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SSC MTS संख्या पद्धति — प्रकार, गुण, स्थानीय मान और शॉर्टकट

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अवधारणा

संख्या पद्धति गणित की नींव है। SSC MTS में जो भी सवाल आते हैं — चाहे अंकगणित हो, प्रतिशत हो, या अनुपात — सबके नीचे संख्या पद्धति की समझ काम करती है।

सोचो एक बड़ी अलमारी है जिसमें अलग-अलग दराज हैं। हर दराज में एक खास किस्म की संख्याएं रखी हैं। जैसे एक दराज में केवल गिनती वाली संख्याएं (1, 2, 3...), दूसरी में शून्य भी शामिल है, तीसरी में ऋणात्मक संख्याएं भी हैं। यही संख्या पद्धति है — हर संख्या की अपनी जगह, अपना वर्ग।

मुख्य वर्गीकरण:

प्राकृत संख्याएं (Natural Numbers): 1, 2, 3, 4... — जो गिनने के काम आती हैं। शून्य इनमें शामिल नहीं।
पूर्ण संख्याएं (Whole Numbers): 0, 1, 2, 3... — प्राकृत संख्याओं में बस शून्य जोड़ दो।
पूर्णांक (Integers): ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... — ऋणात्मक, शून्य, और धनात्मक सब।
परिमेय संख्याएं (Rational Numbers): जो p/q रूप में लिखी जा सकें जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0। जैसे 3/4, -2/5, 0.75।
अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers): जो p/q रूप में नहीं लिखी जा सकतीं। जैसे √2, π।
वास्तविक संख्याएं (Real Numbers): परिमेय और अपरिमेय — दोनों मिलकर।

अभाज्य और भाज्य:

अभाज्य संख्या (Prime): केवल 1 और खुद से विभाजित होती है। जैसे 2, 3, 5, 7, 11।
भाज्य संख्या (Composite): दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। जैसे 4, 6, 8, 9।
ध्यान रखो: 1 न अभाज्य है, न भाज्य। 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

SSC MTS में इस chapter से सीधे 2-3 सवाल आते हैं — स्थानीय मान, भिन्न में बदलना, HCF/LCM, और गुणनखंड। ये सब आपस में जुड़े हैं।

गहन विश्लेषण

स्थानीय मान और अंकित मान

किसी संख्या में हर अंक का दो मान होता है:

अंकित मान (Face Value): अंक जैसा दिखता है, वैसा ही। 4,736 में 7 का अंकित मान = 7।
स्थानीय मान (Place Value): अंक जिस स्थान पर बैठा है, उसके अनुसार। 4,736 में 7 सैकड़े (hundreds) के स्थान पर है, इसलिए स्थानीय मान = 7 × 100 = 700।

स्थान-मान तालिका:

| स्थान | करोड़ | दस-लाख | लाख | दस-हज़ार | हज़ार | सैकड़ा | दहाई | इकाई | |-------|-------|---------|-----|---------|-------|-------|------|------| | मान | 1,00,00,000 | 10,00,000 | 1,00,000 | 10,000 | 1,000 | 100 | 10 | 1 |

4,736 को देखो: 4 हज़ार के स्थान पर (4000), 7 सैकड़े के स्थान पर (700), 3 दहाई के स्थान पर (30), 6 इकाई के स्थान पर (6)।

परीक्षा में जाल यह होता है कि अंकित मान और स्थानीय मान को एक समझ लेते हैं। इकाई के स्थान पर बैठे अंक के लिए दोनों एक समान होते हैं — बाकी सब जगह अलग।

अभाज्य संख्याएं — पहचान का तरीका

100 तक की अभाज्य संख्याएं याद रखनी चाहिए: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97।

किसी संख्या N की जाँच के लिए: √N तक के सभी अभाज्य संख्याओं से भाग दो। अगर कोई नहीं भाजित करता, तो N अभाज्य है।

उदाहरण: क्या 97 अभाज्य है? √97 ≈ 9.8, तो 2, 3, 5, 7 से जाँचो। 97 में से कोई नहीं भाजित करता — 97 अभाज्य है।

गुणनखंडों की संख्या

अगर N = $p^a \times q^b \times r^c$ (जहाँ p, q, r अभाज्य हैं), तो गुणनखंडों की कुल संख्या = (a+1)(b+1)(c+1)।

12 = $2^2 \times 3^1$ , इसलिए गुणनखंड = (2+1)(1+1) = 3 × 2 = 6। ये 6 गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। सूत्र से तुरंत 6 मिल गया, गिनने की जरूरत नहीं।

HCF और LCM

HCF (महत्तम समापवर्तक): दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड।

12 और 18 का HCF:

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
HCF = $2^1 \times 3^1$ = 6 (सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात)

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज।

4 और 6 का LCM:

4 = 2²
6 = 2 × 3
LCM = $2^2 \times 3^1$ = 12 (सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात)

महत्वपूर्ण संबंध: किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए: $\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b$

इसलिए LCM = (a × b) ÷ HCF — यह सूत्र बहुत काम आता है।

दशमलव को भिन्न में बदलना

सांत दशमलव (Terminating Decimal): जैसे 0.75।

0.75 = 75/100
म.स. (75, 100) = 25
75/100 ÷ 25/25 = 3/4

पुनरावर्ती दशमलव (Recurring Decimal): जैसे 0.333...

माना x = 0.333...
10x = 3.333...
10x - x = 3 → 9x = 3 → x = 1/3

भाग — भाजक, भाज्य, भागफल, शेषफल

$\text{भाज्य} = \text{भाजक} \times \text{भागफल} + \text{शेषफल}$

17 को 5 से भाग: 17 = 5 × 3 + 2। शेषफल = 2।

यह सूत्र कंठस्थ करो। परीक्षा में "शेषफल" वाले सवाल इसी पर टिके हैं।

वर्ग और घन — महत्वपूर्ण मान

1 से 20 तक के वर्ग याद होने चाहिए: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$ $11^2=121, 12^2=144, 13^2=169, 14^2=196, 15^2=225, 16^2=256, 17^2=289, 18^2=324, 19^2=361, 20^2=400$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternगुणनखंड-सूत्र — गिनो मत, निकालो

जब भी पूछा जाए "N के कितने गुणनखंड हैं", तो एक-एक गिनने में 30-40 सेकंड लगते हैं। इसकी जगह:

N का अभाज्य गुणनखंडन करो।
घातों में 1 जोड़कर गुणा करो।

उदाहरण: 36 के गुणनखंड कितने?

36 = $2^2 \times 3^2$
गुणनखंड = (2+1)(2+1) = 9

सामान्य तरीका (1,2,3,4,6,9,12,18,36 एक-एक लिखना): 45 सेकंड। इस सूत्र से: 10 सेकंड।

patternHCF-LCM संबंध — एक निकालो, दूसरा खुद आएगा

जब दो संख्याओं का HCF पता हो और LCM पूछा जाए (या उलटा), तो सूत्र इस्तेमाल करो: $\text{LCM} = \frac{a \times b}{\text{HCF}}$

उदाहरण: a=12, b=18, HCF=6। LCM = (12×18)/6 = 216/6 = 36। गुणनखंडन वाला लंबा तरीका: 40 सेकंड। यह सूत्र: 10 सेकंड। शर्त: सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है, तीन या अधिक के लिए नहीं।

patternवर्ग की गणना — (a+b)² से दहाई के करीब

किसी संख्या का वर्ग निकालना हो जो 10 के नजदीक हो: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

12² = (10+2)² = 100 + 40 + 4 = 144। तीन steps, 8 सेकंड। सीधे 12×12 लंबी गुणा करना: 20 सेकंड।

इसी तरह: 13² = (10+3)² = 100+60+9 = 169। 14² = (10+4)² = 100+80+16 = 196।

eliminationदशमलव को भिन्न — म.स. सीधे देखो

0.75 जैसे सांत दशमलव के लिए:

आखिरी अंक देखो: 5 या 0 पर खत्म → हर 100 (दो दशमलव स्थान) या 10 (एक दशमलव स्थान)।
अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करते जाओ जब तक न हो।

0.75 → 75/100 → 15/20 → 3/4। (÷5, फिर ÷5) कुछ विद्यार्थी सीधे 15/20 को उत्तर मान लेते हैं — विकल्पों में यह जाल होता है। हमेशा सरलतम रूप तक जाओ। सामान्य तरीका (म.स. निकालकर): 25 सेकंड। यह तरीका: 10 सेकंड।

eliminationअभाज्य जाँच — √N की सीमा

N अभाज्य है या नहीं — जाँचने के लिए √N से बड़े किसी अभाज्य से भाग देने की जरूरत नहीं।

97 की जाँच: √97 < 10, तो केवल 2, 3, 5, 7 से जाँचो।

97 ÷ 2: नहीं (विषम है)
97 ÷ 3: नहीं (9+7=16, 3 से नहीं)
97 ÷ 5: नहीं (5 या 0 पर नहीं खत्म)
97 ÷ 7: 13.8... नहीं

97 अभाज्य है। 4 steps, 15 सेकंड। बिना इस नियम के: 10+ divisions।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में संख्या पद्धति का सवाल देखते ही यह decision tree चलाओ:

सवाल किस प्रकार का है?

स्थानीय मान पूछा है → संख्या में अंक की स्थिति गिनो (दाएं से: इकाई=1, दहाई=10, सैकड़ा=100...) → अंक × उस स्थान का मान।
अभाज्य/भाज्य पहचान → क्या 1 से बड़ा और केवल 1 व खुद से विभाज्य? हाँ → अभाज्य। नहीं → भाज्य। याद रखो: 1 न अभाज्य न भाज्य।
HCF/LCM → पहले दोनों का अभाज्य गुणनखंडन। HCF = न्यूनतम सामान्य घात। LCM = अधिकतम सभी घात। दो संख्याओं के लिए: LCM = (a×b)/HCF।
गुणनखंडों की संख्या → अभाज्य गुणनखंडन → (घात+1) का गुणनफल।
दशमलव → भिन्न → हर बनाओ (दशमलव स्थानों के अनुसार 10 या 100...) → म.स. से सरल करो।
शेषफल → भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल। भागफल = भाज्य ÷ भाजक (पूर्णांक भाग)।

हर सवाल में पहले विकल्प देखो — अक्सर elimination से 1-2 विकल्प तुरंत हटते हैं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: स्थानीय मान SSC MTS में हर साल आता है। अंकित मान और स्थानीय मान में फर्क न समझने वाले हमेशा गलत विकल्प चुनते हैं।

समाधान का रास्ता: 4,736 में अंक 7 को दाएं से गिनो — इकाई (6), दहाई (3), सैकड़ा (7)। तो 7 सैकड़े के स्थान पर है। स्थानीय मान = 7 × 100 = 700।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the place value of 7 in the number 4,736?

संख्या 4,736 में 7 का स्थानीय मान (Place Value) क्या है?

7
70
700
7000

7
70
700
7000

Solutionसमाधान

In the number 4,736, the digit 7 is in the hundreds place. Therefore, its place value is 7 × 100 = 700.

संख्या 4,736 में अंक 7 सैकड़े के स्थान पर है। इसलिए इसका स्थानीय मान 7 × 100 = 700 है।

क्यों यह प्रश्न: 0.75 = 3/4 यह जानना काफी नहीं — सरलतम रूप तक पहुँचना ज़रूरी है। विकल्प में 15/20 और 75/100 जानबूझकर रखे जाते हैं।

समाधान का रास्ता: 0.75 = 75/100। म.स.(75,100) = 25। 75÷25 = 3, 100÷25 = 4। उत्तर = 3/4।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Convert 0.75 into a fraction in its simplest form.

0.75 को सरलतम रूप में भिन्न (Fraction) में बदलिए।

3/4
7/10
15/20
75/100

3/4
7/10
15/20
75/100

Solutionसमाधान

0.75 = 75/100. To simplify, divide both numerator and denominator by their HCF which is 25. 75÷25 = 3 and 100÷25 = 4, so 0.75 = 3/4.

0.75 = 75/100। सरल करने के लिए अंश और हर को उनके म.स. 25 से भाग दें। 75÷25 = 3 और 100÷25 = 4, इसलिए 0.75 = 3/4।

क्यों यह प्रश्न: "सबसे छोटी भाज्य संख्या" — यहाँ 2 को जवाब मानना सबसे आम गलती है। 2 अभाज्य है, भाज्य नहीं।

समाधान का रास्ता: 2 (अभाज्य), 3 (अभाज्य), 5 (अभाज्य) — ये तीनों बाहर। 4 के गुणनखंड: 1, 2, 4 → तीन गुणनखंड → भाज्य। उत्तर = 4।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

Which of the following is the smallest composite number?

निम्नलिखित में से सबसे छोटी भाज्य संख्या (Composite Number) कौन-सी है?

Solutionसमाधान

A composite number has more than two factors. 4 is the smallest composite number as it has factors 1, 2, and 4. Numbers 2, 3, and 5 are prime numbers.

भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है क्योंकि इसके गुणनखंड 1, 2, और 4 हैं। संख्याएं 2, 3, और 5 अभाज्य संख्याएं हैं।

क्यों यह प्रश्न: HCF निकालना — गुणनखंडन विधि परीक्षा में सबसे तेज़ और भरोसेमंद है।

समाधान का रास्ता: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²। सामान्य गुणनखंड: $2^1$ और $3^1$ । HCF = 2 × 3 = 6।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the HCF of 12 and 18?

12 और 18 का HCF (महत्तम समापवर्तक) क्या है?

Solutionसमाधान

To find HCF, we list the factors: 12 = 2×2×3, 18 = 2×3×3. Common factors are 2 and 3. HCF = 2×3 = 6.

महत्तम समापवर्तक निकालने के लिए गुणनखंड लिखते हैं: 12 = 2×2×3, 18 = 2×3×3। सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। म.स. = 2×3 = 6।

क्यों यह प्रश्न: LCM निकालना — HCF-LCM संबंध सूत्र यहाँ तेज़ काम करता है।

समाधान का रास्ता: म.स.(4,6) = 2। LCM = (4×6)/2 = 24/2 = 12।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the LCM of 4 and 6?

4 और 6 का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) क्या है?

Solutionसमाधान

To find LCM: 4 = 2×2, 6 = 2×3. LCM = 2×2×3 = 12. Alternatively, LCM = (4×6)/HCF(4,6) = 24/2 = 12.

लघुत्तम समापवर्त्य निकालने के लिए: 4 = 2×2, 6 = 2×3। ल.स. = 2×2×3 = 12। वैकल्पिक रूप से, ल.स. = (4×6)/म.स.(4,6) = 24/2 = 12।

क्यों यह प्रश्न: शेषफल का सूत्र — भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल — यह पूरे अंकगणित में काम आता है।

समाधान का रास्ता: 17 ÷ 5 = 3 (भागफल), क्योंकि 5 × 3 = 15। 17 - 15 = 2। शेषफल = 2।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the remainder when 17 is divided by 5?

जब 17 को 5 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?

Solutionसमाधान

When 17 is divided by 5, we get quotient 3 and remainder 2. This is because 17 = 5 × 3 + 2, so the remainder is 2.

जब 17 को 5 से भाग दिया जाता है, तो भागफल 3 और शेषफल 2 आता है। यह इसलिए क्योंकि 17 = 5 × 3 + 2, अतः शेषफल 2 है।

क्यों यह प्रश्न: 12² = 144 — यह सीधे याद होना चाहिए। अगर याद नहीं तो (10+2)² का सूत्र तुरंत लगाओ।

समाधान का रास्ता: $(10+2)^2 = 100 + 2 \times 10 \times 2 + 4 = 100 + 40 + 4 = 144$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

What is the square of 12?

12 का वर्ग क्या है?

Solutionसमाधान

The square of 12 is 12 × 12 = 144. This can be calculated as (10 + 2)² = 10² + 2×10×2 + 2² = 100 + 40 + 4 = 144.

12 का वर्ग 12 × 12 = 144 है। इसे (10 + 2)² = 10² + 2×10×2 + 2² = 100 + 40 + 4 = 144 के रूप में भी निकाला जा सकता है।

क्यों यह प्रश्न: गुणनखंडों की गिनती — सूत्र इस्तेमाल करो, एक-एक मत गिनो।

समाधान का रास्ता: 12 = $2^2 \times 3^1$ । गुणनखंड = (2+1)(1+1) = 3 × 2 = 6।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न

How many factors does 12 have?

12 के कितने गुणनखंड (factors) हैं?

Solutionसमाधान

The factors of 12 are the numbers that divide 12 exactly: 1, 2, 3, 4, 6, and 12. Therefore, 12 has 6 factors.

12 के गुणनखंड वे संख्याएं हैं जो 12 को पूर्ण रूप से विभाजित करती हैं: 1, 2, 3, 4, 6, और 12। इसलिए 12 के 6 गुणनखंड हैं।

आम गलतियाँ

1 को अभाज्य मानना: 1 के केवल एक ही गुणनखंड है (वह खुद)। अभाज्य की परिभाषा में ठीक दो गुणनखंड (1 और खुद) होने चाहिए। 1 न अभाज्य है, न भाज्य।
अंकित मान और स्थानीय मान को एक समझना: 4,736 में 7 का अंकित मान 7 है, पर स्थानीय मान 700 है। इकाई के अंक के लिए ही दोनों बराबर होते हैं।
भिन्न का सरलतम रूप न देखना: 0.75 = 75/100 = 15/20 = 3/4 — परीक्षा हमेशा सरलतम रूप माँगती है। 15/20 या 75/100 देखकर रुको मत।
HCF निकालते समय अधिकतम घात लेना: HCF में सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं, LCM में अधिकतम। यह आपस में उलट जाता है।
LCM-HCF सूत्र तीन संख्याओं पर लगाना: LCM = (a×b)/HCF केवल दो संख्याओं के लिए है। तीन संख्याओं के लिए यह सूत्र काम नहीं करता — तब सीधा अभाज्य गुणनखंडन करो।
√N से बड़े divisors से जाँच करना: किसी संख्या की अभाज्यता जाँचने के लिए √N तक के अभाज्यों से भाग काफी है। इससे बड़े divisors जाँचने में समय बर्बाद मत करो।

SSC MTS संख्या पद्धति — प्रकार, गुण, स्थानीय मान और शॉर्टकट

अवधारणा

गहन विश्लेषण

स्थानीय मान और अंकित मान

अभाज्य संख्याएं — पहचान का तरीका

गुणनखंडों की संख्या

HCF और LCM

दशमलव को भिन्न में बदलना

भाग — भाजक, भाज्य, भागफल, शेषफल

वर्ग और घन — महत्वपूर्ण मान

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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