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SSC MTS के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) — सम्पूर्ण अध्ययन

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अवधारणा

देखो — LCM और HCF कोई जटिल गणित नहीं है। ये रोज़मर्रा की दो बुनियादी ज़रूरतें हैं जिन्हें बीजगणित में ढाला गया है।

महत्तम समापवर्तक (HCF / GCD): दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे बड़ा पूर्णांक जो उन सभी को पूरी तरह विभाजित कर दे। सोचो — तुम्हारे पास 12 आम और 18 केले हैं। तुम इन्हें बराबर थैलियों में बाँटना चाहते हो, बिना कुछ बचाए। अधिकतम कितनी थैलियाँ बन सकती हैं? HCF(12, 18) = 6 थैलियाँ।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जो उन सभी से पूरी तरह विभाजित हो जाए। सोचो — एक बस 15 मिनट में आती है, दूसरी 25 मिनट में। दोनों पहली बार एक साथ कब आएंगी? LCM(15, 25) = 75 मिनट बाद।

मूल संबंध: किन्हीं दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए —

$\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b$

यह सूत्र सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए काम करता है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए यह सूत्र सीधे लागू नहीं होता — यह एक बड़ी परीक्षा-जाल है।

Ratio से संख्याएँ निकालना: अगर दो संख्याएँ $m:n$ के अनुपात में हैं और उनका HCF $= h$ है, तो वे संख्याएँ $mh$ और $nh$ होंगी। उदाहरण: ratio 5:9, HCF = 7 → संख्याएँ 35 और 63।

SSC MTS में LCM-HCF से हर साल 1-2 प्रश्न आते हैं। ये प्रश्न straightforward होते हैं — अगर method सही हो तो 30-45 सेकंड में हल होते हैं।

गहन विश्लेषण

विधि 1 — अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorization)

यह SSC MTS के लिए सबसे भरोसेमंद विधि है।

चरण:

हर संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ो।
HCF के लिए: सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड लो, न्यूनतम घात सहित।
LCM के लिए: सभी अभाज्य गुणनखंड लो, अधिकतम घात सहित।

उदाहरण: LCM और HCF निकालो 16, 20, 24 का।

$16 = 2^4, \quad 20 = 2^2 \times 5, \quad 24 = 2^3 \times 3$

HCF = $2^2 = 4$ (सबसे कम घात वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड)
LCM = $2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 15 = 240$ (सभी गुणनखंड, अधिकतम घात)

विधि 2 — भाग विधि (Division Method) — HCF के लिए

जब संख्याएँ बड़ी हों और गुणनखंड आसानी से न दिखें:

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दो।
शेषफल आए तो उससे छोटी संख्या को भाग दो।
जब शेषफल 0 आए, वह आखिरी भाजक ही HCF है।

उदाहरण: HCF(77, 88):

$88 = 77 \times 1 + 11$
$77 = 11 \times 7 + 0$
HCF = 11

विधि 3 — भिन्नों का LCM और HCF

यह SSC में बार-बार आता है और यहीं सबसे ज़्यादा गलतियाँ होती हैं:

$\text{भिन्नों का LCM} = \frac{\text{अंशों का LCM}}{\text{हरों का HCF}}$

$\text{भिन्नों का HCF} = \frac{\text{अंशों का HCF}}{\text{हरों का LCM}}$

उदाहरण: $\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{5}{12}, \frac{7}{18}$ का LCM:

अंश: 2, 5, 5, 7 → LCM(2,5,7) = 70
हर: 3, 6, 12, 18 → HCF(3,6,12,18) = 3
उत्तर: $\frac{70}{3}$

विधि 4 — शेषफल वाले प्रश्न (Remainder Type)

"वह सबसे बड़ी संख्या जो A और B को भाग दे और क्रमशः r₁ और r₂ शेषफल दे" — इसमें:

$\text{वांछित संख्या} = \text{HCF}(A - r_1,\ B - r_2)$

क्यों? अगर संख्या $n$ से $A$ को भाग देने पर शेष $r_1$ आता है, तो $n$ से $(A - r_1)$ पूरी तरह विभाजित होता है। इसी तरह $(B - r_2)$ भी। तो $n$ दोनों का समापवर्तक है — और सबसे बड़ा समापवर्तक यानी HCF।

विधि 5 — Ratio से संख्याएँ बनाना

जब ratio और HCF दिया हो:

संख्याएँ = ratio के पद × HCF
इनका LCM = LCM(ratio के पद) × HCF

उदाहरण: ratio 5:9, HCF = 7

संख्याएँ: $5 \times 7 = 35$ और $9 \times 7 = 63$
LCM = LCM(5,9) × 7 = 45 × 7 = 315

महत्वपूर्ण गुण — परीक्षा में सीधे काम आने वाले

दो अभाज्य संख्याओं का HCF सदैव 1 होता है।
दो अभाज्य संख्याओं का LCM = उनका गुणनफल।
$n$ और $1$ का HCF = 1, LCM = $n$ ।
अगर एक संख्या दूसरी की गुणज हो — जैसे 12 और 36 — तो HCF = छोटी संख्या (12), LCM = बड़ी संख्या (36)।
LCM हमेशा HCF का गुणज होता है।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternभिन्न-LCM का उल्टा नियम याद रखो

भिन्नों में LCM निकालते वक़्त लोग हर का भी LCM लेने की गलती करते हैं। याद करो: LCM में हर नीचे जाता है (HCF), HCF में हर ऊपर जाता है (LCM) — दोनों आपस में उलटे हैं। सूत्र: LCM of fractions = LCM(numerators) ÷ HCF(denominators)। $\frac{2}{3}$ और $\frac{5}{6}$ का LCM → LCM(2,5)=10, HCF(3,6)=3 → $\frac{10}{3}$ । Standard method (confusion में 60s): Shortcut (सूत्र याद हो तो 15s)।

patternशेषफल घटाओ, फिर HCF लो

"कौन सी सबसे बड़ी संख्या X और Y को भाग दे और क्रमशः a और b शेष दे?" — सीधे HCF(X−a, Y−b) निकालो। 2036 और 233 में शेष 12 और 13 → HCF(2024, 220)। पहले यह pattern समझने में 90s लगते थे; अब formula याद हो तो setup में 10s, calculation में 30s। कुल 40s।

substitutionRatio × HCF = संख्याएँ

जब ratio और HCF दिया हो — सीधे गुणा करो। Ratio 5:9, HCF=7 → संख्याएँ 35 और 63, योग=98। सत्यापन: HCF(35,63)=7 ✓, ratio 35:63=5:9 ✓। यह 2-step method है जबकि equation बनाने की standard method 5-step। समय बचत: ~40s।

patternLCM Application — कदम-मिलान प्रश्न

"दो व्यक्ति क्रमशः X cm और Y cm के कदम लेते हैं — न्यूनतम दूरी जो दोनों पूरे कदमों में तय करें?" → सीधे LCM(X, Y) निकालो। 77 और 88 का LCM: HCF(77,88) = 11, LCM = (77×88)÷11 = 616। Formula: LCM = (a×b)÷HCF। Standard (prime factorization): 6 steps; यह formula: 3 steps।

eliminationअभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1

अगर प्रश्न में दोनों संख्याएँ clearly अभाज्य हों — options देखे बिना सीधे 1 लिख दो। जैसे HCF(13, 17) = 1, HCF(31, 43) = 1। यहाँ कोई calculation नहीं — 0 steps vs. 4+ steps। परीक्षा में यह pattern SSC MTS 2022 में सीधे आया था।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

"सबसे बड़ी संख्या जो विभाजित करे" → HCF
"न्यूनतम दूरी / समय जब दोनों मिलें" → LCM
"भिन्नों का LCM/HCF" → formula लगाओ
"शेषफल के साथ सबसे बड़ी संख्या" → पहले घटाओ, फिर HCF

Step 2 — Method चुनो:

छोटी संख्याएँ (दोनों ≤ 50) → सीधे गुणनखंड देखो
बड़ी संख्याएँ → Prime factorization
बहुत बड़ी (जैसे 2024, 220) → भाग विधि (Euclidean algorithm)

Step 3 — Check करो:

HCF को दोनों संख्याओं से भाग दो — शेष 0 आना चाहिए।
LCM को दोनों से भाग दो — शेष 0 आना चाहिए।
HCF × LCM = a × b (सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए verify करो)

अगर options में answer नहीं दिख रहा — सबसे पहले भिन्न-सूत्र की दिशा जाँचो (LCM में हर का HCF, HCF में हर का LCM)।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: भिन्नों का LCM SSC में सबसे ज़्यादा confuse करने वाला pattern है। Formula की दिशा यहाँ clear करो।

समाधान का रास्ता: अंश अलग करो (2,5,5,7) और हर अलग करो (3,6,12,18)। LCM of numerators: LCM(2,5,7)=70। HCF of denominators: HCF(3,6,12,18)=3। उत्तर = 70/3।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

The LCM of 2/3, 5/6, 5/12 and 7/18 is:

70/3
45/7
50/3
80/11

Solutionसमाधान

LCM of fractions = LCM of numerators / HCF of denominators. LCM(2,5,5,7) = 70; HCF(3,6,12,18) = 3. So LCM = 70/3.

क्यों यह प्रश्न: "सबसे बड़ी संख्या जो विभाजित करे" — यह HCF का क्लासिक रूप है। Prime factorization की speed यहाँ दिखती है।

समाधान का रास्ता: तीनों में 19 का factor दिखता है — 38=2×19, 95=5×19, 171=9×19। HCF = 19। Calculation 20 seconds में।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

The greatest number which exactly divides the numbers 38, 95 and 171 is:

Solutionसमाधान

38 = 19×2, 95 = 19×5, 171 = 19×9. The HCF of all three numbers is 19.

क्यों यह प्रश्न: तीन संख्याओं का LCM — अधिकतम घात वाला rule यहाँ apply होता है।

समाधान का रास्ता: $16=2^4$ , $20=2^2 \times 5$ , $24=2^3 \times 3$ । LCM = $2^4 \times 3 \times 5 = 240$ । 2 की अधिकतम घात $2^4=16$ , बाकी 3 और 5 एक बार आते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

The LCM of 16, 20 and 24 is:

Solutionसमाधान

16=2⁴, 20=2²×5, 24=2³×3. LCM = 2⁴×3×5 = 240.

क्यों यह प्रश्न: LCM का practical application — "कदम मिलाना" वाला pattern SSC में बार-बार आता है।

समाधान का रास्ता: न्यूनतम दूरी = LCM(77, 88)। पहले HCF: 77=7×11, 88=8×11, HCF=11। LCM = (77×88)÷11 = 7×88 = 616 cm।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2023

Two persons take steps of 77 cm and 88 cm, respectively. If they start in step, then what is the minimum distance (in cm) they should cover so that both of them can cover the distance in complete steps?

Solutionसमाधान

The minimum distance is the LCM of 77 and 88. LCM(77,88) = 616 cm.

क्यों यह प्रश्न: शेषफल वाला pattern — यहाँ "घटाओ फिर HCF" का shortcut सीधे apply होता है।

समाधान का रास्ता: 2036−12=2024, 233−13=220। HCF(2024, 220): 2024=2²×2²×11×23 नहीं — सावधान। 2024÷220=9 शेष 44; 220÷44=5 शेष 0। HCF=44।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2020

Which is the largest number that will divide 2036 and 233 leaving remainders 12 and 13, respectively?

Solutionसमाधान

We need HCF of (2036−12) and (233−13) = HCF of 2024 and 220. 2024 = 2³×11×23 and 220 = 2²×5×11. HCF = 4×11 = 44.

क्यों यह प्रश्न: Ratio + HCF → संख्याएँ निकालना — 2025 का fresh pattern।

समाधान का रास्ता: संख्याएँ = 5×7=35 और 9×7=63। योग = 98। Verify: HCF(35,63)=7 ✓, 35:63=5:9 ✓।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

Two numbers are in the ratio of 5:9. If the Highest Common Factor of the numbers is 7, then the sum of the numbers will be ___.

Solutionसमाधान

The two numbers are 5×7 = 35 and 9×7 = 63. Their sum = 35 + 63 = 98.

आम गलतियाँ

भिन्नों में हर का LCM लेना: LCM of fractions निकालते वक़्त हर का HCF लेना होता है, LCM नहीं। उल्टा करने पर गलत उत्तर आएगा और option में वह भी होगा।
तीन संख्याओं में HCF×LCM=a×b लगाना: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए है। तीन संख्याओं a, b, c के लिए HCF×LCM ≠ a×b×c।
अभाज्य गुणनखंड में घात की गलती: HCF में न्यूनतम घात, LCM में अधिकतम घात — इसे उलटा करने पर दोनों गलत आते हैं। $16=2^4$ , $20=2^2×5$ का HCF = $2^2=4$ , LCM = $2^4×5=80$ ।
शेषफल वाले प्रश्न में घटाना भूलना: सीधे HCF(2036, 233) निकालने बैठ जाते हैं। पहले शेष घटाओ: HCF(2036−12, 233−13) = HCF(2024, 220)।
"सबसे बड़ी संख्या" = HCF, "सबसे छोटी संख्या" = LCM: ये keyword-mapping confirm करो। "सबसे बड़ी जो भाग दे" → HCF। "सबसे छोटी जो भाजित हो" → LCM।
दो अभाज्य संख्याओं का HCF: कभी-कभी 1 के बदले options में छोटी संख्या भी होती है — confusion होती है। याद रखो: दो distinct अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है, चाहे संख्याएँ कितनी भी बड़ी हों।

SSC MTS के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) — सम्पूर्ण अध्ययन

अवधारणा

गहन विश्लेषण

विधि 1 — अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorization)

विधि 2 — भाग विधि (Division Method) — HCF के लिए

विधि 3 — भिन्नों का LCM और HCF

विधि 4 — शेषफल वाले प्रश्न (Remainder Type)

विधि 5 — Ratio से संख्याएँ बनाना

महत्वपूर्ण गुण — परीक्षा में सीधे काम आने वाले

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