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SSC MTS गणित — विभाज्यता नियम: सभी महत्वपूर्ण विधियाँ और शॉर्टकट

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अवधारणा

विभाज्यता का मतलब है — किसी संख्या को किसी दूसरी संख्या से भाग देने पर शेषफल शून्य आए। जैसे 24 को 6 से भाग दो — शेषफल 0। इसलिए 24, संख्या 6 से विभाज्य है।

लेकिन परीक्षा में हर बार लंबा भाग करना समय की बर्बादी है। इसीलिए विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules) सीखते हैं — ये नियम बताते हैं कि बिना भाग किए, सिर्फ़ अंकों को देखकर पता चल जाए कि संख्या विभाज्य है या नहीं।

एक सरल उदाहरण लो — संख्या 7,38,456। क्या यह 3 से विभाज्य है? भाग लगाने में 15-20 सेकंड लगेंगे। पर अगर तुम जानते हो कि अंकों का योग 3 का गुणज होना चाहिए, तो: $7+3+8+4+5+6 = 33$ । $33 \div 3 = 11$ । हाँ, विभाज्य है — यह काम 5 सेकंड में हो गया।

SSC MTS में इस topic से दो तरह के प्रश्न आते हैं:

सीधा नियम — "इनमें से कौन सी संख्या 4 से विभाज्य नहीं है?"
न्यूनतम जोड़/घटाव — "6812 को 9 से विभाज्य बनाने के लिए कम से कम क्या घटाएँ?"

दोनों प्रकार एक ही नियमों पर टिके हैं। नियम एक बार ठीक से समझ लो, हर question 10-15 सेकंड में हल हो जाएगा।

गहन विश्लेषण

2, 4, 8 के नियम — अंतिम अंकों पर ध्यान दो

2 से विभाज्यता: अंतिम अंक सम हो (0, 2, 4, 6, 8)।

3,74 → अंतिम अंक 4 → विभाज्य।
7,853 → अंतिम अंक 3 → विभाज्य नहीं।

4 से विभाज्यता: अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।

5,632 → अंतिम दो अंक 32 → $32 \div 4 = 8$ → विभाज्य।
4,951 → अंतिम दो अंक 51 → $51 \div 4 = 12.75$ → विभाज्य नहीं।

8 से विभाज्यता: अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।

4,128 → अंतिम तीन अंक 128 → $128 \div 8 = 16$ → विभाज्य।
3,564 → अंतिम तीन अंक 564 → $564 \div 8 = 70.5$ → विभाज्य नहीं।

Pattern साफ़ है: $2^1$ के लिए 1 अंक, $2^2$ के लिए 2 अंक, $2^3$ के लिए 3 अंक।

3, 9 के नियम — अंकों का योग

3 से विभाज्यता: सभी अंकों का योग 3 का गुणज हो।

10,320 → $1+0+3+2+0 = 6$ → $6 \div 3 = 2$ → विभाज्य।

9 से विभाज्यता: सभी अंकों का योग 9 का गुणज हो।

6,804 → $6+8+0+4 = 18$ → $18 \div 9 = 2$ → विभाज्य।
6,812 → $6+8+1+2 = 17$ → 17, 9 का गुणज नहीं → विभाज्य नहीं।

न्यूनतम घटाव/जोड़ की विधि: जब पूछा जाए "9 से विभाज्य बनाने के लिए क्या घटाएँ" — तो अंकों का योग निकालो, उसे 9 से भाग दो, शेषफल ही वह संख्या है जो घटानी है।

$6+8+1+2 = 17$ । $17 = 9 \times 1 + 8$ । शेषफल = 8। इसलिए 8 घटाओ।

5 और 10 के नियम

5 से विभाज्यता: अंतिम अंक 0 या 5 हो।

10 से विभाज्यता: अंतिम अंक 0 हो।

ये दोनों इतने सरल हैं कि अलग से याद करने की ज़रूरत नहीं।

6 का नियम — संयुक्त नियम

6 से विभाज्यता: संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।

पहले 2 का नियम जाँचो (अंतिम अंक सम हो)।
फिर 3 का नियम जाँचो (अंकों का योग 3 का गुणज हो)।

11 का नियम — वैकल्पिक योग

11 से विभाज्यता: विषम स्थान के अंकों का योग और सम स्थान के अंकों का योग — इन दोनों का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

दाईं तरफ़ से गिनो: पहला (विषम), दूसरा (सम), तीसरा (विषम)...

उदाहरण: 4,537

विषम स्थान (दाईं से): 7, 5 → योग = 12 — सम स्थान (दाईं से): 3, 4 → योग = 7 — अंतर = $|12 - 7| = 5$ → 5, 11 का गुणज नहीं → विभाज्य नहीं।

उदाहरण: 4,543

विषम स्थान: 3, 5 → योग = 8 — सम स्थान: 4, 4 → योग = 8 — अंतर = 0 → विभाज्य।

जोड़ने की विधि: 4537 का वैकल्पिक अंतर = $(4+3) - (5+7) = 7 - 12 = -5$ । 11 का गुणज बनाने के लिए $-5 + 11 = 6$ जोड़ना होगा।

7 का नियम — सीधा भाग सबसे तेज़

7 के लिए कोई सरल "अंक-आधारित" नियम नहीं है जो परीक्षा में तेज़ काम करे। सबसे व्यावहारिक तरीका: सीधे भाग करो और शेषफल देखो।

8956 को 7 से भाग: $7 \times 1279 = 8953$ । $8956 - 8953 = 3$ । शेषफल = 3, इसलिए 3 घटाना होगा।

13 का नियम — LCM विधि

जब 7, 11, 13 तीनों की एक साथ विभाज्यता पूछी जाए — LCM निकालो। तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए LCM = $7 \times 11 \times 13 = 1001$ । जो संख्या 1001 की गुणज हो, वह तीनों से विभाज्य है।

त्वरित संदर्भ तालिका

| भाजक | नियम | |------|------| | 2 | अंतिम अंक सम हो | | 3 | अंकों का योग 3 का गुणज | | 4 | अंतिम दो अंक 4 के गुणज | | 5 | अंतिम अंक 0 या 5 | | 6 | 2 और 3 दोनों नियम लागू | | 8 | अंतिम तीन अंक 8 के गुणज | | 9 | अंकों का योग 9 का गुणज | | 10 | अंतिम अंक 0 | | 11 | वैकल्पिक अंकों का अंतर 0 या 11 का गुणज |

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternशेषफल = घटाने वाली संख्या

जब "n से विभाज्य बनाने के लिए कम से कम क्या घटाएँ" पूछा जाए — अंकों का योग निकालो (3 या 9 के लिए), उसे n से भाग दो, शेषफल ही उत्तर है।

उदाहरण: 6812 को 9 से विभाज्य बनाना। $6+8+1+2=17$ । $17 \div 9$ : शेषफल $= 8$ । उत्तर: 8 घटाओ।

सामान्य विधि: 6812 को 9 से सीधे भाग — 45 सेकंड। यह shortcut: 10 सेकंड।

pattern4 का नियम — दो अंक काफ़ी हैं

हज़ार-लाख की बड़ी संख्याओं में घबराओ मत। 4 की विभाज्यता के लिए सिर्फ़ अंतिम दो अंक देखो — बाकी सब अनदेखा करो।

5,83,920 → सिर्फ़ "20" देखो → $20 \div 4 = 5$ → विभाज्य। 3,72,651 → सिर्फ़ "51" देखो → $51 \div 4 = 12.75$ → विभाज्य नहीं।

सामान्य विधि: पूरी संख्या का भाग — 30 सेकंड। यह shortcut: 5 सेकंड।

pattern11 का वैकल्पिक योग — बाईं से भी काम करता है

11 के नियम में दाईं से या बाईं से — दोनों तरफ़ से गिन सकते हो, अंतर वही रहेगा।

4537: बाईं से — $(4+3) - (5+7) = 7 - 12 = -5$ । यह 11 का गुणज नहीं → विभाज्य नहीं। 4543: बाईं से — $(4+4) - (5+3) = 8 - 8 = 0$ → विभाज्य।

"जोड़ने की संख्या" = $|-5| + 11 - |-5| = 11 - 5 = 6$ । यानी 6 जोड़ो।

दाईं से गिनने की उलझन से बचो — बाईं से गिनना ज़्यादा सहज है। Steps: 3 बनाम 5।

pattern7×11×13 = 1001 — याद कर लो

परीक्षा में अक्सर पूछते हैं — "7, 11, 13 तीनों से विभाज्य कौन सी?" इसका सीधा जवाब है: 1001 का कोई भी गुणज — 1001, 2002, 3003...

$7 \times 11 \times 13 = 1001$ — यह एक fact है, इसे याद कर लो।

Options में देखो: क्या कोई option 1001 का गुणज है? 1001 × 1 = 1001, 1001 × 2 = 2002।

सामान्य विधि: तीन अलग-अलग भाग — 45 सेकंड। यह shortcut: 5 सेकंड।

elimination'दोनों से विभाज्य' — दोनों नियम अलग-अलग जाँचो, फिर AND लगाओ

जब "3 और 4 दोनों से विभाज्य" पूछा जाए — पहले 4 का नियम लगाओ (अंतिम दो अंक), फिर 3 का नियम (अंकों का योग)। जो दोनों में pass हो, वही उत्तर।

Options में elimination करो: पहले 4 का नियम लगाओ → जो fail हो उन्हें काटो → बचे हुए में 3 का नियम लगाओ।

यह sequence इसलिए — 4 का नियम (दो अंक देखो) 3 के नियम (सब अंक जोड़ो) से तेज़ है। पहले तेज़ filter लगाओ।

4-option question: सामान्य विधि 60 सेकंड, यह विधि 15 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा में विभाज्यता का प्रश्न देखते ही यह flow अपनाओ:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

"कौन सी संख्या n से विभाज्य है/नहीं है?" → सीधे नियम लगाओ।
"कम से कम क्या जोड़ें/घटाएँ?" → शेषफल निकालो।

Step 2 — भाजक देखो:

भाजक 2, 4, 8 है → अंतिम 1, 2, 3 अंक देखो।
भाजक 3, 9 है → अंकों का योग निकालो।
भाजक 11 है → वैकल्पिक योग का अंतर निकालो।
भाजक 6 है → 2 और 3 दोनों नियम लगाओ।
भाजक 7 है → सीधे भाग करो।

Step 3 — "दोनों से विभाज्य" type में:

पहले जो नियम लगाना तेज़ हो (4, 8 का नियम), वह पहले लगाओ।
Eliminate करते जाओ।

Step 4 — "घटाओ/जोड़ो" type में:

शेषफल = घटाने वाली संख्या।
$(n - \text{शेषफल})$ = जोड़ने वाली संख्या।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: 9 की विभाज्यता में "न्यूनतम घटाव" का सबसे सीधा और बार-बार आने वाला pattern।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

Which least number should be subtracted from 6812 to make it divisible by 9?

Solutionसमाधान

Sum of digits of 6812 = 6+8+1+2 = 17. 17 ÷ 9 gives remainder 8. So subtracting 8 from 6812 gives 6804, which is divisible by 9.

समाधान का रास्ता: अंकों का योग निकालो → 9 से भाग दो → शेषफल = उत्तर। $6+8+1+2=17$ , $17 \div 9$ का शेषफल $8$ । बस।

क्यों यह प्रश्न: 4 की विभाज्यता में "NOT divisible" पूछना — यहाँ गलती करने वाले options को options list में ग़लती से pass कर देते हैं। अंतिम दो अंकों पर focus रहे।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

Which of the following number is NOT divisible by 4?

4732
4612
4844
4951

Solutionसमाधान

A number is divisible by 4 if its last two digits form a number divisible by 4. 44÷4=11 ✓, 32÷4=8 ✓, 12÷4=3 ✓, 51÷4=12.75 ✗. So 4951 is NOT divisible by 4.

समाधान का रास्ता: हर option के अंतिम दो अंक देखो — जो 4 से नहीं कटता वही उत्तर। 44, 32, 12 सब 4 से कटते हैं। 51 नहीं कटता। इसलिए 4951 उत्तर।

क्यों यह प्रश्न: "दोनों से विभाज्य" का classic combination question। पहले 4 का नियम, फिर 3 का नियम — यही sequence सिखाना है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

Which of the following number is divisible by both 3 and 4?

10320
8235
8491
7582

Solutionसमाधान

For divisibility by 3: sum of digits of 10320 = 1+0+3+2+0 = 6, divisible by 3 ✓. For divisibility by 4: last two digits 20 ÷ 4 = 5 ✓. So 10320 is divisible by both 3 and 4.

समाधान का रास्ता: 10320 → अंतिम दो अंक 20 → $20 \div 4 = 5$ (4 से विभाज्य) → अंकों का योग $1+0+3+2+0=6$ → $6 \div 3 = 2$ (3 से विभाज्य) → दोनों नियम pass।

क्यों यह प्रश्न: 3 और 8 का combination — 8 के लिए तीन अंक देखने की आदत बनाना ज़रूरी है, दो नहीं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

Which of the following numbers is divisible by both 3 and 8?

4136
4112
4128
4192

Solutionसमाधान

4128: digit sum = 4+1+2+8 = 15, divisible by 3. Last 3 digits 128 ÷ 8 = 16, remainder 0, so divisible by 8. Hence 4128 is divisible by both.

समाधान का रास्ता: 4128 → अंतिम तीन अंक 128 → $128 \div 8 = 16$ (8 से विभाज्य) → अंकों का योग $4+1+2+8=15$ → $15 \div 3 = 5$ (3 से विभाज्य) → उत्तर 4128।

क्यों यह प्रश्न: "न तो 4 से, न 9 से" — दोनों नियम fail होने चाहिए। AND की जगह OR condition।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

Which of the following number is neither divisible by 4 nor by 9?

3312
2363
3492
3528

Solutionसमाधान

2363: 2363÷4 is not exact (last two digits 63 not divisible by 4); digit sum=14, not divisible by 9. So 2363 is neither divisible by 4 nor 9.

समाधान का रास्ता: 2363 → अंतिम दो अंक 63 → $63 \div 4 = 15.75$ (4 से नहीं) → अंकों का योग $2+3+6+3=14$ → 14, 9 का गुणज नहीं (9 से नहीं) → दोनों fail → उत्तर 2363।

क्यों यह प्रश्न: 7×11×13 = 1001 का fact याद हो तो यह 5 सेकंड का question है। यह fact SSC में बार-बार आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Which of the following numbers is divisible by 7, 11, and 13 simultaneously?

निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 7, 11 और 13 तीनों से विभाज्य है?

1003
1001
1002
1000

1003
1001
1002
1000

Solutionसमाधान

For a number to be divisible by 7, 11, and 13 simultaneously, it must be divisible by their LCM. LCM(7, 11, 13) = 7 × 11 × 13 = 1001 (since all are prime). Testing: 1001 ÷ 7 = 143 ✓, 1001 ÷ 11 = 91 ✓, 1001 ÷ 13 = 77 ✓. So 1001 is divisible by all three. Checking others: 1002 ÷ 7 = 143.14... ✗, 1003 ÷ 7 = 143.28... ✗, 1000 ÷ 7 = 142.85... ✗.

किसी संख्या के 7, 11 और 13 तीनों से विभाज्य होने के लिए, वह उनके LCM से विभाज्य होनी चाहिए। LCM(7, 11, 13) = 7 × 11 × 13 = 1001 (चूंकि सभी अभाज्य हैं)। परीक्षण: 1001 ÷ 7 = 143 ✓, 1001 ÷ 11 = 91 ✓, 1001 ÷ 13 = 77 ✓। इसलिए 1001 तीनों से विभाज्य है।

समाधान का रास्ता: तीनों अभाज्य हैं → LCM = $7 \times 11 \times 13 = 1001$ → options में 1001 है → उत्तर 1001।

क्यों यह प्रश्न: 11 की विभाज्यता में "जोड़ने वाली संख्या" — वैकल्पिक योग में कितना कम है, वह जोड़ना है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the least number that should be added to 4537 to make it divisible by 11?

4537 को 11 से विभाजित करने के लिए कम से कम कौन सी संख्या जोड़ी जानी चाहिए?

Solutionसमाधान

For divisibility by 11, the alternating sum of digits must be divisible by 11. For 4537: (4+3)−(5+7) = 7−12 = −5. The nearest multiple of 11 is 0, so we need −5+11 = 6. Adding 6 to 4537 gives 4543: (4+3)−(5+4+3) = 7−12 = −5... recalculating: (4−5+3−7) = −5, alternating sum of 4543 is (4−5+4−3) = 0, divisible by 11.

11 से विभाजन के लिए, अंकों का वैकल्पिक योग 11 से विभाज्य होना चाहिए। 4537 के लिए: (4+3)−(5+7) = 7−12 = −5। निकटतम 11 का गुणज 0 है, इसलिए हमें −5+11 = 6 चाहिए। 4537 में 6 जोड़ने से 4543 मिलता है, जिसका वैकल्पिक योग 0 है, जो 11 से विभाज्य है।

समाधान का रास्ता: 4537 → $(4+3)-(5+7) = -5$ → निकटतम 11 का गुणज 0 है → $0-(-5) = 5$ ... रुको। $-5$ को 0 तक लाने के लिए $+5$ चाहिए, पर $5+(-5)=0$ और $0$ 11 का गुणज है। पर $5$ option नहीं है — explanation के अनुसार: $-5+11=6$ । यानी $11-5=6$ जोड़ो। उत्तर: 6।

क्यों यह प्रश्न: 7 के लिए शेषफल विधि — सीधा भाग, शेषफल = घटाने वाली संख्या।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What least number should be subtracted from 8956 to make it divisible by 7?

8956 को 7 से विभाज्य करने के लिए कम से कम कौन सी संख्या घटाई जानी चाहिए?

Solutionसमाधान

Divide 8956 by 7: 8956÷7 = 1279 remainder 3. The remainder is 3, so subtracting 3 from 8956 gives 8953, which is divisible by 7 (8953÷7 = 1279 exactly).

8956 को 7 से विभाजित करें: 8956÷7 = 1279 शेषफल 3। शेषफल 3 है, इसलिए 8956 से 3 घटाने पर 8953 मिलता है, जो 7 से पूरी तरह विभाज्य है (8953÷7 = 1279)।

समाधान का रास्ता: $8956 \div 7 = 1279$ शेषफल $3$ → 3 घटाओ → $8953 \div 7 = 1279$ → उत्तर 3।

आम गलतियाँ

4 के नियम में तीन अंक देखना: बहुत से छात्र 4 के नियम में तीन अंक (जैसे "532" की जगह सिर्फ़ "32") देखने की बजाय तीन अंक देख लेते हैं। याद रखो — 4 के लिए दो अंक, 8 के लिए तीन अंक।
3 और 9 के नियम को आपस में मिलाना: "अंकों का योग 3 का गुणज = 9 से विभाज्य" — यह गलत है। 9 से विभाज्यता के लिए योग 9 का गुणज होना चाहिए, 3 का नहीं। 12 का योग $= 3$ → 3 से विभाज्य, 9 से नहीं।
11 के नियम में दाईं से गिनना भूलना: कुछ छात्र बाईं से पहला अंक "विषम स्थान" मानते हैं, कुछ दाईं से। दोनों से काम होता है — पर एक ही तरीका चुनो और consistent रहो। इस page पर दिखाया है कि $(odd\_position\_sum) - (even\_position\_sum)$ बाईं से भी निकाल सकते हो।
"न्यूनतम घटाव" में शेषफल को n से घटाना: 6812 को 9 से विभाज्य बनाने में — शेषफल 8 है, इसलिए 8 घटाओ। कुछ छात्र $9-8=1$ जोड़ देते हैं। घटाना है तो शेषफल घटाओ; जोड़ना है तो $n - \text{शेषफल}$ जोड़ो।
7 के लिए जटिल नियम खोजना: 7 का कोई सरल digit-sum नियम नहीं है जो परीक्षा में तेज़ काम करे। सीधे भाग करो और शेषफल देखो — यही fastest है।
"दोनों से विभाज्य" में 12 के बदले अलग-अलग नियम न लगाना: "3 और 4 दोनों से विभाज्य" का मतलब 12 से विभाज्य भी है। पर परीक्षा में 3 और 4 के नियम अलग-अलग लगाना ज़्यादा तेज़ और विश्वसनीय है — 12 के लिए "अंतिम दो अंक 12 के गुणज" जैसा अलग नियम याद करने की ज़रूरत नहीं।

SSC MTS गणित — विभाज्यता नियम: सभी महत्वपूर्ण विधियाँ और शॉर्टकट

अवधारणा

गहन विश्लेषण

2, 4, 8 के नियम — अंतिम अंकों पर ध्यान दो

3, 9 के नियम — अंकों का योग

5 और 10 के नियम

6 का नियम — संयुक्त नियम

11 का नियम — वैकल्पिक योग

7 का नियम — सीधा भाग सबसे तेज़

13 का नियम — LCM विधि

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