Learn / SSC MTS / quant / number-system-and-simplification

SSC MTS के लिए करणी और घातांक — पूरी तैयारी

intermediate 18 min read

अवधारणा

जब भी कोई संख्या पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन नहीं होती, तो उसका मूल एक अपरिमेय (irrational) संख्या बन जाता है। इसी को करणी (surd) कहते हैं।

उदाहरण के लिए, $\sqrt{4} = 2$ — यह पूर्णांक है, करणी नहीं। लेकिन $\sqrt{5} \approx 2.236...$ — यह अपरिमेय है, यही करणी है।

घातांक (indices/exponents) वह शक्ति है जो बताती है कि किसी संख्या को कितनी बार गुणा करना है। $a^n$ में $a$ आधार (base) है और $n$ घातांक (index/exponent) है।

दोनों का संबंध बहुत गहरा है: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ । यानी करणी को भी भिन्न-घातांक (fractional exponent) के रूप में लिखा जा सकता है।

सरल उपमा: सोचो एक वर्गाकार ज़मीन है जिसका क्षेत्रफल 7 वर्ग मीटर है। उसकी भुजा $\sqrt{7}$ मीटर होगी — एक ऐसी लंबाई जिसे हम ruler पर बिल्कुल सटीक नहीं नाप सकते, पर गणितीय रूप से पूरी तरह परिभाषित है। यही करणी है।

SSC MTS में इस topic से तीन तरह के प्रश्न आते हैं:

मूल्य निकालना — $\sqrt{144} \times \sqrt{81}$ जैसे सरल गणना
तुलना करना — $\sqrt{2}$ और $\sqrt[3]{3}$ में कौन बड़ा
Nested radical — $\sqrt{20 + 2\sqrt{99}}$ जैसे जटिल रूप को सरल करना

तीनों के लिए अलग-अलग strategy है — आगे विस्तार से देखते हैं।

गहन विश्लेषण

घातांक के मूलभूत नियम

ये नियम याद हों तो आधी लड़ाई जीत ली:

| नियम | सूत्र | उदाहरण | |------|-------|---------| | गुणन | $a^m \times a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \times 2^4 = 2^7$ | | भाग | $a^m \div a^n = a^{m-n}$ | $5^6 \div 5^2 = 5^4$ | | घात की घात | $(a^m)^n = a^{mn}$ | $(3^2)^4 = 3^8$ | | ऋणात्मक घातांक | $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $2^{-3} = \frac{1}{8}$ | | शून्य घातांक | $a^0 = 1$ | $99^0 = 1$ | | भिन्न घातांक | $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ | $8^{1/3} = 2$ | | गुणन में भिन्न घातांक | $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ | $27^{2/3} = 9$ |

करणी की तुलना — एक ही order पर लाओ

SSC MTS में सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला करणी-प्रश्न है: दो अलग-अलग मूल वाली संख्याओं की तुलना।

जैसे $\sqrt{2}$ और $\sqrt[3]{3}$ की तुलना करनी हो — दोनों के index अलग हैं (2 और 3)।

तरीका: LCM method

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$ और $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$
Index का LCM = LCM(2, 3) = 6
$2^{1/2} = 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$
$3^{1/3} = 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$
अब दोनों एक ही order ( $^{1/6}$ ) पर हैं, बस base compare करो: $9 > 8$
इसलिए $\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}$

Nested Radical को तोड़ना

$\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ के रूप का प्रश्न अक्सर आता है। इसे $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ के रूप में लिखना होता है।

Logic: $(\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 = p + q + 2\sqrt{pq}$

इसे $a + 2\sqrt{b}$ से match करो:

$p + q = a$
$pq = b$

यानी $p$ और $q$ वो दो संख्याएँ हैं जिनका योग = a और गुणनफल = b।

उदाहरण: $\sqrt{20 + 2\sqrt{99}}$

यहाँ $a = 20$ , $b = 99$ । ऐसी दो संख्याएँ ढूँढो जिनका योग 20 और गुणनफल 99 हो। $99 = 9 \times 11$ और $9 + 11 = 20$ — मिल गया।

इसलिए $\sqrt{20 + 2\sqrt{99}} = \sqrt{11} + \sqrt{9} = \sqrt{11} + 3$ ।

महत्वपूर्ण वर्गमूल और घनमूल — रटने की ज़रूरत

ये मान exam में बार-बार आते हैं:

Perfect squares: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$

Perfect cubes: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$

जो छात्र ये याद नहीं रखते, वे आसान प्रश्न में भी calculation में वक्त बर्बाद करते हैं।

करणी का परिमेयकरण (Rationalization)

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ को simplify करने के लिए conjugate से गुणा करो:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

SSC MTS level पर rationalization वाले प्रश्न कम आते हैं, पर nested radical और comparison ज़रूर आते हैं।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternLCM Index Method — तुलना में सबसे तेज़

जब दो करणियों की तुलना करनी हो जिनका order (index) अलग-अलग हो — तुरंत LCM निकालो।

मानक तरीका: दोनों को दशमलव में बदलो — $\sqrt{2} \approx 1.414$ , $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$ — इसमें 30-40 सेकंड जाते हैं और गलती की संभावना है।

Shortcut: Index का LCM निकालो (यहाँ LCM(2,3)=6), फिर base को उस power तक उठाओ: $2^3=8$ बनाम $3^2=9$ । बड़ा base जीता। पूरा काम 10 सेकंड में।

मानक तरीका: 35 सेकंड | LCM shortcut: 10 सेकंड।

patternSum-Product Method — Nested Radical के लिए

$\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ देखते ही दो काम करो: योग = $a$ , गुणनफल = $b$ वाले factor pair ढूँढो।

उदाहरण: $\sqrt{14 + 2\sqrt{33}}$ । गुणनफल 33, योग 14 → $3 \times 11 = 33$ और $3 + 11 = 14$ । Answer: $\sqrt{11} + \sqrt{3}$ ।

मानक expand method: 6 steps | Sum-Product: 2 steps।

ध्यान दो: $2\sqrt{b}$ की जगह $2\sqrt{b}$ होना ज़रूरी है — अगर coefficient 2 नहीं है तो यह सीधे नहीं लगेगा।

eliminationPerfect Squares का अंतिम अंक देखो

जब बड़ी संख्या का वर्गमूल निकालना हो (जैसे $\sqrt{2916}$ ), options में से eliminate करो:

$2916$ का अंतिम अंक 6 है → वर्गमूल का अंतिम अंक या तो 4 होगा या 6 होगा (क्योंकि $4^2=16$ , $6^2=36$ )।

Options में से वो सब हटाओ जो 4 या 6 पर नहीं खत्म होते। फिर बची हुई options में से estimate करके जाँचो।

मानक long-division: 45 सेकंड | यह elimination: 10 सेकंड।

elimination$a^0 = 1$ trap — जल्दी अंक

Exam में अक्सर ऐसे complex expressions आते हैं जहाँ पूरी expression $x^0$ के रूप में simplify होती है।

जब भी expression बहुत उलझी दिखे और options में 1 हो — पहले check करो कि कहीं सब कुछ cancel होकर $a^0$ तो नहीं बन रहा।

यह एक elimination approach है जो 20-25 सेकंड बचाता है।

estimationDecimal approximation — तुलना के अंतिम विकल्प के रूप में

अगर LCM method भी उलझी लगे (जैसे तीन या चार करणियों की तुलना हो), तो याद रखो:

$\sqrt{2} \approx 1.41$ , $\sqrt{3} \approx 1.73$ , $\sqrt{5} \approx 2.24$ , $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$ , $\sqrt[3]{3} \approx 1.44$

इन 5 values रटे हों तो comparison वाले 80% प्रश्न बिना किसी calculation के 5 सेकंड में हल।

Approximation याद नहीं: 30 सेकंड calculation | याद हो: 5 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

Exam hall में करणी-घातांक का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

क्या सीधा मूल निकालना है? → Perfect squares/cubes की list से तुरंत value लो।
क्या दो करणियों की तुलना है? → Index अलग है तो LCM method, index same है तो base compare करो।
क्या nested radical है ( $\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ )? → Sum-Product method।
क्या घातांक के नियम लगाने हैं? → सबसे पहले same base बनाओ, फिर index जोड़ो/घटाओ।

Step 2 — Options देखो:

अगर options में एक rational और बाकी surd हैं → rational की जाँच पहले करो।
अगर सब surds हैं → अपना answer निकालो और match करो।

Step 3 — Sanity check (5 सेकंड):

Nested radical का answer हमेशा original expression से छोटा होना चाहिए।
$a^{1/n}$ का answer हमेशा $a$ से छोटा होना चाहिए (जब $a > 1$ )।

अगर 45 सेकंड में answer नहीं मिला — mark for review करो और आगे बढ़ो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: करणियों की तुलना SSC MTS का classic प्रश्न है। LCM method सीखने के बाद यह 10 सेकंड का काम है।

समाधान का रास्ता: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ और $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$ । Index का LCM = 6। $2^{1/2} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$ और $3^{1/3} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$ । चूँकि $9 > 8$ , इसलिए $\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}$ । Statement II सही है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2017

Which of the following relation(s) is/are true? I. √2 > ∛3 II. ∛3 > √2 III. √2 = ∛3

Neither I nor II
Only II
Either I or II
Only I

Solutionसमाधान

√2 ≈ 1.414 and ∛3 ≈ 1.442. Since 1.442 > 1.414, we have ∛3 > √2, so only statement II is true.

क्यों यह प्रश्न: Perfect squares की values रटी हों तो यह 15 सेकंड का प्रश्न है। Calculator mindset को परखता है।

समाधान का रास्ता: $\sqrt{144} = 12$ , $\sqrt{81} = 9$ , $\sqrt{169} = 13$ — ये तीनों perfect squares हैं। $x = 12 \times 9 + 13 = 108 + 13 = 121$ । फिर $2x = 2 \times 121 = 242$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

If x = √144 × √81 + √169, then what is the value of 2x?

Solutionसमाधान

√144 = 12, √81 = 9, √169 = 13. So x = 12 × 9 + 13 = 108 + 13 = 121. Thus 2x = 242.

क्यों यह प्रश्न: Nested radical का यह प्रश्न Sum-Product method का perfect example है। यह method नहीं आता तो 2-3 मिनट भी कम पड़ते।

समाधान का रास्ता: $\sqrt{20 + 2\sqrt{99}}$ में $a = 20$ , $b = 99$ । ऐसे दो factors चाहिए जिनका गुणनफल 99 और योग 20 हो। $9 \times 11 = 99$ और $9 + 11 = 20$ । इसलिए $\sqrt{20 + 2\sqrt{99}} = \sqrt{11} + \sqrt{9} = \sqrt{11} + 3$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2025

√(20 + 2√99) = ?

√7 + √11
√11 + 3
√7 + √5
√10 + √8

Solutionसमाधान

20 + 2√99 = 11 + 9 + 2√99 = (√11)² + (3)² + 2×√11×3 = (√11+3)². So the answer is √11+3.

आम गलतियाँ

$\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ मान लेना — यह बिल्कुल गलत है। $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ , लेकिन $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 = 7$ । दोनों बराबर नहीं हैं। यह सबसे आम और सबसे महँगी गलती है।
Nested radical में coefficient 2 को ignore करना — $\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ में वह 2 ज़रूरी है। अगर प्रश्न $\sqrt{a + \sqrt{b}}$ हो (2 के बिना), तो Sum-Product method सीधे नहीं लगेगा।
LCM method में base को power देना भूल जाना — $2^{1/2}$ को $^{1/6}$ बनाने के लिए $2^{3/6}$ करना होगा यानी base $2^3 = 8$ बनेगा। बहुत से छात्र base को $2 \times 3 = 6$ कर देते हैं।
$a^0 = 0$ समझना — $a^0 = 1$ (जब $a \neq 0$ )। यह trap बार-बार आती है, खासकर जब expression में कोई भी $a^0$ छुपा हो।
Perfect cube को perfect square समझना — $64 = 8^2 = 4^3$ , $729 = 27^2 = 9^3$ । ये दोनों perfect square भी हैं और perfect cube भी। Context देखकर तय करो कि कौन-सा मूल निकालना है।
$(-2)^2 = -4$ लिखना — $(-2)^2 = +4$ । ऋणात्मक संख्या की सम (even) घात हमेशा धनात्मक होती है। Odd power में sign बना रहता है: $(-2)^3 = -8$ ।

SSC MTS के लिए करणी और घातांक — पूरी तैयारी

अवधारणा

गहन विश्लेषण

घातांक के मूलभूत नियम

करणी की तुलना — एक ही order पर लाओ

Nested Radical को तोड़ना

महत्वपूर्ण वर्गमूल और घनमूल — रटने की ज़रूरत

करणी का परिमेयकरण (Rationalization)

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

संबंधित विषय

SarkariRise पर अभ्यास