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UP Police Constable के लिए म.स. और ल.स. — महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य

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अवधारणा

म.स. और ल.स. — ये दोनों UP Police Constable परीक्षा में बार-बार आते हैं। इन्हें एक बार सही समझ लो, तो ये सवाल परीक्षा हॉल में सबसे आसान लगेंगे।

महत्तम समापवर्तक (म.स. / HCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दो या दो से अधिक संख्याओं को बिना शेष के विभाजित कर सके।

उदाहरण के लिए — 12 और 18 को लो। 12 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। 18 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 6, 9, 18। दोनों में सबसे बड़ा साझा गुणनखंड है 6। तो म.स. = 6।

एक सरल उपमा: मान लो दो दोस्त हैं — एक के पास 12 रुपये हैं, दूसरे के पास 18 रुपये हैं। वे दोनों बराबर-बराबर चॉकलेट खरीदना चाहते हैं और किसी के पास पैसे बचने नहीं चाहिए। सबसे महंगी चॉकलेट जो वे खरीद सकते हैं = 6 रुपये की। यही है म.स.।

लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स. / LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाए।

उदाहरण — 4 और 6 का ल.स. = 12। क्योंकि 12, 4 से भी कटता है (12 ÷ 4 = 3) और 6 से भी (12 ÷ 6 = 2)।

उपमा: दो बसें एक station से चलती हैं — एक हर 4 मिनट बाद, दूसरी हर 6 मिनट बाद। दोनों फिर साथ कब मिलेंगी? 12 मिनट बाद। यही ल.स. है।

सबसे महत्वपूर्ण सूत्र — इसे कभी मत भूलो:

$\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = \text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या}$

यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए यह सूत्र लागू नहीं होता।

गहन विश्लेषण

म.स. निकालने की विधियाँ

विधि 1: गुणनखंड विधि (Factorization Method)

दोनों संख्याओं को prime factors में तोड़ो, फिर common factors का गुणनफल निकालो।

उदाहरण: 36 और 48 का म.स.

$36 = 2^2 \times 3^2$
$48 = 2^4 \times 3^1$
म.स. = $2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$

नियम: हर common prime factor की न्यूनतम घात लो।

विधि 2: भाग विधि (Euclidean Algorithm) — परीक्षा में सबसे तेज़

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दो, फिर छोटी संख्या को शेषफल से। जब शेषफल 0 आए, वही आखिरी भाजक म.स. है।

उदाहरण: 1002 और 1314 का म.स.: $1314 = 1002 \times 1 + 312$ $1002 = 312 \times 3 + 66$ $312 = 66 \times 4 + 48$ $66 = 48 \times 1 + 18$ $48 = 18 \times 2 + 12$ $18 = 12 \times 1 + 6$ $12 = 6 \times 2 + 0$

म.स. = 6

ल.स. निकालने की विधियाँ

विधि 1: गुणनखंड विधि

दोनों संख्याओं को prime factors में तोड़ो, फिर सभी factors की अधिकतम घात का गुणनफल निकालो।

उदाहरण: 36 और 48 का ल.स.

$36 = 2^2 \times 3^2$
$48 = 2^4 \times 3^1$
ल.स. = $2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$

विधि 2: सूत्र से (दो संख्याओं के लिए) $\text{ल.स.} = \frac{\text{पहली} \times \text{दूसरी}}{\text{म.स.}}$

परीक्षा में आने वाले 4 प्रकार के प्रश्न

प्रकार 1: अनुपात + म.स. दिया हो → ल.स. निकालो

जब दो संख्याएं $a : b$ के अनुपात में हों और म.स. = $h$ हो, तो:

पहली संख्या = $ah$ , दूसरी संख्या = $bh$
ल.स. = $h \times a \times b$ (क्योंकि $a$ और $b$ coprime होते हैं)

उदाहरण: अनुपात 3:4, म.स. = 88

ल.स. = $88 \times 3 \times 4 = 1056$

प्रकार 2: एक संख्या + म.स. + ल.स. दिया हो → दूसरी संख्या निकालो $\text{दूसरी संख्या} = \frac{\text{म.स.} \times \text{ल.स.}}{\text{पहली संख्या}}$

प्रकार 3: "सबसे बड़ी संख्या जो... को विभाजित करे" → म.स. निकालो

"सबसे बड़ी संख्या जो 187 और 391 को विभाजित करे" — इसका सीधा मतलब है म.स. निकालो।

प्रकार 4: समान शेषफल वाले प्रश्न — सबसे ज़रूरी

"सबसे बड़ी संख्या जो $a$ , $b$ , $c$ को भाग देने पर समान शेषफल दे" — यहाँ सीधे म.स. लेने की गलती मत करो।

सूत्र: पहले अंतर निकालो: $(b-a)$ , $(c-b)$ , $(c-a)$ । फिर इन अंतरों का म.स. निकालो।

उदाहरण: 1005, 1245, 1485 के लिए:

अंतर: $1245 - 1005 = 240$ , $1485 - 1245 = 240$ , $1485 - 1005 = 480$
म.स. of 240, 240, 480 = 240

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternअनुपात वाले प्रश्न में सीधे गुणा करो

जब प्रश्न में "दो संख्याएं $m:n$ के अनुपात में हैं और म.स. $h$ है" — तो ल.स. = $h \times m \times n$ । बीच की गणना छोड़ो। संख्याएं निकालने और फिर ल.स. लगाने की ज़रूरत नहीं।

उदाहरण: अनुपात 5:7, म.स. = 13 → ल.स. = $13 \times 5 \times 7 = 455$ ।

मानक तरीका (संख्याएं निकालो → 65, 91 → फिर ल.स. निकालो): 4 steps। यह shortcut: 1 step। समय बचत: लगभग 30 सेकंड।

substitutionदूसरी संख्या निकालने का एक-पंक्ति सूत्र

जब म.स., ल.स. और एक संख्या दी हो, तो दूसरी संख्या = $\frac{\text{म.स.} \times \text{ल.स.}}{\text{दी गई संख्या}}$ ।

उदाहरण: म.स. = 4, ल.स. = 5940, एक संख्या = 108। $\frac{4 \times 5940}{108} = \frac{23760}{108} = 220$ ।

मानक तरीका (product formula याद करो → cross-check करो): 3 steps। यह shortcut: 1 calculation। समय: 15 सेकंड।

patternसमान शेषफल → अंतरों का म.स.

"सबसे बड़ी संख्या जो तीन संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल दे" — सीधे तीनों संख्याओं का म.स. निकालने की गलती मत करो।

सही तरीका: किन्हीं दो संख्याओं का अंतर निकालो → इन अंतरों का म.स. निकालो।

उदाहरण: 37, 57, 93 के लिए अंतर: 20, 36, 56। HCF(20, 36, 56) = 4।

गलत तरीका: HCF(37, 57, 93) = 1। यह बिल्कुल अलग उत्तर देता है।

Step count फर्क: गलत method 2 steps, सही method 3 steps — पर सही उत्तर सिर्फ सही method से आता है।

eliminationHCF जाँचने का fast elimination

जब options में HCF के कई candidates हों — सबसे पहले देखो कि कौन सा option दोनों संख्याओं को divide करता है। सबसे बड़े option से शुरू करो।

उदाहरण: 234 और 452 का HCF। Options: 32, 8, 16, 2।

32: 234 ÷ 32 = 7.3... → नहीं कटा → eliminate।
16: 234 ÷ 16 = 14.6... → नहीं कटा → eliminate।
8: 234 ÷ 8 = 29.25 → नहीं कटा → eliminate।
2: 234 ÷ 2 = 117 ✓, 452 ÷ 2 = 226 ✓ → HCF = 2।

Euclidean algorithm से: 5 divisions। Elimination से: 4 quick checks। समय: 20 सेकंड।

patternPrime factorization से HCF — घात नियम याद रखो

म.स. में common prime factors की न्यूनतम (minimum) घात लो। ल.स. में सभी prime factors की अधिकतम (maximum) घात लो।

Memory cue: म → min, ल → max (म.स. = minimum, ल.स. = maximum)।

$72 = 2^3 \times 3^2$ और $48 = 2^4 \times 3^1$ :

म.स. = $2^{\min(3,4)} \times 3^{\min(2,1)} = 2^3 \times 3^1 = 24$
ल.स. = $2^{\max(3,4)} \times 3^{\max(2,1)} = 2^4 \times 3^2 = 144$

Standard तरीका (दोनों के factors list करो): 6 steps। यह नियम: 2 steps।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न किस प्रकार का है?

"सबसे बड़ी संख्या जो... को विभाजित करे" → म.स. निकालो
"सबसे छोटी संख्या जो... से विभाजित हो" → ल.स. निकालो
"समान शेषफल" शब्द है → अंतर निकालो → उनका म.स.
अनुपात + म.स. दिया → ल.स. = म.स. × पहला अनुपात × दूसरा अनुपात
एक संख्या + म.स. + ल.स. दिया → दूसरी संख्या = (म.स. × ल.स.) ÷ दी गई संख्या

Step 2 — संख्याएं कितनी बड़ी हैं?

2-digit संख्याएं → गुणनखंड विधि (prime factorization) तेज़
3-digit या बड़ी संख्याएं → भाग विधि (Euclidean algorithm) तेज़

Step 3 — उत्तर verify करो

म.स. × ल.स. = पहली संख्या × दूसरी संख्या — यह जाँच 10 सेकंड में होती है और गलती पकड़ती है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह प्रश्न product formula का सीधा application है। UP Police में इस type के प्रश्न हर set में आते हैं।

समाधान का रास्ता: सूत्र याद रखो — ल.स. = (संख्याओं का गुणनफल) ÷ म.स.। यहाँ गणना में ध्यान दो: $1002 \times 1314$ पहले निकालो, फिर 6 से भाग दो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

दो संख्याओं 1002 और 1314 का HCF 6 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।

228734
235882
219438
202060

235882
202060
228734
219438

Solutionसमाधान

LCM = (Product of numbers) / HCF = (1002 × 1314) / 6 = 1316628 / 6 = 219438.

क्यों यह प्रश्न: अनुपात + म.स. वाले प्रश्न UP Police में 2-3 बार आए हैं। shortcut से 20 सेकंड में हल हो जाता है।

समाधान का रास्ता: संख्याएं = $3 \times 88 = 264$ और $4 \times 88 = 352$ । ल.स. = $88 \times 3 \times 4 = 1056$ । Note करो — spec का correct answer 1056 है (option index 3 = "948" spec में है पर explanation 1056 दिखाता है — explanation को follow करो)।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

Two numbers are in the ratio of 3 : 4 and their HCF is 88. Find their LCM.

दो संख्याएं 3 : 4 के अनुपात में हैं और उनका HCF 88 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।

1064
948
1128
1056

1064
1128
1056
948

Solutionसमाधान

The two numbers are 3×88 = 264 and 4×88 = 352. LCM = (264 × 352) / 88 = 264 × 4 = 1056. Alternatively, LCM of numbers in ratio 3:4 with HCF h is h × 3 × 4 = 88 × 12 = 1056.

क्यों यह प्रश्न: "सबसे बड़ी संख्या जो दोनों को विभाजित करे" — यह म.स. की definition है। options को eliminate करके भी हल कर सकते हो।

समाधान का रास्ता: $187 = 11 \times 17$ और $391 = 23 \times 17$ । Common factor = 17। Elimination: option 17 देखो — $187 \div 17 = 11$ ✓, $391 \div 17 = 23$ ✓।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

Find the greatest number that exactly divides 187 and 391.

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 187 और 391 को पूरी तरह से विभाजित करती है।

Solutionसमाधान

The greatest number that exactly divides both numbers is their HCF. 187 = 11 × 17 and 391 = 23 × 17. HCF = 17.

क्यों यह प्रश्न: एक संख्या + म.स. + ल.स. → दूसरी संख्या। यह pattern बहुत common है।

समाधान का रास्ता: दूसरी संख्या = $\frac{\text{म.स.} \times \text{ल.स.}}{\text{पहली संख्या}} = \frac{2 \times 42728}{218} = \frac{85456}{218} = 392$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

दो संख्याओं का HCF 2 है और उनका LCM 42728 है। यदि एक संख्या 218 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

Solutionसमाधान

Product of two numbers = HCF × LCM = 2 × 42728 = 85456. Other number = 85456 / 218 = 392.

क्यों यह प्रश्न: समान शेषफल वाले प्रश्न — यहाँ सबसे ज़्यादा गलतियाँ होती हैं। अंतर-विधि का उपयोग करना ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: अंतर निकालो: $1245 - 1005 = 240$ , $1485 - 1245 = 240$ , $1485 - 1005 = 480$ । अब HCF(240, 240, 480) = 240।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

सबसे बड़ी संख्या जो 1005, 1245 और 1485 को भाग देने पर समान शेषफल देती है, वह है:

Solutionसमाधान

Differences: 1245-1005=240, 1485-1245=240, 1485-1005=480. HCF of 240, 240, 480 = 240.

क्यों यह प्रश्न: फिर से म.स. + ल.स. + एक संख्या pattern। गणना accuracy पर ध्यान दो।

समाधान का रास्ता: दूसरी संख्या = $\frac{4 \times 5940}{108} = \frac{23760}{108} = 220$ । Check: $108 \times 220 = 23760 = 4 \times 5940$ ✓।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

The HCF of two numbers is 4 and their LCM is 5940. If one of the numbers is 108, what is the other number?

दो संख्याओं का HCF 4 है और उनका LCM 5940 है। यदि एक संख्या 108 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

Other number = (HCF × LCM) / first number = (4 × 5940) / 108 = 23760 / 108 = 220.

क्यों यह प्रश्न: 234 और 452 जैसी संख्याओं का HCF — elimination method सबसे तेज़ है। prime factorization भी काम करता है।

समाधान का रास्ता: $452 = 2^2 \times 113$ और $234 = 2 \times 3^2 \times 13$ । Common factor = $2^1 = 2$ । HCF = 2।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

What is the Highest Common Factor (HCF) of 234 and 452?

234 और 452 का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या है?

Solutionसमाधान

234 = 2 × 117 = 2 × 3 × 39 = 2 × 3 × 3 × 13. 452 = 4 × 113 = 2² × 113. The only common factor is 2, so HCF = 2.

क्यों यह प्रश्न: तीन संख्याओं का HCF — prime factorization की practice के लिए।

समाधान का रास्ता: $135 = 3^3 \times 5$ , $171 = 3^2 \times 19$ , $192 = 2^6 \times 3$ । तीनों में common है केवल $3^1$ । HCF = 3।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

Find the HCF of 135, 171, 192.

135, 171, 192 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।

Solutionसमाधान

135 = 3³×5, 171 = 3²×19, 192 = 2⁶×3. The common factor is 3, so HCF = 3.

आम गलतियाँ

तीन संख्याओं पर product formula लगाना: $\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = a \times b \times c$ — यह गलत है। यह सूत्र सिर्फ दो संख्याओं के लिए है। तीन संख्याओं के लिए हमेशा गुणनखंड विधि या भाग विधि इस्तेमाल करो।
समान शेषफल में सीधे दी गई संख्याओं का म.स. निकालना: यह सबसे बड़ी गलती है। हमेशा पहले अंतर निकालो, फिर उन अंतरों का म.स.।
म.स. में maximum घात लेना: याद रखो — म.स. में minimum घात, ल.स. में maximum घात। "म → min" — यह cue काम करेगी।
अनुपात वाले प्रश्न में ल.स. = म.स. × (अनुपात का योग) मानना: गलत। ल.स. = म.स. × (पहला अनुपात) × (दूसरा अनुपात)। $h \times (m+n)$ नहीं, $h \times m \times n$ सही है।
HCF को LCM से बड़ा मान लेना: HCF हमेशा LCM से छोटा या उसके बराबर होता है। अगर तुम्हारा HCF, LCM से बड़ा आ रहा है तो निश्चित गलती है।
भाग विधि में शेषफल को भूल जाना: Euclidean algorithm में अगला step यह है: पिछला divisor = नया dividend, पिछला remainder = नया divisor। इस pattern को एक बार लिखकर practice करो — confuse होना बंद हो जाएगा।

UP Police Constable के लिए म.स. और ल.स. — महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य

अवधारणा

गहन विश्लेषण

म.स. निकालने की विधियाँ

ल.स. निकालने की विधियाँ

परीक्षा में आने वाले 4 प्रकार के प्रश्न

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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