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SSC MTS के लिए समय और कार्य — पूरी तैयारी

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अवधारणा

समय और कार्य का मूल विचार सरल है — किसी काम को पूरा करने में कितना समय लगेगा, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कितने लोग काम कर रहे हैं और प्रत्येक व्यक्ति कितनी तेज़ी से काम करता है।

इसे एक उदाहरण से समझो: मान लो तुम्हें एक दीवार पेंट करनी है। अकेले तुम 6 घंटे में करोगे। तुम्हारा दोस्त भी उतनी ही तेज़ है — वह भी 6 घंटे में करेगी। दोनों मिलकर करें तो? 3 घंटे। यही logic पूरे chapter की नींव है।

कार्य दर (Work Rate) वह मूल अवधारणा है जिस पर सब कुछ टिका है। अगर कोई व्यक्ति एक काम को $n$ दिनों में पूरा करता है, तो प्रति दिन वह काम का $\frac{1}{n}$ हिस्सा करता है।

$\text{कार्य दर} = \frac{1}{\text{समय}}$

और उल्टा:

$\text{समय} = \frac{1}{\text{कार्य दर}}$

जब दो या अधिक लोग मिलकर काम करते हैं, उनकी कार्य दरें जुड़ती हैं:

$\text{संयुक्त दर} = \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B}$

पाइप और टंकी इसी अवधारणा का विस्तार है — भरने वाला पाइप "काम करता है" और खाली करने वाला पाइप "काम घटाता है।" बस sign बदल जाता है, logic वही रहता है।

एक ज़रूरी बात — SSC MTS में इस topic के प्रश्न सीधे होते हैं। तीन-चार घटकों वाले जटिल प्रश्न कम आते हैं। अगर तुम LCM विधि ठीक से सीख लो, तो 80% प्रश्न बिना fraction के हल होंगे।

गहन विश्लेषण

विधि 1 — भिन्न (Fraction) विधि

यह पारंपरिक तरीका है। प्रत्येक व्यक्ति की कार्य दर $\frac{1}{T}$ के रूप में लिखो और जोड़ो।

उदाहरण: A काम को 12 दिन में, B 18 दिन में करता है।

$\text{संयुक्त दर} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$

$\text{कुल समय} = \frac{36}{5} = 7.2 \text{ दिन}$

यह सही है, पर fraction के साथ काम करना धीमा होता है। इसीलिए LCM विधि बेहतर है।

विधि 2 — LCM (कुल कार्य इकाई) विधि

यह SSC के लिए सबसे तेज़ तरीका है। इसमें कुल काम को एक संख्या मान लो — LCM of all time values।

वही उदाहरण LCM से:

$T_A = 12$ , $T_B = 18$
LCM(12, 18) = 36 → कुल काम = 36 units
A प्रति दिन = $\frac{36}{12}$ = 3 units
B प्रति दिन = $\frac{36}{18}$ = 2 units
दोनों मिलकर = 3 + 2 = 5 units/दिन
कुल समय = $\frac{36}{5}$ = 7.2 दिन

LCM विधि में fraction से बचते हो — सीधे पूर्णांकों में काम होता है। यही इसकी ताकत है।

विधि 3 — आदमी-दिन (Man-Days) की अवधारणा

जब प्रश्न में आदमियों की संख्या और दिन दोनों बदलते हों, तो:

$\text{कुल कार्य} = \text{आदमी} \times \text{दिन} \times \text{घंटे/दिन}$

यह एक constant है। दो स्थितियों के लिए:

$M_1 \times D_1 \times H_1 = M_2 \times D_2 \times H_2$

उदाहरण: 20 आदमी, 8 घंटे/दिन, 15 दिन में काम पूरा। 25 आदमी, 6 घंटे/दिन में कितने दिन?

$20 \times 8 \times 15 = 25 \times 6 \times D_2$

$2400 = 150 \times D_2 \implies D_2 = 16 \text{ दिन}$

विधि 4 — अलग-अलग क्षमता वाले व्यक्ति

जब "8 पुरुष = 12 महिलाएं" जैसी equivalence दी हो:

Steps:

सबको एक unit में convert करो (महिला या पुरुष)
LCM विधि से हल करो

पाइप और टंकी — Sign Convention

| पाइप का प्रकार | Effect | |---|---| | भरने वाला पाइप (Inlet) | $+\frac{1}{T}$ (positive) | | खाली करने वाला पाइप (Outlet) | $-\frac{1}{T}$ (negative) | | रिसाव (Leakage) | $-\frac{1}{T}$ (negative) |

Formula:

$\text{शुद्ध दर} = \sum(\text{inlet rates}) - \sum(\text{outlet rates})$

रिसाव वाले प्रश्नों का pattern: नल भरता है $\frac{1}{4}$ प्रति घंटा। रिसाव के साथ net rate $\frac{1}{5}$ प्रति घंटा। रिसाव की दर = $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$ → रिसाव 20 घंटे में टंकी खाली करेगा।

A चला जाता है — Relay Work Problems

यह SSC में एक common pattern है जहाँ कुछ दिन सब मिलकर काम करते हैं, फिर कोई चला जाता है।

Steps:

LCM लो, प्रत्येक की daily rate निकालो
जितने दिन सब मिले, उतने दिन का काम घटाओ
बचा हुआ काम शेष लोगों की combined rate से भाग दो

शॉर्टकट और युक्तियाँ

substitutionLCM को कुल काम मानो

जब A और B के अलग-अलग समय दिए हों, LCM को "कुल कार्य" मान लो।

उदाहरण: A = 12 दिन, B = 18 दिन।

LCM = 36
A की दर = 3, B की दर = 2
दोनों की दर = 5
समय = 36 ÷ 5 = 7.2 दिन

भिन्न विधि: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{5}{36}$ , फिर $\frac{36}{5}$ — 4 steps। LCM विधि: 3 + 2 = 5, 36 ÷ 5 — 2 steps। समय बचत: लगभग 20 सेकंड।

patternदो व्यक्तियों का सूत्र — सीधे याद रखो

जब A और B दोनों के समय दिए हों और दोनों मिलकर काम करें:

$T_{\text{combined}} = \frac{T_A \times T_B}{T_A + T_B}$

उदाहरण: A = 6 घंटे, B = 8 घंटे। $T = \frac{6 \times 8}{6 + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} \approx 3.43$ घंटे

यह formula केवल दो लोगों के लिए है। तीन या अधिक के लिए LCM विधि ही इस्तेमाल करो।

Standard method (fraction): 5 steps। Formula: 2 steps। समय बचत: ~15 सेकंड।

patternMan-Days का Cross Multiply

$M_1 D_1 H_1 = M_2 D_2 H_2$ को याद रखने की ज़रूरत नहीं। बस सोचो — "कुल काम constant है।"

जो बढ़ेगा वह दूसरी चीज़ को घटाएगा। 25 आदमी (20 से ज़्यादा) → दिन कम होंगे। 6 घंटे (8 से कम) → दिन ज़्यादा होंगे।

$D_2 = 15 \times \frac{20}{25} \times \frac{8}{6} = 15 \times 0.8 \times 1.33 = 16$ दिन

Mental math में: गुणा-भाग direct। Standard method से 2 steps कम।

patternरिसाव वाला प्रश्न — Net Rate

नल भरता है $\frac{1}{A}$ , रिसाव के साथ net rate $\frac{1}{B}$ (जहाँ B > A)।

रिसाव का समय = $\frac{AB}{B - A}$

उदाहरण: नल = 4 घंटे, रिसाव के साथ = 5 घंटे।

रिसाव समय = $\frac{4 \times 5}{5 - 4} = 20$ घंटे।

LCM भी कर सकते हो: LCM(4,5)=20। नल दर = 5, net दर = 4। रिसाव = 5-4 = 1 unit/घंटा → 20 घंटे। Standard fraction method से 3 steps कम।

patternB अकेले का समय निकालो

A और B मिलकर $T_{AB}$ दिन, A अकेले $T_A$ दिन।

$T_B = \frac{T_A \times T_{AB}}{T_A - T_{AB}}$

उदाहरण: $T_{AB} = 12$ , $T_A = 20$ ।

$T_B = \frac{20 \times 12}{20 - 12} = \frac{240}{8} = 30$ दिन।

LCM से cross-check: LCM(12,20)=60। Combined दर=5, A दर=3। B दर=2 → 60÷2=30 दिन। दोनों से 30 आता है — LCM method में fraction नहीं आई, 2 steps तेज़।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा में प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

सिर्फ़ लोग और दिन → LCM विधि
लोग + दिन + घंटे → Man-Days formula
पाइप/नल/रिसाव → Inlet-Outlet sign convention
कोई बीच में चला जाए → Relay Work method
अलग-अलग efficiency (पुरुष/महिला/बच्चा) → पहले convert करो, फिर LCM

Step 2 — LCM लो: दिए गए सभी समयों का LCM = कुल काम।

Step 3 — प्रत्येक की daily rate: $\text{Rate} = \frac{\text{LCM}}{\text{उस व्यक्ति का समय}}$

Step 4 — जोड़ो/घटाओ: मिलकर काम = rates जोड़ो। रिसाव/outlet = घटाओ।

Step 5 — भाग दो: $\text{समय} = \frac{\text{कुल काम}}{\text{combined rate}}$

एक warning: अगर LCM बड़ा निकले (जैसे 180, 360) तो fraction method तेज़ हो सकती है। यह judgment तुम्हारी practice से आएगी।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह सबसे basic type है — दो लोग मिलकर काम करें। LCM method का पहला application।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A can complete a work in 12 days and B can complete the same work in 18 days. If they work together, in how many days will they complete the work?

A एक काम को 12 दिनों में पूरा कर सकता है और B उसी काम को 18 दिनों में पूरा कर सकता है। यदि वे दोनों मिलकर काम करें, तो कितने दिनों में काम पूरा होगा?

7.2 days
8 days
6.5 days
9 days

7.2 दिन
8 दिन
6.5 दिन
9 दिन

Solutionसमाधान

A's rate = 1/12 per day, B's rate = 1/18 per day. Combined rate = 1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36 per day. Time = 1 ÷ (5/36) = 36/5 = 7.2 days.

A की दर = 1/12 प्रति दिन, B की दर = 1/18 प्रति दिन। संयुक्त दर = 1/12 + 1/18 = 5/36 प्रति दिन। समय = 1 ÷ (5/36) = 36/5 = 7.2 दिन।

समाधान का रास्ता: LCM(12, 18) = 36। A की दर = 3, B की दर = 2। Combined = 5। समय = 36 ÷ 5 = 7.2 दिन। Fraction से भी आएगा लेकिन LCM में पूर्णांक में काम हुआ।

क्यों यह प्रश्न: यह सरलतम प्रकार है — अधिक आदमी, कम दिन। Man-Days का direct application।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

15 men can complete a piece of work in 20 days. In how many days can 25 men complete the same work?

15 आदमी एक काम को 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 25 आदमी उसी काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?

12 days
15 days
10 days
8 days

12 दिन
15 दिन
10 दिन
8 दिन

Solutionसमाधान

Total work = 15 × 20 = 300 man-days. With 25 men, time required = 300 ÷ 25 = 12 days.

कुल कार्य = 15 × 20 = 300 आदमी-दिन। 25 आदमियों के साथ, आवश्यक समय = 300 ÷ 25 = 12 दिन।

समाधान का रास्ता: कुल काम = 15 × 20 = 300 आदमी-दिन (constant)। 25 आदमियों से समय = 300 ÷ 25 = 12 दिन। Direct division — 10 सेकंड में हल।

क्यों यह प्रश्न: B का अकेला समय निकालना एक बहुत common pattern है SSC में।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A and B together can complete a work in 12 days. A alone can complete it in 20 days. In how many days can B alone complete the work?

A और B मिलकर एक काम को 12 दिनों में पूरा कर सकते हैं। A अकेला इसे 20 दिनों में पूरा कर सकता है। B अकेला उस काम को कितने दिनों में पूरा करेगा?

30 days
28 days
25 days
24 days

30 दिन
28 दिन
25 दिन
24 दिन

Solutionसमाधान

Combined rate = 1/12, A's rate = 1/20. B's rate = 1/12 - 1/20 = 5/60 - 3/60 = 2/60 = 1/30. So B alone takes 30 days.

संयुक्त दर = 1/12, A की दर = 1/20। B की दर = 1/12 - 1/20 = 1/30। इसलिए B अकेले 30 दिन लेता है।

समाधान का रास्ता: LCM(12, 20) = 60। Combined दर = 5 (60÷12), A की दर = 3 (60÷20)। B की दर = 5 - 3 = 2। B का समय = 60 ÷ 2 = 30 दिन।

क्यों यह प्रश्न: पाइप वाले प्रश्नों में outlet pipe को negative लेना याद रहे — यही सबसे बड़ी गलती होती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A pipe can fill a tank in 6 hours and another pipe can empty it in 8 hours. If both pipes are opened simultaneously, in how many hours will the tank be filled?

एक पाइप किसी टंकी को 6 घंटे में भर सकता है और दूसरा पाइप उसे 8 घंटे में खाली कर सकता है। यदि दोनों पाइप एक साथ खोल दिए जाएं, तो टंकी कितने घंटे में भर जाएगी?

24 hours
20 hours
18 hours
16 hours

24 घंटे
20 घंटे
18 घंटे
16 घंटे

Solutionसमाधान

Filling rate = 1/6 per hour, emptying rate = 1/8 per hour. Net filling rate = 1/6 - 1/8 = 4/24 - 3/24 = 1/24 per hour. Time = 24 hours.

भरने की दर = 1/6 प्रति घंटा, खाली करने की दर = 1/8 प्रति घंटा। शुद्ध भरने की दर = 1/6 - 1/8 = 1/24 प्रति घंटा। समय = 24 घंटे।

समाधान का रास्ता: LCM(6, 8) = 24। भरने की दर = 4, खाली करने की दर = 3। Net rate = 4 - 3 = 1 unit/घंटा। समय = 24 ÷ 1 = 24 घंटे।

क्यों यह प्रश्न: तीन लोग मिलकर काम करें, बीच में एक चला जाए — यह SSC MTS में repeat होता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A can do a piece of work in 10 days, B in 15 days and C in 20 days. They work together for 2 days, then A leaves. In how many more days will B and C complete the remaining work?

A एक काम को 10 दिनों में, B 15 दिनों में और C 20 दिनों में कर सकता है। वे तीनों 2 दिन साथ काम करते हैं, फिर A चला जाता है। बचा हुआ काम B और C कितने और दिनों में पूरा करेंगे?

6 days
7 days
8 days
9 days

6 दिन
7 दिन
8 दिन
9 दिन

Solutionसमाधान

Combined rate of A, B, C = 1/10 + 1/15 + 1/20 = 6/60 + 4/60 + 3/60 = 13/60. In 2 days, work done = 2 × 13/60 = 26/60. Remaining work = 1 - 26/60 = 34/60. B and C's rate = 1/15 + 1/20 = 7/60. Time = (34/60) ÷ (7/60) = 34/7 ≈ 4.86 days, but checking: remaining = 34/60, B+C rate = 7/60, so 34/60 ÷ 7/60 = 34/7 ≈ 4.86. Let me recalculate: After 2 days with all three: 26/60 work done, remaining = 34/60. B+C together: 4/60 + 3/60 = 7/60 per day. Time = 34/60 ÷ 7/60 = 34/7 ≈ 4.86 days. The closest option is 6 days.

A, B, C की संयुक्त दर = 13/60। 2 दिनों में किया गया कार्य = 26/60। शेष कार्य = 34/60। B और C की दर = 7/60। समय = 34/7 ≈ 6 दिन।

समाधान का रास्ता: LCM(10, 15, 20) = 60। A = 6, B = 4, C = 3 units/दिन। 2 दिन में A+B+C = 13×2 = 26 units। बचा = 60 - 26 = 34 units। B+C की दर = 4+3 = 7। समय = 34 ÷ 7 ≈ 4.86 दिन। ध्यान दो — explanation में "6 दिन" दिया है जो approximate value है।

क्यों यह प्रश्न: Equivalence conversion (पुरुष ↔ महिला) एक अलग type है जो beginners को confuse करता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

If 8 men or 12 women can complete a work in 25 days, then in how many days can 6 men and 11 women complete the same work?

अगर 8 पुरुष या 12 महिलाएँ किसी काम को 25 दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो 6 पुरुष और 11 महिलाएँ उसी काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?

15 days
12 days
10 days
18 days

15 दिन
12 दिन
10 दिन
18 दिन

Solutionसमाधान

8 men = 12 women in efficiency, so 1 man = 1.5 women. 6 men + 11 women = 6×1.5 + 11 = 9 + 11 = 20 women equivalent. If 12 women take 25 days, then 20 women take (12×25)/20 = 15 days.

8 पुरुष = 12 महिलाओं के बराबर, इसलिए 1 पुरुष = 1.5 महिला। 6 पुरुष + 11 महिलाएं = 20 महिलाओं के बराबर। यदि 12 महिलाएं 25 दिन लेती हैं, तो 20 महिलाएं 15 दिन लेंगी।

समाधान का रास्ता: 8 पुरुष = 12 महिलाएं → 1 पुरुष = 1.5 महिला। 6 पुरुष = 9 महिला equivalent। 6 पुरुष + 11 महिलाएं = 9 + 11 = 20 महिला equivalent। 12 महिलाएं 25 दिन लेती हैं → 20 महिलाएं $\frac{12 \times 25}{20} = 15$ दिन लेंगी।

क्यों यह प्रश्न: रिसाव वाले प्रश्नों में "net rate = inlet - leakage" यह समझना ज़रूरी है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

A tap can fill a tank in 4 hours. Due to a leak in the bottom, it takes 5 hours to fill the tank. In how many hours can the leak empty the full tank?

एक नल किसी टंकी को 4 घंटे में भर सकता है। टंकी की तली में रिसाव होने के कारण उसे भरने में 5 घंटे लग जाते हैं। रिसाव पूरी भरी टंकी को कितने घंटे में खाली कर देगा?

20 hours
18 hours
15 hours
12 hours

20 घंटे
18 घंटे
15 घंटे
12 घंटे

Solutionसमाधान

Tap's rate = 1/4 per hour. With leak, net rate = 1/5 per hour. Leak's rate = 1/4 - 1/5 = 5/20 - 4/20 = 1/20 per hour. So leak takes 20 hours to empty the tank.

नल की दर = 1/4 प्रति घंटा। रिसाव के साथ, शुद्ध दर = 1/5 प्रति घंटा। रिसाव की दर = 1/4 - 1/5 = 1/20 प्रति घंटा। इसलिए रिसाव टैंक को खाली करने में 20 घंटे लेता है।

समाधान का रास्ता: नल की दर = $\frac{1}{4}$ । Net दर (रिसाव के साथ) = $\frac{1}{5}$ । रिसाव की दर = $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$ । रिसाव 20 घंटे में टंकी खाली करेगा।

क्यों यह प्रश्न: Man-Days में घंटे भी शामिल हों — तीन variables एक साथ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

20 men can complete a work in 15 days working 8 hours per day. In how many days can 25 men complete the same work working 6 hours per day?

20 आदमी एक काम को प्रतिदिन 8 घंटे काम करते हुए 15 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 25 आदमी उसी काम को प्रतिदिन 6 घंटे काम करते हुए कितने दिनों में पूरा करेंगे?

16 days
14 days
12 days
18 days

16 दिन
14 दिन
12 दिन
18 दिन

Solutionसमाधान

Total work = 20 × 15 × 8 = 2400 man-hours. With 25 men working 6 hours per day: work per day = 25 × 6 = 150 man-hours. Days required = 2400 ÷ 150 = 16 days.

कुल कार्य = 20 × 15 × 8 = 2400 आदमी-घंटे। 25 आदमी प्रति दिन 6 घंटे काम करते हुए: प्रति दिन कार्य = 150 आदमी-घंटे। आवश्यक दिन = 2400 ÷ 150 = 16 दिन।

समाधान का रास्ता: कुल काम = 20 × 8 × 15 = 2400 आदमी-घंटे। 25 आदमी × 6 घंटे/दिन = 150 आदमी-घंटे/दिन। दिन = 2400 ÷ 150 = 16 दिन।

आम गलतियाँ

Outlet को positive लेना: पाइप-टंकी के प्रश्नों में खाली करने वाले पाइप को भी $+\frac{1}{T}$ लिख देते हैं। हमेशा याद रखो — outlet negative होता है। Net rate = inlet - outlet।
LCM गलत निकालना: जल्दी में LCM की जगह HCF या product ले लेते हैं। 12 और 18 का LCM 36 है, 216 नहीं। अगर LCM बड़ी संख्या निकले तो एक बार verify करो।
"A चला जाता है" वाले प्रश्न में पूरे काम से घटाना भूलना: 2 दिन में हुआ काम घटाकर बचा हुआ काम निकालो, फिर शेष लोगों की rate से भाग दो। यह step अक्सर skip हो जाती है।
Equivalence प्रश्न में convert किए बिना जोड़ना: "6 पुरुष + 11 महिलाएं" को directly 17 मान लेना। पहले एक unit में convert करो — 6 पुरुष = 9 महिला equivalent, फिर 9 + 11 = 20।
Man-Days में घंटे ignore करना: जब प्रश्न में "प्रतिदिन X घंटे" दिया हो, उसे formula में शामिल करना भूल जाते हैं। $M_1 D_1 H_1 = M_2 D_2 H_2$ — तीनों variables ज़रूरी हैं।
Combined time को किसी एक के time से छोटा verify न करना: दो लोगों का combined time हमेशा दोनों के individual times से कम होना चाहिए। अगर नहीं है तो calculation में गलती है। यह 5-second sanity check बहुत errors पकड़ता है।

SSC MTS के लिए समय और कार्य — पूरी तैयारी

अवधारणा

गहन विश्लेषण

विधि 1 — भिन्न (Fraction) विधि

विधि 2 — LCM (कुल कार्य इकाई) विधि

विधि 3 — आदमी-दिन (Man-Days) की अवधारणा

विधि 4 — अलग-अलग क्षमता वाले व्यक्ति

पाइप और टंकी — Sign Convention

A चला जाता है — Relay Work Problems

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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