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औसत (Average) — UP Police Constable परीक्षा के लिए सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

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अवधारणा

औसत का मतलब बहुत सीधा है — जब कई चीज़ों को बराबर-बराबर बाँटना हो, तो जो प्रत्येक को मिलता है, वही औसत है।

सोचो — पाँच दोस्त मिलकर खाना खाते हैं और कुल बिल ₹500 आता है। हर किसी ने बराबर खाया हो तो प्रत्येक को ₹100 देने होंगे। यही ₹100 औसत है।

मूल सूत्र:

$\text{औसत} = \frac{\text{सभी मानों का योग}}{\text{मानों की संख्या}}$

या उल्टा करें:

$\text{योग} = \text{औसत} \times \text{संख्या}$

यह उल्टा सूत्र परीक्षा में 80% प्रश्नों की चाबी है। जब भी किसी समूह से कोई जुड़े या निकले, नया और पुराना कुल योग निकालो और फ़र्क लो।

औसत की एक ज़रूरी property: क्रमागत संख्याओं (जैसे 5 लगातार पूर्णांक) का औसत हमेशा बीच वाली संख्या होती है। यह इसलिए काम करता है क्योंकि ऐसी संख्याएँ arithmetic progression में होती हैं और उनका माध्य मध्य-पद के बराबर होता है।

उदाहरण: 11, 12, 13, 14, 15 का औसत = 13 (बीच वाला) — बिना जोड़े।

भारित औसत (Weighted Average): जब अलग-अलग समूहों के अलग-अलग औसत हों और उनकी संख्या भी अलग हो, तब:

$\text{भारित औसत} = \frac{n_1 \times \bar{x}_1 + n_2 \times \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$

औसत चाल: यह सबसे ज़्यादा गलत होने वाला type है। जब दूरी बराबर हो और चाल अलग-अलग:

$\text{औसत चाल} = \frac{2 \times v_1 \times v_2}{v_1 + v_2}$

ध्यान दो — यह साधारण औसत $(v_1 + v_2)/2$ नहीं है। इसे हमेशा हार्मोनिक माध्य से निकालते हैं।

गहन विश्लेषण

प्रकार 1: समूह से जुड़ना या निकलना

यह UP Police का सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला type है।

तरीका:

पुराने समूह का कुल योग = पुराना औसत × पुरानी संख्या
नए समूह का कुल योग = नया औसत × नई संख्या
जो निकला/जुड़ा उसकी value = दोनों योग का अंतर

उदाहरण: 8 लोगों का औसत वज़न 60 kg है। एक निकलने पर औसत 58 kg हो जाता है।

पुराना योग = 8 × 60 = 480
नया योग = 7 × 58 = 406
निकले व्यक्ति का वज़न = 480 − 406 = 74 kg

Trick for speed: जब कोई निकलता है और औसत घटता है, तो निकला व्यक्ति औसत से ऊपर था। जब औसत बढ़ता है, वह औसत से नीचे था। यह sanity-check का काम करता है।

प्रकार 2: क्रमागत संख्याओं का औसत

क्रमागत पूर्णांक (n, n+1, n+2, ...):

विषम संख्या (5, 7, 9 ...) होने पर: औसत = बीच का term
सम संख्या (4, 6, 8 ...) होने पर: औसत = दो बीच वाले terms का औसत

क्रमागत सम संख्या (n, n+2, n+4, ...):

6 क्रमागत सम संख्याएँ: n, n+2, n+4, n+6, n+8, n+10
औसत = $\frac{6n + 30}{6} = n + 5$
तो अगर औसत दिया हो, तो सबसे छोटी = औसत − 5

क्रमागत विषम संख्या (n, n+2, n+4, ...):

बिल्कुल यही pattern। अंतर 2 का होता है।

प्रकार 3: भारित औसत और Alligation

जब दो groups को मिलाया जाए:

$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\bar{x}_2 - \bar{x}}{\bar{x} - \bar{x}_1}$

यानी — कुल औसत $\bar{x}$ दिया हो, दोनों groups के औसत दिए हों, तो उनका अनुपात निकलो। यह Alligation rule है और भारित औसत के प्रश्नों में बेहद तेज़ काम करता है।

उदाहरण: Group A का औसत 10,000, Group B का 7,800, कुल औसत 8,500। $\frac{n_A}{n_B} = \frac{8500 - 7800}{10000 - 8500} = \frac{700}{1500} = \frac{7}{15}$ तो अगर $n_A = 7$ है, तो $n_B = 15$ और कुल = 22।

प्रकार 4: लक्ष्य-आधारित प्रश्न (Target-based)

"अगले match में कितने रन चाहिए?" — यह सीधा है:

ज़रूरी कुल = लक्ष्य औसत × कुल matches
अगले match के रन = ज़रूरी कुल − अब तक का कुल

प्रकार 5: औसत चाल

जब दूरी बराबर हो (आना-जाना): $\text{औसत चाल} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

जब समय बराबर हो: $\text{औसत चाल} = \frac{v_1 + v_2}{2}$

UP Police में हमेशा दूरी-बराबर वाला case आता है (A से B जाना और वापस आना)। कभी $\frac{v_1+v_2}{2}$ का जाल मत लगाना।

एक Important सूत्र: औसत में परिवर्तन

अगर n संख्याओं के समूह में एक संख्या $x$ को $y$ से बदला जाए: $\text{नया औसत} = \text{पुराना औसत} + \frac{y - x}{n}$

यह तब उपयोगी है जब "गलत पढ़ी गई संख्या" वाले प्रश्न आएँ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternबीच-वाला Term Trick

जब क्रमागत संख्याओं की संख्या विषम हो (3, 5, 7, 9 ...), औसत सीधे बीच का term होता है। जोड़ने की ज़रूरत नहीं।

उदाहरण: 7 क्रमागत पूर्णांकों का औसत 126 है। बीच वाला (चौथा) = 126। सबसे छोटा = 126 − 3 = 123।

मानक तरीका: सभी जोड़ो, भाग दो — 5 steps। यह trick: 1 step। समय बचत: 30 सेकंड।

patternAlligation Cross Method — भारित औसत के लिए

दो groups का कुल औसत दिया हो और दोनों के अलग-अलग औसत दिए हों तो:

Group A औसत      Group B औसत
    10000              7800
         \            /
          \   8500   /
           \        /
        (8500-7800) : (10000-8500)
           700      :    1500
             7      :     15

$n_A : n_B = 7 : 15$ , तो अगर $n_A = 7$ → $n_B = 15$ → कुल = 22।

मानक equation method: 4-5 steps। Alligation: 2 steps। समय बचत: 45 सेकंड।

eliminationऔसत-चाल गलती से बचाव — Harmonic Mean याद रखो

जब A से B और B से A (equal distance), तुरंत यह formula लगाओ: $\frac{2 \times v_1 \times v_2}{v_1 + v_2}$

Options में हमेशा $(v_1+v_2)/2$ भी होगा — यही trap है। उसे eliminate करो।

50 और 30 km/hr के लिए: $\frac{2 \times 50 \times 30}{80} = \frac{3000}{80} = 37.5$ km/hr। $(50+30)/2 = 40$ — यह गलत है।

Trap-option को पहले काटो: 1 step। सही answer: 1 calculation। कुल 2 steps बनाम 4 steps।

patternनिकाली गई संख्या: योग का अंतर

"x संख्याओं का औसत A है, एक निकालने पर औसत B हो जाता है" — सीधा:

निकाली गई संख्या = $(x \times A) - ((x-1) \times B)$

7 × 30 − 6 × 31 = 210 − 186 = 24।

बस दो गुणा और एक घटाव — 3 steps। कोई equation नहीं बनानी।

patternक्रमागत सम/विषम संख्याओं की सबसे छोटी — Offset Formula

n क्रमागत सम या विषम संख्याओं के लिए:

Offset = $\frac{n-1}{2}$ (n विषम हो) या $\frac{n}{2} - \frac{1}{2}$ (n सम हो)

6 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 183 है:

Offset = 5 (क्योंकि सबसे छोटी से बीच तक 5 का अंतर)
सबसे छोटी = 183 − 5 = 178

एक step में answer। मानक: series लिखो, equation बनाओ, solve करो — 5 steps।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

क्या कोई समूह से जुड़ा/निकला? → योग का अंतर निकालो
क्या दो groups को मिलाया? → Alligation लगाओ
क्या क्रमागत संख्याएँ हैं? → बीच वाला term या offset formula
क्या आना-जाना (equal distance) है? → Harmonic Mean formula
क्या target score चाहिए? → ज़रूरी कुल − अब तक का कुल

Step 2 — Options देखो:

अगर options में एक साफ़ गलत trap दिखे (जैसे simple average of speeds), उसे पहले काटो।

Step 3 — Calculate:

हमेशा योग = औसत × संख्या से शुरू करो।
Decimals से डरो मत — अगर answer में .17 या .5 आए, options में वही होगा।

समय-सीमा: औसत के एक प्रश्न में 45-60 सेकंड से ज़्यादा मत लगाओ। अगर लग रहा है, Alligation shortcut आज़माओ।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: सबसे बुनियादी type — समूह से एक निकला। योग का अंतर सीधे answer देता है।

समाधान का रास्ता: 7 × 30 = 210 (पुराना योग) → 6 × 31 = 186 (नया योग) → 210 − 186 = 24।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

The average of 7 numbers is 30. If one number is excluded, the average becomes 31. What is the excluded number?

7 संख्याओं का औसत 30 है। यदि एक संख्या को अपवर्जित किए जाए, तो औसत 31 हो जाता है। अपवर्जित संख्या क्या है?

Solutionसमाधान

Total of 7 numbers = 7 × 30 = 210. Total of remaining 6 numbers = 6 × 31 = 186. Excluded number = 210 - 186 = 24.

क्यों यह प्रश्न: इसमें एक common trap है — options में "34" है जो सही answer है, पर "26" भी है जो पहले नज़र आता है। हमेशा योग निकालो।

समाधान का रास्ता: 8 × 20 = 160 → 7 × 18 = 126 → 160 − 126 = 34 वर्ष। Option (A) 26 trap है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

The average age of a group of 8 people is 20 years. One person leaves the group and the average age becomes 18 years. Find the age of the person who left.

8 लोगों के एक समूह की औसत आयु 20 वर्ष है। एक व्यक्ति समूह छोड़कर चला जाता है, और औसत आयु 18 वर्ष हो जाती है। उस व्यक्ति की आयु ज्ञात कीजिए जो समूह छोड़कर गया।

34 years
19 years
26 years
25 years

26 वर्ष
19 वर्ष
34 वर्ष
25 वर्ष

Solutionसमाधान

Total age of 8 people = 8×20 = 160. Total age of remaining 7 = 7×18 = 126. Age of person who left = 160−126 = 34 years.

क्यों यह प्रश्न: यह multi-step प्रश्न है जो UP Police में आया — पहले बाकी का योग निकालो, फिर algebra।

समाधान का रास्ता: कुल = 744, अंतिम 5 का योग = 300, पहले 4 का योग = 256 → बीच तीनों (5वीं, 6वीं, 7वीं) का योग = 744 − 300 − 256 = 188 → 6वीं = x मानो → (x+8) + x + (x+7) = 188 → x = 57.67 → 6वीं और 7वीं का औसत = (57.67 + 64.67)/2 = 61.17।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

बारह संख्याओं का औसत 62 है। अंतिम पाँच संख्याओं का औसत 60 है और पहली चार संख्याओं का औसत 64 है। छठी संख्या, पाँचवीं संख्या से 8 कम है और सातवीं संख्या से 7 कम है। छठी और सातवीं संख्याओं का औसत क्या है?

67.17
57.17
63.17
61.17

57.17
67.17
61.17
63.17

Solutionसमाधान

Total sum = 12×62 = 744. Sum of last 5 = 60×5 = 300. Sum of first 4 = 64×4 = 256. Sum of 5th, 6th, 7th = 744 - 300 - 256 = 188. Let 6th = x; 5th = x+8; 7th = x+7. Sum = (x+8)+x+(x+7) = 3x+15 = 188 → x = 57.67. Average of 6th and 7th = (57.67 + 64.67)/2 = 61.17. Answer is C (61.17).

क्यों यह प्रश्न: Target-based प्रश्न — 6वें match के लिए कितने रन? Options में 225 भी है, पर explanation में 225 ही सही बताया गया है — answer 225 है।

समाधान का रास्ता: Target कुल = 200 × 6 = 1200 → 5 matches का योग = 165+210+185+240+175 = 975 → 6वें match में चाहिए = 1200 − 975 = 225।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

The scores of a cricket team in five matches are given as 165, 210, 185, 240 and 175. If the team needs an average score of 200 runs to qualify, how many runs must it score in the sixth match?

एक क्रिकेट टीम के पाँच मैचों के स्कोर 165, 210, 185, 240 और 175 दिए गए हैं। यदि टीम को क्वालीफाई करने के लिए 200 रनों के औसत स्कोर की आवश्यकता है, तो उसे छठे मैच में कितने रन बनाने होंगे?

Solutionसमाधान

Total needed = 200×6 = 1200. Sum of 5 matches = 165+210+185+240+175 = 975. Required in 6th = 1200-975 = 225.

क्यों यह प्रश्न: भारित औसत का classic प्रश्न — Alligation से 2 steps में हल।

समाधान का रास्ता: Alligation: (8500−7800):(10000−8500) = 700:1500 = 7:15 → Group A में 7 workers → Group B में 15 → कुल = 7 + 15 = 22।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

The average monthly salary of the workers in a workshop is ₹8,500. If the average monthly salary of 7 workers is ₹10,000 and average monthly salary of the rest is ₹7,800, the total number of workers in the workshop is:

एक कार्यशाला में श्रमिकों का औसत मासिक वेतन ₹8,500 है। यदि 7 श्रमिकों का औसत मासिक वेतन ₹10,000 है और शेष का औसत मासिक वेतन ₹7,800 है, तो कार्यशाला में श्रमिकों की कुल संख्या क्या है?

Solutionसमाधान

Let total workers = n. 8500n = 7×10000 + (n-7)×7800. 8500n = 70000 + 7800n - 54600. 700n = 15400. n = 22.

क्यों यह प्रश्न: क्रमागत सम संख्याओं का offset — Offset formula से 1 step।

समाधान का रास्ता: 6 क्रमागत सम संख्याएँ, offset = 5 → सबसे छोटी = 183 − 5 = 178। Verify: 178+180+182+184+186+188 = 1098, 1098/6 = 183। सही।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

If the average of 6 consecutive even numbers is 183, find the smallest number.

यदि 6 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 183 है, तो सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

For 6 consecutive even numbers, average = (smallest + largest)/2. If smallest = n, the 6 numbers are n, n+2, n+4, n+6, n+8, n+10. Average = (6n+30)/6 = n+5 = 183. So n = 178.

क्यों यह प्रश्न: औसत चाल का trap — option में 42.5 (simple average) है, पर सही 37.5 है।

समाधान का रास्ता: Equal distance → Harmonic mean = $\frac{2 \times 50 \times 30}{50+30} = \frac{3000}{80} = 37.5$ km/hr। Option (D) 42.5 trap है — $(50+30)/2$ का जाल।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

Kartik walks from point A to B with 50 km/hr speed and returns B to A with speed of 30 km/hr. Find his average speed.

कार्तिक बिंदु A से B तक 50 किमी/घंटा की गति से चलता है और B को 30 किमी/घंटा की गति से A पर लौटता है, तो उसकी औसत गति ज्ञात कीजिये।

45 km/hr
42.5 km/hr
40 km/hr
37.5 km/hr

37.5 किमी/घंटा
45 किमी/घंटा
40 किमी/घंटा
42.5 किमी/घंटा

Solutionसमाधान

Average speed for equal distances = 2×v1×v2/(v1+v2) = 2×50×30/(50+30) = 3000/80 = 37.5 km/hr.

क्यों यह प्रश्न: 7 क्रमागत पूर्णांक — विषम संख्या, तो बीच वाला (4था term) = औसत।

समाधान का रास्ता: 4था term = 126 → sequence: 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129 → सबसे छोटा = 123।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

The average of seven consecutive positive integers is 126. The smallest of these integers is:

सात क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का औसत 126 है। इनमें से सबसे छोटा पूर्णांक क्या है?

Solutionसमाधान

For 7 consecutive integers, the average equals the middle (4th) value. So the 4th integer = 126, meaning the sequence is 123,124,125,126,127,128,129. Smallest = 123.

आम गलतियाँ

औसत चाल में साधारण औसत लगाना: यह सबसे महँगी गलती है। 50 और 30 का साधारण औसत 40 है, पर सही उत्तर 37.5 है। जब भी "आना-जाना" या "equal distance" दिखे, Harmonic Mean ही लगाओ।
क्रमागत संख्याओं में offset गलत लगाना: 6 क्रमागत सम संख्याओं के लिए offset 5 है (क्योंकि बीच में 3rd और 4th का औसत = n+5), पर कई लोग 3 लगा देते हैं। हमेशा formula verify करो: $n + 5 = \text{औसत}$ → $n = \text{औसत} - 5$ ।
"निकाला गया" और "जोड़ा गया" में confusion: जब कोई निकले और औसत बढ़े, तो निकला व्यक्ति कम था। जब औसत घटे, वह ज़्यादा था। इस sanity-check से गलत answer पकड़ो।
Multi-step प्रश्नों में सीधे 5वीं, 6वीं, 7वीं के बारे में equation बनाना: पहले "बाकी बचा" योग निकालो, फिर algebra। बिना कुल योग निकाले equation बनाने पर गलत equations बनती हैं।
Alligation में कौन-सा group कितना — अनुपात उलटा लगाना: Alligation में जो group दूर है (अंतर ज़्यादा), उसका अनुपात कम होता है। Cross याद रखो — जो दूर है वह कम।
भारित औसत में "कुल औसत" को किसी एक group का औसत समझना: प्रश्न में "कार्यशाला का औसत वेतन ₹8,500" पूरे group का है, किसी एक हिस्से का नहीं। इसे Alligation में बीच में रखो।

औसत (Average) — UP Police Constable परीक्षा के लिए सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

अवधारणा

गहन विश्लेषण

प्रकार 1: समूह से जुड़ना या निकलना

प्रकार 2: क्रमागत संख्याओं का औसत

प्रकार 3: भारित औसत और Alligation

प्रकार 4: लक्ष्य-आधारित प्रश्न (Target-based)

प्रकार 5: औसत चाल

एक Important सूत्र: औसत में परिवर्तन

शॉर्टकट और युक्तियाँ

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