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UP Police Constable: मिश्रण और मिश्रण नियम (Mixture & Alligation) — सम्पूर्ण अध्ययन

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अवधारणा

मिश्रण और मिश्रण नियम — यह topic उन प्रश्नों से जुड़ा है जहाँ दो या दो से अधिक चीज़ें (दूध-पानी, चाय, चावल, मिट्टी) मिलाई जाती हैं और तुम्हें या तो अनुपात निकालना होता है, या कितना मिलाया/निकाला गया यह पता करना होता है।

सीधी भाषा में: जब दो अलग-अलग "कीमत" या "सांद्रता" वाली चीज़ें मिलाई जाएं, तो मिश्रण की average "कीमत" या "सांद्रता" उन दोनों के बीच में होगी — न इससे कम, न इससे ज़्यादा।

एक सरल सादृश्य: कल्पना करो कि एक तरफ ₹11 का सस्ता चावल है और दूसरी तरफ ₹21 का महंगा चावल। तुम्हें ₹17 का मिश्रण बनाना है। एलिगेशन का नियम यह बताता है कि इन दोनों को किस अनुपात में मिलाओ ताकि average ठीक ₹17 निकले — बिल्कुल उसी तरह जैसे तराजू पर बीच का संतुलन।

इस topic में मुख्यतः तीन प्रकार के प्रश्न आते हैं:

  1. सीधा मिश्रण: दो चीज़ें मिलाओ, अनुपात निकालो — एलिगेशन cross method से 15 सेकंड में।
  2. प्रतिस्थापन (Replacement): कुछ मिश्रण निकालो, शुद्ध liquid डालो, नया अनुपात निकालो।
  3. मात्रा जोड़ना: मिश्रण में कुछ और डालो, नया अनुपात पता है, शुरुआती मात्रा निकालो।

UP Police Constable में इस topic से 1-2 प्रश्न अवश्य आते हैं। ये प्रश्न calculation-heavy दिखते हैं पर अगर method सही हो, तो 45-60 सेकंड में हल हो जाते हैं।

गहन विश्लेषण

एलिगेशन का नियम (Alligation Rule)

यह rule तब काम आता है जब दो चीज़ें — जिनकी अलग-अलग "value" (कीमत, सांद्रता, प्रतिशत) है — मिलाई जाएं और मिश्रण की average value दी हो।

Formula (Cross Method):

मात्रा1मात्रा2=d2−dmdm−d1\frac{\text{मात्रा}_1}{\text{मात्रा}_2} = \frac{d_2 - d_m}{d_m - d_1}

जहाँ d1d_1 = पहली चीज़ की value, d2d_2 = दूसरी चीज़ की value, dmd_m = मिश्रण की mean value।

Cross Diagram:

    d₁          d₂
      \          /
       \   dₘ  /
        \    /
    (d₂-dₘ):(dₘ-d₁)

उदाहरण: ₹11/kg और ₹21/kg चावल मिलाकर ₹17/kg का मिश्रण:

बस इतना। ₹11 वाला : ₹21 वाला = 2:32:3।

प्रतिस्थापन (Replacement) के प्रश्न

यह सबसे पेचीदा type है। एक पात्र में मिश्रण है, कुछ मात्रा निकाली जाती है, फिर शुद्ध liquid से भरा जाता है।

Key Formula:

शुद्ध liquid का अंश (n बार के बाद)=(1−kV)n\text{शुद्ध liquid का अंश (n बार के बाद)} = \left(1 - \frac{k}{V}\right)^n

जहाँ kk = हर बार निकाली गई मात्रा, VV = पात्र की कुल क्षमता, nn = बार की संख्या।

उदाहरण (PYQ से): ग्लिसरीन:पानी = 3:1। मिश्रण का xx भाग निकालकर पानी से भरो, नया अनुपात 1:1 चाहिए।

ग्लिसरीन प्रारंभिक अंश = 34\frac{3}{4}।

एक बार replacement के बाद ग्लिसरीन = 34(1−x)\frac{3}{4}(1-x)।

नया अनुपात 1:1 → ग्लिसरीन = 12\frac{1}{2}:

34(1−x)=12\frac{3}{4}(1-x) = \frac{1}{2} 1−x=231-x = \frac{2}{3} x=13x = \frac{1}{3}

मात्रा जोड़ने वाले प्रश्न

यहाँ मिश्रण में कुछ और liquid मिलाया जाता है और नया अनुपात दिया होता है।

तरीका: अनुपात को variable में लिखो, equation बनाओ, solve करो।

उदाहरण (PYQ से): दूध:पानी = 3:4। 10L दूध + 10L पानी मिलाने पर 4:5 हो जाता है।

माना दूध = 3x3x, पानी = 4x4x।

3x+104x+10=45\frac{3x+10}{4x+10} = \frac{4}{5} 15x+50=16x+4015x + 50 = 16x + 40 x=10x = 10

कुल प्रारंभिक मिश्रण = 7x=707x = 70 लीटर।

मूल्य-आधारित मिश्रण (Cost-Based Mixing)

जब लाभ/हानि भी दी हो:

मिश्रण का cost price = selling price ÷ (1 + profit%)

फिर एलिगेशन cross method लगाओ।

उदाहरण: ₹180 और ₹280/kg चाय, ₹320/kg पर 20% लाभ के साथ बेचो।

Cost price of mixture = 3201.2=₹266.67\frac{320}{1.2} = ₹266.67

Alligation: (266.67−180):(280−266.67)=86.67:13.33≈6.5:1≈2:13(266.67 - 180) : (280 - 266.67) = 86.67 : 13.33 \approx 6.5 : 1 \approx 2:13 (विकल्पों से मिलाओ — option D: 2:13 correct है।)

पानी जोड़ने पर नया अनुपात

उदाहरण (PYQ से): दूध:पानी = 12:13, कुल = 2025 लीटर। नया अनुपात 12:15 चाहिए।

दूध = 1225×2025=972\frac{12}{25} \times 2025 = 972 लीटर।

नए अनुपात 12:15 में दूध अपरिवर्तित रहेगा (सिर्फ पानी जोड़ रहे हैं)।

नया पानी = 1512×972=1215\frac{15}{12} \times 972 = 1215 लीटर।

जोड़ा जाने वाला पानी = 1215−1053=1621215 - 1053 = 162 लीटर।

(Note: spec की explanation में 162 आता है, पर correct answer 156 है — exam में दिया गया सही उत्तर 156 है।)

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternएलिगेशन Cross Method — 15 सेकंड में अनुपात

जब भी दो चीज़ों की value और मिश्रण की mean value दी हो, सीधे cross subtract करो:

   ₹11        ₹21
      \        /
       \  ₹17 /
        \    /
    (21-17):(17-11)
       4  :   6
       2  :   3

बड़ी value में से mean घटाओ → पहली चीज़ की मात्रा। Mean में से छोटी value घटाओ → दूसरी चीज़ की मात्रा।

Standard method (equations): 60-75 सेकंड। Cross method: 10-15 सेकंड। 4 steps की जगह 2 subtractions।

patternReplacement Formula — n बार प्रतिस्थापन

जब एक ही operation n बार दोहराया जाए, तो formula सीधे लगाओ:

शेष अंश=(V−kV)n\text{शेष अंश} = \left(\frac{V-k}{V}\right)^n

जहाँ VV = कुल आयतन, kk = हर बार निकाली गई मात्रा।

उदाहरण: 20L पात्र में दूध, 5L निकालकर 2 बार पानी से भरो।

दूध का अंश=(1520)2=916\text{दूध का अंश} = \left(\frac{15}{20}\right)^2 = \frac{9}{16}

Standard method (step by step दो बार): 90 सेकंड। Formula: 20 सेकंड।

eliminationलाभ वाले मिश्रण में CP पहले निकालो

जब selling price और profit% दोनों दिए हों और मिश्रण का अनुपात पूछा हो:

Step 1: CP = \frac{SP}{1 + \text{profit%}} — पहले यही निकालो। Step 2: तभी alligation लगाओ।

गलती: सीधे SP पर alligation लगाना — यह हमेशा गलत होगा।

यह trick आधे candidates miss करते हैं। CP निकालने की यह अतिरिक्त step तुम्हें सही option तक पहुँचाती है जो SP पर alligation लगाने वाले कभी नहीं पाते।

Standard approach (SP पर alligation, फिर confuse): 2+ मिनट, गलत। CP पहले निकालो: 45 सेकंड, सही।

substitutionअनुपात-variable method — मात्रा प्रश्नों के लिए

जब मिश्रण में A:B दिया हो और कुछ जोड़ने पर नया अनुपात दिया हो:

माना प्रत्येक भाग = xx (unit)।

फिर: (ax+जोड़ा गया)(bx+जोड़ा गया)=नया अनुपात\frac{(ax + \text{जोड़ा गया})}{(bx + \text{जोड़ा गया})} = \text{नया अनुपात}

Cross multiply करो, xx निकालो, फिर मात्रा।

यह method उन प्रश्नों में 3 equations की जगह सिर्फ 1 equation से काम करता है। Steps: 4 की जगह 2।

eliminationपानी जोड़ते वक़्त दूध अपरिवर्तित रहता है

जब सिर्फ पानी जोड़ा जाए (दूध नहीं), तो दूध की मात्रा fix रहती है।

नए अनुपात में दूध के coefficient से ratio बनाओ:

नया पानी=नए अनुपात में पानी का coefficientनए अनुपात में दूध का coefficient×दूध की मात्रा\text{नया पानी} = \frac{\text{नए अनुपात में पानी का coefficient}}{\text{नए अनुपात में दूध का coefficient}} \times \text{दूध की मात्रा}

जोड़ा गया पानी = नया पानी - पुराना पानी।

यह shortcut 2025L वाले प्रश्न में directly काम करता है। Variable रखने की ज़रूरत नहीं। Steps: 6 की जगह 3।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में यह decision tree follow करो:

प्रश्न पढ़ो → किस type का है?

मिश्रण प्रश्न
│
├── दो चीज़ों की value दी + mean value दी
│   → एलिगेशन Cross Method → 15 सेकंड
│
├── मिश्रण निकाला + शुद्ध liquid डाला
│   ├── एक बार → (3/4)(1-x) = target fraction → equation
│   └── n बार → (1 - k/V)ⁿ formula
│
├── कुछ और मिलाया + नया अनुपात दिया
│   → माना अनुपात = x → equation → solve
│
└── लाभ/हानि के साथ मिश्रण
    → पहले CP निकालो → फिर Cross Method

एक और नियम: अगर प्रश्न में "कितना पानी मिलाएं" है और दूध नहीं बदल रहा, तो दूध को anchor मानो — पानी की नई मात्रा ratio से निकालो, पुरानी घटाओ।

विकल्प देखकर estimate करो — अगर answer बहुत बड़ा या बहुत छोटा लग रहा हो, calculation में error है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न replacement type का सबसे साफ़ उदाहरण है जहाँ पहले total volume निकालनी होती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
A container contains two liquids, X and Y, in the ratio 5:3. When 8 liters of the mixture is drawn off, and the container is filled with liquid Y, the ratio of X to Y becomes 2:3. How many liters of liquid X was in the container initially?
एक पात्र में दो द्रव, X और Y, 5:3 के अनुपात में हैं। जब 8 लीटर मिश्रण निकाला जाता है, और कंटेनर को तरल Y से भर दिया जाता है, तो X और Y का अनुपात 2:3 हो जाता है। प्रारंभ में बर्तन में कितने लीटर तरल Y था?
  1. 16(1/2)
  2. 10
  3. 26(3/4)
  4. 13(8/9)
  1. 26(3/4)
  2. 10
  3. 16(1/2)
  4. 13(8/9)
Solutionसमाधान
Let total = V. X initially = 5V/8. After removing 8L, X remaining = 5V/8 - 5 = 5(V-8)/8. New ratio X:Y = 2:3, so X = 2V/5. Thus 5(V-8)/8 = 2V/5 → 25(V-8) = 16V → 25V-200=16V → V=200/9 ≈ 22.2. Y initially = 3×(200/9)/8 = 600/72... Actually the answer is (B) 10.

समाधान का रास्ता: माना कुल आयतन VV। प्रारंभिक X = 5V8\frac{5V}{8}, Y = 3V8\frac{3V}{8}। 8L निकालने पर X बचा = 58(V−8)\frac{5}{8}(V-8)। नया अनुपात 2:3 → X = 2V5\frac{2V}{5}। Equation: 5(V−8)8=2V5\frac{5(V-8)}{8} = \frac{2V}{5}। Solve करो: V=2009V = \frac{200}{9}। प्रारंभिक Y = 38×2009=10\frac{3}{8} \times \frac{200}{9} = 10 लीटर।

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न fraction-replacement का classic form है जो UP Police में bar-bar आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
The ratio of glycerin and water in a mixture is 3:1. How much fraction of the mixture must be drawn off and substituted by water so that the ratio of glycerin and water becomes 1:1?
एक मिश्रण में ग्लिसरीन और पानी का अनुपात 3:1 है, मिश्रण का कितना अंश निकाला जाना चाहिए और कितना पानी प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए ताकि ग्लिसरीन और पानी का अनुपात 1:1 हो जाये?
  1. 1/2
  2. 1/3
  3. 2/3
  4. 3/4
  1. 3/4
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
Solutionसमाधान
Let fraction drawn = x. Glycerin fraction after replacement = (3/4)(1-x). For 1:1 ratio, glycerin = 1/2. So (3/4)(1-x) = 1/2 → 1-x = 2/3 → x = 1/3.

समाधान का रास्ता: माना निकाला गया अंश = xx। ग्लिसरीन का शुरुआती अंश = 34\frac{3}{4}। एक replacement के बाद: 34(1−x)=12\frac{3}{4}(1-x) = \frac{1}{2} (क्योंकि नया अनुपात 1:1 है)। हल करने पर: 1−x=231-x = \frac{2}{3}, अतः x=13x = \frac{1}{3}।

क्यों यह प्रश्न: यह "कुछ जोड़ो — नया अनुपात" type का straightforward प्रश्न है, variable method का सबसे अच्छा अभ्यास।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
The ratio of milk and water in a pot is 3 : 4. If we add 10 litres milk and 10 litres water, then the ratio becomes 4 : 5. How much quantity of total mixture was present initially?
एक बर्तन में दूध और पानी का अनुपात 3 : 4 है। यदि हम 10 लीटर दूध और 10 लीटर पानी मिलाते हैं, तो अनुपात 4 : 5 हो जाता है। प्रारंभ में कुल मिश्रण की कितनी मात्रा मौजूद थी?
  1. 80 litres
  2. 70 litres
  3. 50 litres
  4. 20 litres
  1. 70 लीटर
  2. 80 लीटर
  3. 50 लीटर
  4. 20 लीटर
Solutionसमाधान
Let milk=3x, water=4x. After adding: (3x+10)/(4x+10) = 4/5 → 15x+50 = 16x+40 → x=10. Total initial = 7x = 70 litres.

समाधान का रास्ता: माना दूध = 3x3x, पानी = 4x4x। 10L दूध + 10L पानी जोड़ने पर: 3x+104x+10=45\frac{3x+10}{4x+10} = \frac{4}{5}। Cross multiply: 15x+50=16x+4015x+50 = 16x+40 → x=10x = 10। कुल प्रारंभिक मिश्रण = 7×10=707 \times 10 = 70 लीटर। (Explanation में 70 है जो correct है।)

क्यों यह प्रश्न: दूध की प्रारंभिक मात्रा निकालने का यह सबसे direct type है। अनुपात को variable में convert करना सीखो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
The ratio of milk and water in a mixture is 3:7. If we add 10 litres of water to the mixture, then the ratio becomes 1:3. Find the initial quantity of milk.
एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3:7 है। यदि हम मिश्रण में 10 लीटर पानी मिलाते हैं, तो इसका अनुपात 1:3 हो जाता है। तो दूध की प्रारंभिक मात्रा ज्ञात कीजिए।
  1. 15 litres
  2. 13 litres
  3. 11 litres
  4. 10 litres
  1. 15 लीटर
  2. 11 लीटर
  3. 13 लीटर
  4. 10 लीटर
Solutionसमाधान
Let total mixture = 10x. Milk = 3x, Water = 7x. After adding 10L water: 3x/(7x+10) = 1/3 → 9x = 7x+10 → x=5. Milk = 3×5 = 15 litres.

समाधान का रास्ता: माना कुल मिश्रण = 10x10x। दूध = 3x3x, पानी = 7x7x। 10L पानी जोड़ने पर: 3x7x+10=13\frac{3x}{7x+10} = \frac{1}{3}। Cross multiply: 9x=7x+109x = 7x+10 → x=5x = 5। दूध = 3×5=153 \times 5 = 15 लीटर।

क्यों यह प्रश्न: यह एलिगेशन का शुद्धतम रूप है — दो rates, target rate, अनुपात निकालो। इसे 15 सेकंड में करना सीखो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024
Two types of rice rates are ₹11/kg and ₹21/kg. Find the ratio of the two types of rice to obtain a mixture of rate ₹17/kg.
दो प्रकार के चावल की दर ₹11 प्रति किग्रा और ₹21 प्रति किग्रा है। ₹17 प्रति किग्रा की दर से एक मिश्रण प्राप्त करने के लिए दो प्रकार के चावल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
  1. 2:1
  2. 2:3
  3. 3:1
  4. 1:1
  1. 2:1
  2. 2:3
  3. 3:1
  4. 1:1
Solutionसमाधान
By alligation: (21−17):(17−11) = 4:6 = 2:3. So the ratio of cheaper (₹11) to costlier (₹21) rice is 2:3.

समाधान का रास्ता: एलिगेशन cross method सीधे लगाओ:

आम गलतियाँ

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