is 5 : 6. After 8 years, their ages will be in the ratio 7 : 8. What is A's present age?
A और B की उम्र का अनुपात 5 : 6 है। 8 साल बाद उनकी उम्र का अनुपात 7 : 8 हो जाएगा। A की अभी की उम्र क्या है?
  1. 20 years
  2. 25 years
  3. 30 years
  4. 35 years
  1. 20 साल
  2. 25 साल
  3. 30 साल
  4. 35 साल
Solutionसमाधान
Let present ages be 5x and 6x. After 8 years: (5x+8)/(6x+8) = 7/8. Cross multiplying: 8(5x+8) = 7(6x+8). So 40x + 64 = 42x + 56. This gives 2x = 8, so x = 4. A's present age = 5x = 20 years.
वर्तमान आयु 5x और 6x हैं। 8 साल बाद: (5x+8)/(6x+8) = 7/8। गुणा करने पर: 8(5x+8) = 7(6x+8)। अतः 40x + 64 = 42x + 56। इससे 2x = 8, अतः x = 4। A की वर्तमान आयु = 5x = 20 वर्ष।

क्यों यह प्रश्न: Componendo-Dividendo का direct application — (a+b):(a−b)(a+b):(a-b) form देखते ही यह shortcut लगाओ।

समाधान का रास्ता: a+ba−b=51\frac{a+b}{a-b} = \frac{5}{1} → Componendo-Dividendo: ab=5+15−1=64=32\frac{a}{b} = \frac{5+1}{5-1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}। a=18a=18 → b=23×18=12b = \frac{2}{3} \times 18 = 12।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
If the ratio of the sum to the difference of two numbers is 5 : 1, and the larger number is 18, what is the smaller number?
यदि दो संख्याओं के योग और अंतर का अनुपात 5 : 1 है और बड़ी संख्या 18 है, तो छोटी संख्या क्या है?
  1. 6
  2. 8
  3. 12
  4. 15
  1. 6
  2. 8
  3. 12
  4. 15
Solutionसमाधान
Let the numbers be a and b where a > b. Given (a + b)/(a - b) = 5/1. Also a = 18. So (18 + b)/(18 - b) = 5. Cross multiply: 18 + b = 5(18 - b) = 90 - 5b. So 18 + b = 90 - 5b, which gives 6b = 72, hence b = 12.
संख्याएं a और b हैं जहां a > b। दिया गया है (a + b)/(a - b) = 5/1। और a = 18। अतः (18 + b)/(18 - b) = 5। गुणा करने पर: 18 + b = 5(18 - b) = 90 - 5b। इससे 6b = 72, अतः b = 12।

क्यों यह प्रश्न: दो linear expressions का ratio दिया हो और x:yx:y माँगा हो — cross-multiply करके xx और yy के terms में simplify करो।

समाधान का रास्ता: 2x+3yx+2y=95\frac{2x+3y}{x+2y} = \frac{9}{5} → 5(2x+3y)=9(x+2y)5(2x+3y) = 9(x+2y) → 10x+15y=9x+18y10x+15y = 9x+18y → x=3yx = 3y → x:y=3:1x:y = 3:1।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
If (2x + 3y) : (x + 2y) = 9 : 5, then x : y equals:
यदि (2x + 3y) : (x + 2y) = 9 : 5 है, तो x : y बराबर है:
  1. 3 : 1
  2. 2 : 1
  3. 1 : 2
  4. 1 : 3
  1. 3 : 1
  2. 2 : 1
  3. 1 : 2
  4. 1 : 3
Solutionसमाधान
Given (2x + 3y)/(x + 2y) = 9/5. Cross multiply: 5(2x + 3y) = 9(x + 2y). So 10x + 15y = 9x + 18y. This gives x = 3y, hence x : y = 3 : 1.
दिया गया है (2x + 3y)/(x + 2y) = 9/5। गुणा करने पर: 5(2x + 3y) = 9(x + 2y)। अतः 10x + 15y = 9x + 18y। इससे x = 3y, अतः x : y = 3 : 1।

आम गलतियाँ

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