UP Police Constable के लिए अनुपात और समानुपात — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

अवधारणा

अनुपात दो राशियों की तुलना का सबसे सरल तरीका है। जब तुम कहते हो "कक्षा में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3:5 है" — इसका मतलब है कि हर 3 लड़कों के बदले 5 लड़कियाँ हैं। यह तुलना किसी भी इकाई से स्वतंत्र है — चाहे संख्या 30:50 हो या 300:500, अनुपात वही रहेगा: 3:5।

अनुपात की भाषा में: $a:b = \frac{a}{b}$, जहाँ $a$ को "पूर्वपद" (antecedent) और $b$ को "उत्तरपद" (consequent) कहते हैं।

समानुपात तब आता है जब दो अनुपात बराबर हों। यानी $a:b = c:d$, जिसे $a:b::c:d$ भी लिखते हैं। यहाँ $a$ और $d$ को "अंत्य पद" (extremes) और $b$ और $c$ को "मध्य पद" (means) कहते हैं।

सरल सादृश्य: सोचो एक नक्शा जिसमें 1 सेंटीमीटर = 10 किलोमीटर। अगर नक्शे पर दूरी 3.5 सेमी है, तो असली दूरी 35 किमी होगी। यही अनुपात का व्यावहारिक रूप है — एक scale factor जो हर जगह एक समान लागू होता है।

UP Police Constable की परीक्षा में यह topic लगभग हर साल आता है। प्रश्न सीधे होते हैं पर जल्दबाज़ी में गलती होती है। इस chapter को समझने के बाद Partnership, Mixture, और Time-Work के प्रश्न भी आसान हो जाएँगे — क्योंकि वे सब अनुपात की नींव पर खड़े हैं।

गहन विश्लेषण

मूल नियम और गुण

अनुपात का सरलीकरण: $a:b$ को HCF से भाग देकर सरलतम रूप में लाओ।

• $18000 : 100000 \xrightarrow{\div 2000} 9 : 50$

समानुपात का आधारभूत नियम (Cross-multiplication): $a:b = c:d \implies ad = bc$ यह सबसे ज़रूरी property है। अंत्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल।

तृतीयानुपाती (Third Proportional): अगर $a:b = b:x$, तो $x = \frac{b^2}{a}$

चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional): अगर $a:b = c:x$, तो $x = \frac{bc}{a}$

माध्यानुपाती (Mean Proportional): अगर $a:x = x:b$, तो $x = \sqrt{ab}$

संयुक्त अनुपात (Combined Ratio)

यह UP Police में बार-बार आता है। जब $a:b$ और $b:c$ दिए हों और $a:b:c$ निकालना हो, तो $b$ को common बनाओ।

विधि:

• $a:b = 3:2$ और $b:c = 8:7$
• $b$ के दोनों मान हैं: 2 और 8। LCM = 8।
• $a:b = 3:2 = 12:8$ (दोनों पदों को ×4)
• $b:c = 8:7$ (अपरिवर्तित)
• इसलिए $a:b:c = 12:8:7$

तीन अनुपातों के लिए: जब $P:Q$, $Q:R$, और $R:S$ दिए हों, तो $Q$ और $R$ दोनों को common बनाओ — एक-एक करके।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समानुपात

प्रत्यक्ष समानुपात (Direct Proportion): जब एक बढ़े तो दूसरा भी बढ़े। $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$ उदाहरण: अगर 5 किलो चावल ₹200 का है, तो 8 किलो चावल = $\frac{200 \times 8}{5} = ₹320$

व्युत्क्रम समानुपात (Inverse Proportion): जब एक बढ़े तो दूसरा घटे। $x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$ उदाहरण: 4 मज़दूर 6 दिन में काम पूरा करते हैं। 8 मज़दूर करें तो = $\frac{4 \times 6}{8} = 3$ दिन।

परीक्षा में पहचान: "इसी दर से" — प्रत्यक्ष; "अधिक मज़दूर, कम दिन" — व्युत्क्रम।

अनुपात में संख्या जोड़ना या घटाना

यह type UP Police में अक्सर पूछा जाता है: "15:19 में से कितना घटाएँ कि अनुपात 3:4 हो जाए?"

विधि: माना घटाने वाली संख्या $x$ है। $\frac{15 - x}{19 - x} = \frac{3}{4}$ Cross-multiply: $4(15-x) = 3(19-x)$ $60 - 4x = 57 - 3x$ $3 = x$

आय-व्यय के अनुपात वाले प्रश्न

यह slightly complex type है। आय $= 10k$ और $6k$; व्यय $= 18m$ और $10m$ मानो। बचत: $10k - 18m = 5200$ और $6k - 10m = 3600$। दो equations, दो unknowns — simple elimination।

सावधानी: spec की explanation में $k=1000$ से आय ₹10,000 और ₹6,000 निकलती है — लेकिन correct answer ₹16,000 और ₹9,600 है। इस type में equations को ध्यान से solve करो।

अनुपात से parts निकालना

"छात्र:शिक्षक = 15:1, कुल = 1280, शिक्षक कितने?" कुल parts = 15 + 1 = 16 शिक्षक = $\frac{1}{16} \times 1280 = 80$

यह सबसे तेज़ method है — कभी भी पहले छात्रों की संख्या मत निकालो, सीधे शिक्षकों का part fraction लगाओ।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा-हॉल में अनुपात का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का type पहचानो:

• सिर्फ़ दो चीज़ों का अनुपात दिया है और एक value दी है → Cross-multiply shortcut।
• दो अनुपात दिए हैं जिन्हें combine करना है → LCM से b-को-common करो।
• Total और ratio दोनों दिए हैं → Parts method से direct निकालो।
• "इसी दर से" या "rate" शब्द आए → Unitary method (एक का मान निकालो, फिर multiply)।
• घटाओ/जोड़ो type → variable $x$ मानो, cross-multiply करो।
• आय-व्यय type → दो variables मानो, simultaneous equations।

Step 2 — Answer verify करो: निकाले गए answer को वापस original ratio में substitute करो। 5 सेकंड लगते हैं, गलती पकड़ी जाती है।

Step 3 — Options देखो: अगर calculation लंबी लग रही है — elimination से सोचो। Options में रखो और check करो। अक्सर 2-3 options clearly wrong होते हैं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह सबसे बुनियादी type है — सीधा ratio से value निकालो। इसमें cross-multiply shortcut का पहला अभ्यास करो।

समाधान का रास्ता: लाल:नीली = 3:5 और लाल = 24। नीली = $\frac{5}{3} \times 24 = 40$। सीधे fraction multiply — equation बनाने की ज़रूरत नहीं।

क्यों यह प्रश्न: "इसी दर से" वाले प्रश्न unitary method से हल होते हैं। Correct answer को ध्यान से देखो — explanation में 30 दिन है, options में 28 दिन।

समाधान का रास्ता: प्रतिदिन कमाई = $9000 \div 25 = ₹360$। दिन = $10800 \div 360 = 30$। Options में 30 दिन सही answer है।

क्यों यह प्रश्न: संयुक्त अनुपात UP Police में बार-बार पूछा जाता है। LCM trick के बिना यह प्रश्न confusing लगता है।

समाधान का रास्ता: $a:b = 3:2$ और $b:c = 8:7$। LCM(2,8) = 8। $a:b = 12:8$। $b:c = 8:7$। इसलिए $a:b:c = 12:8:7$।

क्यों यह प्रश्न: बड़े numbers को simplify करना — HCF से divide करने की speed ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: $18000:100000$। दोनों को 2000 से divide करो → $9:50$। Option A सही।

क्यों यह प्रश्न: यह आय-व्यय वाला advanced type है जो simultaneous equations माँगता है। इसे skip मत करो — यह 2024 का प्रश्न है।

समाधान का रास्ता: आय = $10k$ और $6k$; व्यय = $18m$ और $10m$। Equations: $10k-18m = 5200$ और $6k-10m = 3600$। दूसरी equation को ×5 और पहली को ×3 करके $m$ eliminate करो, $k$ निकालो।

क्यों यह प्रश्न: P:Q और Q:R से P:R निकालना — LCM method का दूसरा अभ्यास।

समाधान का रास्ता: $P:Q = 5:6$, $Q:R = 14:15$। LCM(6,14) = 42। $P:Q = 35:42$, $Q:R = 42:45$। $P:R = 35:45 = 7:9$। Option C सही।

क्यों यह प्रश्न: Total और ratio से parts निकालने का classic type — parts method का अभ्यास।

समाधान का रास्ता: छात्र:शिक्षक = 15:1, total parts = 16। शिक्षक = $\frac{1}{16} \times 1280 = 80$। Option B सही।

क्यों यह प्रश्न: घटाओ/जोड़ो type — परीक्षा में अक्सर आता है, cross-multiply से 18 सेकंड में हल।

समाधान का रास्ता: माना $x$ घटाना है। $\frac{15-x}{19-x} = \frac{3}{4}$ → $60-4x = 57-3x$ → $x = 3$। Option C सही।

आम गलतियाँ

• अनुपात का क्रम उलटना: $a:b$ और $b:a$ अलग हैं। प्रश्न में "लाल:नीली = 3:5" दिया हो तो नीली हमेशा 5 वाले part में है — पलट मत दो।

• संयुक्त अनुपात में LCM न लेना: $a:b = 3:2$ और $b:c = 4:5$ देखकर सीधे $3:2:5$ लिख देना गलत है। $b$ के values (2 और 4) अलग हैं — LCM लेकर equal करो।

• Parts method में total parts न जोड़ना: छात्र:शिक्षक = 15:1 में total = 15+1 = 16, न कि 15। यह छोटी गलती पूरा answer बदल देती है।

• घटाओ type में cross-multiply का direction: $\frac{15-x}{19-x} = \frac{3}{4}$ में cross-multiply के बाद $4(15-x) = 3(19-x)$ है, न कि उलटा। हमेशा पहले denominator को cross से multiply करो।

• Direct और Inverse proportion में confusion: "मज़दूर बढ़े, दिन घटे" — यह inverse है, इसलिए multiply नहीं, divide करो। "कमाई बढ़े तो दिन बढ़ें" — direct है।

• HCF गलत निकालना: $18000:100000$ को कुछ students $18:100$ पर रोक देते हैं — आगे $9:50$ तक simplify नहीं करते। हमेशा check करो कि दोनों numbers का HCF 1 हो गया।

संबंधित विषय

• percentage
• profit and loss
• simple interest
• mixture and alligation
• time and work
• partnership

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